Tractatio geometrica de quadratura circuli, in decem capita distributa. Aduersus errores tam veterum, quam recentiorum mechanicorum. Scripta a M. Iacobo Christmanno ..

31쪽

32 DE QUADRATURA

hic numerus non est quadratus,ex eo quoque non nisi proxima radix extrahitur, quam Archimedes sumsit partium Q. ex quadrato scilicet proximo 8 . Quid ergo opus est,ut tam indigne in Archimedem nonnulli inuehantur, quasi multum hallucinatus sit in ostendenda proportione diametri ad suam circumferentia: non enim hoc inuentum iactat Archimedes pro vera demon stratione,siquidem aperte profitetur,hanc esἡ proximam proportionem , ex principiis mechanicis desumta. Obiicitur ab Aristarchis, subtensam esse r dicem surdam de quadrato o. itaque conuenientiussere, ut dicamus, longitudinem perimetri aequalem

esse Radici quadrati illius, quod decuplii sit quadratia diametro deseripti. Verum Archimedes usui mechanico consulere voluit, proinde Radicem proximam extrahendam esse iudicauit. Adhaec si maxime demostrationem aliquam geometricam iactare voluisset,& dixisset, tuadratum a diametro descriptum & decuplatum exhibere Radicem, cuius longitudo aequalis sit perimetro: nemo tame credidisset, hac esse demonstrationem,cum eius probatio ex sola epharmosi pendeat. Habemus igitur,quid Archimedes princeps mechanicorum sentiat de proportione inter diametrum& eius circumferentiam: si enim diametrus in septem partes aequales diuidatur,& tales viginti duae partes aequales in lineam rectam extendantur, hanc utique lineam rectam partibus viginti duabus constantem di

32쪽

CIRcVLI, CAP. III. 33cit respondere circumferentiae circuli. Quomodo autem area si ue capacitas circuli eruenda sit, ut parallelogrammo alicui rectangulo altera parte longiori,aut triangulo alicui rectangulo aequalis videatur, ac per consequens ad aequale quadratum reduci debeat, nucerit considerandum. Sane Archimedes voluit,parallelogrammon altera parte longius quod sit ex ductu li nex viginti duarum partium, in semidiametrum 3 partiti, luplum esse circuli: seu quod ide est, iudicauit

triangulum rectasulum, cuius latera rectum anguluamplectetia ita se habeant quemadmodii affecta sunt 11 ad 3 . aequale esse are circulari:seu quod idem est, censuit,parallelograminum altera parte longius,quod fit ex ductu lineae undecim partium, in semidiametrii 3 partium,aequale esse areae circulari. Vt si Σα multi-puentur per 3 '. producitur area parallelogrammi 77 quod est duplum capacitatis circuli: ergo dimidius ara telogrammi est 38 - . Sed 5c triangulum rectan- .gulum, cuius latus Vnum circa rectum angulum est 3 - partium,SI alterum est 12 partium,cotinet aream,

38 . Praeterea si accipiatur parallelograminum altera parte longius, cuius maius latus sit undecim partium,

& minus latus sit sq. partium: &haec duo latera in se

multiplicentur,producitur area 38 . quae aequalis habetur circulo, cuius diameter ponitur septem partiti,& perimetrus aestimatur viginti duarum partium. Ide confirmat Simplicius in commentatio postremi con-

33쪽

DE QUADRATURA

textus, libri secundi de coelo,ubi sic ait, D r. Q in

-άκυκλουε α δῶ. Vbi Simplicius etiam alium moduinuestigandae areς circularis, iuxta inuentum Archimedis, proponit : vult enim diametrum circuli multia plicandam esse in quartam partem perimetri, atq; sic produci parallelograminum, quod sit aequale circulo. Hic modus elegans est,& cum saperiore omnino co-gruit: sicut examen numerorum ostendit. Quod haec fuerit sententia Archimedis,non tantu ipsius arguunt demonstrationes , verum etiam multi praeclari viri, inuentum Archimedis in summo pretio habentes, abunde testati sunt. Scribit enim Proclus in propositionem 4s libri primi elementorii Euclidis,haec verba:

G u. hoc est, Et Archimedes demostrauit, quod omnis circulus aequalis sit triagulo rectangulo, cuius unulatuseorti, luς angulu rectum amplectuntur,sit quale semidiametro, alterum autem latus rationem baseos habens sit qquale perimetro Philoponus quoque in contextum 67.libri primi posteriorum Analytic

34쪽

hoc est, Solus vero Archimedes videtur hoc attigisse, quemadmodu Theon refert in primo commentario supra Synt in Ptolomaei exponens & demostratio nem& figure description in qua osteditur, parallelo graminum factum ex perimetro circuli,& ex semidi metro, luplum esse circuli. monstratur autem hoc per

deductionem ad impossibit hoc est , quod parallelo

graminum ex dimidia perimetro circuli, & ex semis diametro,neque maius possit esse,neque minus circulo. Vt etiam in duodecimo elementorum s Euclidis in multa theoremata ibi proposita, ostenduntur per huiusmodi demonstrationem. Locus Theonis, a Philopono citatus, exstat libro primo commentariorum in magnam costructionem Ptolomaei pagina ia. editionis Graecae Basiliensis: & nondum habemus commetaria ista Theonis in latinam linguam translata. Sic ait

est Sed quod a perimetro circuli ab c. 5e semidiametroeb. destribitur parallelograminum, duplum est areae circularis,ut Archimedes ostendit, cuius etiam osten- E a

35쪽

sionem deinceps exponemus. Et paulo post,hoiprius assianato deinceps propositum ostendendu erit, quod parallelograminum a perimetro circuli memidiametro productum, luplum sit eiusdem circuli. Hactenus Theon. Qui autem videre cupit, quomodo perimpossibile demoliret Theon, parallelograminum illud

nec maius nec minus esse, ac proinde aequale : videat illa,quae in comentario Theonis sequuntur: haec enim frustra a nobis adducerentur. Sed actuerte luna est, deductionem illam Theonis ad absurdum , non recte comparari cum geometricis rationibus ad absurdum deducentibus: nam geometrarum demonstrationes sunt certissimae, quare etiam absurda contra eas allata vim habent maximam. sic autem non sunt assectae omnes demonstrationes mechanicae: nam pleraeque ex incertis pendent principiis, ut si contrarium sentietes per impossibile deducere coneris, nullum reperias auxilium: talis est probatio, qua Archimedes ostendere conatur,parallelograminuma dimidia perimetro, &semidiametro comprehensum, aequale esse areae circulari. Si enim hoc per demonstrationem geometricam euincere cupiam us,oportebit ostendere, in isto parallelogrammo contineri quatuor quadrates circuli propositi: & possumus quidem tres quadrantes circuli in1patio istius parallelogrammi iuxta se collocare, sed tres relinquentur portiones parallelogramini, quae simul sinuae nulla ratione aequales quarto quadranti

36쪽

CIRCvLI, CAP. III. 37 demonstrari possunt. Si epharmosita mechanicam, Miudicium oculorum consulamus, dicemus portiones

relictas nec multo maiores, nec multo minores esse quarto quadrante circuli: ut autem exactam dimensionem habeamus, hoc omnino fieri nequit. Quare recte scribit Averroes supra contextum 6 . libri primi Posteriorum,sic inquiens, Propositio autem, qua usus est Bryso, pro 'stio dicens, quod ea, quae sunt maiora uno . in distositione ipsius, m minor avnolunt aequalia. Sed haec propositio est amplioriquam ut eam faciant Geometrae,

edi etiam non vera,quoniam non est appropriata magnitudinibus. maius minus in magnitudinibus stharicis oe rectis,non dicuntur ecundum diJositionem unam: hoc est, quoniam non dicitur, quod circulus maior sitsuperficie:

immo non est proportionalitas secundum veritatem inter lineam re iam oe circularem. Maxime autem hac propositione utuntur Geometrae, cum monstrant, quodmensura

circuli constituitur ex ductu dimidiatae diametri in dimiadium circumferentiae: in eo quo monstratur, quod rei, q est 'cundum hanc dis stionem, ni minor omni spe cie, quae est extra circulum, maior omni superficie, quae sit intra circulum: igitur ive cie quae constituitur ex durita limidiata diametri in dimidium circumferentiae,sala lis circulo, quonia fam circulus sunt minores uno eodem in distositione ua, hoc est omnis perficie, quae e citur ex- tra circulu: S t etiam maiores uno eodem in dissositione sua, hoc es omni super cis, quae e citur intra circulum.

37쪽

33 DE QUADRAT v RAVult dicere Averroes, quod mechanici decipiantur qui putant parallelograminum a dimidia perimetro,& semidiametro comprehensium,aequale esse areae circulari : non enim sequitur, si circulo possit dari maius& minus parallelograminum, quoa oporteat etiam aequale dari: adhaec si maxime concederetur, posse dari circulo aequale parallelograminum, nondum tamen

probatum esset,id tale esse,quod fiat ex ductu dimidit

perimetri in semidiametrum: quod si autem certo de monstrari nequeat, hoc parallelograminii esse circulo aequale,neque etiam quadratum huic parallelogrammo aequale factum, dici potest aequale circulo. Qui igitur circulum quadrare cupiunt, sic ratiocina tur, H datur parallelograminum altera parte longius,quod sit aequale circulo, latur etiam quadratum aequale cir culo:at datur parallelogrammum altera parte logius, quod sit aequale circulo Erso datur etiam quadratum circulo aequale. Hypothesis est certissima, quia omni figurae rectilineae, siue sit triangulum, siue parsiclograminum altera parte longius,potest costi tui aequale quadratum,per propositionem ultimam,libri secundi clementorum Euclidis. At minor propositio opus f bet inductione,hoc est assumtione particulari: qui autem eam probare conantur, non inducunt, sed abducunt,ponetes scilicet id fere aequale esse,quod omnino aequale esse debuit: ut eleganter ostendit Aristoteles

in cap. libri secundi Priorum. Etsi autem neciose

38쪽

iaptus, timetto, areaci, iri maiesat euan

n tamell

i dimit

e circo logram

ibdu-anino Iteles cipli Nub CIRCULI, CAP. III. 3 Archimedes ostendere potuerit parallelograminii altera parte longius, quod aequale esset circulo: attamerem maximi momenti inuenisse creditur, quod latera istius parallelogrammi utcunque circulo aequalis,iisdes artibus definiuerit:hoc enim ad praxin mechanicam perutile est. Quare non immerito reprehendedi sunt, qui ab Archimedis inuento temere discedui,finguntque parallelograminum aliquod altera parte longius, cuius latus unum sit surdum,& alterum certo numero definiatur. Quorum sane sigmenta nihil conseruiit ad usum mechanicum quin etiam horum auctores nunquam probare possunt, quomodo datum paralicio graminum alteraparte longius, ex fundamentis geometricis aequale detur circulo proposito : de qua re prolixius dicemus in sequentibus. Haec igitur est sententia Archimedis de proportione inter diametrum&circumserentiam.&dequadratura circuli,ut vulgus practicorum existimat. cnditur quibus fundamentis nitatur quadrat ira circuli a L pho Scaligero

excogitata.

CApvet IV. Ditus est liber nomine Cyclometricorum elementoriculus auctor in eos mirifice debacchatur, qui putant impossibilein esse quadraturam circuli: & asti

39쪽

rit, pristorum quidem omnium rationes sophisticas fuisse, teste Aristotele, se autem - - λογ ν nouam quadraturam circuli demonstrasse. Quin etiatanta est in homine isto audacia,ut non vereatur dicere, nouos esse quadrationis circuli hostes,qui quod ab antiquis fieri non potuit, ab aliis desperandum esse censeant:sed hos,cum ita sentiant, neq; ut Geometras pronuntiare, neque ut Dialecticos colligere. Accedit huc,quod istorum Cyclometricorum auctor tanta animi aegritudine laboret, ut dicat pernitiosum hoc

genus hominum, πρωρο εις τους α ρω os

Quare opportunum fuerit si nouum huc quadrationis modum diligenter examinemus, & aci lapidem Lydiu reuocemus, quo studiosi animaduertant, nor dum penitus exstinctam esse omnem geometria, sed illam Dei beneficio nobis tectam sartamq; remansisse, a qua certissima argumenta petere possimus, quibus false hypotheses non modo veterum,sed etiam recentiorum mechanicorum euertantur. Etsi autem cosu-

sumst chaos propositionum, quibus figmenta noua cyclometrica inuoluutur,ut Vix dignoscere queamus, quam sententiam conceperit Scaliger de quadrando circulo: nos tamen co siderato quodam corollario, ad paginam so proposito ex consequentibus anteceden- . tia intelleximus. idcirco nobis placuit,Vtin typo geO- metrico hunc modum quadrationis exhiberemus, &quid de eo sentiendum esset, perspicue ostenderemus.

40쪽

Corollarium Scaligeri sic habet: Ex his patet, circuli aream esse aequalem rectangulo sub latere trianguli inruilateri in eo ipse in cripti circulo, nouem decimis diametri concepto. Vult igitur Scaliger, circulum propositum hoc modo quadradum esse, ut diametrus circuli quadrandi diuisatur in decem partes aequales, ut eidem circulo inscribatur latus trianguli quilateri: quo facto dicit,nouem decimas diametri accipiendas pro viro latere,easque cum latere trianguli aequilateri ad angulum rectum copulandas , ut per multiplicationem lateris unius in alterum parallelograminum rectangulu& altera parte longius generetur: atq; hoc rectangulualtera parte longius vult aequale esse areae circulari Deinde huic rectangulo altera parte longiori aequale quadratum describit, per propositionem ultimam libri secundi elementorum Euclidis: atque hac ratione ostendit, proposito circulo quale quadratu assignatuesse Vt autem appareat , hunc quadrationis modu ad absurditatem Brysonis recidere, S ni- Ἀhil minus qua pro

positu demostrare: ecce proponam typum,cae quo omnia fient manifesta.