장음표시 사용
21쪽
22 DE QUADRATVRAscripsit, partim circumscripsit, ita ut quatuor spatia
angularia quadrati,extra circulum extuberatia, sumerentur aequalia quatuor segmen iis eiusdem circuli ex tra quadratum prominentibus. Sic autem est argu- mentatus:cui potest dari maius & minus quadratum, cide potest dari aequale quadratum, at circulo potest dari maius δc minus quadratum, Ergo circulo potest dari aequale quadratum. Maiorem propositionem pu- tabat esse postulatum mechanicum: minorem autem probabat per diuisionem spatiorum extuberantium, quae inter se aequalia viderentur,sensu nullam differentiam animaduertente. Hic aiut interpretes, maiorem propositionem non esse uniuersaliter veram: non enim omni,cui potest dari maius & minus, potest assignari aequale: quia aequalitas affectio sit eorum, quae
sunt eiusdem generis 3c naturae, ut inter se comparari queant. Hoc probant per angulos rectilineos & coi tingentiar, qui inter se aequati nequeunt: nam angulus contingentiae minor est omni rectilineo, ut ostendit Euclides libro tertio elemetorum propos is. Et Campanus ibidem scribit angulum rectilineum non posse fieri aequalem angulo contingentiet qui a recta& curua linea intercipitur. Et paulo post addit haec : Ex hoe notandumquod non valet ista argumentatio, hoc transit a minori ad maius, oe per omnia media, Ergo per aeqVale. Nec ista,contingit reperire maius hoc minus eodcm, Ergo contingit reperire aequale. Et princeps Geometra
22쪽
rum Euclides libro tertio elementorum, propos Q. demonstiat angulum segmenti semicirculo maioris, esse angulo recto maiorem: angulum vero segmenti semicirculo minoris, esse angulo recto minore. Hinctamc non sequitur,quod angulus semicirculi, qui medius est intcr angulum segmentorum, aequalis sit re- . cto: narra per propos i s. libri 3. Euclidis, demonstratur angulum semicirculi omnium quidem angulorum acutorum esse amplissimii, non tame rectum. Et Campanus fidelissimus Euclidis interpres, candem sententiam repetit ad propos 3o lib. 3. elem. Euclidis, cum sic ait, Tra itur igitur a minori ad maius, non per aequale. Et sicut in rectilis is angulis, est reperire maiorem angulo semicirculi, qui a diametro & circumserentia ellicitur;)m minorem, non tamen aequalem. t monstratum cst in Is.
huius. Sic in angulis portionis i id est segmenti,) est reperiare maiorem recto S minorem, non tamen aequalem, ut patet ex Ura domon iratione dem Campanus ad propositionem primam libri decimi Euclidis, sic scribit, Sed hi non uni et niuoce anguli: non enim eiusdem sunt generis simpliciter curuum rectum: & paulo post addit, Plonum ergo ess,etiam quemlibet angulum rectilineum in finiatis angulis contingentiae esse maiorem. Hinc liquet, angulum rectum maiorem quidem esse angulo semicirculi, non tamen multo maiorem: quia angulus semici culi non differt a recto, nisi in puncto contingentia tella Campano. Sed hic obiiciat aliquis,quomodo igi-
23쪽
tur angulus contingentiae possit diuidi, siquidem per lineam rectam secari nequeat ut ostendit Euclides in
propos. I s. lib. s.cum tame necesse sit eum diuidi, qu tenus est pars superficiet: superficies enim & omne continuum in infinitu diuidi potest. Respondendum est, angulum contingentiae diuidi perimetris circulo - ru quantitate disserentibus: sic enim diuiditur a quantitate eiusdem generis. Huc spectat, quod resert Simplicius ad cotextum undecimum primi Physicorum, se subinde cum praeceptore suo Ammonio disputasse de proportione numerorum & magnitudinis, item de proportione curui & recti sed Ammonium strenue negasse,quod in omnibus eadem sit proportio. Verba
Dicebat autem noster praeceptor Ammonius, quod non necessarium fortassis esset, si in numero inuenia- . - tur hoc,etiam in magnitudinibus inueniri. sunt enim diuersi genetis magnitudines, recta, & circumserctia, α nihil,ait, mirum est, non inueniri circulo rectilineuaequale: siquidem etiam in angulis hoc deprehendi mus: neque enim angulo semicirculi, neq; reliquo ad
24쪽
rectam lineam insistenti, qui cornicularis appellatur, dari potest aequalis angulus rectilineus: atq; propterea fortassis, ait, etiam a valde praeclaris viris theorema tale quaesitum, usque ad hoc tempus nondum inuentum est,ne quidem ab ipse Archimede.In eandem sentetiam descedit Philoponiis libro primo posteriorum Analyticorum,cotextu 67.ubi ai verum quidem esse axioma in iis quae eiusdem simi generis,quod id,quod neq; maius,neq; minus aliquo probetur,eidem aequale habeatur : sed in illis, quae sunt diuersi generis, opus esse limitatione:etsi enim per omnia non possint conferri, quae sunt diuersi generis,ea tame in aliquibus admittere comparationem.Et Themisti us scribit libro uPosteriorum syllogismum Brysonis niti vago & communi principio,quod neque ad circulum,neq; ad magnitudinem sit accommodatum : proinde huiusnodi syllogisinum nequaquam dici posse demostrativum. Constat ergo maiorem propositionem, qua usus suit Bryso,non esse simpliciter veram:ad minorem autem responderi potest per distinctionem: potest enim circulo dari maius & minus quadratum, inquatitatibus
diuersi generis:sed inde non sequitur, quod pos dari
aequale:aequalitas enim est in viii iocis:sola autem i- uocassent comparabilia,ut Campanus testatur ad te
tiam definitionem libri quinti Euclidis. Idem loco citato sentit Simplicius, ubi vult angulum rectilineum, α illii, qui ex curua & recta generatur, diuersi esse g
25쪽
men sciendum est, si argumentum Brysenis ex princia piis mechanicis aestimemus, in eo nihil desiderari: etsi cnim linea recta ad curuam,& curua ad rectam applicari nequeat ex principiis geometriar, tamen modo mechanico applicari potest. Quare sic inquit Simplicius libro 1. Physicorum,contextu ii. ἄμωον οῦν Mi ικν
melius igitur est dicere, principium esse, quod impos . sibile sit, rectam lineam applicare circumferetis Hoc scilicet impossibile est ex fundamentis geometriae,fieri
tamen potest mechanice: ut enim lineam rectam per regulam siue circinum & siextantem metimur, sic etialineam rectam possumus ad circumseretiam applic re,si utamur filo teneo, aut regula flexibili: & contra, circumserentiam per aeneum filum comprehensam, possumus iterum diducere,& rectae lineae ς quare. Ad mittitur igitur a mechanicis hoc postulatu, quod cuia cunque lineae possimus maiorem & minorem dare, eidem etiam valeamus aequalem assignare, siue linearrectae, siue curvae considcrentur. Praeterea a mechanicis aequales supci scies recipiti tur,in quibus sensus nullam notabilem deprehendunt disserentiam: adhaec licet mcchanicis per coitos numeros linearum omnia
26쪽
CIRCULr, C A P. III. 27 interualla comprehendere, etiamsi non omnes lineae
in longitudine lint commensurabiles. Quod si igitur
iuxta haec mechanica principia circulum quadrare velimus , nulla plane erit dissicultas: ut autem certam ex geometriademonstrationem habeamus, qua persectissimam circuli quadrandi scientiam consequamur, non est cur multum laboremus. Quotquot enim ci culum exactissime quadrare conantur,lii omnes par logismum Brysonis reuocare coguntuCaduersus quos non erit opus nouis argumentis & rationibus pugnare. Hoc tantum requiritur, ut diligenter videamus, quem modum quadrationis & veteres & recentiores mechanici sint secuti, & quam longe a subtilitate geometrica aberrarint:cuius rei methodum nos insequentibus luculenter & perspicue ostendemus. aexplicatur modus quadrandi circulum, ab Archimede inuentuΥ. G A P v T III.
postquam vidit Archimedes,multos quide de quadratura circuli laborasse, sed parum commodi adi raxin exerccdam attulisse: operam omnino dare vo-uit, ut quantum fieri posset, haberetur ratio facilis, &ad opificia mechanica opportuna. Quare duo in dimensione circuli ante omnia inuest ada esse monuit: quorum primum est, ut mensura aliqua communis
27쪽
18 DE QUADRATUR A inter diametrum circuli & eiusdem circumserentiam inueniretur: secundum est, ut capacitas areae circularis
cum spatio paralellogrammi rectilinei exaequaretur.
Haec autem eo animo non proposuit, quasi inter rectum & curuum certa proportio, ex principiis geometriae confirmata,dari posset: hoc enim impossibile esse, selertissimus & diligentis limus artifex probe intellexit: sed hoc indicare voluit,finem contemplationis de quadratura circuli,esse usum,cuius praesidio machinas fabricari, & alia multa opera ad vitam nostram utilia esiicere possimus: proinde hunc contem plationis fine consequuti acquiescimus, etiamsi modus quadrationis non sit demonstrativus, ut per omnia respondeat principiis geometriae. Restat igitur,ut videamus, quo artificio Archimedes indagaverit proportionem, seu
proximam mensuram inter diametrum circuli, & inter eius circumferentiam. Primo quidem etiam ipse Archimedes postulatum Antiphotis secutus est,dum voluit, lineam rectam cum circumferentia per epharmosin aequari posse: si nimirum accipiatur rota aut orbis mobilis, qui a certo puncto in rectum circumuoluatur,donec ad idem punctum, unde moueri coepit, reuertatur. Quod cum factum suerit, censuit AG chimedes ineam rectam aequalem datae circumserentiaein superficiem planam extensam esse: & ut maxime aequalitas ista ex geometria probari no possit, hoc tamen putauit sussicere scopo mechanico, quod ex iudicio
28쪽
dicio oculorum ob factam diligentem circumreuolu-a tionem,aequales lineae deprehendantur. Hoc posito, accepit Archimedes circulum quadradum, cuius di metro ad angulos rectos incumbentem lineam con- tingentiae adscripsit, quae in longitudine aequaret circumferentiam , sicut ex epharmosi rotationis deprehensum erat: deinde ex hac linea contingentiae , quae adaequata fuit longitudini perimetri,secit diametrum maioris circuli: ex diametro autem circuli quadrandi,& ex triplo eiusdem diametri construxit guo latera, quae angulum recturn efficerent in circumseretia circuli maioris, ita ut diametrus circuli maioris esset hypotenusa trianguli orthogonij in semicirculo maiore constituti. Postea circino excepit latus maius trianguli, & illi aequalem portionem abscidit ex diametro maioris circuli, siue ex hypotentisa, quae per epharmosin aequalis ponebatur circumserentiae circuli quadrandi: residuam autem portione ex diametro maiore, ostem dii esse sere partem septimam diametri circuli quadra-di,quod iterum per epharmosin patuit. Hinc conclusiit Archimedes, non incommode totam diametrum maiorem,hoc est,circumferentiam circuli quadrandi,
in tales partes viginti duas secari posse, qualium septeponitur diameter circuli quadrandi. Ex quo probauit, proportionem diametri cuiusque circuli ad suam circumferentiam esse triplam cum una fere septima pa te. Hinc est,quod Alfraganus scribat, perimetrum ci
29쪽
3O DE QUADRATUR Aculi ter contineri in diametro, cum una septima diametri parte. quam sententiam omnes fere practici hactenus sunt secuti, ut ex sequentibus manifeste apparebit. Quia autem haec sine diagrammate percipi ii queunt,operaepretium facturi sumus, si delineatione tuiquam studiosis geometriae ob oculos ponamus, occx ea mentem Archimedis explicemus, quemadmodum practici sentiunt. Esto circulus quadrandus B ΚC.cuius centrum est A.
B. dimidia circum- serentia reuoluatur in lineam rectam E. & in linea rectam B D. appar bit totam circumferetiam aequalem
csse lateri subtenso D E. Diuidatur semicliametrus D B maioris circuli in partes undecim aequales,& totidem partium sit linea B H. Diameter autem circuli quadrandi huiusmodi partes habebit septem,&semiaiametrus eiusde erit partium 3-. Latus D F aequale ponatur diametro circuli quadrandi: id autem paulo maius ςrit,quam sit latus decagonum
30쪽
circulo maiori inseriptum. Linea F E ponatur triplo maior,quam sit latus D F. continebit igitur haec linea F E partes viginti una. Tandem ex diametro maioris circuli D E, abstin latur per circinum linea EG. quae qualis sit linea: F E. Quare haec quoque linea E G.erit partium ai. relictum igitur supplementum D G.
c5tinebit unam fere partem,qualium septena esst diameter circuli quadrandi. Quare tota diametrus maioris circuli continebit partes sere viginti duas. Constitutum igitur est triangulum orthogonium in semicimculo D F E quare angulus ad circumferentiam rectus
est, per propos 3o .lib. 3. Euclidis. Vt autem de inuento Archimedis iudicium ferre possimus, nobis inspicienda erit propositio penultima libri primi elementorum Euclidis: in qua explicatur proprietas trianguli orthogonii qui magister est matheseos,& acerrimus vindex omnium absurdorum mechanicorum. Haec est pro-
prictas trianguli orthogonii quod quadratum subtenie aequalc sit duobus quadratis, quae a reliquis laterib.
describuntur. Si igitur ponamus trianguli in semici culo descripti, latera rectum angulum amplectentia, ita inter se esse comparata,vt minus latus sit septe partium,maius autem contineat tripluna,videlicet partes viginti unam:certe quadratum lateris minoris erit 9.& maioris 4 i. quae simul sumta essiciunt o. quod est quadratum subtensae seu maximi lateris Radix igitur de quadrato o .est quantitas subtenia:quia vero