장음표시 사용
41쪽
α DE QUADRATURA Sit circulus quadrandus, cuius centrum est B. & di metrus est A C.diuisa in decem partes aequales, ut semidiametrus contineat partes quinque. Huic circulo
inscribatur latus trianguli isepleuri, quod sit A D. id
autem inscribitur iuxta propositionem 1. lib. . Euclidis. Quo facto,necesse est, ut supra semidiametrii B Cconstituatur triangulum iEpleurum, si puncta D MC. item D& B in rectum coniungantur, ut colligitur ex propositione 8.lib. 13. Euclidis, secundum Campanum. Vnde liquet latus D C esse quale lateri B C,siue semidiametro circuli quadrandi. Cum aute latus D C sit aequale semidiametro, necesse est, ut sit latus hex gonum circulo instriptum: per prop.is .lib. . EuclidiS.
Latus A D diuidatur per squalia in puncto L.& huius lateris dimidium quale sit lateri E G. siue A L. Comprehendamus igitur parallelogranamum rectagulum a latere A E, constante nouem decimis diametri, & a latere A Κ quod est dimidiu latetis trianguli iBpleuricirculo inseripti. Si quis iam dicat parallelogrammum istud aequale esse semicirculo,ut id probet,omnino necessarium est. Hoc enim probato consequetur, quod parallelograminum a nouem decimis, & toto latere
trianguli isepleuri circulo instripti comprehensiam, aequale sit toti circulo. HIC RHODUS HIC SALTUS. HOC OPUS HIC LABOR.
Sed qua methodo Scaligerconatur propositium situm adstruere' quae probanda erant, intacta relinquit, M
42쪽
in propositionibus nihil ad scopum facientibus prolixe immoratur. Explicat proportionem, quam habeant latera ista circulo inscripta & adscripta : hoc autem nihil facit ad propositum. Addit, quod diametrus ad perimetrum Due circumferentia, hanc habeat proportionem,si perimetrus in planu exic latur,&ex ea sat subtensa trianguli rectanguli, cuius unum latus circa angulum rectum se habeat in tripla propo
colli tion ad alterum latus,tunc quadratum lateris minoi FG φ os fore decuplum quadrati quod ex subtensa procreatur,& nonuplum quadrati, quod ex latere maiore describitur: neque hoc quicquam facit ad propositum. Omitto reliquam farraginem hinc inde consuta, qua fundamenta quadraturae circuli nouus iste Archimedis censor explicare nititur. Quis enim ita imperitus geometriae est,ut ignoret, istis parergis nunquam propositum obtineris si typus noster in piciatur aciled prehendetur,ubi sucus & causa erroris lateat: nisi enim demon strari possit, parallelograminum AE GK. quale esse semicirculo AJ H C. nihil unquam efficietur.Jmmo si parallelograminum istud duplicetur, ut eius dimidiu vergat in alterum semicirculii A ND C.& non possit ostendi, quod totum parallelograminia comprehensium ex latere constante nouem decimis diametri, & ex latere trianguli isopleuri circulo inscripti manifeste principium petetur. Quomodo autem aemolirabitu parallelograminum A E G Κ, aequato F α latus9c
43쪽
esse semicirculo A J H C. aut parallelograminum AMO E,aequale esse semicirculo A N D C. nisi ratio
mechanica Brysonis obseruetur unumquodq; crum parallelograminum in duabus partibus excedit scini- circulum, & semicirculus in duabus partibus excedit parallelograminum:quare si mos rari posset, excessus utrinqueescte aequales, facile probaretur aequalitas parallelogrammi & semicirculi: quod aute excessus sint aequales, hoc per solam applicationem mechanicam deprehendi potest. Eadem ratio erit, si concipiatur parallelogrammiam ex nouem decimis diametri, dc ex latere trianguli isopleuri circulo inscripti: tunc enim integrum parallelogrammu Κ M O G. a toto circulo in tribus partibus excedetur, & vicissim ipsiam totum parallelograminum in quatuor partibus circulum excedet:ac proinde nihil de aequalitate excessuum statui potest,nisi in auxiliu adhibeatur epharmosis mechanica,qua etiam Bryso monstrabat quadratum fieri aequale circulo. Ex quibus manifestum est, modii quadrandi circuli, a Scaligero excogitatum, nec esse, nec
dici posse demonstrativum: quia pedet ab epharmosi
mecnanica, quae nihil certi probare potes . Vt autem rectius intelligatur,quomocio dimidium totius parallelogrammisit affectum crga semicirculu, quomodo etiam totum parallelograminum se habeat ad totum circulum: typus propositus penitius est inspiciendus.
44쪽
Al H C in duabus partibus,nimirum in figura A Kl,&HG F. semicirculus autem excedit parallelogram- mum, per supersciem J H. & per superficiem F C E: quod si igitur probari posset, figuras A KJ.& H GF. simul unatas esse duabus supersicicbus JH. & F C E.
simul sumtis aequales certe probatum esse quod area parallelogrammi aequaret aream semicirculi. Horum autem excessuum mutua aequalitas no potest probari rationibus geometricis, sed per ephamosin & minutalem diuisionem, excessus utcunq; non autem pror- lus aequales demonstrantur. Item totum parallelogra- mum G Κ M O. ita implicatum est circulo quadrando, ut eum excedat in quatuor partibus, nimirum in figura M A N. & D O P. & F G H. dc IΚ A. totus autem circulus excedit integrum parallelograminum in tribus duntaxat partibus, nimirum in tribus segme-tis N D.& PF.& HJ. Si igitur ostendi posset, quatuor superficies totius parallelogrammi extra circulii prominentes, aequales esse tribus segmentis circuli, quae
extra totum parallelogrammum extenduntur: Omnia
no sequeretur,quod area totius parallelogrammi esset: aequalis toti circulo. Sed & horum excessuum mutua qualitas no potest probari per demonstrationes geometricas etiamsi fortastis per diligentem epharmosin excessus illi quales esse videantur. Nec hoc facit qui quam ad propositum, quod segmen tu N D.sit ς uale segmentoJH. quia utriusque chorda subtensa est latusF et
45쪽
hexagonum. & quod segmentum P F. sit diuisum in duas superficies aequales, nimirum E P C. & E C F. ite quod figura MAN sit aequalis figurae A KJ. & figura D O P. aequalis habeatur figurae H G F. ista omnia nihil ad Rhombum: nisi probetur, dimidii parallelogrami superficiem aequalem esse semicirculo. Quomodo autem istae superficies aequales esse credetur' nisi prius
persuasum suerit,excessus utrinque esse aequales:quod nulla ratione geometrica probari potest. Hinc perspicuum est,quod omnes,qui circulo vel quale quadratum,vel aequale parallelogrammum altera parte longius assignare conatur, necessario cogantur superscierectilinea cum superficie circulari implicare, nec pos sint hoc incommodum effugere, quo minus probare teneantur, utriusque superficiei mutuos excessus inter se aequales esse: nisi autem hoc per demonstrationem
geometricam doceant, nunquam animus noster acquies et, sed perpetuo in dubio haerebit. Praeterea si admittamus parallelograminum altera parte longius, idque ad quadratum redigamus, per propositionem ultimam libri secudi Euclidis: nonne opus erit,Vt quadratum istud circulo quadrando partim instribamus,
partim etiam circumscribamus, Demadmodum secit Bryloi & nisi tunc ostendere possinus,quatuor super scies angulares quadrati extra circulum prominete aequales esse quatuor segmentis circuli extra quadratucvtuberantibus, nunquam credemus, quadratum esse
46쪽
CiRCULI, CAI'. IV. aequale circulo. Si quis obiiciat, non esse necessarium, ut excessus utrinque demonstrentur quales, uandoquidem totae figurae possunt demostrari aequales: hinc enim sequitur,etiam partes extubcratcs inter sesquales esse. Respondendum est, falso assiimi, quod figurae integrae inter se aequales habeantur. Hic nunc locus postulare videtur, ut videamus, an verum si i , quod a quibusdam dicitura perficiem circuli irrationale este magnitudinem,idcirco artifices multos frustra labor re,quod aream circuli certo numero definiant.Vt hac quaestionem dissoluamus, ante omnia expendendum erit, quae sit proportio laterum trianguli rectanguli A D C. in semicirculo inscripti. Latus angulo recto subtensium A C. est diametrus circuli quadrandi, latus autem minus circa angulum rectum D C. est latus hexagonum circulo inscriptum , quod aequale est semidiametro. Hisce duobus lateribus notis etiam te
tium inuenietur, praesidio propositionis penultimae libri primi clementorum Euclidis: latus enim A C, ut
pote diametrus circuit,ponitur decem partium aequa- lium, ergo quadratum illius est centum :& latus DC
aequale est semidiametro, continens partes quinque aequales,ergo quadratum illius est vigintiquinque. Si
iam minus quadratum dematur de maiore, relinquutur quadratum lateris maioris circa angulum rectum
71. cuius Radix est latus A D. Atqui hoc ipsum latus A D. est latus trianguli Hopleuri circulo inscripti, sicut
47쪽
8 DE QUADRATVRAmanifestum est ex constructione, per secundam propositionem lib. . Euclidis: quae cum ita habeant, dicimus totum parallelogrammum G MO. constare ex uno latere, habente nouem partes diametri, & cxaltero latere, quod Radix est de quadrato 1. Sane si haec Radix rationalis esset, facile aream totius parallelogrammi metiremur: quia autem Radix illa surda est& irrationalis,nec potest numero certo explicari, cum illius quadratum no se habeat ut numerus quadratus,
per propositionem 7. libri io Euclidis, secundu Campanum: hinc fit, ut cogamur latus surdum in rationale multiplicare, atque ita producimus aream totius parallelogrammi irrationalem & surdam, quae no potest numeris veris declarari, sed artificio Algebrae, & per numeros surdos inuestiganda est,iuxta methodum libri secundi & decimi Euclidis. Sic etiam triangulus A CD. superficiem habet irrationalem,quia latus unucirca rectum angulum est rationale, nimirum partiti quinque,alterum autem est irrationale, nimirum Radix de s. Quod autem latus AD. st Radix surda de
s . confirmatur etiam per propositionem octauam, libri is Euclidis apud Campanum:vbi demonstratur,
quod quadratum lateris trianguli aequilateri circulo inscripti triplum sit quadrati semidiametri, siue lateris hexagoni. Quod hac ratione possumus explorare: quadratum semidiametri & lateris hexagoni est 11. &quadratum lateris trianguli isepleuri circulo inscripti, o est71.
48쪽
ii in maiore ter contineatur. Idem patet ex propos ro libri i3. Euclidis,apud Theonem,ubi sic scribitur:
uralle. sentur, Ut videamus, omnium propositionia geome-ida est tricarum sitammum consensum esse 5 superficie triani cuni guli rectanguli,aut parallelogrammi rectanguli, in tutus, tionalem esse,si latus unum circa rectum angulucerto numero exprimatur, alterum autem sit Radix surda, longe quς nullo numero explicari potest.Vt enim area inui iij, a. niatur parallelogrammi rectaguli,oportet latus unum otest in estvrum multiplicare: iam autem certum est, quod& pct num Cri rationales & irrationales siue surdi,secundum communem logisticam non possint inter se multipli- cari:& quando opus est huiusmodi multiplicatione, artiu ςm Vt nque sit denominatio: tuo autem artificio id
oportot num eros rationales ad stardos reuocare ut ea
49쪽
so D E QV ADRATURA tricam, praedictum parallelogrammii prorsus aequato esse circulo: at hoc scientifice demostrati nequit, quin potius ex mechanicis principiis,& per epharmosin, - - τα , ostenditur aequalitas utriusque stuperliciei. Adhaec alii praeclari artifices inter quos Archimedes locu principem obtinet in circulo quadrando aequale assignant parallelograminum altera parte long us, uod ambo latera circa angulum rectum habet rationalia, & horum ratio ad institutum mechanicum m.
xime est accommodata: quia area huiusmodi parallelogrammi facilime indagatur. Iuxta boru Igitur pi
c rieon circularis esset maenitud
cita sequeretur, quod area circularis esset magnitudo rationalis, quatenus certo numero explicari potet manet tamen illud incommodum,quod etiam hi ci monstrare nequeat, parallelograminum propositum exactissime esse aequale circulo. Quare in nullam ab- surditatem incidemus, si dicamus, aream circuit nec simpliciter esse rationalem, nec simpliciter Irrationalem,sed rationale & irrationalem ex hypothesii: que- admodum diametrus circuli, per se non est rationalis, neque irrationalis, sed ex hypothesi tantum: si enim quadratum circulo insicribamus, cuius latus unum sit rationale, etia diametrus quadrati, quae s ulcit .
metrus circuli, irrationalis est&incommensurabilis. Si aute in semicirculo inscribamus triangulum rect pulum, cuius latus unum circa angulum rectum ire 3 partium, alterum partium, ita diametrus circuli,
50쪽
perscici. quae simul esubbtensa trianguli, est commensurabilisci rationalis,constas 1 partibus: id quod liquet ex propositione penultima libri primi elementorum Euclidis. Summa haec est, quocunq; modo ponamus latera
.bila es assecta esse in parallelogrammo rectangulo, tauquam turpignitudo potes inalii,
ustinia- laxionali, &superficiem complectantur rationalem, ille. siue Unum eorum sit rationale,& alterum irrationale, y- ut necessario ex his confletur superficies irrationalis, semper probandum fuerit, istud parallelograminum circulo implicatum, tanto spatio excedere circulum, quato etia spatio circulus excedit parallelograminii: hoc est, lemostrandum fuerit, excessus viri utq; figurς, tam re stilineae,qua circularis, inter se prorsus aequales esse. Patet igitur, qua ratione Scaliger aream circuli ad parallelograminum altera parte longius reuocandam esse censuerit: quomodo autem proportionem inter perimetrum & diametrum circuli explicet,videbimus capite 7.in corollario tertio,& quarto.