장음표시 사용
161쪽
ipa DIO PHANTI ARITHMETicrs quata gula ternario aucta quadratu exhiberet. Luxit o mur σ iam extas aharis A ed myMIm n miru atra re egit. quod quale set, uti linuestigare hceat. 'riam siquid ex ista aenam' in tres quadratos diuisiones imus exsculpere Ergo ν 6. tres sunt qua doti, summa eorum ro. lateras Isupra ρ ρ multiplicatos cIm erat so. σ inu tum, si Aa ἰ addiceretur, ore quadratum. Ergo ad eius nouentuplum. Asiae ad ciamus, qua
Quadratorum drasus it dem habebiturso . - - .m Scut a se faciunt coniuncti quadratum p. c ' i''si ' ' mers quadratos multiplicetur, uerbigrais eris. vase nassent, quorumhum 'me ' θ' do m. Item s er i sciantio quadratam Multiplica utrus' per mo, habes seo CT δῖ- , si ἡsumma Miso quadraturive 'II, habes a I σ 1 3, quorum summa rasto qua fatus. δε quo ιheoremate Musatis. It . ur minutiae uitentur, Dura sorum quadratorum quorum ivm Io, ingula autorperso multiplicauerit funt certe sto.ILa. . qui numeri unt in contextu cr es. Sed orsim pererment,aus quid bi,sians sanim uti ' Sane laurum summa orentii conducu. nes etiam es sosid 13a Curueia latera perso mulitiplicantur, numerum minime quadrarum' Summa o sum quadratorum debet erito hoc h et Sedes latin quod uel manum excedere debet, ita quidem, ut omnium excessuumseumma sit 1. de hoc quoque con-EM. oportebit ergo latus quo quamproxime ad ' Iaccedere. quod imum exploratum hab mu . .adratorum a lateribus ς'1La umma es ρωo,nongentempti adio qua summa esst
quadratorum debuisseunt autem yoo quadratus deso, qui numerus latera mulo ua erat. raserso muoiplicatum. At ys. ad quem numerum paret seri debere comparationem, πιν επι -- nimirum Ham Diophanteum. Hucescit etiam causa tata eryo mulriplicationis.Nam κλtare uoluit, ut monui, autor minuti. .itas hos numeros P.;.ι. omnes per so commune de nominatorem multiplicauit ut M.tra is numera inter primi exsisterent. Er pro παρα-
ti em explicari non puto esse, aut cur pro sto ponatur latus s-σ N. Itaque exitum re ut murmamus, nihilnobas si peditatur auxit' neque 'taret unproposita aiauationis ratis. Se amur nunc coniecturum nobis a duodecima huius ιμι tractationesuppia ratam. Lat sto, ly, a , quadrat ummam faciunt ρ o. latera dum adis accommodamus si quia, ita erunt instituenda, ur ab lurorum numerorum quadratu e summam aequanti-bm,ctinuenta aequatione abolentibus, inter N ct α rei quum aequario con Di , atque ita id 1 N sis ae praehenda r. Statuamus Dura ρο- t 37 PQ, a Isi interimposita ι esse 1. sic enim quod' fatus erit si. Horum laterum quadrari
Summa omnIum p o t 301 y D N, aequalis preo. Ergo additu detra di quae ratio rubet, aequatio constabit mrer siss Q ct 3 so hoc est, characIeribus ae re hss, ct numeras ad minimos reductu terminos, intre asy N CT asa. Ergo erit, , ν Equidem admolestis minutias res reddit. Sed animum despondere non es nostrum. Re ρί mus er o posisses tials Numeri potui. Is N sunt , qui a sto a ,
Horum quadrata ordine creponuntur uel
rumsumma plani ime est μω. nimirum ' Γὸ . Ergo analysi utamur. Hi singula tami uenta latera perso Huidamus, ira quadratorumsumma cruro. ct de quouis horum tern No subtracto,ρartes unitatis si si ostendent. Latera , quadrari Summa eorum utique Io. Denique auferamus de gulis quadratu ternarium, siue V, : i. relinquuntur ρartes unitatis
-- se , quarum sine artiumsiummam praecis esse unitatem , additio demons M. Habes ueram O exquisitam omnium huius problematis partium sol tionem
162쪽
matque ex Pationem, ex aeriam uerba Graeca corrigerepotui siem , si imitari uoluisse H eos, quisua uerbasi ponunt autoribus. uanto iabore me ex his di cui alibi expia aerim antimandum aequo es dii genti lectora retinquo. N v. Vnitas diuidenda est in tres numeros, addendusq; cuiuis corum alius atque alius datus numerus, ut summa quaelibet sit quadratus. sint autem dati, a, 3, . Rursum eo res rediit, ut denarium diuidam in tres qu adratos, quorum primus binarium, secundus ternarium, tertius quatuor superet. Ergo unitate in duas diuisa partes. & semisse singulis datorum addito, fit ut quaerendus sit quadratus unus maior quam a minor quina a l. alius maior quam 3, minor quam 3 q. denique a lius maior quam 4, minor quam coque Omnia deducuntur, utio ex duobus constatum quadratis, sub diuidam in alios duos, quorum alter maior sit quam 2, minor quam a . ab hoc si a abiiciamus, partem unitatis qu sitam primam ha be inius. Rursum alium quadratorum sub diuidam in duos, quorum alter maior
sit quam 3, minor quam 3 a quo item a si abiecerosecundam unitatis partem inuenero. Eadcm ctiam tertia inuenietur ratione. XYLANDRI.
Obscurum non est, in adde iamlertiam propositionem huius L se habeas hae ro filio, Putpraecedens is eiusdem duodecimam. Vides autem, quomodo res prope sit a se exto stas L Cern io disiditur in tres quadratos ρ, sed hi ad id quod hoc loco agitur. nihil ac sit,
ni primis ronte uidetur. Iam quod de semi ibus unitatis dicitur,non explicatur, nes ratio uenisus ertur usu. nes uestigia habemus quae consectemur. It . amplius. Nui. Datum numerum in tres quadratos diuidemus ut bini coniuncti quadratum conficiam. Sit is io. Quoniam de tribus qui quaeruntur numeris maior 3c medius cum tertio faciunt quadratum, itemq; medius cum tertio, oc tertius cum primo: Ergo tres illi bis sumti. cs faciunt quadratos, quorum quisque minor cst quaio. At tres hi bis sumti conficiunt ro. Diuidendus igitur est ro in tres quadratos, quorum quiuis minor sit denario. Iam et o e duobus componitur quadratis, i 6 & Dren ἱλὰ . . Et si de quaesitis unum ponamus η, oportebit I 6 diuid cre in duos quadratos, σιδε. quorum quiuis minor sit quam io. Didicimus autem datum quadratum diuidere
in duos quadratos.ut unus eorum maior quidem sit quam o, minor autem quam Io sunto ambo i6 unitares.Itaque diuisus sit in tres quadratos, quor si quilibet denario sit minor.& si unumquemq; auferamus a denario, inueniem iis reliquos, quorubini coniuncti quadratum faciant.
X vii. Datum numerum in quatuor numeros diuidemus, quorum terni con
iuncti quadratum faciat. Sit ille io. Quoniam qui a primo deinccps tres iuncti qua
dratum faciunt, itemque qui a secundo, qui itertio,quia quarto deinceps. sic uti que quatuor confiunt quadrati. Atqui sic fiunt 3 o. Ergo 3Odiuidendus est in duos quadratos, quorum uterque minor sit denario. Hoc autem sic inuenietur. si per ad aequalitatem statuo utrunque unitatum 7,& utrunque quadratorum austramus / re a denario, iiiii eniemus quaesitos.Sin autem, animaduc O3o componi i6, 0. , I. Ponemus dc 0. quando uterq; minor est quam io. Restat ut i diuidamus in duos quadratos, quorum uterque minor sit quam io. Si crgo i 6 diuidamus in duos quadratos, uti didicimus, quorum uterq; maior sit quam 3, minor quam io, erit titerque ipsbrum minor quina io. unde si utrunq; corum auferamus, reliquos depraehendemus de quaesitis alterum 6, alterum 1. itaq; soluta erit quaestio. π ii X. Tres numeri sunt inueniendi ut cubus summae eorum, quouis ipsorum adiecto cubus exsistat. Statuamus eam sumnaam i NI, quaesitos aut 7 C, C, 63 C. constat hoc, cubum sumniae cum quouis positorum iunctiam, cubum praestare. Reliquum est ut tres isti coniuncti, faciant in summa i N. atqui confiunt 96 C. ii cr-go aequantur 1 N: 5c depressione facta 06 inaequantur unitati. Vnitas quidem, quadratus est. ac si 06 item quadratus esset, soluta fuisset quaestio. Proinde quaero unde 96 ille numerus ortus fuerit. Nimirum summa is cst trium numerorum, quo rum quiuis auctus unitate,cubus fieret. Ita eo res redit, ut tres numeros inuenire iu
163쪽
hear, quorum quilibet unitate adscita cubus fiat: ea tamen lege, ut summa eorui numerorum sit numerus quadratu Ponatur latus primi cubi iNti, secudi AN-i, tertii r. Cubi fiunt i Ct 3 Qt 3 N,6 Qt s i C-is N &s Ab horum unoquo ouc abiicio i, dc pono primum de his q quaeruntur numeria i C t 3 ut 3 N. secundo t---i C-6 N tertium . Reliquum est ut summa corum tu quadratus numerus. Est autem ea s Q Is-9 N,quod aequatur quadrato lateris 3 N- . fili N,2. Erunt ergo quae ii ri 3 s. primus sue 7, & . Iam redeo ad id quod mitio erat propositum,&denuo summam statuo I N,&fiunt 37 O N.&alius is 38 primus 8s C tertins C.Rursus statuimus summam eorum i N. fiunt 37 o C aequales iN,& omnium decima quinta pars, ac charactcres per N deminuantur. fiunt a sui inaeo uales VI. adposita,&mancta YYLANDRi- Ipsa stastism Graecos turpiter deprauata. nedum reliqua sibi constent. 'propositione, quidem nos inter uertendum cauigauimus. cum autem cir elegans sit se μι ιυρ ob mi. O Iet id explicare. A esummam numerorumio orit autoriculus cubus sit i C cr i nu
obus huc nihil faciens. bus ad institui; π sru commodis, Mus, oingsis uenuautor vescierimo loco integeri corru sit huic ad ei Coras N itioso Q-ι - a N imma conficietur ρ rerum ister ut m habe Pam' ferat Non enim cuborum sum in unitate seminutorum cuborum summa quadrato aequari debet. addamus ergo haec, i Ct tr-IC-ta P ct 7.co cietur summa ρ in o N
sit ternario diuidis σε utimus quinarius numerator cubus a is orti , t ergo summa hoc 7 nam rursum communis mensura', quod item haraciarum tiara
rem . Mutilemus cuborum inuentorum quenque unitate, o latμ μ eoi et sis et V m
164쪽
Mus zizi, , --. Iam cubumsummae eorum ira inuentorum oportebiti Hem es t C, cum summasiti N. Addere ergo oportebit singulis, ut uideamus angar cu- ὸ ubis.Eu iam denominatoremtositionum communem, esse cubum cosset, natu ex mulsi ι- catione cubi ras incubum ors per quartam noni Euri Q. de numeratorib. agendum es siti eo init plicabimus,sya per syn, ut eadem denominat se m , se quaesitorum numero msat mel enim heic de comuni mensura cogitabit, qui natur numeram ct copendia nouis. Numerator cubi summa erit V Io . Cui addemus hypothesion numeratores,ssent aso, συρ, ima Amma,cubus,cuius latus Io ecunda Iana o . cubu laterisso . Tertia ri σή o, cubus lateris 1 o. Est ergost facIum huic P problemati, Pod cum se inter numerorum miracula merito referatur, negpostremum locum mereatur, eruendum, nes in eo ulgi parcendum labori ausupersidendum molestiae duxi. X ita. Inuenito tres numeros, ut cubus summae corum quouis ipsoru detracto,cubum relinquat. Statuatur summai N.ipsi rurissis C,26C,63 C superest ut aequentur coniunctii Numero.&fit so C aequalis i N. depresiisque characteribus so quantur 1. Eil aut i quadratus. Oportebat autem etiam numerum cui nota dest, esse quadratu. Vnde ergo is csi natusὶ quod a ternario subducti sunt tres cubi, quorum quilibet minor quam unitas. Inueniendi ergo sunt ucs cubi, quotu quiuis ab unitate superetur summa autem ipsoru , ternario sublata, relinquatur quadratum. α quia uoluinus cuborum quemq; minorem cscunitate si ergo statuamus tres illos numeros unitate minores, multo minores singuli crunt unitate itaq; quadratum,qui relinquetur, Oportebit maiorem esse quam est i Q atque hoc statuamus. Oportet igitur tria diuidere in cubos,& eorum multiplicia secundum quosdam cubos diuisos. Eilo autem secundum ri 6. Oportet igitur lor intres cubos diuidere. At i52 componitur excubo ι 23,&duorum cuborum interuallo. qui sunt 2 & 6 . Habemus uero in porismatis hoc, omnium duorum cuborum interuallum esse cubum. Recurramus ad propositum initio, & ponamus quem uis cuborum inuentorum summam autem I N. ita fiet ut ex tribus cubis conflatus, detracto ipsoru quolibet cubum relinquat. Restat ut tres illi aequentur i N. fiunt autem tres illi cubi a b quod aequatur cum i 'oc i N fit r. ad hypoliases.
io. Ego suia nihilistorum inteleo,nes uacat ut maximὶ liberet, peram ludere. Dpropos tumes tres numeros inuenis quorum summae cubus quo us i orum multatus, cubum relinquatrie F certὶ non poterunt tales poni, ales inspostasibus indicantur. nesiquens/robi mau, detur ostendere, heis id, quod diximus proponi, or uesidia etiam in iis uae conuertimus istius propositi uni reliqua. alproferita infimus sit, qui credat i C esst cubum. Vnde ueri ista trium cuborum,quorum quiuis unitates t mimr ternan Hira Ilo'unde nobis sors curiata aeuidendus' ui hocporismatis, aut unde πιπιυ σιμώον, interuassum cubam cubum es fi lio a de o. de traictis, restares , qui ad Ias additus i faciat. de se quorsum, non doceor. Itas Lumare non possum nes de solutione, nes de methodo, nes omnino desintentia huius quaestionis: nudis uestigidis ex antibus, ct his quae dantur,intersi ut uera maxime essem non
cohaerentibus. Libet interam proposis ronem. ualem accepimus, tentare. O summa numeroruponatur L N, cubus eius erit a C. de hocsubtrahere tres numeros, ut residua sint cubi, me
discris operae. Si ab unitate auferas seorsim H redi uentur ἐ. et . . , cubi nimirum. Hacerra characIere C a sciuntur, o sint postasis i C, C, R C, summa omNIum 1 N, eius cubus r C. a quo detractu singulis relinquantur cubi ἰ C, et,c, γ, C. Summa numerum et C aequalis ι N. Ergos Lusium fuisset quadra tineius Di quid i N ess docuisset. Ati helasne imitari arti cium superior probi
matu nou licet. 9 cur oras inuentum librarius interuertit . u quidem depraesendymus, cub
rumsummam a te no detractam, debere relinquere quadratum, ut si, uerbi gratia, . io
165쪽
auferas s. f. relinquuntur semma residuorum ra. tantum etia relinquitur summa μ horum in- Virassubtractorum, Isisyo aufer s. adpora a quod attincti inpromtu est emendatro. Et iaci . nim duor m quor m V cubommi teruritam, ordine contiguorum, umma ipseorumsu tractum, relinquit duplum cubi orae ne iis proxime antecedentis. quod exemplo monstra re libet.
Fieri . Eadem es quadratorum ratio. XX. Inueniantur tres numeri. de quorum uno quouis detracto summae ipsoru iri cubo relinquatur semper cubus. Summa rursum sit i N. ipsi a C, o C, as C. iii mina horum 30 C,quod aequaturi N. ergo 30 Q aequantur imitati. Quod si fuissent 39 Q c Onflatum cx 3 C Sc 3'. lnveniendi sunt ergo a C. quorum summae addito 3 sat quadratum. Sit primi latus i N, secundi 3-iN . tertii unitates. ac sit L Summa trium cuborum o Qtas. dc additis 3,fit 9 Q 3i-a N. hoc aequetur quadrato lateris 3 N-7 N. dc fiti N, ,alterius v.reliquii addo i cuiuis litorum cubor dc uenio adpropositum initio. Statuo quem uis cubum tantum, posito omnium luminam esse iri restat ut hi tres iuncti aequent i N. sumina ipsorum a L aequalis i N. siti N et, adpositiones. ππl. Inueniantur tres numeri aequales. ut qui fit a composito ex tribus cubis, quouis illorum adiecto sat quadratus. Sit con positus e tribus, ut sit quadratus. 3 c eorum qui q uaeruntur, unus 3 C, alter 8 C alter is C. dc contingit, ut qui fit a CG posito ex tribus cubis, quouis eorum adiecto sit quadratus. Restat ut hi tres aequor tura it sunt ac C. ergo 26 C uantur lino depressis characteribus, 26 aequantur unitati. Habet autem unitas latus quadratum. ergo etiam 26 Q Uadratus sit oportet. At multitudo ista tribus conflata est numeris, quorum quiuis unitate adiecta sit quadratus. Porro compositus ex tribus , quadratus sit, latus habens quadratum.Esto unus quaesitorum, i in Q a secundus i int 2 N. tertius i--a N. dc quiuis horsi adscita unitate fit quadra tus ac praetcrea tres hi compositi, in summa quadratum exhibent. Ita innumeris infinitis soluta est quaestio. Ponatur numerus trium unitatum. Esto unus quaesitorum 63. alter is, tertius 3. Recurramus ad initio propositum, dc statuamus summam trium horum i ipsorum primum 63 C C, secundum is C C, tertium 3 C C. R stat ut eorum summam aequemus uni in Ergo si C C aequantur i Q c i N est 3. reliq ua sunt euidentia. π Y L A N D R t. lacubus, κυβοκυβ non est Hal 12 Diophanto cubus de cubo, quales sunt ira, Ussyy,
a I sed quadratus cubi,quem Musicisum duunt, ut G ag επσ Da etiam mitio operis Iraris cum C Cnser numero o, et autem a notetu minore de maiore detracto. relinquitur, quo notat- α M. itast Vin aequantur unitati. Ers est latin quia ait p. cuius qua ra/ώμ. agis ergo de olutione conreat nimirum, quam de ima quaestione. Cum enim tres numeriae bent esse aequales' raum pro Cletendum sit c c, uel aequat a tui' ao i at, elum ae
mouito ostendunt. muero re accurate considerata,hoc in cnto lagitara,ur tres numeri aritu r quorus a Forteat esse quadrat Metu e amma με singulis adiecta, ad
να eo cere numerώ. Non abs refuerit annotata ad morer supra, recordari. Summa ιδες aerata debere esse, quatio primo ora oblata significa I. Cusia aut pro numeru Mixi niendu
166쪽
niendis usurparit ι α - t rit a N. 1 a N. Namsi, mammntum est i Q in, ρομα tu uti Crumias votis adrecta, quadratos ab I in Lid T r, ctr N-t, consi cit. rbitraria aut est rumpositionum se nota merum tribus unitatibus cum Diophanto censemus, His minimis rem conficiamus. 'nam bi. narium i Q a N nm admittis fieret enim o - . hoc est,n hil. ι est yoatifer i habes tu. adde a N, nempe o ad ρ, habes G. deme σῶ pr resant δε Erro hi numen si mentposition buri O, G, R. S summam omnium p raso 1 N, eius cubus est i C. ponens L s y C, s C, is C. fient σCaequales t N, uel ast in unitari. Lude uiri 'sium, ad istum debere e summae numerum. ac sit 1 Q . eius cubus ergo erat, Diophanteo more. 1 C C, nobis ta umero pro prima accepto quantitas Q C. Et cum ι C C sit addendus singulas positionibus , eae erunt O C C, is C C, I C C. quorum summa num rem habet quadratum, si C C aequales t c .rdest, D inaequantur ι. Numera ergoae maria sno ,sed ἰ. Ergo ι c c Diophanteus erit ,: . se 1 erat '. Primus quaesitorum , ἰ hoc es quinta si adda um omnium cubum, hoc est habes quadrarum , λ. Secundus mis cui addito summae mia, sit Hr, quadraturinnius hoc si H i. ad , - cubo At fir , quadrat tu utique. Iam O. Is ς. summam clunis ergo inuentorumsumma es: siue M. quadratus es numerus, ct ι α respondis. Nihi Iergo in huius roblematis demonstratione non rite est explicatum. Componi autem sis loco. ct in simibbtu, non aliud quam in unam summam conligi si scat. se pro
κιων κύβων gendum κύβ Caetera emendentur ex nostris. Reprchendatur nunc ante ressum praximbroblema, quo miser e deprauatum quasi o deplorato reliqueramus.Danis, res semen, quorum Amma cubum si a si uti referam , semper relinquatur ca L explieitio. Summa sit 1 N. ergo i c erat auferendus risingulo sitionibus, ut cubiret quantumvisunt ac, p c,2F c. residua cubi r c, y c, ar c. Summa'sitionum sy c aequalis 1 N, hoe es se in aequantur irati. Heu N e uideret et, summam positionum numero adrato oportere concipi, altas enim exitu olutum quae Donis non datur. Hinc emonas ituri diemma, aerendos tres cubos, quorumsumma ternam Ocya,quadratum ex beat numerum.
ma trium qui quaerun rnumerorum. Resoluuonem se examenpositionum tibi retinouo. δε- 'Mendes omnia congruere. γNXl l. Inueniantur tres numeri quadrato aequales, ut qui fit a summa eorum cubus, singulis seorsim detractis quadratum relinquat. Rursum nobis binarius est diuidendus, ut & ante est autem eius cubus s. oportet ergo ab s unum quenq; detrahere & tacere quadratum. oportet igituras diuidere in tres quadratos, quoru quiuis maior sit quam 6. & si ab s quemvis horum detrahamus,inueniemus tres quaesitos numeros. Est autem hoc iam ante ostestim quomodo oporteat 26 diuidere in tres quadratos, qui singuli senario sint maiores. NYLANDRI. Propositionem insegrum extis. Caetera aduerta. quid multi no integro. Sed experiamur qui tamen. Jummas I Q heu plane dicitur, quo via in opere Lepraehendebatur se fr ima repositione mutilatum fuerat. u cubus t CC Diophanticus. Si decinnanon rution em haberemus, erram hanc silueremus ut IInteram amplius.
Maiis. Paltem datam diuidere in tres alias, quaru quae uis detracto cubo sum-
167쪽
ratum est oportebit itaq; quamuis earum subtractis o quadratum facere. tres e go hae-; saciunt tres quadratos. & si cuiuis quadratorum adiiciamus o .inueniemus unum quemq; quaesitorum. Id autem facile cit. Eo enim res deducitur, ut is diuidamus in tres quadratos. quod est facito.
mari rem puro, - diuidi debere in tres partes ut de qua subtracto G d si
drata. sed quid diuisio numeri u hu pertineat non uid. o. Ambus. πα iv. Inueniendi sunt tres quadrati, ut qui ex his fit solidus, quouis ipsorsi adscito fiat quadratus .lit solidus ille i QIc quaera imi r tres quadrati quorum quilibet unitate adicita fiat quadratus. Pcti hoc potest e quouis triangulo rectangulo. Expo' no tria triangula rectangula, dc accipiens ab uno Quadra torum, diuido cum qui esta reliquo rectoruni &inueniemus quadratos, unum s Q , alterum 2, Q , tertium o N. quorum quiuis cum i macit quadratum. Rcitat ut solidum qui ex tribus fit. aequemus cum i Q. is autem solidus est i Oo CC. aequalis i omni b. tiub candem denominationem deuocatis,&characteribus deminutis, fiunt i oo Q aequales unitati. Est autem unitas qua dratus. quod si etiam iro Q cilci quadratus, soluta esset quaestio.non est autem. Eo itaque res cst deducta ut inuenic di sin t retes trianguli rectanguli. Pt ex tribus stagulatim iisdem solidus multiplicatus in solidu' qui ex basibus corum fit faciat quadratum cuius latus sit numerus multiplicatione ortus laterum quae circa rectum sunt unius rectangulorum. Et si omnia diuiscrimus per numerum ortum ex multiplicatione laterum quae sinat circa rectum rectanguli inueti fiet ilex multiplicatione rectum continentium eius qui AD in eum qui est iuxta rectum alterius triangulorum Sc si ex ijs constituamus factum γ deuen- tu eo est ut inueniant duo trianguli rechaguli, ut qui sub iis quae circa rectu cin, qui
sub iis quae circa rectum crat ir N: itaque etiam area Q. Si autem ir, dc 3. Hoc aut facile, estq; simile triangulo 70, o, 3. alterum 1,ia i . Cum habeamus ergo tria trian larectangula reuertimur ad prim h propositum. istatuimus trium quadratorum num 9,alterum 2s, alterum XI. dc si solidum ex his aequemus i Q , exsistet numerus uerus. ad positiones.
γγ v. lnvenire tres quadratos ut solidus qui ex iis fit, singulo ipsbrum detracto
maneat quadratiis Statuatur solidus iste i dc rursum tres quadrati qui quaerunturium antur ex triangulis rectangulis unius i6. alterius 23. tertii 6 Hos coniungo Quadrato, dc manet i--quouis ipsorum quadratus. Superest ut solidum ex histribus compositum. aequemus i Is autem solidus cst aue6oo C C. denominatus
parteia2.ior . haec aequanturi Qu. omnia numero notae rudenominantur. Crunta 6O ub nomine partis ta a. iors.aequales unitati. Est aute unitas quadratus. habet latus litum. Ergo oportebat etiam 216oo sub nomine partis ira, Ioas, cile quadratum. Itam res ei, cit deducta denuo, ut inueniamus tria triangula rectangula ea lege ut qui fit E perpendicularib solidus multiplicatus in solidii qui fit e subresis,quadratu faciat, qui latus habeat quadratum . di si omnia diuidamus per nume rum subtensae & perpendiculatis rectangulorui oportebit eum qui fit S subtensis & perpendiculari subtensae & catheti multiplicatum per subtensae & perpendi ci liris cuiusdam rectanguli. Sit unum triangulorum 3. . . Eo itaq; deuentu est, ut duo rectangula triangula inueniantur. ut subicnita & perpendicularis subtensae iitro illa uero zo dc ue.& est facile. quippe maius erit s. Ir. 3. minus 3. . . Ab his ergo quaer da sunt alia duo ut subtense & perpendicularis sit o. Eis au t maioris quidem subim' tuis. sa 6 . perpendicularis 6 o. Minoris,qui est in subtensa rι. qui uero in α rectan olorum,ir. & accipientes minima similium, recurrimus ad initio propoli tu. & ponimus solidii qui fit e tribus, i psorum aut quadratorii ianuio, alterus 6, critu a iub denominatio e partis is sci. Superest ut solidus ille aequeturi Q. omnia de
minutis characteribus, latusq; lateri. inii enitur numeri s 6 s. ad positiones.
168쪽
Atqi riirsum etiam heiceb res deuoluitiir, ad ea quae praecedente sueriint quaesita problemate. Sic igitur in hac iisdem utimur triangulis ponimusq; corum qui quaeruntur quadratorum unum P, Q, alterum i m. tertium 62 s. altum s . &rursum
manet solido qui ex iribus componitur sublato a quo itis latere quadrati. stiperest Mut solidus ille aequetur i Q nde inuenitur numerus maior quam 8,& manentata Vii. Inuenire tres quadratos ut qui iit a duobus quibus iis, unitate adsumta sit quadratus. Et quoniam quaero, it qui a primo in secundum fit, addita unitate sit quadratus: onania in tertium qui est quadratiis itaq; oportebit eum qui est e primo Min secundum id est solidum ex tribus cu tertio facere ut cliam cum primo S secun do. Id enim ante dem 5strauimus. itaq; etiam illi numeri satisfaci ut huic quaestioni. π π ii N. Inuenire tires quadratos, ut qui fit a duobus quibusluis, detracto i .it 'quadratus. Omnia in t crtium . itaq; quod sit e primo in sccundum, in tertiti: hoc est solidus qui fit ex tribus detracto tertio facit quadratu. Ergo cita utroq; . tam primo quam secundo detracto, solidus e tribus confectus crit quadratus. Hoc aute supra est demonstratum Illi igitur numeri hoc quoq; praestant. xxi X. lnvenire tres quadratos, ut qui e quibusvis duo b. sit, ab unitate ablatus, quadratum relinquat. Rursus quςrentes eum qui e duo b. qui bii suis fit stibia tum ab unitate facere quadratum si omnia ducamus in tertita, rursum eo deducimur ut inueniri debeant tres numeri, E quib. consectus solidus si tollatur a quo uis, relinquat
quadrat uni. Hoc autem supra est demonstratum. αππ. Dato numero, tres alios inuenire quadratos, quorum bini quiq: eo adscito quadratu faciant. Sit datus tr.& unus quaesitorii,9. Quaerendi ergo si in t alii duo, 'iit uterq: eorum cum 2 faciat quadratum, & coniuncti ijdem cum is faciant quadratum. Quaerendi sunt ergo quadrati duo, quorum utem: cum 2 faciat quadratum . Sumimus eos qui metiuntur a , & trianguli rectanguli latera rectum angulus acientia. sit secundum N 3, oppositus N s. simul iuncti ambo fiunt 1 N, & N. Sit
unius latus a dii serentibus a N & N. & manet uterq; ipsbrum cum 2 facies quadratum. Restat ut ambo iuncti,adiectis is quadratum faciant.Fit autem Q Ergoas in V aequantur quadrato, aequales aue inoc fit Numerus ι. s. ad positioncs.
numero, tres alios inuenire quadratos ut bini coniuncti, de summa sublato dato, faciant quadratum. Esto datus tr. Rumina ponatur quadratoria quaesitorum unus 21.Vtcrq: horum cum ia faciat quadratum:& ambo iuncti, detractis iis, iaciant quadratum. Rurtium sumimus dimensionem per numeros a & 4.Fit primi la vitus a differentia i N & a N. alterius 1 differentia a N & i: N. & manet utrius horum
quadratus,ut faciat cum a quadratum. Restat ut sumna a duorum H, faciat quadratum. st autem 6. . Q 23 N Quadrat Esto N,6. .& fici 2. ad positiones. V XXI i. Inueniantur tres quadrati, ut qui componitur ex eorum quadratis saciat quadratum. Quaesitorum statuatur unus I Restiter Q , alter s. & fit compositus ex eorum quadratis, i Q QI 27 aequalia quadrato lateris i -i: dc relinquuntur zo QAquales 3.& si uterq; cisci quadratus,soluta crat quae stio. Eo itaq; res redit, ut
quaerantur duo quadrati, & numerus quidam, ut qui ab ijs fit quadratus detractis quadratis quaesitorum, numerum faciat, qui ad duplum principio positi numericam habeat rationem, quae est quadrati numeri ad quadratum. Ponantur quaesiti quadrati unus i alter .& ab hoc quadratus si amittat illorum quadratos, relinquit 8 Q .&uolumus haec ada unitates , hoc est ad a Q t s proportionem habere q uae est quadrati ad quadratum.Semisses sumantur omnium. ut etiam di N rationem quadrati numeri ad quadratum habeant numerum. sunt aulciri quadratus. Ergo & i aequantur quadrato lateris i N t L ergo i N, i . Erit
quaesitorum quadratorum alter ac, alter , alter oblatus o . Omnia quater. crunt unus Q. alterio, oblatus autem aue. Rccurramus ad initio positum. Statuamus triuquadratorum unum I Q , alterum 9, alterum i 6. & fit qui ex corum quadratis com
169쪽
dato ut bonu faceret, S preciu psoluit super omni b. quadratis imperatas accipietis unitates. dc faciente rursus altu te ferre quadratu, sume te pro latere summa choaris. Itaq; distingue, octodrachmas fac, & rursus reliquos puer dic quinquedrachmas. Epigrammate hoc id significatur.Duos quida emit cados uini, unius choam drachmis s. alterius choam drachmis quinq;: dc P omni b. persoluit precita, numeria quadratu qui ad 6o faciebat quadratia,cuius latus numerus erat choarii. Distingue nucquinquedrachmas ab octo drachmis. Esto choarii multitudo i N, ergo precita criti Q--6o, aequale quadrato. cuius latus ponendu est iN- aliquot omnino uni
talibus. Et quoniai Q -6o, costat e duo b. numeris, precij scilicci octo drach maria,& precii quinq; drachmarii. facit multitudine quinquedrachmarum & sfacit multitudine octo drachmariam, dc multitudo choarum in summam contracta taciti N.oportebiti Q 6o diuidere in duos numeros, ita ut alterius quintans, at terius octans, iuncti l N conficiant. Atq; hoc no plane fieri undiquaq; potest, nisi iN statuatur maior octante de I Q 6o, minor autem quintante de i --6o. Estoi Q -- 6o maior atq; 3 N,dc minor quina s N. Quando itaq; i Q oo maior est qu ueta, adi jciatur utrobiq; 6 o. ita i maius erit quam ue N oo. ergo etia i Qt , Nnumero aliquo amplius sunt quam o o. ec oportebit numerii maiore esse, non minorem quam H. Rursum quando i oo minus est quam s N, additis ii ' uin a. 6obi Q aequabitur 3 N dc cuidam numero qui minor sit quam o o. Iraq; oportebit numerum inueniri non maiore quam i3. cunde uero demonstratu minorem esse quiniit no debere. Est ergo inueniendus numerus maior quam it, minor quamia. Cum aut querimus quadratu aequale i Q oo,fingendii cst eius latus 1 N-
aliquot unitatibus. fitq; is numerus ex aliquo numero in seipsum ducto dc aucto a nitatib. oo.&diuiso per sui duplu. Eo itaq; res deducta est, ut inueniendus sit numerus cuius quadratus si adsciscat Go,&summa per duplia numeri diuidatur, quoties maior sit quim ii,minor quam i3. Et si hunc statuamus i oporteti in codiuidere in duos numeros. & quotientem inuenire maiorem quam ii, minorem quam 33. Et si quaesitum numerum statuamus i N. oportebit 1 Q-6o diuidere pcrduos numeros. ut maior qu1m ri excat. Ergor Qt ro maius erit quam 22 N. ergo' ar N aequantur I Q, dc qui minorem unitatem 6o crit num crus, non debet esse minor io. Rursum oportet 1 QI 2 O diuidere per a N, dc num cru inuenire niano retia
So, itaqi I Qt 6o minus sunt quam 2o N. Ergo 16 N qui sumi Q&numero quodamaiori quam si o. unde oportet numerii minore esse quam 26. sed Sc maior est atq; 9, maior 2 o Ergo oportet quadratu aequale ι Q -6o paran tes, latus statuere a N-2 o. ita inuenituri N11'. Quadratus cius ι3a . tolle6o, 3inquuntur a . Hoc
portet diuidere in duos numeros, quoru prioris quintans cu posterioris soctate faciatii q. Sit prioris Quintans 1 Nergo alterius octans crit tit - N. ipsi ergo
runt alterue N altersa a N. haec aequantur cu72 . Erunt ergo 79.crgo multitudo quinq; drachmaru choarum 27, octodrachmarum Φ,unitates II. reliqua patent.
RVM A R I τ H M ET I c A R V M LIBER s E π T v s. Nueniendum est triangulum rectangulia, cuius ab livpotenusas sub tr hatur alterutrum laterureliquorum, relinquatur cubus. Esto illud triaim stulum erictum a duobus numeris, quorum alter I N, alter 3. Fit ergo hy--ι potentisar m s. perpedicularis 6 N. basis I Q 0. Si alterum latus abhvpotenuia subtrahatur, puta/ Q-9, relinquenturis. qui sane cubus non est. Vnde autem prouenit is 3 Quadratus est de 3 bis sumtus. Inueniendus est ergo numerus cuius quadrati duplum,sit cubus. Esto is IN. erunt a inaequalia cubo alicui. sitis s fit I N,2. Rursus triangulum fingo ab ι N dc non 3, sed binario. ita sit hypot nucis , cathetias N, basis i Q - . Et si hae ab hypotenus a detrahab, relinquitur si cubus. Restat ut cathetum ab hypotenusa auferamus. relinquitur N, aequale cubo. Est autem hoc quadratum lateris i N - 2. hoc ergo latus α-
170쪽
L i s E R v t. 1 rquemus cubo, Ic solucinusq:ia ilionein sit numerus cubicus 3.eriti N.io. Effinge tur crgo triangulus aio & a, fietq; hypotenti Iaro , catlictus o,basis 96 & csistat. π Υ L. A N D R i. o ab ro si lati cubus restat o .pη de Io ademptis, cubus relinquisis L suadratum basii ei par ca I et I o. summa i isse tantus eis quadratus I potenulae. Sane quae in Graeco βnimcnda Milonensuit corra' ere es quod de ultima aequatione dicitur certi si maris nam si quadratus aliquis numeru carbus eis: necesse eis etiam titus ei in quadrati, cubum ero cubi, adrata. quod ex natura charaeierum c tuorum cosi gereticet: se numero quia: C nostro additur, si nam titus quadrati quaerere, in semisse numeri adiectι noratam minutatem quaerere, ilicet I Mic: s notatur cubus. Et si latus cubι quaeritur, triente numera notata quantis. quaeratur. qui herctriens eua, qua rati nota. Haec ergolati sunt. Sede otionem itam ira angulorum uesiem a Diophanto explicatam haberemus. Eam nos huc rape Emmo tremm ex , aem explicando perioris ti problemate octavo, terris uigesimosi undis db- εμψ' mi. F vendus eu quadratuι ext V, ct s. plum eius quem multiglicando componunt, Io 'unum latus. Quadrata i 'ac ρ,isserunt I -ρ,quiae Ialterum V orum numerorum quadrata comuncta,ex quibus triangulum et VHamm, hi Menufam seu cerrimi bi tractatis intecti tuis, magno o compendio cum per 'primi Euclidas methodum eam in tali genere numerorum inuenire nequaquam pos s. Sed explicemus absolutorum exemplo numerorum. Logere bet triangulum rectangulum ex y o a'. erit unum latus duplis sedis compositi. Hurum si, interuatam quadratorum.hypotens N, summa quadratoria. o. δuisas idem eri 'o perinuentum Pythagorae. .adrata caterumsunt as , Hryoas. Am- 12 p.atqui huiui Od quadrara es R. Etsi es numerora qui e scitioni aesunt quadratis cognitis, res cura molestam conscitur. Sinis drynlatin unum fra. Guadratum de π eis. ρ υ ergo alterum g oo, hypotenus ρ u. quod ita habere, expertior mutit. Idem ratam in factis experieris. Porro autem eodem modo ex ι Noa latera orthozoni' gynguntur MI N
ta uoci . inter a m ρε aberum latus summa Io , hypotenus: compendio muemina qui Dic quaaerari inuenientis itaricctyarosiumma rons, cuius fatus quadratieu u . Et quando in hanc rectangulorum iuuentionem dolia incissimus. libet heic typu ubi cere, aut Gramen potius Ur, demirabilissum, an me quo clam) litteris xulgata pro re ο -- ti otion res ut intriuio iametra quos uocarit) numerorum ingens copia conm