장음표시 사용
71쪽
72 DE QUADRATURA ter se non possunt comparari, quia non continentur
sub ultima aliqua specie: est enim latio genus quoddadiuisum in plures species, nimirum in lationem recta& orbicularem. Sic etiam inter se non possunt comparari linea recta & orbicularis, item linea recta rationalis, & linea recta irrationalis: nam linea non est species vltima, siquidem diuiditur in rectam &circumserentiam item inea recta non est species ultima,quia diuiditur in rationalem & irrationalem, quae tota natura inter se differunt. Animaduertedum igitur est, ut mo net Aristoteles, multa quidem videri, quasi non sint aequivoca, re ipsa tamen esse aequivoca: nisi enim duo aliqua eiusdem sint naturpinter se minime comparari possunt: eiusdem autem naturae sunt illa, quae in specie aliqua indiuidua conueniui: sic color albus cum albo,
& linea recta rationalis cum rationali comparatur: cΟ-lor autem albus cum nigro,& linea recta rationalis cuirrationali conferri nequit: quia haec genere duntaxat, non autem specie indiuidua conueniunt. Insuper notandum est,ea quς inter se sunt comparabilia, necessario haberi communem aliquam messeram, iuxta qua
aequari possunt: quod si aute inter se aequalia fieri pos
sint,poterunt etiam maiora & minora dici: si non pol sint fieri aequalia,neque maiora,neque minora dicentur. Eadem ratio est superficierum, quae est linearum: 'quae enim superficies habent speciem ultima, ut unius sint naturae,illae inter se comparari poseant sic circulus
72쪽
micacium circulo, & superficies rectilinea cum superscie r Glinea,& quadratum cum quadrato,item triagulum cum triangulo cosertur. Quae autem superficies in genere duntaxat conuenilit, neque eandem habent naturam in specie ultima illae cona parari nequeunt: talis est superscies circularis & rectilinea. Loquimur autede tota superficie circulari, & de tota superficie rectili- nea:in partibus enim harum superficierum nonnun- qua potest certa proportio inueniri. Sumit igitur Aristoteles, circumferentiam cum linea recta nequaqua comparari posse .quod in epharmosi Antiphontis maxime est perspicuus nam quantulacunque sit portio circumserentiae,ea utique non potest congruere ad latus rectum trianguli: nec minus cuidens hoc est in epharmosi rotationis, cum & ibi minimum punctum circumferentia: no possit applicari ad minimum punctum lineae rectae. Concedent mihi libeter sagacissimi mechanici,quod epharmosis rotationis incipiat a certo puncto: atqui hoc assirmare nequeunt, quod punctum circumferentiae applicatum ad punctum lineae rectar,sit punctum indivisibile certum enim est, quod istiusmodi punctum in sensus incurrat,& instar continui in infinitum diuidi possit. Quod si ita est, necessario sequitur, etiam minimum punctum in circums rentia,curuum esse,& minimum punctum in linea re- uni cta,rectum esse, ut epharmosis locu habere nequeat:
oalintim duo para i specie a albo,
73쪽
DE QUADRATvRActa eiusdem esse naturae, & propter exilitatem negli posse. Prosecto si isti Mechanici diligenter contemplarentur angulos contingentiae,longe aliter iudicarent: quando enim rota mobilis in linea recta reuoluitur, semper fiunt anguli contingentiae, ex linea scilicet recta.& gibba parte circumserentiae procreati:qui angi h licet sint omnium acutorum minimi, non tamen flocci faciendi sunt: ex eo enim ipso,quod hi anguli in- ter se distincti sint, costat minimam portionem rectae lineae & circumferentiae suas proprietates naturales seruare.Idem manifestius apparet si anguli conting tiae extra circulum facti, conserantur cum angulis se- micirculi proxime adiacentibus: quantum enim sp tium desideratur in angulis semicirculi,quo minus recti sint,tantum est spatium angulorum contingentiq: istud autem spatium tantillum est,ut vix oculis disce
ni queat. Sed contra hoc axioma, quod rectum nonpplicari, adduci potest quadratura
possit ad curuum a1 circuli,ut monet Simplicius: fuerunt enim olim quida artifices, atque etiamnum nonnulli reperiuntur, qui existimant circulum hac ratione quadrari posse, quod circumferentiae detur linea recta aequalis: id si veru est, facilime describitur parallelograminum altera parte longius,quod aequale sit circulo. Quid ad hoc respondendum sit,perspicue docet Simplicius, libro septimo Physicorum, contextu M.quando sic scribit,
74쪽
di τώ q. hoc est. Cum de hoc dubitasset, ostendit no Omnem motum omni motui comparabilem esse. Noenim est omnium communis aliqua mensura, sed qui sunt eiusdem speciei, inter se tantum comparantur. id autem ostendit per impossibile, in duabus lationibus, primum in recta & circulari, assiimens id, luod iam ab ipso demostratum est, nimirum aeque velocia esse, quς. in aequali tempore aequaliter moueantur: & infert impossibile ex eo si motus isti comparabiles sint, fore ut linea recta aequalis sit circulari. Si enim aliqua aeque velocia sint, tuorum unum in recta,alterum auicin incirculari mouetur: aeque velocia autem sint illa, quae in aequali tempore,aequaliter mouentur, recta erit in qualis circulari. Hoc autem amplius quaerebatur,an li
nea recta possit aequalis esse circulari id id magis igno
ratur. Et propterea neque circuli quadratura inuenta
75쪽
7ς DE QUADRATvRA est adhuc: licet autem nunc inuenta esse videatur, in uenta tamen est cum quibusdam hypothesibus cotradicentibus. Causa autem,cur circuli quadratio nondast inuenta,haec est, quod adhuc quaeratur, an recta sit aequalis circumferentiae cur autem hoc lucri non debeat,causa est,quod haec aliquando inueniri sit impos sibile, quemac modum nouimus diametrum esse incommensurabile lateri, idcirco hoc non quaeritur amplius. Hactenus Simplicius. In histe verbis significat Simplicius,eos plurimum falli,qui existiment, lineam rectam ideo posse aequari circumferentiae, quod quadratura circuli inuenta praesupponat hac hypothesin, scilicet circumferentiam circuli per epharmosin fieri aequalem lineae rectae. Sed falsa est haec nypothesis: siue enim spectemus epharmosin Antiphontis, sue etiam
epharmosin rotationis cosideremus, manifestum est, quod per utramque tollatur sectio continui in infinitum. Vult igitur Simplicius, per epharmosin mech
nicam postulari, quod in geometria nullum locu h beat. Quamobrem ait Simplicius, hoc certum esse inquavis quadratura circuli falsitatis indicium, quod ad
eam semper sequatur manifestae contradictiones. Neque hic est praetereundus locus Themistit, qui libro
septimo Physicorum expresse fatetur,lineam circulare cum recta non posse comparari, sic autem inquit,
76쪽
mech loculivine gela quod ne tu
autem omnis motus omnibus comparabilis. neq; est communis mesura omnium. quid enim simile habet passo cum lationes sed neque lationi communis est mensura cum circulari & recta. neque enim interualla sint comparabilia,scilicet circularis linea & recta. neq; enim una maior dicitur quam altera,neque minor. Ex his omnibus manifeste apparet, Aristotelem causas iustissimas habuisse, ob quas voluerit impossibilem esse quadraturam circuli: nec quisquam interpretum ita ineptus & imperitus geometriae fuit, qui contrariam sententiam defendere niteretur. lam quaerat aliquis, quomodo ex his duobus positis fundamentis Aristotelis,sequatur impossibilem esse quadrationem circulis respondedum est, vidisse Aristotelem, circulum redigendum esse ad figuram rectilineam, si quadrati d beat: quemadmodum ostendit in capite is.libri secudi Priorum Negat autem Aristoteles, circulum posse redigi ad figuram rectilineam ,ita scilicet ut tota area cim latis exactissime sit aequalis figurae rectilineae. Quauit enim multi hoc sint aggressi, ut ostenderent figura rectilineam, nimirum triangularem aut parallelogramam altera parte longiorem, aequalem esse circulo: tamen nunquam sine contradictionibus manifestis propositum obtinere potuerunt. Certe totus circulus
tauquam potest redigi ad figuram rectilineam, ex qua
77쪽
ad quadratum transeat: potest quidem circulus diuidi in multa spatia rectilinea, sed pi urimet ad circumserentiam portiones relinquuntur,quq non sunt rectilineς, nec aci figuras rectilineas reuocari possimi. Deinde si maxime aliqua pars circuli, ut est lunula Hippocratis, possit redigi ad figuram rectilinea, non tamen omnes partes circuli tales sunt lunulet,ut ad figuras rectilineas
reducantur. Praeterea si concederemus, perimetrii ci culi cum diametro per certam mens iram comparari posse: nondum tame sequeretur, quod tota superficies circularis posset consormari in siguram rectilineam. Etsi enim mechanici putent, circumferentiam in lineam rectam explicatam,posse coniungi cum diametro circuli ad angulos rectos, ita ut inde triagulum orthogonium, aut parallelograminum altera parte longius, aequale circulo constitui videatur: non tamen animaduertunt, circumferetiam cum diametro in ipso circulo non essicere angulos rectos, ac proinde neque extra circulum circumferentiam in rectum extensam cum diametro debere e licere angulos rectos. Quare
plus semunt Mechanici, quam ipsis ex principiis geometriae concedi possit: nam per propositionem is M3o. libri tertii elementorum Euclidis,euidenter demostratur,angulos semicirculi, qui sui a diametro & circumferentia, non esse rectos, sed minores rectis: nam in solo puncto contingentiae deficiunt, quo minus recti sintiboc autem punctum certa quantitate definire
78쪽
non possumus. Quod si igitur non possimus demon-
strare, quaesit mensura angulorum semicirculi, cum tamen ad rectos maxime accedere videantur, multo minus aliorum angulorum in reliquis segmentis eius dem circuli certam mensuram comprehendere poterimus, cum hi segmetorum anguli multo magis a natura rectorum dessectant. Et quid fiet de angulis minimorum ad circumserentiam segmentorum, etiam sensum omnem penitus effugientium t certe nulla in his vel angulorum,vel stiperficiei erit mens ira. Haud igitur immerito exclamare possumus,Tantae molis erat cita una quadrare rotundum
Declaratur propositio penultima libri primi
oobilissima est, iuxta qua omnia examinare Opo tet, qua unquein tota Geometria demonstratur. Eatalis est, In rectangulis triangulis, quadratum a latere rectum angulum subtendente destris tum, aequale est duobus quadratis, quae a lateribus rectum angulum continentit, his destribuntur. Demonstrationem huius theorematis,cuius inuentio Pythagorae tribuitur, repetere nolo: est enim notissima, & a pluribus comm ratoribus fideliter exposita:id tantum hoc loco agam,
79쪽
ut corollaria quaedam ex hac propositione exstruam, quae immensum usum eius patefaciant: & ut ostedam friuolas esse rationes mechanicorum, quibus dehaonstrare conantur,inter perimetrum & diametrum circuli exactissimam ex principiis geometriae proportio- i. nem dari. Primum corollariu est, quod cognitis duobus lateribus quibuscunq; trianguli rectanguli, poss-mus peruenire in cognitionem reliqui lateris. Repet naui figuram, per quam supra capite tertio inuentum Archimedis declarauimus. Ecce datur triangulus rectagulus in semici culo, cuius latus DF est septem par tiudatus autem F Eest 1i partium, dabitur igitur reliquulatus, quod angulo recto opponitur. Notandu est,quod hic dentur duo latera rectit angulum coplectentia:orOrtet igitur homiluoru laterum quadr ata simul addere,& ex aggregato extrahere Radice haec enim Radix erit qualitas hypote- ruta. Verbi gratia, quadratu ex septem est 9. & qu dratum ex zi est i. quae si simul addantur, essiciunt
80쪽
quadratu lateris subtensi, scilicet o. cuius Radix est quantitas lateris indagandi. Si aute detur hypotenus acu proxime adiaccie latere, oportet quadratu minoris lateris auferre a quadrato maioris lateris, & mc remanebit quadratu tertii lateris. Verbi gratia, hypotentisast partium io. quadratum igitur erit ico. & latus proxime adiacens sit quinque partium, ergo quadratum erit 11. si iam minus quadratum sit btrahatur a maiore, velinquentur 71 quod est quadratum tertii lateris. Radix igitur de quadrato s. erit quantitas tertii lateris. Sumamus alia exempla:in triangulo aliquo rectangulo dantur duo latera, quae complectutur angulum rectum: unum latus habet 6.partes, alterum est 3 partiti:
quadratum de 6 est 36. quadratum vero de 3 est 6 . quae duo quadrata simul addita, e sciunt ioo. scilicet quadratum lateris subtensi angulo recto. Radix igitur de quadrato io o. quae est decem partium, suppeditat
quantitatem subtensae. Si autem subtensa detur cum latere proxime adiacente, inuestigatur tertium latus, hoc modo: subtensa sit decem partium,ergo quadratuerit ioo .latus alterum sit octo partium, ergo quas tum erit 6 : subtracto igitur quadrato minore de in iore, relinquetur quadratum tertii lateris, nimiru 3 7.
cuius Radix, quς est sex partium,suppeditat quantitatem lateris tertii. Ex quo colligere licet, in triagulo rectangulo sic inter se omnia affecta esse latera, ut cognitis duobus lateribus tertium inuestigetur per e ,