장음표시 사용
171쪽
ii. quae estu latifulii, rectangulus, cuius hvpotentisae alterutru latus si 'D
cubus co fiat. Si multiplicemus quod quaerituri duob. N, ut in praecedente quaeretridus e si numerus quadratus, cuius duplu sit cubus. Eius quadrati latus erit r. Ringimus igitur triangula ab iN & 2. Et fit ii militer hypotenus a i . latersi reliquoris alterii alterii i Q - . Restat ut latus hypotcnusae alterutro adscito cubum proe stet. Sed cu ad primas positiones redierimus, inuenimus i inninus esse quam ,
maius quam r. minus est unitatib.duabus. dc eo redacti sumus, ut quaerere Oporteat cubum minore quam 4, maiore quam duo. is est a . & sit ita ta aequalis num crus' a .st numerus ii. Ergo hypotentisa erit 377. laterum alterum 131, alteru 3 b dc per 6 erit triangulum contentum lateribus 377,i31, 31 a.dc constati
Id quod oti imile I in explicatione tisius quae Ois nutilatῶ eri es reliqua uitiata piationusta. Positis trianguli late bus 'r α -- , hypotenus 1 experiamur qui ac Pus aB ordine erit utendῶ 8 Maddatur latus δ', ad hypotru am 1 t et quadratus t
sito aequalis in integris eis nultas. At, qui eas ei cta ij multifarii. Nane insta iis quidentia inuenies cubῶ qui duplus alicuius quadratis o hypostam tuas esse oportet, q
s tuli esto, sum. nias. yr, turba suis quae re relatur et hypotenus ea altero latera co-
ii l. Inueniatur triangulu rectagulu. ut areae eius numerus dato numero auctus co-ficiat quadratu Addedus sit s. dc triagulii costituatur specie hac, lateris 3 N, 4 N Fit area cus, 6 QIs, quod aequatur quadrato.Siti N, O, &1 similib. auferatur similia, supersunt 3 me quales 3.& oportet specie ad specie ratione habere quadrati numeri ad quadratu numerusta oportebit etiamultitudine ad multitudine. Est ergo eo peruetu,ut inueniendii sit triangulu rectangulii, & quadratus numerus, qui dotracto numero areae eius trianguli praestet quinq; quadratos. Cia datus numeruisit ,fingamus uni i N&fit areae numerus i Quit quadrati lariis a N, dc tot numeri quantu est dupludati nurneri nepeio N. fit quadratus I Qtio ora 8. Hoc quintuplic - η mus,5c areae numerum s auferamus supersunt tot Q 'O. Haec quinquies, sunt o F QI I9o,quadratus.&omnia i fiuntioo sos aequales quadrato lateri Sao N t s. unde inuenitur iN esse et . Ad propoli ta. Multiplicabitur ergo triangulus az & s latus aut quadrati a 63. Si igitur rectangulu statuamus in numeris, dc arca eius is cum s faciemus i λα8, 169. dc reliqua nobis erunt manifestas V. Inueniendii est triangulu rectangulu, ut numerus arcae, sublato eo qui datur, relinquat quadratu. Datur aut 6. & statuas triangulu d tu specie dc ob hypothesin som 6. numerus quadratus esto N mo. Et rursus res co deducitur, ut inueniendrisit triangulu rectangulu,& quadratus numerus, ut si ab area tollatur quadratus, rQ-liqua sexies stamia sint quadrata. Fingamus rursus triangulum ab iN S i. dc quadrati latus sit i N.dc erit semissis multitudinis dati numeri, hoc est 3Nt 3 Q io QSunae ire quadratus.hoc sexies fit 35 -6o aequale quadrato, cuius latus o N 2 unde inuenitur i N.8. Fingitur ergo triangulus ab s, dc fit. quadrati autem 37. dccii inueniam triangulum, constituo in numeris, secutus ii propositionem, inuemam
172쪽
LiBER Vnnumerum rationalem dc constat. v . Inuenire triangulum, cuius areae num crus a dato subtractus, relinquat quadritum. Datus sit io.& rursus statuatur triangulum a N i N 3. fiunt to 6 Q quales quadrato. Et si faciamus N QSuadratis, rursum codeucia tucst, ut inueniri debeat triangulum rectangula dc quadratus numerus, ut quadratus areae auctus numero, decem quadratos faciet. Fingatur quadratum ab i N dcl. latus autem quadrati i N. S 6 dc s. dc fit copositus ex arca dc 26 Q t i O. haec decies, fiunt aso Qtioo. dc quadrans horum 63 QI 23 aequatur quadrato lateris 3 N t 8. unde inuenituri N cues. ad potita perge,& inuenies ut in praecedentibus. vi. lnveniatur triangulum rectangulum, ut areae cum uno laterum quae rectum faciunt angulum datum numern faciati sit datus 7. Sit rursus triangulus datus spe ciea M, N,s N. fiunt 6 Q t 3 N aequale 7. Oportubat autem semisse unitatum es in
se ducto additis ramitatibus facere quadratiani id autem non fit. Oportebit ergo inuenire triangulum rectangulum, ut qui fit a semissi lateris circa rectum unius ad scitis de are faciat quadratum. Esto latcrum, i N. qui in altero, i dc fiunt N 3.3 t . omnia quater fiunt I N aequales quadrat O.Vtq; ctiam triang0lum rectangulum rationalibus lateribus constituamus oportet N P t esse quadratum. Excessus siti Q i3 N. dimensio N secundum i N-i . dimidium excessus in se fiunt 30 aequales minori. dc siti N,a Ad posita. POno unum latus trianguli et . alterum LOmnia septies.st unum et ,alterum .d hypot clausa rue. Fit area cum duobus lateribus,s N, haec aequantur . Ergo IN inuenituro, , 23, d manes. v ii. Inuenire triangulum rectangulum, cuius ab arca ii auseratur unum latus reactii in angulum facientium, relinquatur datus numerus. Is sit r. Rursum si triangulustinianuis data specie,rcs co demittitur, ut quaeri oporicat triangulii rectangulu ut lateris unius semisse in seipsum ducto, adiecto ci quod si , dc arca, quadratus cxii- stat Et inuentus est 7.a .r,. Pono itaque in Numeris, dc area deriacto uno lateru filii Q i7 N. aequalia r. fit iN s. ad positiones. ita. Inuenire triangulu rectangula, ut arca ambob. laterib. quae sunt circa recta angulum adsumtis, datum coiiciat numerum. atq; hic esto 6. Rursum statuatur triangulum datum in specie, Sc rursum eo deuoluitur res, ut inueniendum sit triangulum rectangulum, ut summae laterum circa rectum in se multiplicatus semissis cum
senario areae faciat quadratum. Ponamus denuo latus alterum i Salterum i. fit ut
quaeramus ir Ni aequalia quadrato omnia qu ter fi Ni , equalia i 6. Omnium quadrato.&I iaequalis. excessus I N, mensura a N per 7. huius excessus semissis siti irit 7 N, quod aequaturi i. iiii N, 3. Erit crgo triangulum O,l. 3. dco milia per 28. fit triangulu N,28 N, 13 N. dc fit area cu summa duoru istorsi laterum 63o clari Naequale 6.ac Numerus exsistit rationalis. ad proposita. I V. Inueniatur triangulii rectangulu,cuius ab area si duo rei lateru quς rectu fac sit
angula auferatur summa datu numeru exhibeat. is aut sit o. Rursus statuemus triangula qui quae litur datu specie. Fit ut quaerendii sit triangulii rectangulsi, ut summae dicto ru late tu semissi in se ducto ei quod fit si 6 adimas arcae quadratu fiat. Hoc iam
ante est demonstratum dc cstas. 1.13 Pono itaq; latera in Numeris fiunt rursus 63o -73 N aequalia 6. unde inuenitur iN,6.Iam ad posita hoc accommodemus. N. Inueniamus triangulum rectangulii cuius area latere altero dc hypotcnufa ad sumtis, numers propolitia exhibeat. Detur . Rursus triangulu illud statuemus da tu in specie. Requirit sinde, ut trianguli 4 excogitemus rectangulu, cuius are A quadruplii ad summa hypotenus ae dc alterius lateris si adiungatur, huius collecti semicasis in se ductus, quadratu colica it. Est aut demonstratii in latera esse 28. 3. 33. Haec Nnotata pono. fiunt 63o Q si aequalia ψ.stq; a N 6. ad positioncs, dccta l. lnvenito triangulum rectangulum, cuius areae si addatur hypotenus a dc laterum reliquorum unu .datum numersi summa repraesentet. Esto is . Rursum consti- tucinus triangulii illu dat si specie.& reliquu est, ut indagemus manguiu rectangu
tu cuius areae quadruplii ad sumniam dictorum laterii si ad ij cias. semissis collecti iii
173쪽
Nti-i Q.& fit, timerus . s. Fingitur ergo triangulus a u. & omnia quinquies fingentur.Rursum tertiit una sal. lectio, ab) 2 dc s. dc sumens minore similium porio eum in Numeris. fiuntas N, s N, 3 N. fiunt area cu summa lateru dictorii 63o a si aequale .dc iN fit .ad posita. ΣΩ. Inuenire trianguli a rectangulu, ut & qui est in primo ipsum latius sit qtia ira tu; dc praeterea qui est areae, cu minore latere faciat quadratu. Fingatur triangulus 12 N. dc supponatur maius latus factu ex duplo eius, quem ipsi multiplicato uno in alterii componiit. Oportet ergo inuenire duos numeros,quorum multiplicatione qui coponitu semissis sit quadrati: dccxcestiis dupli huius scinistis, supra excelsim quadratorii qui ab iis sui, faciat quadratu. Hoc au i in quibusvis duobus numeris. si maior sit minoris duplus. Restat ut quaeranius arcam trianguli, cu minore laterii facit quadratium. Fit aut arca huius, , a QM sui fit a numero. Itaq; et ipsum latus ex tribus eu qui fit a minore quadratu. Et omnia per quadram a minore. Quatenus ergo numerii alique, ita ut cita quadrati qui ab ijs fiunt cu tribus unitatibus faciant quadratii. Est aut unitas,dcalij infiniti numeri. Ergo triangulus quem quaerimus, e fingetur ab i Jc 2. tam. Datis duo b. numeris, quoru summa quadratu conficit: infiniti inuenientur quadrati, quorsi quilibet multiplicatus in alterum, altero ad productu adiecto qua dratu constet. Numeri sunto c 6. dc inueniendus sit quadratus, qui per a multiplicetur, prodachiamq; 6 augeatur, atq: ita quadratus fiat. Sit quadratus ille i Qt i N ta. fiunt multiplicatione, & 6 additisὶ 3 Qt 6N 9 aequales quadrat O. hui iisq; ibi iitiones sunt infinitae, quia unitates habent latus quadratu. Aequetur sanE quadrato latcris 3 3 N: fit iN, . latus ergo quadrati erit s. sed dc alii innumeri inuenietur. xl ii I. Inueniatur triangulei rectangulum, cuius area si augeatur utroq; laterum, sat quadratus. Statuatur triangulii datu in species N,ia Ndi N,fiunt i ia Naequales quadrato. N io N aequales quadrato. de aequetur Quadrato 3 o. fit i N, i. dccii mi ta sit et, oportebit ut etia istis N sit quadratus. at non cst. Itaqi eo compcllimur, ut opus sit inueniri quadratu qucndam, qui detractis 3o,dc residuo peria diuiso quotientem edat, qui in seipsum ducatur: S ita 3o sumtus, ubi adieccrix sibi iiii- incrum qui fit ab inuento numero, faciat quadrariam. Esto qui quaeritiar ut iaciat quadratum. i d numerus ir denominatione partis i Q 3. Quadratus sati dcnominatione partis .i So.itaec tricies cia quintate suo fiunt 6o Vt 3ro sub denominatione partis i 9 6o sc est pars quadratus. Oportebit inso6o Qt ars 6o cise quadratum . hii autem 6o ex quadrato quodam cum qui potentia sexagies factum, dc auctum unitatibus arsos,& facientem quadratu. Si igitur minorem ipsi rectangulo constituamus Go cum arsor facientem quadratu, soluimus quae titia. Fit autem 6o ex eo quod fit ex laterib circa rectit . uno in alterum ducto. At 223os e solido continetur. Ex maiore continentium angulum dc alterius excessu de arca. Eoq; redit res, ut quaercndum sit triangulii rectangulu, ut qui fit ex laterib. r ctum facientibus, adscito solido qui componitur cx maiore laterum, horia interuallo,& area faciat quadratum. Quod si constituamus maius latus quadratu numerii. Omnia ad id comparabimus. quaeremus minus latus, cu eo quod facit ipse ductus in laterii interuallu, quadratu. Relinquitur, ut inueniamus duos numeros, areaed interualli lateria, Sc quaeramus quadratu, qui in unu datu multiplicatus quadratum faciat Haec aut lemmata supra sunt demonstrata. 5 est rectangulum a. Q . Statuo iain Numeris , fit a: ut quaeramus 6 N aequales quadrato. dc 6 aequales quadrato.& ruristim si remittamus maiorem aequalitatem, fili N, in i .. ergo Quadratus fit 16 in unitatib. in t 36-ia Q Erit cinoo Q t 3 N. iii Π a denominatione partis i Q m 3o a V . 24 debent quadratum . qui saepe innii nore datum adsciscens numerum maiorem facit quadratum. Est aut cm 23.crgo i stas. ergo i Nerit s. Quaerentes igitur 6 Naeqitare, facimus aequales Quadratos 21. defitiatim crus datus. Erit ergo triangulum tr. 16 2 o. dc constar Inuenire triangulum, ut areae eius numerus detracta laterii summa quadrati a relinquat
174쪽
L a B E R Vr. I stelinquat. Riursum si constituamus. id datu in specie, ut in praecedente, eo rediit res, ut quaeri oporteat triangulii rectangulu simile huic, 3, ,3. Ponatur in Numeris, 3 N,4 N,s N. 5 6 Q - N aequantur quadrato. Et statuamus hunc minorem quam o di ueniti N .sub ratione partis interualli quod est inter quadratum quendam de si istatuamus quadratu i fit tanto exstante Numero 6 QN 3N facit aequalia quadrato. Et 6 in so quide sub ratione partis i 36 -ia interualli aut fit ir sub ra tione partis 6 'i inhoccst 2 ia Q ciuitae partis lub nomine. Quae si tolla mus a 36 sub eiusde partis ratione supersunt i a Q denominatae a parte i Q Qt 36 ir Q .dc pars est quadratus e go citata ut a aequatur quadrato.& iN,esta Statuo 6 - - N aequalia i Q iii N .latera ergo cius qui quaeritur trianguli crunt ir,i6, unitates .dc si nolis uti unitate, statue minorii Ni i.itaq; 3 Qt o ualeb ut 3 into Ni 0, eaq; aequalia quadrato facere in procliui est. Et inuenietur N no maior quam is, . autem, muri crus a Ni I. Erit itaq; iN non tantum 22. dc eius quadratus sublatus ac rationalem relinquit numerum. N V. Inueniatur triangulia rectangulis, ut numerus areae ta hypotentata quam alte
rius lateris numero subtracto, quadratu relinquat. Sit triangulia datum specie,3 N, N. N. Rursum quaeredii est 6 in N aequalia quadrato.& 6 Q 3 aequalia quadrato Hcic quidem iN fit 3 sub ratione partis o-i Q atq; hoc inueto, 6 miunt sub rationc partis i Q us 36-ia in Et oporteta sub ratione partis I Q Qt 36-ia
ei ut crgo uo i, Q denominatae ab ea de parte dc reliqua aequalia facere quadrato. restant autem is Q 36 Q ub ratione partis I I o -ia Q. aequalia quadrato. Pars aut cit quadratus.ergo etiar ψ-36 quadrato aequatur. atq; haec quide
impossibilis est aequatio: quia is in duos diuiditur quadratos. No omnino aut impossibile est quod initio erat .ppositu. Oportet igitur determinare de quadrato. Fa- . dii sunt enim is ine quoda quadnato minore, quam quod fit area multiplicata in hypotenusam &unulateria. at 36 quae desunt cx solido que coponunt arca, unu latus,& interuallum inter hoc de hypotenustam.EO itaq; deducta est res, ut prius oporteat
inueniri triangulu rectangulu, dc quadratu numeria minore arcae numero, ut quadratus multiplicatus multa in hypotenusam dc una laterii, solidas cotenti ex area dc
dicto latere. 5 excessu hypotenulae supra illud latus iactu esse ex duplo eoru qui fit ex ipsis. Omnia cG paremus cit interuallo dicto . Rursus quaeremus altu quadratum
multa in hypotenuitam Munia lateria, areae in prim 1 latcrii excelsus quadratum. Et si statuamus eos qui triangula ei ingui similes esse plano: dii luemus quςstione. Fingatur triangulus a &I. Quadratus aut ut minor sit numero arcae, cito 36, trianeu-lii uero emctu in Numeris italuo 8 N.is Nir N.&sit numerus areae, abiecto uno lateru. 6o Q 8 N. haec aequat I 6 Git I K3. ad posita fit triangulus 3,is,i ,δ costat. N v i. Si detur duo numeri, dc in alterii eoru ducatur quadratus,alteroq; de a ducto subtracto relinquatur quadratus inuenter etia alius maior quadratus, cli ante sumtus fuerat qui hoc ide praes cLSint numeri 3 dc ii. Et primum quadratus aliquis, ut pote rue multiplicet in 3.1 rducto subducatur It,relinquitur 6 , quadratus lateris s. Quaeremus altu quadratu,qmaior sit quam 23, dc tamen ide postit. Latus eius cstoiN t s. huius quadratus i Qt io Ni r . Huius triplu, demto it, 3 Q3 3o Ni 6 ςquetur quadrato. sit huius latus 8-r N. Fit ι N, 6 r. ergo latus cst 67. quadratus 80. qui
postulata facit. XYLANDRI. Erant CT haec deprauata,ur uides, in Graeco, ita tame ut corrigi sint de nostra uersione. laus si orema no iniucundusiae problema malis dicere. Exempta quium uoles, sabebis :ρ-- per 'umero ter quadratum multiplicato, cst deproducto abiectis tot unitatibus, quibusiati 'adratumsuperas, v numerum, qui aber datorum sitiontra uis. N vil. Inueniamus triangulu rectangulu, ut areae eius numerus ta hypotentataci idem tum is. alterius lateris numero detracto relinquat quadratii. Hoc triangulu si statuamus datu specie.rursum cogimur dcterminare,d quaerere triangulu rectangulu, atq; numeIu quadratu. mal ore areae numero . ut quadratus in hypotentisam multiplicatus dcunti latus quaesiti rectaguli soli di qui cotines area dicio latere dc excessu hypotenusae super istud,quadrati m. Fingat itaq; triangulus ab dcr. quadratus aut 36. dc nonii est
175쪽
i 6 DIO PHANTI ARITHMI Tic Esest maior numero areae. Habent igit duos numeros, maiore qui fit ex interuallo Sciuno lateru:hoc es 36.reliquia utiq; qui continet solidus ab arca dc uno latere, dc in--Quae teruallo ia nucupato, 32 O. Quadoismi r quadratus aliquis, imitatu 36, multiplicata s p tus in i 33, & multatus hoc. 32 o. quadratu facit: quaerimus aut quadratu maius e fleu 36. si ergo statuamus i ut i a N 136,& subsequamur ante demonstrata demonstratione inueniemus infinitos quadratos qui satisfaciunt quaestioni. q uorum unus sico 6. Ponamus igitur triangulum s N,i7 N. fiunt 6O Qt s N aequales o 6. in fit i N, 7. ad positiones. o. .Eucl. π ii π. Inueniendu est triagulu rectangulti,ut acutis eius angulis in aequalia dicet Gsis, numerus angulu secatis sit rationalis. Sit quae angulis in aequales diuidit paries.s N. una aut sectio balis 3 N; ergo cathctus erit N. Statuatur crgo balis initio iunita unita tu quotlibet,dummodo triens eius numeri haberi possit. Ac sit a. itaq; eigore liqua sectio basis,3 3 N. Sed quonia angulus in duos semisses cui tectus. & cathe tus ad abscisiam parte est sesquitertia etia hypotenuia ad reliquia basis eritiesquitertia&statutu cli rcliquia segmentiam 3 3 N. ergo hypotenuia N. Reilat ut
huius quadratus,ncmpe 16 16-32 Naequet latcru quadratis,u let cci io Q.t 9. Fit ιN, .l cliqua sunt cui delia. Et si omnia per 32 reducam criti anc cat eius a S, La sis uo. hypotcnusato O.& quae angulum secat,31.
indabiIE. γ i Σ. lnvcniamus triata gulsi recta gulis, ut arcae numerus cu hvpotenus ae numero faciat quadratu. circui crentia aut eius Octo cubos. Sit arca i N.hypo tenui a numerus
quadratus, priuatus 1 N.& sit i5-i N. Et cu positicii inus arcal N:crgo qui fit ex laterib circarcctu, fit a N. At a N cotinent sit, ita dia. Ergo si alteiu lateria istatuasi N.
drato dc unitatib. duabus. lnueto opus est itaq; aliquo quadrato, qui binario adic-cio cubus fiat. Statuat latus quadrati iNti. dc cubi latus 1 N -i fit quadratus i Q. 2 N ii.cubus aut ιο N-3 int r. Volo aut cubia quadrato praestare unitatib. 2.ergo quadratus cia binario hoc est i Q l a Ni 3 aequatur ic ti N. unde a N inuenit . Erit
crgo latus quadrati,s.cubi A. Sc quadratus as,cubus 27.Trans inuto itaq; rectangulta,& areana eius pono IN, hypotcnufam a1-i: manet citam batis r. cathetus a N. Restat ut hypor clausae quadratus aequetur quadratis icti quorum laterum. Fit ι O oas --,o,quod aequet i . Ergor Nest 23ι. ad positiones.& constat. NX. Inuciarre triangulia rectangula,cuius arcae si h poteritica addat fatoibus.ci cui eretia aut quadrato exprimat num cro.Si aut,perinde ut in praecedete, areae coris ituamus i N,hypo tenus ae numeru alique cubicu-ι N, c O ueni tur, ut quaestio sit, ecquis cubus binario auctus fiat quadratus. Statuatur cubi latus iN - I. fit cubus t
proinde crit ui3. Ponorursum aream IN. hypotenulam vi 3 N. sed & halui Labemus a. cathctu IN. Et si squcinus hypotcnuis quadratum cu reliquorum quadratis latcrum, rationalem de praehcndemus numerum. Atal. Inueniatur rcciangulu triangulum, cuius areae numero lateris numerus adi eius,coficiat quadratu: dc circui crentiae numerus sit cubus. Statuamus rectanguluab aliquo numero indefinito impare. sit a Nii. Erit ergo cathctus a N i. satis a Qt. a N.hypo tenusa a QI a N 1 LRestat ut circuseretia sit cubus. δc arca cu .utero laterufaciat quadratu. Fit circuserentia to Nia Q aequalis cubo. Et si copositus numerus. cotinet enim ab N & r,oc a N atq; i. Si ergo singula latera partiamur per i Ni i, habebimus circi, screntia eoru Ni 2. sitq; cubus Restat ut area cu altero lateria, saciat quadrato.Est asit arcae numerus a C t Qt i N, sub ratioc partis i in a t i , si faciamus haec duo ab eade parte fui a Cliot Nii denominata 1 parte a Nii. de habemus comunem parte i a N t i, ita ut duo haec coposita faciat a Nil aeqriale quadrato. Quςrcbamus aut etiam Nia ςquales cubo. Et res in eo lita est, ut inueniamus cubum quadrati duplum. Est autem a respectu . Esto Ni a t 3, Ssiti N,
απι i. inuenire iri 1gulii rechagula cuius ares numero si addat alteri lateris numerus:fiat cubus.sed & circui cretia cubus numer notet. Si rursus eo tu utamur ductu,
176쪽
quo in praecedente id tandem postulabitur,ut Nia equemus quadrato. & a Niraequantur a C fit ut quaeramus quadratum aequale duobus cubis.sunt i 6 dc 8. dcrur sum aequanaus 6t Ni a.dcfit Numerus 3 . Erit adhuc reclangulum i 3. 63. 61.m Nili. Inueniatur triagulla rectangulti,cuius arca numero exprimat quadrato, &si ei adiiciat numerus areae fiat quadratus. Fingamus triangulis ab iN t i. set unu la
tersi a N alteru i di ι hypotenuita aut i Qamponte hoc nobis. ut quaeramus aequali
ΣN,coficere quadratu facile est. Nasi binariti diuiseris in quadratu, diuidente ginario,inuenies Nessei. Oportet aut tale inueniri, uti ipsius cubus 5 semissis, quadra tos ab ipsis dc ipsam summa faciat cubii. Est ergo i N cx binario diuiso in i in . fit cubus,s. denominatione partis ab id a. & duo ab ijs quadrati sunt 8, sub ratio e partis ab I Q - . quadratus. Ipse aut a, sub ratione partis i Q --Σ. & omnia habet eande partis denominatione. fiunt et sub denominata parte ab iQ-r. C deest pars cubica. Esto I aequalet C. dc Omnia ad cubii, sunt a N aequalcs Et si con stituamus aequalia unitatibus cubicis,inuente i N csse cubi alicuius semistis. Esto cubus unitatu 8.Fit crgo semissis citis quadratus. fit 0. dc oportet hinc tollere unitate.quadoquide altera laterii est i Q t. Et res eo deducit, ut inueniri opus sit cubii, ut quadras quadrati qui ab eo fit, maior sit u a minor quaternario. I t si ponamus CC, r. quaeremus CC maiores qui de xla,minores aut ii 4. Ergo cubus maior est 58, minor aut a Io. Est aut Ia 9. Ergo cubus 27 Sar. Statuo itaq; 2 N aequales a .5 fit 1 N,e .s in a . Et si binariu diuidamus in cum qui hoc minor est unitate inuenie- imis Num eruenesia. Sc habemus in quadrato qui ab co sit quadrato utiq; unitate.
N Niv. Inueniae triangulus rectagulus, cuius areς numerus sit cubus. Ec adscito numero arcae, faciat quadratu. Primum ci cuspicere oportet duos datos numeros in uenire triangulu rectangulu, ut circui crentia quide aequer dato numero. Arca ausi alteri. Sint duo numeri,ia Scr. dc imperatu, quoru ille circuserenti hic aream signi
ficet. Ergo que coponunt multiplica do latera rectu includetia erit i .esto si consti tuamus latus i N erit alterii i N. At circui crentia cil ir. Ergo hypotenti a erit ia N. dc quatuor quod est ab corii qui ab ipso quadratorii, sicut esti Q. 1 6 Q t i 2 a N 336. aequare ijs qui fiunt in circa rectu angulti quadrators hoc est uni a. Quadratis 106. Defectus comuniter addatur, Sc a similibus similia. dc omnia adnumeros. fit tro: ipse N,a QI336. Et iasi undequa a. postibile est nisi dimiditi Numeroru in seipsum detractis Quadratis, in unitates s ductu: faciat quadratu Et sunt numeri q uide ex eo qae sit E cita erentia dc qu latero ut est in area. Quadrata
aut in unitates ex co qae fit octies a circui crentia in abca Adeo ut huiusmodi dentur numeri. Ac sit sane numerus areς i N. circumseretiς autem numerus simul Sc ctibus
dc quadratus nimiru 6 . Atq; ut costituat triangulu: Oportet quadrati, qui fit a 6 ite ii 4 Numeroru semisse capto inde auferre Octuplu circui rentiae, ut i ad 1 N ac qae reliqua est,qu rerecquale quadrato. Fiut 1 isl lao Io -22 76.5 omnia quadras. fiunt tin tro 76 6a N equalia quadrato. Porro aut dc N t 6 cquatur quadrato. Et cxequens Numeri,dc excessus, dc dimesio. dc reliqua sunt in pro tu. πα v. Inuenire triangula rectangulo, ut qui sit ab livpotenus a quadratus sit alias quadrilaterus regularis. dc So.diuisus p unu lateru, faciat cubu d: latus. Vna latus statuat i N. alterii 1 mdc manet u fit ab hypotenusa, ut latere quadrati. Restat ut I O . aequemus quadrato. Diuisis omnibus per insiti r N squalis quadrato, cuius a
tUS lit IN-2. Ergo i N fit 3. de reliqua sunt manifesta. ON X U I. Inuenire triangula rectangula, ut unius lateris numerus sit cubicus altera cubus extra latus. hypotentisa aut cubus Sc latus. Esto hypotentisa 1 C ti N. latem alterui C-i N.reliqud ergo latus erita cstatuta Q quemus t C. isq; sit unitas.
i SI ab ternario numeri progrediantur semper unitate, praecedente superate po-n a steriore.
177쪽
i s DIO PHANTI Dr NVM. MULTA Nir. steriore numere fiunt polygoi siue mult2guli. dc tot qui': habet angulos, quot constat ipse unitatibus latusq; eius est proximus ab unitate numerus, puta a. Est aute itriangulus, quadragulus quadratus, quinquagulus: di sic deinceps. Cum aut aequadratis euides sit, ita eos costitui, qae nascatur numeri alicuius in seipsum multi plicatione: ibatu est que uis multagulia multiplicatu aliquo numero lecudu .ppo tione laterii anguli eius, & adsumente quadratu quenda si iuxta proportione mur titudinis anguloru eius uideri quadratu. Atq; 'hoc nos demostrabimus, oste dentesqso dato latere inueniat qui poscit multagulus : dc quo pacto dati multaguli latus depraehendatur. Prius autem ea demonstrabimus quae ad hanc rem sumuntur. it. Si tres numeri sint pgrestionis arithmeticae, octuplia copositi ex maximo in me diu,addito minimi quadrato fit quadratus numerus:cuius latus ςquas copo lito ex maximo,& medij duplo. Sint tres numeri eo de interuallo se c6sequetes, a b b eae
Demostrandu eli id qS octies fit ab a b in b c & ruritim diuiditur quoq; corabis ria, ineu qui quater ab ab inc b, dcineu qui quater b c quadratu: hoc est qui quater ab e quadratus N incit quide qui quater ab ac c b,laoc est a quater a b c cd, aequa Iis fit ac huic cd. cst eo qui a d b,fit quadratus il ab a b. At b eu qui quater ab a c cis mixtus uni eoru et sunt quater a c b, facit cu q quater a b c di quaerit quo quadratus . ab a b dc qui quater ab ab b c & qui quater a b c copositi faciant quadratu. Si igitur ponamus ipsit,caequaleae, ii iiciemus cum siquater sub as i, si in eu q quater sub b a a e, et mixtus ei q quater a b c.hoc est quadrato a faciet squale quadruplo eius q ab b e e a,q mixtus quadrato ab a b fit aequalis ci qui a b e e a,u t quadrato ab una descripto lineae At b e ea aequans ab dc duobus e a, hoc es duo,
III. Si sint numeri quotcuq; arithmeticae progressionis interuallu maximi & minimi ea habet ratione, i terminorii numero unitate multato exprim t. Sint cin quor t' cunq; numeri,ab, b c, c d b c interuallis aequallibus. deni Ostiad hest interualla inter ab &b c multiplex esse interualli ab &bc, numero quilitarc minor sit Q tot enim lunt ab b c c vib QCiuri enim ii squalib. interuallis progrediantur ergo a c,c d, d c, sunt aequales. ergo e a ad ac multiplex est, iuxta numerii terminor u ac,c is,d e. at is unitate minor eii numero terminorii propositoru.ergo etia ea ad a c multiplex est numero unitate minore u propositoin est terminoru numerus Est autem a e interuallum maximi deminimi:&ac unicum interuallum.
mero jublato manet s. oportionis index. t iacem termini, f. LII. I . .ao.as . Lap. a Iu
178쪽
LIBER . I ur Mntes canonem mae Sr oris arithmeticae terminorem concis endae demonstram δε quo is actum essio si iiii quo leuti ii numeri progressionis arithmeticae,summa maximi 5 minimi multiplicata in numerii tern unorsi, duplum sui laniae omnium terminorum pro ducent numerum. Sint numeri eodem incremento progredientes quotcunq;. puta a b c. d. e. demonstrandum est summam a ductam in numerum lcrminorii a b, c,d e, cenicere duplum numerum summae Omnium istorum terminorum . Nume rus ergo terminoria aut par erit,aut impar, Esto priore loco pari & quot sunt termi
ni tot unitatib. constet numerus g h. Diuidatur in duas aequales partes in h.&gή si ui datur in suas unitates per l, m. Et quoniam quato maior est f q d. tanto & c qa: erago simul fa aequabitur iuncti sca at simul sa ςquatur quod sub utroq; fa & g ijergo etiam e d aequatur ijsde. Ob haec eadem etiae baequalis ambob. κ a & gh. Ergo etiaeoni possitus ex a b c d e faequatur ei qui sub ambob. s a & g k: at quod sub ambob. f. & st k duplus est qui sub ambobus fa dc g h. ergo etia copositi cx a b c d e s duplus est qui sub ambob. fa & g h hoc est numeri terminoria a b c d e f et suit demosti ad .
v. His ijsde positis,sint termini a b c d e numero terminoria impare, & numerus fg costet tot unitatib. quot sunt termini. Eritq; impa Ponarii r in eo unitas ad fit. Ecg hsecetur bifariam in k, diuidaturilli h in suas unitates in L Et quoniam quo e sua peratur ab e, codena a a c iuncti ergo e a dupli sunt ad si hoc est ad id quod sub e 5ec k. Ob eadem scilicet etiam iuncti b d duplus ad id quod iiii, c & I & h. ergo a e b d dupli sunt eius qui sub c dc lik. At gh duplus est ad li k: itaq; etiam ac b d aequales sunt ei qui sub c dc Λ g Est aut etiam e ae i talis ei qui sub c dc h fitaqi coposituς ex ab e d e aequalis ei qui sub c dc fg. At huius duplus est compositus ex iunctis a e dc fg. ita ii etiam coniuncti ex a b c d e duplus erit qui sub ambobus a e dc fg, hoc est naultitudine expositorum. quod fuit demonstrandum. v i. Si sint ab unitate quotquot numeri eode interuallo sese cose audies: sium ma omni ii multiplicata in octuptu interualli, si Iducto adiiciatur quadratus numeri qab interuallo duab. superatur unitatib. quadratus numerus exsistit cuius latus binario multatu. multiplex erit ad in teruallu, totiesq; id cottinebit, ut si rationis numero unitas adiiciatur, numerus fiat duplus ad numerii terminorii, unitate etia in iis mi
merata. Sint enim ab unitate numeri eo de interuallo progredientes a b c d e fidico id fieri quod est propoli tum. Quot enim sunt progressionis termini, tu unitatia, tot unitatib. costet numerus g h. Et quonia interuallu a b multiplex est iuxta unitate minore ipso gh:si ergo ponamus unii quenq; a cc m. habebimus t fad k b multipli cem ratione numeri ni h. itaq; l faequalis est ei qui nubkbiive. Et ii ponam us kn κqui est eoru interuallum,quaeremus an summa multiplic ta in gi pios L b qui est in ieruallu ipsoru dc adscito a fit ab nb q sit binario minor interuallo, fiat quadratus cuius latus binario multa tisi. numerum exhibea qui ad interualla ipso i k b sit multiplex ratione numeri copositi ex ambob gh h na. Et quonia summa semissis est ei'.
qui sub ambob friel, dc ipso h g, atq; in eu qui sub lf gh.dc in eu qui bis sub el, gh, hoc est duos g h.rursum summa est eius qui sub l g h, dc duo gh. Atq l f aequalis de mostratus est ei qui sub kb,mh,hgsolido dc duo fg. Si ergo mediu diuidamus in liin o habebinimum ima omni u aequale ei qui fit ex Eb, gh,h o solido,dc uni gh. Qu remus itaq; an solidus qui fit ex k b g h li O cu g h multiplicatus in octo k b. de adsciscens quadratu ab ia b fiat quadratus. Verti solidus ex k b g h h o multiplicatus in . unia k b, facit eu qui sub g hin eu qui a b quadratu. itaq: ctia solidus ex k b gh homultiplicatus in octo k b, facit eu qui sub g h h o in octo quadratos 1 h b. hoc est ea qui octies sub gh h o in quadratu a kb, hoc est eum qui quadruplicatus est sub glili ira in eu qui a kb quadratu adsciscens g hin octo kb, dc porro quadratu ab n b, fit. quadratus. Atq g h multiplicatus in octo k b, facit eu qui octies sub g h h h. ergo ui sissim qui quadruplicatus est sub g h h m, in quadratu a x b,cu octies eo qui si Og K. v b, qui ab it l, quadratus fit quadratus. Diuiditur aut qui octies sub g h hb, in quadruplicatum sub gm k b, dc in quadruplicatu sub ambob. iunctis gli h in in quadratum a 2 b cu quadruplicato sub g in k b.& quadruplicatu sub ambo tres h li ni & k b. - α qui an b facit quadratu. At quadruplicatus sub g m kb aequalis est ei qui bis stib
179쪽
Iuo D Iopas ANTI DE NUM . MULTA Nain si h b, & mixtus ei qui a Lb, facit eos qui sunt a k b nb quadratos. Si ergo etiam quadruplicatus sub h g h m in quadratum a n& quadruplicatus sub ambobus gli h m&kb cum quadratis abh h g si quadratus. Rursus autem quadratus ab Liranscendit in quadratum g m ad quadratum a. b,&mixtus luc quadruplic
to sub g h li in in quadratum a ἡ b. Si ergo qui ab ambobus g h li in in b quadra
tum.&quadruplicatus sub ambobus gli lim& bcum' ἡ g fit quadratus.Si po namus ergo ei qui est sub utroci: ph&.b aequalem numeruo. erit etiam ' utrius ci: gh h in quadratus in quadratum E b ipsi ' ipsius no quadrato. quod deinde osteri detur. Si ergo qui in ipsorum o ia ni quadrati cum quadruplicato qui sub ambo bus gli lim&h b fit quadratus Muadruplicatus sub g h li in &ipsius b, aequalis quadruplicatus ipsius n or quandoquide S qui simul ei qui sub ambobus g h li m&h b numerus postus est ii o quatuor autem n o aequales ei quod bis sub non Lbinarius enim ponebatur ii . Si ergo i qui ipsorum no nἡ quadrari,cueoqubabis sub no ni faciunt quadratum.faciunt autem etiam ipsum huius os, cuius latatus o l multatu binario ne, numerum n o faci qui ipsis maior est . ad n b multiplex est ratione eius quod sub ambobus g h h m, qui adicita unitate ipsorum g m est totius expositae progressionis. Vii. Demonstratio eius, quod dilatum huc suerat. Sit ambobus gli h inaequa lisa.&baequetur b. ei autem quod sub ambobus gli hin&ἡ b, aequetur c. Dico quod etiam ' am ,orum g h h m, hoc est ipsius a in ipsius E b hoc est in ipsius b, . aequatur ei qui a c. Ponatur ipsius a b aequalis in recta qui sint d e e c&super eo de scribatur quadratum d e e l,& compleatur ' ut utique.ij autem sic ut sic d o . er go h medium pro portionale est inter quadratum d 2 se. ergo quod fit sub dii ita quadratis, aequale est .Et est hoc quidem quod ab ambobus gli lim. At so qua dratum aequale est ei quod a b, huic autem h s ciso.&quod ab ambobus iiiii ctis g h h in quadratum ductium in quadrati h b ipsius n o quadratorum.
rumperso fiunt It a . n meri binaria quam interea tam minor is est1.2 quadratus as -- duetur, ini ιιδ ρ qua ratin lateris ion a re a, restant i , in quo interuasi praecise inesso MMi. Aa quindecies. rct Is Iot tum n meri terminorum progres ionis seni enim ocIo. Habet se
Ioram zυ- abam octonarius 'Urietatem. a Plutarcho commemoratam, Platon quasi Π quod quemc. P ' triangulum numerum octo aris mul psices, productu, unitate ad tot quadraim
180쪽
ue ine liburi monere rudiores.
ii X. Cum sint quae proposuimus, pronunciamus: Si quotcunq; numeri ab unitate exponantur in progressione arithmetica, summa eorum multangulus erit numerus. tot enim ha bebit angulos, quot unitates numerus i merualli binario auctus latus a. eius erit nuna crus terminorum,unitate loco termini numerata. C in cnim ostenderimus sunt
mam omnium progressionis terminorum multiplicatam in b,octonarium δε ad scito de ii b quadratum facientem dc o LSed ctiam si aliam unitatem ponamusa o habebimus Eo binarium. Sc est autem etiam similit er etiam in binarius. erui era
medio b c sumens eum qui ' minimi bii quadratum facit quadratu latus habent compositum cx maximo p b.& duobus mediis, qui sunt l, E. Ergo etiam p b inulti plicabitur in octus luna de ἡ b.&adscito ' de n b quadratum aequalis coqui sit di bambobus, cium p b aequale p bipsorum b.& latus abiecto binario p k. relin luci triplum deli, qui tripli sunt ad , b, rationem metiente icrnario. At ternarius auctus duabus unitatibus, crit unitatis. Cum ergo si imma terminoris progressionis aucta unitate idem problema sqluat p b, isq; sit oblatus uici, inq; , & multangulus crit . unitas: quoniam unitas est ar .At b numerus cst ipse a b. dc habet latus binariu itam etiam summa totius progressionis numerorum, multangulus numerus est . tot habens latera, quantus est qui binario quidem ipsius p interualli eorum ipsum b,&latus habet ipsum g h qui est numerus terminorum, unitate etiam inter hos ccni a. Et demonstratum est, qu od ab Hypsicle in dcfinitione dicitur, Quod si numerorusit ab unitate progressioarithmctica quotcuquintervallum si ponatur unitas, summain fore triangulaesi binarius quadratu: Jli ternarius,quinquangulu: & angulorum multitudinem exprimi numero qui interuallum binario excedat latus aut esse numerum terminorum,no cxclusa ex horum censu unitate. Ita l. quando trianguli mmaiores exsistente intcruali 2 sunt,& latera ipsorum fiunt niaxurii exposi orti: S c.
ius qui sub maximo expositorum.& qui unitate cum excedat dupli sunt ad trian illum significatu. Et quonia i bcum sit tot anguli quot in ipso sunt unitates, multi pii catus in g eius minoris binario quam cst in teruulsi hoc est in g. erit ipsum h b ae cipient quadrato si ipse est minorem hoc est eum 8 ipsius ii b facit quadrata Ea erit definitio multagulorii, Qui uis triangulus multiplicatus pers binario minoris multitudine angulorum,& adsumes eum qui δ quaternario minoris multitudine triti, facit quaternarii a. Simul ergo demonstrata Hypsiclis definitione. & horum multanguloru: reliquum est ut demonstremus quo pacto ubi latus datur, is etiam multam gulus, qui requiritur, inueniri possit. Habentes enim latus dati alicuius multanguli g h,& numerum anguloru eius habemus etiam h b dator v. c proinde etia qui ubambobus, qui sunt gli in b habebimus datu qui aequalis est ipsi o. itaq; habebimus et i .im o datu, quando binatius est nkitaq; etiam 8 ipsum E f habebimus dam m.& si hinc subtrahamus ipsum ipsius ii b qui est quadratus habebimus etiam. reliquii datu .u iussiti multaguli est multiple ratione octu pla ipsius b. Erso iiiiiqniri potest multangulus qui quςritur. Similiter cita dato multangulo, inueni cmus latus eius ipsum gh.quod fuit demonstrandum. i N. Ad docendii accommodatius aut ostendemus hoc sis, qui prohate tiolut ait 'idire ea, quaequςrtitur per methodos. Latus enim multanguli acceptu sempeρgeminabimus: hinc auferemus unitatem.& reliquu multiplicabimus per numeria q: ibinario absit, initiori cilicet, a numero multitudinis ipso qii adrabo. ae qui fit. ci sem-