D. Guidonis Grandi ... Quadratura circuli, et hyperbolae per infinitas hyperbolas, & parabolas gemetricè exhibita. Accessit & hyperbolę dimensio ope tractorię, & innumerarum parabolarum, hyperbolarumque rectificatio, et alia complura scitu dignissima

61쪽

s grat), ductaque alia tangente CF , ut arcus B F sit duplus B D ,& sector B A F aequa.

an semiarcum B D, lis rectangulo radii fiet ejusmodi sector zz . &c. quae est Quadratura Leibntigii loc. cit. Et quoniam, ubi sector BDFA sit quadrans Circuli , angulus B AC semirectus evadit, & tangens BC aequatur radio B A, nempe apsa X I , tunc series pr fata mutatur in hanc simpliciorem , vadelicet

qualem prop. 6. 9 8 jam demonstravimus. Ellipsi autem BOL circa eandem transversam diametrum posita cum circulo BFh, quia tam segmentum B FI ad BOI, quam

triangulum FI A ad OI A , ad edque & sector BFA ad sectorem BO A est in ratione FI ad I O, seu V A, vel B A ad A L, nec non tangentis CB ad B H, utique si non jam A B, sed AL sit m i ,& AB a, nec jam BC, sed Bh prodibit id e sector

62쪽

ut Maximus qui nostri Geometra st pe citato loco determinavit, nosque demonstrandum iu sceperamus.

S C H O L I O N. REstat, ut cum similem seriem de sectore

hyperbolico ibi de Vir Cl. dederit, nos illam demonstrare non differamus , quod post expositas nostras de Hyperbola per Infinitas Hy per bplas,& Parabolas quadranda cogitationes , praestabimus, ad id nos invitante olim , nostrasque curas promΟ- vente Egregio Juvene Gabriele Manis io, cujus doctissimam hac de re Epistolam tum in medium adducam, quam ferax sit Ingeniorum ad Geometriam , & Analysit , factorum Italia, locupletissimo apud Exteros testimonio futuram. E p I DOS IS.

Λ Ntequam ad alteram Libelli partem progrediar , oportunum duxi alias Vacaturtam hujus pagellae residuum implete , adducta demonstratione veritatis supr. D iv enun-

63쪽

is . .enunciatae pag. 3 o. ad finem de Solido Inafinito ex Cisso ide circa diametrum circuli genitoris revoluta et hoc enim nullo sthemismate adhibito quae methodi Leit,nitetiant praestantia est ) ex sola hujus curvae natura demonstrare possum , posita scilicet dia. metro parte abscissa ab initio Cis Aidis rix,& circumferentia genitoris cir-

pe circulus radii x J . zzz circulo de .str i pto ab ordinata Cisseidis , quo ducto in , prodit f elementum solidi ab eiusmodi revolutione producti , & hoc re

cuius integrale sa, solido altitudinis ae ; & ubi x αα a fit integrusolidum m Infinito , Ob

64쪽

DE HYPERBOLA

PROPOSITIO X.

iret. 8.

ma , seu linearis ab Apollonio sitastrata , A rasecunda , seu quadratica, qua Cl. Tamsano Me solab ea dicebator, A11 tertia, seu cubica, A 3 3. biquadratica , aliaque altiorum graduum in infinitum , quas secet alteri asymptoto parallela

esse continue proportionales is ratione G C ad CD.

Nd Am iit GC ad CD, ita AD ad EG in pri

ma hyperbola, & ut quadratum GC ad quadr.CD,idest in duplicata prioru ratione, ita A D ad 1 G in hyperbola secunda, &ut cubus GCad cubum CD, ita eadem AD ad 1 G

65쪽

ad 2G in hyperbola tertia, hoc est in triplicata priorum ratione, atque ita deinceps , et go ipsae A D, E G, a G, et G , 3 G Sc. sunt continue proportionales. Quod &c.

PROPOSITIO XI. Isdem positis , sumatur G D ς qualis dissaη-

netur communis apircata G E.

Dico apatium primς hyperbola F E AD G Oad partes O infinitum squari aggregato ex inmitis θatiis omnium byperbolaram per ipsam G E resectis , videlicet G E F O G 1 1 O ,

Ompleatur rectangulum GD Aa, &per punctum a inter asymptotos ADG transeat hyperbola aes primae AEF squalis prorsus, & similis, ac similiter posita, imo eadem sola positione differens eritque spatium Osea GO idem , quod O F E A D O. Ordinata igitur ubi libet e E I 2 3 quoniam per praecedentem est ad rg, ut g C ad C d, erit per con

66쪽

versonem rationis g E ad i E, ut g CadgD, nempe in ratione composita ex g C ad DC

autem duae rationes componunt illam,quq

est g e ad g E , igitur g e ad g E est , ut g E .

ad I E, quare per Propos. I. ge aequalis erit Omnibus proportionalibus terminis E g, i g, et g , siquidem est tertia proportio natis post primam differentiam E imprimam magnitudinem Eg; Hoc ubi libet demonstrato, patet omnem Ordinatam egmspatio Osea GO aequari omnibus ordinatis aliarum hyperbolarum per ordinatam

GE resectarum, a oeoque & ipsum spatium Ose a GO, vel illi aequale OPE A DOaequari pr dictis infinitis hyperbolarum portionibus. Quod erat &c. COROLLARIUM: LI Inc ablato communi spatio OFE GO, spatium hyperbolicum D GE A, ordinatis proportionis duplae interceptum , aequale erit infinitis spatiis quadrabilibus per

67쪽

per reliquas hyperbolas determinatis, nemo

pro unitate , erit spatium hyperbolicum omdinatis rationis dupla interiectum aequale series faetionum, in quibus unitas denominatur pro ductis singulorum per ordinem numeroram i terminos rationis dispia.

QVia enim per prop. ro. EG , I G, a G,

3 G &c. sunt continuli proportionales in ratione GC ad CD, qu et lila est ratio dupla, erit & series aeqvh altorum rectanis gulorum EG G, i GC, a GC, 3 GC &α series rationis duplae, cumque E GC computetur pro unitate, erit rGC semissi,& et G C m quadranti, & 3 G C octianti &c. sed ex his, quae demonstravimUS in HVenianis cap. 8. n. II. spatium hyperbolae secundet G 1 1 O minscripto rectangulo,

68쪽

os nempe semissi, & spatium hyperbolae tertit G a io m semissi inscripti rectanguli 2GC, adeoque τα , & spatium quartae hyper-

que adeo &c. ergo agregatum ex il-

3. S

lis hyperbolicis spatiis, idest νη Corali. pro . prsceri ipsum spatium ADGE ordinatis rationis duplae in hyperbola primaria interiectum seriei in titulo propositae. Quod &c.

COROLLARIUM QUoniam Quaelibet Hyperbolica spatia

ordinatis ad alteram asymptoton interiecta sunt inter se ut rationes extrema rum ordinatarum, ut ostendimus in Hug nianis cap. 6 n. 3. Cognita ratione ordinaritarum , quibus interiacent hyperbolicita spatia, cognostetur eorum proportio ad spatium interiectum ordinatis rationis duplae , quare data in praecedenti propositione hujus dimenso per infinitam seriem ratationalem , que ejusdem Valorem quantum-

69쪽

vis acu ratum determinat, inserviet etiam pro simili dimensione quorumvis propositorum spatiorum ab hyperbola resectorum.

HAEc ad quadraturam Hyperbolae per

Infinitas Hyperbolas quadrabiles perti nent; superest ut idem per infinitas Parabolas assequi tentemus, id quod multo adhuc facilius et expediti Us obtinebimus . Nam hoc , ut praefati sumus, nobis olim palmarium fuerat, cum sese ut peregrinam menti nostre haec Veritas obtulisset, i quam demum inter Geometriς Lares olim receptam depre-- hendimus; sed sive novam , sive antiquam horum mathematicorum reces suum incolam, sic illam nos ador

namus.

70쪽

PROPOSITIO XIII.

H Derbola A B inter asymptotos MCD existente, quibus sint parallela AED, BEFconmenientes in E , conjuncta mero ad centrum

O G E sumatur tertia Voportionalis Ε Η quarta E I, atque ita deinceps in infinitum. Aro, lineam F B aquari omnibus illis , nitis terminis E F , EG, E H, E IO c. Ompletis enim parallelogrammis DAM, FB L aequalibus per i 2. 2. Conis. erit

F C ad C M, seu F G ad M A, vel F E, ut eadem M A, vel F E ad F B , quia ergo F Best tertia proportionalis post FG primam

differentiam proportionalium terminorum, et F E primum terminum, erit ex prop. i. F B aequalis onnibus simul praedictis terin minis. Quod erat&c.

PROPOSITIO XIV.