장음표시 사용
51쪽
per singulos deincrps pares numeros denomsnatis, evidelicet, ut quadratum NI ad quadratum B I,
ita sit EC ad T M, ct ut biquadraωm NI adbiquadratum B I, ita rursus B Uad i Ν, item- ut sexta potestas NI ad similem B I, ita BV ad 2 N, atque ita porro. Dico, Circulum diametri K I aqualem esse omnibus fimal byperbolicis spatiis T V i i , a , C t 3, 4 4 U , 3 9c. idest disserentiis alterne sumptis dictarum hyperbolarum. MAnifestum est enim , lineas i h, seu B U,& Υ N, i N , a N , 3 N &c. esse conti- nuh proportionales in ratione quadrati N I, ad I B, seu G Κ ad k I, nam ejusmodi posita
fuit proportio primae ad secundam , prim quero ad tertiam duplicata, ad quartam triplicata , ad quintam quadruplicata prioris , ob indices potestatum ab Isiarum di, quibus respondent, per eandem binarii dic ferentiam arithmetiae crescentes, ergo '
propos 3. erit ubilibet sinus versus I L arcus eorrespondentis IH vel ipsam et G D ordi-inata ad curvam D S in , de qua in prop. 4.
52쪽
aequalis omnibus simul proportionalium sejusmodi differentiis alterne sumptis Y i , a 3 , 4 s &c. & hoc semper: quasi totum spatium DS V G ex pr*dicta curva ad partes DG infinith longum aequabitur omnibus numero, & longitudine infinitis hyperbolarum differentiis alternis Y J V i I ,, , V 3 3, 4 4 V 1 3 &c. qua rh cum per coroll. I. prop. q. quadrans Bh I, seu Ct culus diametri Ih sit aequalis spatio infinith longo D S V G , aequabitur dictus Circulus propostis hypeiholicis differentiis. Quod erat &c. COROLLARIUM I. 'TDem obtinet de partibus, quod nempe infinitae portiones ex iisdem supra designatis hyperbolarum differentiis, putὶ VI x λ, δ α 3 3 , Α . , &C. aequales sint spatio G g d D, seu duplo sectoris correspondentis MI m.
Umque tum integra illa hyperbolica spatia snt quadrabilia ex generali doctrina
53쪽
ctrina, quam dedimus in montanis rap. g. n. i . tum quaelibet eorum portiones sint Propterea notae dimensionis, erunt & integrorum. , & partium differentiae noto rectangula aequales, unde & circuli, disectoris cu=uslibet quantumvis vero proxima quadratura,& dimensio geometrich inn testet , quod ampliui sequenti propositio, ne manifestum fiet.
ctionibus, quibus unitas per 3mpar umero ex ordine accepto. denominatur . .
HAEc est celeberrima Summi Geometrae Leibnitati Quadratura, quς ex posi'tis principiis sic brqvissime ostendituro Perdicta. loco citon Hugenianorum quodlibet byperbolicum spatium est inscripti rectan- guli
54쪽
rili, idest improposito quadrati V M , talis mas Sualem designat fracti6
primente x gradinobordinatarum b sua bic est unitas J R. st gradum i ab cissa iram qui est quilibet par a. 4. M. Sc. ad ueprimum byperbolicinyi spatium ei r ,
A Nalytich la totum M 1 pediri potita
55쪽
I venianis evire Io. numero is qualis
Sunt autem h ipta expressiones. ordinata iad infinitas i perbolas, quarum gradus in abscissis crescant juxta numeros pares , ut constat; qu liber ento ordinata G D aequi- valebit differentiis ordinatarum ad infinitas illas hyperbola Pade6quE & spatium figurae ab hac curva D Si comprehenset idest sector. circuli co respotadenS,. 'qua-ςitur infinitis 'differentiis praedictarum hyperbonarum seu differentiis fractionuniver imparest numctos denominatarum, laaxato valore ipstus M pro unitate, Quod
56쪽
4 9 PROPOSITIO VII. I at Fig. . , ut quadratum diametri I l
ud quadratrem tangentis G D diametro Iam m noris J ita ipsa diameter , mel ei ςqualis T Gad et G ,-bae ad 1 G , eadem ratione ad in iros terminos a G, A G , I G d .gata . Dico, sommam ex omnibus borum terminorum
disserentiis alterne sumptis T i , 23, εἴ c . aquales esse Hui merso IL arcas IH per ρ-ςanxem I G intercuti. Ta Oc probabitur ut in prop. 3. loco YN legendo Y G J usque ad verba mel ut n/cum quadratum G I ad quadratum G , pro quibus sc prosequere: vel ut unicum quadratum G I ad quadratum Ih, nempe ut G I ad I H, vel k I ad IL , ita Y G ad seriem ejusmodi differentiarum alterne sum Ptarum; est autem K I aequalis YGex hypothesi , igitur & IL prqdictis omnibus simul differentiis aequatur. Quod erat &c.
57쪽
' Rdem constructione facta ad singulata puncta G tangentis V h, manifestum est, lineas Y G completuras quadratum V k i b, et lineas G i trilineum parabolae quadrati cet M Κ , lineas autem G a trilineum parabolae bi quadraticae GK, & lineas G 3 similiter es se ad parabolam quadrato cubicam , atque ita deinceps reliquas esse ad altiores parabolas, quarum dignitates V id, Gh omnibus ex ordine paribus numeris denominantur, sic enim prorogatur ad infinitos terminos proportio Y G ad i G , quae
ab initio posita fuit duplicata ipsius V Ead hG. COROLLARIUM ILQUoniam ergo ordinata G D ad curvam
ID S prop. 3. descriptam aequatur semper sinui verso correspondenti IL, manifestum est , ipsam quoque G D aequari praedictis proportionalium disserentiis alternE
58쪽
b V M. aequari U S, id est eandem lineam infinities positam, & infinities subtractam relinquere sui medietatem.
Q adraturam Circuli prop. 6. propositam iterum per infinitas Parabolas demonstrare. s Si enim circulus circa diametrum I h, vel quadrans h M B,per Coroll. I. prop. 4. aequalis spatio V S DI h, nimirum per Coroll. 2. prop. I. aequalis . b i K i , ' b ih a 'b Κ s b , &c. hoc est quadrato bih V, minus trilineo parabolae b i h V , plus trilineo secundae Parabolae, minus trilineo tertiς &c. sunt autem illa trilinea parabolica circum-
59쪽
scripti quadrati ' &c. petordinem , ut patet ex dictis cap. 8. Huge
QUoniam parabola b i K ι inscriberetur
quadranti IB Mic, aliaeque eumdem qua urantem circumplecterentur, patet, eX-
cessum quadrantis supra inscriptam parabolam aequalem esse Lunulis parabolicis, ahab, a 4ks, &c. eidem quadranti ad. striptis.
I Ec minus eadem methodo patet dimenso cuiusvis sectoris, puta ejus, cuius semissis esset M IK , quippe esset ille aequalis I iΚita Κ3t Κ s &c. unde pa-set Veritas Quadraturae Circularis sectoris
60쪽
ab eodem Cl. Leibnitrio propostae in Actis Lipsiae 169 i. mense Aprilis, pro qua& sequentem Propositionem libet adjungere . PROPOSITIO IX. V Desuris mel Elliptis. Sectoris Quadrata
ram loco mox laudato a Summo Geometraoxbibitam demonstrare . i
C It fis A. 6. J radius AB rar, tangens
in BC arcus circuli BD radi, ducta infinite proxima secante Adc, cum arcue E concentrico, ponatur Ddαθ, undEC e- , secans A C α Πὰ . Jam Dd ad C e est in ratione composita ex Dd ad E e id est I . ad V i Ι ἡ & E e ad C e s nempe rursus I ad Ur a ) adeoque est ut 1 ad Qxx, nemiph ut quadratum radii ad quadratum secantis; ergo cum sit a ' xx . e: : dx . θ, eri r hie videlicet per
dicta in Hugenianis eap. ro. n. s. re differentiae seriei x -- 3 s