장음표시 사용
31쪽
2 rentiis Y r ab I 2, & Iet a 23 , igitur uti aggregatum ex duabus differentiis duorum continue proximorum terminorum ad mai jorem ejusmodi differentiarum , sive, ouanalogiam terminorum proportionalium cum suis differentiis, ut aggregaIum ex duobus terminis continu. acceptis ad majorem ipsorum, nempe ex construct
ut duo simul quadrata GK, i I, vel ut uni- Cum quadratum G I ad quadratu GI , honest ut lia ad G H, propter angulum I HK
in semicirculo rectum, ita Y N ad dicta se riem; estque diameter I K ad eamde Y N ex hypothesi, ut quadratum G K ad K I, idest ut G H ad HI; igitur ex aequo perturbatherit diameter I Κ ad posterioremn seriem differentiarum alterne sumptarum Y 3, 23, 4s &e . ut lG ad H I, nempe ut eadem I K ad I L; aequalis est ergo ejusmodi series tanui verso I I. . Q=hod Acti A . .ci: a OP ROPOSITIO IV.
yareuela , aqualis autem is IL, utque
32쪽
Concipientur enim duae secantes. IG. Igi fieri infiniti, proximet, uti di duae ordinatae G D, git, quomodo spatiolo noGDQ pro rectangulo ex Ob D in yo h beri poterit, nec arculus per has secantes h sem i circulo inteneptus H, a cina eius tangente , vel subtensa sensibiliter differet ; cum vero rectangula eidem iquadro totidiametrii ladeoquς δι intexis sint aequalia , erit GIl ad Ig, ut Ib iadi I H, & triangula Gig, b I H, communem, angulum I habentia , limitia erunt , 'undet G g ad Ηb erit, ut G I ad I b, vel ad minime comparabiliter differentem I H, ides ut Κ I ad IL, vel MI ad G D per construnctionem ue est autem Hb aequalis arcui M m,
33쪽
rseum snt differentiae arcuum aequalium sMΚ, HK; m Κ, b Κ, igitnr est Ggad M m, ut M I ad G D , & rectangulum DC adest spatiolum D d g G, aequabitur rectangulo I Μ m. seu duplo sectoris IMm, quod cum ubique, & semper eveniat , manifestum e
quodvis spatium per duas ad tangentem kG ordinatas ab hac curva resectiam esse duplum sectoris circuli correspondentis,
necnon totum spatium D d S Q I K G aa partes G infiniti protensum duplum quadrantis I Bh, seu quadruplum semicirculi IH k .- Quod erat &α
Isariam secto angulo B I h per lineam; Iu pariter obisecantem arcum, & sectorem in T, ordinetur V S: manifestum est , totum sparuim infinith longia D dS V Gaequale fore quadranti BI k, utpote duplum sectoris BIT , quemadmoUlm & por tio V Sin K. eidem quadranti aequalis erit ut pote dupla ipsius TI R./ . i I i , I
34쪽
Rdinata ad axem Ih recta DP, erit segmentum D S. P quadruplum segmenti Κ b H , quia cum si GhadhΙut H Lad I L, seu G D, rectangulum kGDΡ aequale erit rectangulo ex th in HL, sive duplum erit trianguli IHI, spatium autem GDS h duplum est sectoris M I h per bauc prop. residuum ergo spatiu D S QJ Ρ luplum erit res dui semissegmenti MHh, sive quadruplum segmenti h bH, vel f si junctam fingas I OJ quadruplum aequalis segmenti I HO, nam BR aequalis DG aequatur ipsi IL,&HL aequatur OP, & arcus IH ipsi h O.
COROLLARIUM III. I T Nde constat, qubd solidum ex spatio D SQ Ih G ad partes G infinith lon
go circa asymptoton h G revoluto aequale est duobus annulis, semicirculo h FI circa eandem ha revoluto progenitis, nam re
ctangulum GDPl ostensum est aequale I hin H L,
35쪽
OPI rectangulis, quare cylindrica superficies a recta D P genita in primo solido isqvabitur duabus cylindricis superficiebus ab OP circa G h revoluta , & ab H L circa BI rotata descriptis, sive solidum illud in-snitd longum ex D Sin Κ G c;rca KGaequabitur annulo ex semicirculo I F h cir-- ca G h, & annulo ex eodem circa B I, sue duobus annulis ab ipso circa eandem GK rotato progenitis, vel ei, quod ab integro circulo radisi CK circa tangentem h G revoluto describeretur , solido annulari.
HInc .s ordinata DP bisecet radium in P, erit in ipsa DP centrum gravitatis spatii totius infinite longi, diametro, .symptoto, & curua ISD comprehensi , nam ejus centri grevi totis distantia abasymptoto debet es ei sul idii a radii, quo Mistat C ce atrum gravi in is circuli ab e/dem
36쪽
te protensi, cum debeant per CorolLyraced. sua rotatione circa asymptoton solidata aequalia producere.
SI aliquam ex curvis per V transeuntibus , velut V 44 concipias esse Hypet-bolam Apollonianam asymptotis Bl, IC descriptam , erit, ut spatium recta V B, asymptoto B N, & curva hyperbolica V infinite protensa interiectum ad quadratu V BI, ita solidum ex spatio D S i x G ad partes G infinite longo circa asymptoton Iotato ad cylindrum ex quadrato UBI,&portio ex dicto spatio hyperbolico versus partes V resecta per ordinatam in puncto L asynaptoto I N parallelam, erit ad sque altum iectangulum V KL, ut solidum ex DS I P circa I P ad cylindrum rectangulo BI p circa eandem l P revoluto progenitum , clam sit enim quadratum G I ad
quadratum I x', ut G I ad I H, vel kI ad IL, sive ut ordinara per L ad Hyperbo.
37쪽
3 lam, ipsi V K parallella, ad Vx, erit dividendo , ut excessus dictae ordinatae supra V x ad ipsam V Κ, ita quadratum G Κ ad quadratum diametri , vel circulus D Ρ ad circulum B I, unde methodo indivisibilium constat propositum, simulque patet, spatium integrum Doeg G ad partes G infinith quidem longum, sed finitae tamen
dimensionis, rotatione sua circa IK solidum producere verh infinitum , etiamsi Per unicum ex minutis decimis dumtaxat converti intelligeretur ; quomodo patet veritas penultimi ex illis paradoxis , quε in praefatione Vimianeoram Problematum pag. 2.
dudum proposui , cujusque Exemplum
non nemo questus erat apud Geometras
desiderari, desuperficie scilicet finita , quq
si tantillum moveatur solidum procreetve rh infinitum quamquam id ostendi facile potest locum habere & in hyperbolarum speciebus infinitis qua parte determinatae sunt quantitatis, si circa eam, quae aplicatis parallella est, asymptoton con- Vertantur, itemque in cissoide circa diametrum circuli genitoris revoluta, &c. CO
38쪽
COROLLARIUM VI. Q Uoniam ostensum est, Gg differentiam
tangentis Gh ad H b dissetentiam arcus I H esse, ut hI ad IL, additis utrobique aequalibus rationibus, Η b ad LI,& C H ad H L , conficietur ratio G g ad LI differentiam ordinatarum DG qualis compositae ex kI ad IL, & HC adHL, id est ut dimidium quadrati Ih f seu rectangulum ex Ih in radium ΗC J ad rectangulum H LI, sive ut quadratum radii HC ad triangulum H d L, ita CG ad differentiam ordinatarum G D , adeoque &subtangens curuq D d in asymptoto accepta ad ordinatam GD in eadem ratione erit Quapropter illa subtangens erit tertia proportionalis post duplam HL & diametrum I k, sive aequabitur portioni tangentis semicirculum in H, quq interciperetur utraque ad extrein
diametri tangente , O IB, qIamd aliquando
39쪽
SCOLION LOQ, UOniam, tangentis hujus curvet lacidit
- mentio, non ingratum Lectoribus meis tu urum arbitror , si paululum ab instituto digrediens generalem methodum inseram determinandae tangentis Infinitarum Curvarum similem descriptionem suscipientium, ut enim in hac curva ordinatς GD, kl reciproce proportionantur quadratis ramorum hI ;IG ab eodem fixo puncto I ad eadem axis puncta eductorum, sic ubi ordinatarum potestates quaelibet ab exponente u indicatae vel directis , vel reciproch proportionarentur ramorum potestatibus per exponentem m denominatis, infinitae curvae D SI orirentur , in quarum censum etiam Sectiones Conicae venirent ,
comprehqhfae t intellecta constanti I h per a, G h per 3 , G D per x, & ambiguo fgno ap
obtinente 'superio ni Qitorem in directa, inferiorem in iproca potestatum com- Patauone subtangens vero in asymptot
40쪽
accepta semper foret tertiae or Dortio
pienda quidem supra ordinatam G D in eadem asymptoto G Κ , ubi fuerit comparatio diresta, infra verci talem ordinatam,
ubi reciproca, semper enim, cum relatio curvae naturam exprimens Invertitur, eadesubtangens transit ad parteS contrarias, ut
infinitarum parabolarum , & hyperbolaruexemplo dbliisque similibus constare potest. Analyticam hujus determinationis demonstrationem Leibnitaiana methodo sic breviter habe: differentiando proposita aequationem ejusmodi curvarum, elicitur δε α
quae reducta juxta valores terminorum ab aequatione curus desumptos, dat