장음표시 사용
141쪽
na Diopis ANTI ARITHMἴτIcssut demonstra etiam se Ceat. Sic itaque ratiocinatronem instituamur. Inveniemus num rum, cuius triplus es quadruplus tmers mutirpe cara educat numerum inius ad dati qum plum ratiosis quae est quaarat: a quadratam. Hoc loco ναψ: Ab te rari potest Dios vi se Iiocrisi quae usu numerus tr. C DI hanc nos ut mussiremmam omnium esse. Iam cum primo in pecuniam si Iosians .s ponamus sicundum esse i pr m ', Cr eadem ratione tertius h. primo in totium I Io pro remus' quo ruetur qui Vis et e omnium. Haec re cia aeruatio. aro lips i tysi. Ergo i N, ta cando. est α primiret, remus io. quaepositiones manserant iste rae inter tot cora telas. aei horum numerorum Fumma non est, que ponebatur, is,uerum 23 . Hoc loco as ruandam es summa omnium non clem repons is Nam characterNadditur nou positionibus, aduerum uia rem N mera inueniendum, quo siluatur Uio. Emni ereo nunc spo Ohar N, O N. io quirumsumma ayet rimus in sicundum ductus, ψs ac producit, cuius triens G pothesi ammam omnium aequar. Ist ergo i Q. Ergo ramus , 7 I s q.scundus jura σN ', tertias ' ', n mirum Is P , Praestat autem in age missic peni, Summ.et omniam is ' : . Primus infecundumst a 'ifici se multipluetur phim per as, s σή per Hur os ad minores terminos reduco, fiunt is uerentur, ' , omnIno tripla amma omnium. Sisicundam in remum ducas m numera rore prioris est denoministere, uerior pero, reliquos per io Husi ad minimas redegi, uni ru in v.=ρroducis omnino summae Omnium quadruplus. Denis primo ct tertio comm P, in , hoc est quo in prima multiplicatione, eodem heir urse compento in in mαθ plicato, sunt , ac tantundem l prorsus, siue iam omnium quintuplices. Habes explicationem ques ionis nes incle antas, sep ri Glas: ita autem correpte ac multa lute ad novertia, ut paene animum initio Lesso cram. Vides autem qui os legis: --
NLI V. Inueniantur tres numeri, ut summa eorum multiplicata per primum, sat triangulus; in secundum. quadratus ; in teritu cubus. statuatur sanam a trium iri Primus quadratorii numero triangulo, puta 6 occundus quadratorum numero quadrato, Qyrrius quadratorii numero cubico, sita rgo i Q n primum .cia facit 6, triangulu. in secundit, , quadratu. in tertiu, S, qui cst cribus. restat ut Irit res conis Cli finii Q at suntas Q suod aequaturi Q.& multiplicatis omnibus per i Q, fit equatio inter Q r Oportebat ergo i a cilci m& habere latus quod sit quadratus. At is cit summa trianguli, quadrati, occubi. Proinde repeliedus cst quadratus cuius latus costet ex partib. numeris triangulo, quadrato cubo .F.sto is i O L a Q. Iirgo si ab i aufero i Qt i-: Q upci sunt a Qri. haec diuidatur in cubitta triangulu. ac sit cubus s. erit triagulus a QT9. Porro quiuis triagulus p octo inultiplicatus, adscita unitate quadratus fila Ergo io in i aequantur quadrato. Lingoquadratu a latere i. is est i 6 Qti-8 N. Fit iN, V. Hoc si ad positiones accomo- detur erit tri guttis G,quadratus o,cubus 8. Venio ad id quod initio proposueram. Statuo summam eorum I primum is 3 Q quando triangulus requiritur .sc-cudum 7o QAquia quadratus, tertium 8 Q, quia cubus. In hos multiplicetur in umerus quadratus . faciet triangulum, quadratum,cubum. Horum summa siti a te ita i QAquodςquaturi in&depresso utroq; peri Q quaturi &Σ36LFit 3N 0. Ergo sic cundu polita primus est i 33, secundus 6 oo, tertius s. dc cui des cst demonstratio. πΥLANDRI.
Ob urior an corruptior Ai hoc loco Diophantus,nti aeriperes. Vix adita uestigia resant, quae Pq xti ης ilii ficu in se u deum indagare quid hoc sit rei, quod hraca itur. Triar si numeris , qui numero ac quot quotcuns Verinde et ab uni rate sed ne natxrati progrediemibus IV cersequente antecedentem unitate identide usus. ante, qu est modus O Orion eranH in απam summam contractu. Hy,d to,iIo, 323. O infiniti Α, .s dicti, o unitatibus itisae ri tu ac ro oculis, ut V inximus, quadam triquetri aequi uteri ha cni,s lux es ne
142쪽
Series numererum. 1. a. s. I. o. r. s. q. to. II. Ir. II. M. V. M. V.
feriri naturatis addes, o sic deinceps arietantur trigoni Sedes alia εἷegantior ratio est eosin, emendi, mallipticando impares natura sisne expositos, ter binos numeros ordine numerandi sibis, edentes. ita
Hoc loco rationem nusiam curum aut seu oravim haberi, sed de ueris numeris agi est ab Uuris inotum est. . uodsi quaeratur numero aliquo prorsu, ne uerbigraria u que vro seimus 3DI trigonus , o si sit, quotm in ordine CT cuiusprogre lanu numerorum ab unitate
natural 'leprosici centrumsumma: eius quaestionissolutionem Diophantus obliqueferstrinxit. Omnis inquit, trigonvsper octo multiplicatus, accedente unitate sit quadratus. Ergo tori robra, cte. Irigoni non sunt: quia Di,totis quadrara nonseunt. Ossisya re S multiplices.se unitar prod Ioiaris, foras conficitur, quadratus numerus. Est ergo sns trigonus. Vrsias quotus sit , ct e qua strae numerorum coagmentatus radicem uocant hoc triangui, 2 latus quadrati sic facti unitate multa, reliqui misiis estendet ultimum progre tonu uum rum : primus es i. Verbigratia, radix quadrata defossas es Irs. aufer 1, restant Ir . -- iussim v I . Est ergo saeas trigenuo in ordine funitate pro primo, ut siet, numerata Ioctogesimus sieptimus: ac constatur i cst aer , omnibus L in medio numeris in unam Ammam coLe- M. Ram 1σs sunt xx cuius sem Uis fui canonysii 2 in D mxo pluatus summam uniuersorum s ygignit. Sic so pers multiplicatus, adiecta producti unitate fit o M. quadratus, cuim radix a . ergo emissis de a , idestuo, est rarix trigoni sora, hoc ela, is est cretes mus , si co ectas omnibus ab I ad ira hissimul inclusis 2 numeris. Huius trigon rum proprietatu meminit etiam Piatarchm nolier in quarta Platonica quaestione quam nos pluisse hil ex algura de orare hoc loco satu habebimus. Cumis trigono aequatur 2 M N. Nam qu itum scaenonis ae Dignaro mihi imperaretur, ut Irigoni os radicem ex nerem, quo uniuerse de quouutrigono intesgendum is et. I Sopro ultimo progre lanu numero onerem: sedes numerin terminorum progres onis Arithmetieae, qualem defintis , in una Ammam
contractae , quam datus exprimit trigonus, erit I nc primus autem terminus in hoc ne cis si pereu unitas. Ergo canon progre tonu Arithmeticae in una ummam collis das
quon addo primώm ultimo, hoc eis 1 ad 1 fit 1 rit ι. hoc per issem numeri iremcnorum , uel hunc totum persemissim tam primi or ultimi fidem enim esse conrtis Dripticato : producitur P . Hoc ergo aequatur uniuers cuiuis tri nonumero; hoe est. γsummae cuiusu progres ionis numerorum naturali serie continuarae ab unitate e G heis quatur cum ros. Superes, ut uideamus quantus sit, id est quot unitatibus a timetur a M.
Heic tiro his enim laboramus 2 animaduertat bis quatuor esse Io : se numerum per a, mox productum per multi uare, esset Eum numerum octvlvare . Nam cum ἔπι N aequentur se utrinque detracto Z N, eris aequatio inter se μου --: N. Ergo si pera omn/a multipticentur, t MequabiturI oσ-ια suides trigonum pera essemuiri Dcatum D tam secundum canonem ui aequatio expuretur semissis unitatis N notatae, hoc eis
m es qui unitas ad Iulum trigoni adrisuriJ Summae radix qua rura est si canonae erra iubet. ita r t insues . Ergones radixisti triangulbros, hocin tragesimis
stimus tragonus est ros,o summa est numerorum 1,a,s,cts7. sieris natur progredientium. Viaesu aptentes ex figur H Arrimos canones extruxerim' Nos eadem opera se Plutari hilocrem I sirimimus quod dem , DEO uolense etiam alias μι locis nostrarum lucubrationum acremm Diophanuo Ammaulucem atria mus. Sed cor canonem de Arith- mctica/ro ne obiter auximus: quem alio loco coLocupletavimus. Sub cultro me relinqui
143쪽
mm. Experiamur tamen. qui contra has i cultates φιλοπινι α ρcrtinaxρ it, migara et gant rerpropositae. Primo omnium i ad υ ρον ποπιζον non modo, sidor αυλει taως iuuat est en m analytic m. quo modo numer rosen tu solutura qui onem: umsquam ei sitisset. Summa omnium est os D. nam mendas persequi non uacar qui cum sis quadratus no emesis crus, quadratum ut g dithupra monuimus dabit. Sed erinonpotest, ut per 1 mxltiplicatus, cubumproducat. cum seque cubi sint ambo, ne P cuborum naturum communicantes siue cuborum similes. de trigono 1 e , uidebitur, experie u. a uia A m ros proponas i ne sic quidem satisfietpostulatis. Summa enim re t hoc est 1. ct cum I nihil nemui multiplicatione in alium caeterum ista sit quod per canonen experiri lues, aut etiam in t ouidere I triangulus, σή haud ob iure quadratus, ae erubus: denus medio.nultassat faciet quaesti . nam ,:: trigonus esse non 'test, cum non sit numem raptae. ct cubicam radicem non habet. Haec ereo Dasura an ieci in Graeca quidem fincisus fuerat de integrosin re, quam corrigere. I altae tere multa Arni, quae eo Marsistit d fendi posse non Amentur. Quis enim concedat triangulum per quadratum se mst oti cerar, satim manere triangula ρ Certe orerangulus es, a ,s ,so trianguli neniunt, acri ad tu in trianguia multipticatis. Porro quadratu culum simulti cet, nisi Est quoque ινbu simul erit, cubum nulla modo producet. msifortesa cubus est, ms, quadraro in cubum multi caro erim; ut 9 sit ex quadrarost in cubum σή, sa ex ma : nenter culus. ais hoc etiam elementa Astobrica docent. I M uero nesiit, adiud se numerum per i , quam per ramum cane . Evo Donantur numeri 1 M o- . bia , producetur umma eori i
I si et se ut concedam primum e se traangulam, es ultimMm μὴ 'm es emam Vin tom quadratῶ duc o quadratus nasiatur, dubium minime ti me coget credere, aut γίpatiar era mihi hocρι suaderi' Adde quo hoc ρ Io noua conditio terminis iaetu ur, adeo noua quae o fropomtur. Oportebit enim de tribus qui quo tur 'λῶ esse cupia sim ,
Pν indeprimus sm , secundus in , tertius Q summae rum , hoc est D. Midelicet' ι 'iariti multiplicatione singuloia insummasiunt uia liberati denominatore, ut ratio creveruntia
144쪽
tri B.E R III t. iis experientia dii Iar. II . hanc quo In propositione uae integritati rest tutam dum ut, siD beat, aera Omma accretos . ac omissis urea re nere. I artara tam innumeru mori, potes, ahys triangulis, quadratis, bis, pro arbitrio a fossiones ad Viris. ΣLv. Quaeri uitur tres numeri, ita ut excellus maioris supra medium ad exces
sum me dij iupra minimum sint qua praecipitur ratione.Porro autem bini quadratu faciant coniuncti. Sit ratio interualli maiorum ad interuallum minorum tripla. lam cuni 1 umnia medii de minimi sit quadratus, esto .crgo medius crit maior binario. sit itaque a Ni 2. erit minimus 2-ι N. Et cum interuallum maioris S medii ad interuallum medii di minimi sit triplum: hoc autem sit a N: erit illud o N. Ergo maximus est Ni 2. Supersunt duo postulata, nimirum ut primus di medio, α seor sim minimo addito, fiat quadratus. Heic mihi duplicata occurrit aequatio . cum &s Ni quadrato, & item quadrato 6Nt . aequentur. & quia unitatum numerus est quadratus, expedita est aequatio. Statuo enim duos numeros, quorum uno in alterum ducto producantur a N: quam legem esse duplicis aequationis noui inus. Sint N & . Fit i N. ita. At ubi me ad posita conscro, non possum auferre ita i Nia r. Volo itaque i N inueniri minorem binario: atque sic etiam 16 minus erit qutino Ni . Nam binario ut 6 multi plicato & addito fiunt i 6. Quando igitur quaeros N et aequales quadrato,itemq; ο Ni aequales quadrato sed & a binario fit quadratus ita iam tres sunt quadrati, puta 8 N t , 6 Ni , & . & interuallum inter
maximum&medi ima, interualli inter medium & minimum est triens. Itaq co res rediit, ut inueniendus sit quadratus, ut interuallum maioris & medii, tricias si t eius quo medius minimum superati ac praetcrea miniimus sit , medius minor quam HS. Statuatur minimus 4 latus medii iNta. erit ipse i Ni . Cum ergo interuallum inter maiores interualli inter minores sit triens laoc autem sit 1 N erit interuallum maximi & medii ἰ Qt N. adde hoc medio, habebis maximii ueltat ,quod aequetur quadrato. Multiplica totum perv.ficiam Qt SN 3o aequalia quadrato sed dc quadrans horum,3 Qtra Nisaequatur quadrato. Praeterea constitutum erat ut medius quadratus minor esset quam i6. ergo ctia latus cius minus oportebit esse quam sit ψ. est autem latus illud i Nirtut utrinq; binario abiecto, i. N oporteat minorem esse quam csta. Supercst ut 3 Q t Ia Ni 9 aequom quadrato. Emngo quadratum a latere quod sit 3- aliquot N. Fit autem N ex aliquo mini ero sexies sumto,& adsciscente demum sibi ir, qui fuit aequationis numerus ac diui so in interuallum qiso Numeri quadratus abest a Quadratorum numero, scilicet 3,.qui sunt in aeqtiatione . EO itaque deducta est res, ut inueniendus sit numerus, qui
sexies sumtus,ad: eclo ir, ac diuisius in interuallu quo quadratus ipsius ternario pr stat,quotientem binario minorem exhibeat. Sit is i N. is per o multiplicatus, ita ita auctus fit 6 N i ta ipsius aute quadratus detractis 3 , habet i Q --3. Volo igituro N tia diuidi per i in 3. ut quotiens fiat binario minor. Sed & secundus diuisus per I duplum quotientis facit. ergo o Nitradi Q 3 rationem habent minorem quam stradi. ergo etiam planus qui sit cxii notaria minor est quam qui ex zim --3, hoc est quam 2Q--6. Adiiciantur 6 quae desunt utrinq; , fiunt 6 Netis aequales a Q. In aequatione hac explicanda, dimidium numeri charactere N in signiti in se ducitur. fiunt O. & numerus innsignitus in absolutos ducitur, fiunt 3α quibus adde 0, habes *ς. cuius latus minus est quam . adde semissem N, non mi nus quain s habebis.ita fit, ut 3 Qt ia Nis aequentur quadrato lateris 3-s N. Fiti N. et, hoc est 2L Posui autem me dij quadrati latus a Nia. erit quadrati latus 3. ipse quadratus is v. Venio ad primum propositum,&statuo quadratum is να- quales o Ni . omnia in 1ai, fili N i 63. Estq; minor binario. la ad posita initio quae
si ionis Statueramus medium a Ni 2, minimii 2-i N. maxinisi Nia. Erit maximus Hoo .medius 23ir,minimus f s . & quando denominator est a 6,no est quadratus, sextans autem eius cst iri quadratus. Rursum itaq; omniti sextantes accipi,antur,fici primus is 3 l. secundus 4691. tertius i i. Quod si in integris haec habere desideras, ne semissis intercurrat, omnia per quatuor multiplica. Erit primus 733s
sic cundus is p . tertius: .dcmani scili cst demonstratio.
145쪽
Nyn Platonicis obiram sint haec monstra numeris, si fidis Sth a confusiora. 'rima sepothesi uis habent comm ea su duplicatam quod attinet aequutionem 1 ι ua smiae r 3 pro tyβ legitur in omnino. Namsi adris ,quorum multipluatione a N componuntur,
a ciuntur 91 mint aquario inter ἰκαν ergo i Ninua,ct re ac idosumebam tur, ut utrans abi ci 'ssint quod non contingeret stis o sum sit. Aitertius ponebitur a -r ri,quod hac ratione essis a-IIa, quod eis absurdum. Inpositione posteriori 1--
uertisurproblematis conditis. Et cum interualtam maiorum ad interuiatam minorum tripta
fuerit , Hic contra si minorum disserentia tripla ad disserenitam maiorum. diuo in . medius minor quam 16. sequentia demonstrant ita debere esse. se alioqui cum ιυι quadrarus, quid attinet ei latu vere, ut Missi itur iNta Z rauodi; vis : Ni re ρ Dpticauit, id in non sine caussa Ium qui ctaiscet ρ eis quadratus, per quem diserent ad integros numeros reduci. quo et laconinuper diuisit, ut quadrat in Hucotu remaneret. Sed is sequatur, Fit autem iN ex aliquo numero, tibenter fateor merio intes rernes ual ioperam ludere in i se ob ratatibus perlustrandis, quam alibi rectius ponere licebat. Cur ται quae onis mretetur , utcuns anaret, nempe ut seueniatur ualor Numeri minor binario, rquem prima hypothesis reseisantur. uaestio ect de late reponendo,cuim quadratus aequetur s
sis, equisem non uideo quorsim labyrinthoi seruagando debeam- nos macerarer moris cum res insurdam aquationem excidat, intera rara inter σNtu, hocem rans N:ρ, uald suo more absiluens, cum a V stat, necesse habuit Ivera mulini Hare. Fu autem 1 d a. me Hota. pro quos seo arbitratu β tautor um Himerit 67, ct a VerriVMeamus nae rei quin Lateris I quadratus ea pias o P , qualos M N t m in em
minus binario. Ergo i Nia Hii. Eius ergo quadratum aequabimmo 2 t ,αι minori parti duplicata aequationis. sit 1:, minor aliquantuiam binario. Iam ad rimaspositio nes hoc accommodemus. easi per Iam inuentum Numera ualorem refluamus sunt maximis
medius inimus ζζ..Hi ergosunt qui Aesiderabantur numeri, aris Gunipo- latis. Id expertamur. ufer medium amaror versunt . aufer amedio minimum, restant v ἔ. aBi do durum huius triplum. Adde primum sicundo, habebissium m 1: , hoc H nam communis inmensura, cu numerator se denominator Erasint quadratorum quodsi non perstitis, experiendo cognses quadratum lareris ' . di Lmum ter i habebis summam M .hocin eandem ob causam tali, quadratum lateris Ladde meaeum tertio, habebis 4 ,hocea VN M., utis quadratum. Praeter alia hoc eriis
fruare in hae tractationes is, nostram quam Graecorum tractationem minutiarum mul: esse expiauiorem. Numerorum uitia dedita opera rei qui De appendiae tamen Diophantea AGraecum minutiarum morem,rudiores hoc a nobis aWia accipiant. Senario is se numerat res omnes diuidit, ct communem denominatorem ra Pu hocpacto quadram ι. ct ita ex ' us o nuntur. Iam si unus numerus muθos mulisplice non mutara proportionem eis notum. Ergo υἰ.r a semisses iugos numeratara amoliendos, ut denominator quadratus interim maneat, omni
per quadratum minimam 2 mul pluar. ira numeri quaesitis uni Z 11 ε εἰ Τ - , nostro bessis. e satisfacerepostulatis certum iniit esse calculus te docebis. Heis rasi robus tabor me expediast se perrupimus ea, quae ne inaccessa uidebantur primo obtutu ta LVI. Inueniantur tres numeri, ut excessus qui est quadrati a maximo orti supra quadratum medij, ad excessum medii supra minimum ratione sit quae praescribitur. Bini autem sumti, quadratum faciant. Excessus porro quadrati a medio supra quadratum minimi,siit ad excessum medij supra minimum triplus . Quando maximus
146쪽
L t g v R G& medius quadratum saciunt, faciant i 6 Qxritq; maximus maior quam s insit crigo maximus 8 Qt a. Et quanao maximus ac medius coniuncti superant summani medij dc minimi si ergo iuncti minus sunt quam 16 amplius interim quam ssint ergo hi simul 9 Ergo clam maximus di modiuς iuncti sint i5 Q , maximus
autems medius cils Q , ac proindc tertius i Q - 2. Et quando uolo excessum, quo quadratus maximi quadratum minimi sui crat cis triplum exces
sus medii sit pra minimum: ille autem cist 6 hic Q iolo 6 ciue triplum ad 1 init hoc triplicatum facit ri Q at 6 ex trigesic, bis duat iis unitatibus octi sunt. In eum bit ergo mihi ut numerum aliquem inueniam qui per 3 a multiplicatus faciat ri. is cst et L Pono ergo primum tal medium 8 Q 'ai tertium iu ri Estq; impletum unum postulatorum. ii immani scilicci medii & minimicile quadratum. Sunt autem medius & minimus 9 - i. aequales quadrato; cuius latus lit 3 N --6. & fit iN, 10 . Ad positiones, crit primus Io 6, tertius ergo
o disse a sim P Θ d fatigati s in i in hoc 'epositionem. mis solaris quam εἰ ganter a nos peruenerit exscripta, facia ui ei. Vt omnia sin aciliora intria a. 6 Ahi
sic exponamus. Hus minimum serat detis r.et , ranaria 'imaximi ea ο acie sa ut aeratus medar exi σή -ya r . Horum inter cum . t Isui ebuit Ust at Luic dignus uindice nodus incidit: si noster codex eloquia Diophantea a os non nubi. Dispiciamus originem luco ei,ut medeamur quidemρ imus. Numerus hiro qua ration ut roductus, eadem si producamus ar ω, rem confecerimus. Proonde loco binari' alius aere ui est, curau Padruplum in raductum, o procreet. Nam 'interuasti inuentis hocaeo. ιt, abis in J metuosigna prudens multi dicatum isse ad quadrarorum miri ris inuentioncm, ct ι ubtractione mineris quadrati de minore, aquai produc u in Fadiectum Sicut ergo octies o Io, fecerunt Ita quaeremus numerum, quipres multiplicaim. at faciat. cuius quadrans sitidem ut a. quadrans de octonario aditus se derrat vi r Puadratis Asbiote, primi e sicundi siste j exhibeat. Compendio hoc duxit Dieph ius, intes I uoluit, loco Mnardi abum quaerendum , qui hersa multi bra us, 2I pro eat . Ego cauam somnisnstrare Molui. In entio eiu 'nὸ ρuerilis t enim set. Ergo primis Metur L o scundu l .summa, Mi ante, Io Secundum δε ρ fer, habes reb, quum tertium. uiata sunt hoc loco Diophanti ueris, ut se iniri ., amno cundus orteritus, uerum hic d mma ,sir summast conficiunt. Hi ergo I ritus t -- l. Urseveratur a medio quantitate . uadratum maximi ea s
triptum Gub quo sum primi ecundi, summamprimi es terti' excessit. quod erat miti m
ter an quadrata sit, nondum ti N. Ea autem ea να-2 l. mis rimam mea Mart m ate , c Dίi indagandos numeros D. ophan eos, corrigendos et si haram rei cmst ago linquam. ipse de me olom quaeshonem. ν - τι minuriamen in nimis terminis evre s) aequantur quadrato. Poteram his per . p. aut alium quadratum muti Icare , . . cime per IL A enim V-ar aequarentur qua rato. xerium id tu sit ac et struere. Ponam mus latus qxadrati cui ρα r aequari debeat,esse I et ι N.A. mira , caus o cra oes omitto mi si circi tau qthaec negociauniis requirλὶ ω est,ia ammiamnes te feci ope Ni cse I Nuntiate O minor, Hadratus quos eius unitate no ε ab , n dis ut seret. Haec per sis quas uera, nemo nostatim uidet in numerorii tractat Due fotus. Hab boc quadratosubducemus . lagitat hyposta sua ut ualor Numeri unotatu reret iii) ae in diocri attentione consiquemur. de ρ N quidem dubitari nepote . quin ad mutuo a
147쪽
DiopRANTI ARITAM t Ticis ad ciemus, negariuo deberesigna opulari abo in absurdum quod erat co cmmum, ut G se ostendit.:uanto maeis auxeris numerum unitatἄρ' 3 2 subtrahendaru, ut titus geni quadratico quare ramo maiore ore i Nunitate ; et ratiocinando peres res, uia experieri aidebis ut nouis et perplexi, hypothes plane sitsuper caneu uti. Si per qui de aeraris rexit duplum eius quod τι unitatibus in numerum N ad rapto A Zis tu detur aut quadratu. hara ipsarῶ unitara, adscitis .nam i e ciphrata ductas hocseu mistrat. Ergo nis quadratus qui sit unitatio sign-M, P annexis insi multiplicati excedat aliquanto duplum ei, quod dis unitatibus ms qui e PN numerus nuce cis r. Proinde amamus latis Cerit quadratus st a tyo -so Maequale ρ Ex os aequamurso N. Habet Diophanteos numeros, nobu ratione certa in minimis ures tibus oblaros. cr in his aequissemus, alioqui statueras P onere pro quadrati latere. Se cilicet mos gerendinea Diops
i P. Horum quadratos, cir reliqua nolui ad cribere, ne patrociniam xtremis cepisse industri,s exis aripos .magna nubi molemori rem emere explorares in numeris. D si puleram haesumpartes, putara gula, cisericulum frae diligentiae facere in examinandis etiamne g. ego hic compendia Lo, fices trado. Consirmare ame hoc' um, numerassati,
cer salutis, quos nosserhibuim. u.rediguntur aut per communem me noram ad minores iusdem nominis. tu arderas.
c A R V M LIBER Q V l N T v S. . Entur tres numeri proportionalitatis geometricae, ita ut quiuis corii mul I tatus certo uno aliquo numero fiat quadratus .stq; iste numerus u . Est aut geometrica proportionalitas, quando num crus qui sit extremorum altero in alterum multiplicato, quadratus cst med ij. Qii πιο numerum quadratum quiudetractis fiat quadratus, quod facile iit, & est r . pono alterum extremo rumi ergo medius crit 6 N. Restat ut horii uterq; demus i a sit quadratus. Quadrato a a. que aequatur cum i-ia,tum 6 N-ir Horum interuallum i - Ο N.iamctituri N, mensura iN-6et. quorum interualli semisus in se si ducatur, sit 160, quod aequatur minori,sive N ita fit 1 6i Ergo positiones si adhue exigantur, erit primus a secundus seu medius 3 6 I tertius 1332 .
Deiphobum apud infros Aeneis no tam di culter agnouit, ais ego sensium o formampulcerram huius is roportionat
m Euclidis. aeruntur ergo tres numeri comi e proportionales, quom qui fi ta arue is sit Padratus ps m opus docet, quadrates eos fore antequam mulsentur duodenarior utin extrem . duerbis hie αμ ον υ - ς ε ο R mutila sunt, ct quadratum requiri, cursi feratur re, maueat quadratu res ipsa docet. nisi enim quadratus est,multiplicari per radix haberi udrata nequiret, ut ex annotatu a Campano es nobis ada noni Euclidis pi erit bubis 'mile huius, diser, e quadrati meminit. uomodo ergo is quadrat mmueniatur uidui secundi noster docuit Diophantus. Postvit aute ιN I Nir. ira quadritorum isse en iis o Ni I aequatur ra. t t 2 oz.ergo altre 6 quadratum huius,ut materis, o
detra Donis 12 iiens non mutata natura, .a . Is ergo eis maximus. minimus I V per eum
148쪽
Me eis , ad ce quadrata huc ei rus.l ruet. Sunt ergo a 'ri. ct ' tres numera doti,nenterproportionales, quod in minus exercitatorum gratiam demonstrandum duxi. Porr. M
risus lateras Q. L Uer υ md cet tertio. rebuquitur: ο quadratin titeris . Viris etiam hui Osistit alis ictum an Ome. Si tu opere per X i secundi positu sim ι R. ct ι a quadratum inuenis ατ ισ. quo tosito pro altero extremoria, res in aequalitate uis per deduc Ia, numeris D IMI m. Si 1 τ ι I.quadratu ut sit rab circ. Nam persequi omnia non habeo necesse, satis Hi indicasse. ii Dentur tres numeri continuE proportionales,quo risi quiuis detracto numero qui praescribitur,fii. v qu.adratus. iitq; praescriptus numerus zo. Quaero quadratu. qui adiectis ro fiat quadratus. is eiu I6. Hunc pro altero extremorii pono, pro ultimo ic ergo medius cst N. Ergo, ut in praecedente propositione, retiat ut tam N t roqv. 1 in I Q t ro aequentur quadrato. Horum interuallum est I Q - . quem copO- nunti N S iN- sua multiplicatione. quorum interualli lemissis in se multiplicatus, facit quod aequetur Ntro, minori quadratorum. Est aute hoc absurdae, cum oportuerit non cite minus quam a G. Est autem quadrans numeri io. Porro io numerus est non casti & temere Oblatus: sed quadratus est . qui adsumtis ro faciat alium quadratum. Quaercndus ergo est quadrariis,qui ctim quadrantem habeat, maiorem quam est ro, tum adicitis ro fiat quadratus. Vtiq: quadratus hic erit maior quini So. Est autem si quadratus, maior octogenario. Ergo si latus quadrati quem quaerimus, ita tuamus i Ni 9, crit quadratus I Qt is N t 8 I. Is ciam 2o, quadratus cile dcbuit. Ergo i istati Ciae qumtur quadrato.Ponamus eius latusi N ii ii et quadratus cius 1 t iri et a N aequalis 1 Qt is N i ioi. iit i N, e so cum quaesiti quadrati latus suerit iN t 9, crit quadratus cius Vo . Recurro nunc ad id quod initio erat positum,& extremorum alterum statuo ψοἰ: tertium i inerit medius 0 et N. Iam coiiciatum est, ut quaerant quo pacto δ si Ni zo, dci Q t ro aequentur quadrato singula. Interuallum est i si N. quod meritur iN, mensura iN-ς . interualli huiusce semissis in se ductus facit 36 i. quod aequatur minori, scilicet u: N t ao. Fit ι N, i .ergo secundum posita erit primus so , secuidus 389
XYLANDRI . . Vis ima haec liquid unt falsa. Insuperioribus quaedam mendosessunt, quorum emendatio ex Mersione nostrape pote pro μεοος κω μειρον, lege τε ρπι ομῶ ον. Nam cum mnone numeri 16 qui quadratus, etiam ro auctas quadratus manet tu ab sedum incia set, quod quadrans eius cum Ni ao aequaba ursensit loco ro alium quadratu onendum, qui zooiectis quadratus itidem fieret, ed adrante haberet qui as excederet unitates. quam omnino futurus erat, quis ter syor haberet unitates n. Eu ergo obseruatione digna haec hypotheseos siue ut noster j 0ρ aseos correctio artificio ima. Latin etiam qua rati deinde t N-υ c Lyaeestatuit . ut absolutio numerus a bor quam to eret, C Nex peret, aequati . abiectis utring 1 α ab olueretur. Nam ros abiectis utrins, ct additis Pa si ro' tu o morιN eis omnino ἰ. or latus quadrati r ω ρ, est ρ . quadraretu sto si
'U. Porro numerorum, quorum unius in alterum ductu inter mensurae ct m tiretis
149쪽
ram soI.ct mulisticatiosic instituitur. - permultiplicetur, c . in Tantad sit si meae missi ducatur. Sunt ergo tres instenti numeri cominenteres roportionales. x faede primo a o et1ι- quadrat m, lateris - . sicundum, i , adde Η. scilicet zo in habes quadratum cui
ergo desiderari iurepotest in nostrasse, ois numeris ex qui Acornos Graecos, ita urdebitur. tii. Dato numero tres numeros adij ciemus, ita ut quiuis eoru & qui a binis producitur quibusvis, dato numero assumto sat quadratus: sitq; datus numerus s. Inporismatibus hoc habetur, Si duo sint numeri, quoru tam uteri:, quam qui ex ipsis producitur unius in alterii multiplicanoe, semper dato numero adiecto fiant quo dratiaeos exortos esse a duobus continenter proximis quadratis. Duos ergo quadratos ordine se consequentes statuo, laterum i Ni 3,&i Ni . Quadrati hi sunt,al
ter i Qt 6 ut o alter i ut 3 N ti6. Ab utroq; horum tollo s. & statuo alterum i Qto Ni ,alterum 1 Qt s N r u.Tertium summam horum. demta unitate, scilicet tas Niro. Restat ut hic quom adscito quinario sit quadratus. Ergo as Ni 3 aequantur quadrato . Eius latus a N-6 statuatur. fit quadratus Qt 36-2 N. quod aequetur Qt 28 Ni 3 .& fit a N, et O. Ergo secundum positione sininus erit a Sol. secundus 76 3. tertius 2336.
iv. Dato numero, inuenire alios tres, ita ut quiuis ipsorum & qui ex binis qui busq; fit, detracto dato numero faciat quadratu. Datus sit 6. Rursum similiter duos expono quadratos deinceps in ordine quadratorum constitut6sanaum i alteriii Qt a N t i. his ad ij cio datum fiunt primus a QI 6. secundus i Qt a Nin tertius itidem sit duplum amborum demta unitate hoc est in N t i Tti N, i . Ergo se
' cundum posita primus est 996. secundus 7 a 9, tertius 2 66. XY NDRI. Harum duarum propositionum explicationem sinon adfero, rarinon debes. μου ationes uera sint,nessori a cui innituntur squod exi bri, de pro retari s numerorum Aautoresicriptis deseumtu uisse innaret quos desideramus expressumsit, mA. cum eo P λο laser,ut nes cum ipsafropositione consentiunt. I Meamus aequarienem c d ιι- .. equatio latuitur inter t ar Nis. ct assis a /- a ciuntur retin- ίtur aquatitab inter a --a se IN. ergo a quantur sa P Itur Neu . mea υ ps fis autoris accommodemus. Eror Licra quadratorum I Proindei quadrati se uorum urruns ubi Prnario multaueras, habebis/ri mum quaesitorum eondum est . uod ad tertiam attinet,aequatio ipsa demonserat eudViam stonisumma ipsorum numerorum unitate multatum. Nam sis aer o NI ct i sNt Π addas.a. Ni is summa erat cuius duplo . Ut as Nisos nitatem ab Heras, marNraρ relanguitur'o tertio, qui addito quinario deinde in qua rato lateras a N-σαquetur,ut i Lar A. Ergo terti in ea omnino -Cn. . In Graeco aequat nustatae numerat missus in, perhibito deis minatore qui contra deriiselationis numeris, ultimo etiam numerat re ambiouescripto. nt ergo qui quaerebantur nummo ε' au hos i sim otes. rao siesper loret ar sit s. Proinde utpostulatissatisfacit quaestionis, se seriamus. De primis, qui 1 ut . Miccio, quadrat ant,d tu non eis, cum sini ex ,1 thesi quadrisi quin ris multati. x faedes etiam ad teratum,nempe aram, et numerator nam de denominatore insit quadratus. dubitat causa nusia relinqui r) 23 Iσ, quadratus, ala terris . Ergos aditu seriis i uentorum. Primo insecundum multiplicato uni V . , se adris, ceu numeraror aMfraas,omnim quadratus a latere .pis triface peracris ei iam in retiquorum binorum multiplicatione, se qum ' adproduc Ium adrectione. Leram ergo intentosi simi huiusproblemati lationem eruimus. Sapere iis ut pse sina etia tu ab essea is adea am retrorsium instituta at inuestigemus. a uo loco meminens nos helcnon meo esse utproprietates numerorum demonstremus, nes enim arithmeticam heic Gn cen tractamus j se ut Diophantum interpretemur interam non diomutantes, in hoc nere Astebricas operationes irini demonstrationum obtinere, quod es ahbi, se adsuperioris i sei quadragesimam artam opositionem docuimus. Hoc quos tenendum, quod ex Ara telea analytica Larina d. - κει seu cere unius exempli, quo tota καθίλου repraesecum
150쪽
L Ir s. V. mnis db is seu mur. Si de duobus: qua ratis, qu rum latera unitate iser. rvt,rta numerusa Tlieorema d. tiu bducatur, ut duplum ummae res seruunitate multato dems ad Diatur, a. Hatiti caci ut trium horum residuo; arm bina os producunt numeros altero in alterum mus ra unii Me dici luate, hi eodem iugo aut ii numero, Z ques quadrat ent. Sumamus aeuos quadratos, qu rum latera unitate disseruxi, ct p. o quaeramus numcrum qui ira is utroque eorum auferatur, ut d pD quo'. re duom ummae unitate miacato ide additus, quadrati actatnon enim quius in mi erus hocprolat, etsi nomeri i praestent. tamur 'ebra. Esto Age num rus ix residua orgo -rrito p-txhorum summa υ-a nc, duplum 2σ- innit te demta et ei P .stas I aequale quadrato. Deligendus eis quadratus ut minor sit quam a as ab eo detrahenda sere Au per charactere si tu diri Edia esse,iatio Lictat.1 ergosum us, qui a a subductiu,st relinquit, qui per I sin minuidis diuidi potes atro ui uel , vel , ucle ractis alique ortu ad scere innumeris modis licebat:
i Experiam ris o apsublatis, residuaseunt i GY L horum summa r. duplum citu irate demta .huic 3 ad ,habes IGquadratu.Sunt ergo tria residua, I, II. quom bina quesso iacui, ius auctas, ad tussiat. Na rima in tertia si duco, habros tria quadratu unt. secundo in tertium ducto, funt, quaecussunt II. Primus in tertium sunt 13, ias, M.Aliud. 1o cras eodemodo tractemus, aet-s N aequatur quadrato. Is se so ut re dispers dis di
tale des Ia Iocissi ad , imo quadratus co rata esidua tria Lio.at. quadrati quis,ut produmb no se aedis lecto, s. aas Io. Canon. Semper enim si tales duos quadratos addas inum- unitare a ias relinquitur quadratus. a quos θῶ minore detraxeris , re ister sdixi se emergat is qui quaeritur numerus. Demonstratio exi a operatione et, Meia, siquas m in riter exercitarus. sic eam h mitto. Eande ergo quartae ctia nauemus propositismi, L Quartae optad, theoremati omnino inniteri, era. hebete enim e eoportet qui si ultro, ut e tot similibus quaestionibus tractaris noperceperiispositiones ut uarientur additione in mutatione detracta. Pro minore quadratostonituri quod insuperiore fecerat autor, ne i q--sρ toprian Deo, signa -σ t aliquid ostiae est errent inter se amissa in hypostasi Aquae cautio ut minime necessaria, ita elegas tamen esto cae da. Danihil rauimus. Primus fit 1 o, ut duro inde ademto, maneat quadratim cudus ivi a Nir, quia o abiecto, quadratus relinquitur 1 rat a N t r. Tertius duplia hortu, minus unitate, t assis. i cum ipsi etiadere Io o quaaeratus fiat, aequario obtigit inter 'iq. se quadratu t af-ao a Dicte a N-s. 2 a ta numera Diophatri sint deprauati n/, quorsum in i u corrigendis ego torqueremticum de meo liceat expedita romeresolutione. Tu, si tibet cruacat na mihi uix ad haec repassuefit correctione uenare. Nostra aequatione inpressitur '. Ergo primus ei r
mina oreti re ae stilateris D quadratus. Eodem modo scaeteros binos examines: compertia
habebi, legi imp omnibus esse at factum postulatu. V. inueniantur trcs quadrati, ut que duo qui csiq; faciut planii, siue addita siue dea tracta eoru summa sit. quadratus. Rursum hoc in potismatibus habemus. Omnib. duobus quadratis cotineter proximis ad iugi potest alius numerus, duplus si inaniae ipsoru & binario amplius ei 6 maiore tres numeros facit, quo sit bini que R ducsit, is amboru summa uel detracta uel addita fit quadratus. Ergo trisi expolitorii qua dratoria facimus primu i sint a Niti secudit i Q Ni . teritu Qt i a N. Restat ut huc quadrato aequemus. sed oc quadras eius quadrato aequalis est. Ergo i 3 Ni 3 aequantur quadrato.Huius latus fingo iN-3. est ergo ipse i Qt 0 - 6 dc aequaccii Q 3 Ni 3. Ersti N,.. Ergo secudii posita, primus erit 23, secudus 6 ,tertius 196.
Ea um hoc esse nulla ne octo depraehendes. Naa r es o si mi D. Er as in O ducto sunt i a. ad usumma, et Isis se .ruferas,riu. at horu neuter ea quadratus. Sed o ori a veru comodo quo traditur, etsi corruptὶ tractur,ueraUo eis. Hoc costat, si duo quadrati ordine sumu- pH cotinuisumatur, si adii gatur duplussum ipsem, binario auctus: qui sis binora mul pio prietat. iplicationesumma in uaddita quadratu esse. Verbi gratia ct ρ quadrat unt, inter Post nastas