장음표시 사용
41쪽
AD VERAM PHYSICA M. LECT. II. as
gunt, vel fortasse unquam sunt intellecturi: at horum nemo talem deprehendit in hisce figuris repugnantiam . nullus Geometra istiuisiodi contradisiones in figurarum naturis unquam suspicatus est: h contra , .harum possibilitatem evincunt tot pulchrae earum proprietates a geometris detectae atque demonstratae; nam rei impossibilis null3 est vera proprietas , nulla demonstratio . Restat igitur , ut has figuras
tanquani possibiles agnoscant; & si possibiles sunt , poteth
Deus corpora litiusmodi superficies habentia e materia sor mare . Ponamus igitur duo corpora , quorum unum plauis, alterum sphaerica terminat ut superficie; si igitur corpus spha ricum super plano constituatur , illud vere Continget: at
continget in unico tantum, & indivisibili puncto, seu inpuncto , quod partes non habet, per Cor. Prop. 2 El. 3tii
& proinde erit in illo casu verum punctum . Sed ulterius ;ξonamus , corpus sphaericum super plana supercie moveri . seu progredi absque omni circa axem aliquem rotatione , ita scit./, ut punctum sphaerae planum contingens semper in eo, dem plano inveniatur; eritque via, quam punctum illud
motu tuo describit , linea vere mathematica absciue omni latitudine : & si quidem sit via brevissima inter auo qua libet puncta in illo plano , orietur ex motu illo linea recta , sin 3lias, curva, vel ex pluribus rectis composita, vel partim ex his, partim ex illis conflata . Puncta igitur, lineae, & superficies , prout a geomeIris concipiuntur , vel finguntur , sunt ssibilia , quod ostendi oportebat. Aliis etiam innumeris modis: poteM eotum possibilitas demonstrari, verum piget
hisce ineptiis diutius immorari. Hoc tantum libet admonere, quod inter duo quaelibet duorum corporum puncta erit dritantia data. & determinata ; v. g. inter solis &ssice centra eli determinata distantia, quae per rectam lineam mensuratur, duo illa puncta, inreriacentem ;. Quae erit omnium linearum , qine a puncto uno ad alterum duci pos, sunt, brevissina, de minimo tempore data velocitate peragrandida; haec inquasn distantia eadem manet,qualiscunque futura sit
corporis intermedii figura , sive planis claudatur , sive sph
ricis contineatur superficiebus , uve demum absit omne corin
42쪽
fus medium, & nihil intersiit, praeter spatium; eadem mane-it linea magnitudine & possitione , qua indiu corporum Cea
Stabilitis jam principiis, ad propositum redeo, ut scit demonstretur, extensionein Omnem, tam corpoream , quam incorpoream in infitilium esse divitibilem . Heu partes habere numero infinitas; quod pluribus invidiis rationibus probare conabimur. Prima sit haec; exponatur linea quaevis A B; dico, illam divisibilem esse in partes numero omni finito nu
TAB. a. Ducatur per A recta quaevis A C . . & huic per punctumn I, B parallela ducatur BD, & in AC capiatur punetum quod, vis C. Si igitur recta ΑΒ non est divisibilis in isti itinnpartium numerum , di vilibriis tantum erit in numerum μrtium finitum ; sit ille numerus qualiscunque , re senarius . In linea BD ad partes puncto C oppositas Capiantur quotcunque puncta, plura quam ie X, υ. ζ. puncta E, F, G, H, Ι, Κ,
& ducantur per pollulatum primum Euctris CE, CF,.CG, CH, CI, CK, CL; hae ductae divident rectam AB in tot
partes,quot sunt rectae: si enim non divid*at,ergo plures te stae in uno aliquo puncto rectam A B intersecabunt; sed omneste intersecant in communi puncto C, quare duae aliquae redi . sese bis secabunt, & proinde vel spatium comprehendent , vel habebunt idem segmentum Commune : . quorum utrumque est contra axiomala in Elementis posita. DividiturigitiuΑΒ in tot partes diversas , quot sunt Te tae ; sed tot sunt re)etae, quot puncta in recta BD sumpta fuerint 2 quareicum sumpta fuerint plura puncta quam sex , erit linea AB in plures partes quam sex divisibilis . Eodem modo , quantumvis magnus ponatur numerus, ostendi potet , lineam AB esse divisibilem 'in partes numero majores illo numero , maiorem scit. assumendo in redia BD punctorum numerum quoe, i cile fieri potest, cum nullus sit numerus finitus ita magnus , 'uin major sumi possit, idque in data quavis ratione .maioris inaequalitatis , atque dueendo rectas a puncto C ad puncti in recta B D assumpta ; hae quippe rectae rectam Λ B dia vident in tot partes , quot sunt rectae, adeoque in plures
43쪽
AD VERAM PHYSICA M. LECT. II. 3I
partes, quam numerus primo positus, qui cuicunque magnus sit nilat unitatibus ; erit itaque recta A B divisibilis in plures partes , quam per ullum numerum finitum exprimi potest , adeoque erit divisibilis in infinitum . Q. E. D. ... --Αrgumentum secundum. Exponatur recta quaecunque si 'A B : dico illam divisibilem esse in infinitas numero partes si enim non est divisibilis in partes numero infinitas , divisibilis erit in partes numero finitas ; sit ille numerus quivi v. q. quinarius ; ducaturi recta quaevis Α Κ angulum utcunque cum A B continens , in eaque quantum opus est producta , capiantur quot volueris puncta , plura quam quinque e sint v. g. C, D, E, F, G, H, Κ; junsatur ΚΒ ; perque puncta C, D, E, F, G, H ducantur rectae ipsi ΚΒ parallelae; idi-
vident hae necessario rectam A B in tot partes . quot sunt rectae : si enim non dividant, ergo plures rectae in uno puncto concurrent: at non concurrent, cum parallelae ponantur ἔ quare unaquaeque recta in diverso puncto rectam AB intersecabit , & omnes in tot partes rectam A B divident , quot sunt rectae parallelae ductae. At ductae sunt plures quam quinque , ergo divisa erit recta A B in plures partes quam quinque: idem de alio quovis numero dicendum erit. Quaret nullus est numerus tam magnus, quin numerus partium , in quas recta AB est divisibilis, erit illo numero major, adeoque recta AB eil divisibilis in infinitum . 3rm. Si quantitas non est diuisbilis in infinitum , divisibilis erit in partes ulterius non divisibiles ; 'at nulla est pars , quae ulterius dividi non potest e quia nulla datur quantitas tam parva , Quin adhuc minor accipi possit , idque in data ratione minoris inaequalitatis . Sit enim recta A B , & eius pars quantumvis parva sit AC; dico ipsa AC minorem lineam' 'accipi posse , in ratione quacunque minoris inaequalitatis, υ g. ut unum ad tria . Ducatur a puncto A recta quaevis AD , inque ea capiantur rectae ΑΕ, EF, FG aequales : iungatur GC & per E agatur FH ipsi GC parallela ; erit recta
AH ipsius AC pars tertia i demonstratio corviat ex nona propositione Element. sexti. Adeoque recta AC non erit minima,
quae accipi potest . Idem de alia quavis recta demonstrari potest,
44쪽
potest , ae proinde nulla est in natura quantitas minima. Praeterea , si quantitas ex indivi libilibus componeretur , T AB. r. multa exinde sequerentur absurda ; sint enim v. duo cir- . culi ABCD, EFGH concentrici, dividaturque circumferentia major in partes tuas indivissibiles,& ducamur a centro Q. ad si gulas hasce partes rectae QOM, QPN,quae circumferentiam , utramque in aequales numero partes clivident, & circumferentia maior ABCD in partes suas minimas divisa erit; quare & circumferentia minor EFG tot partibus minimis, seu indivisibilibus coni abit, quot confiat Λ BC circumserentia :adeoque cum indivissibile indivisibili aequale sit , erit circum ferentia EFGH aequalis circumferentiae ABCD; minor majori: quod fieri non potest . Ultimo . . Ex hac quantitatis ex indivisibilibus compositione sequitur , 'nullas dari magnitudines incommensurabiles , Contra quod 1 geometris pasum demonstratur . Nam si magnitudo omnis ex indivisibilibus coni aret, indivisibile illudeliat omnium magnitudinum ejusdem generis adaequata &communis mensura : in omnibus enim aliquoties exaete continebitur,adeoque omnes in magnitudines communem mensu-
Iam habebunt, & latus quadrati illius diagonio esset commensurabile ; contra ultimam Propo Dionem Element. decimi. Innumerae aliae possunt adduci demonstrationes , quibus
continui infinita divisibilitas ostendatur , & indivisibili uinhypothesis funditus evertatur . Sed quid opus est pluribus pCum haetenus allata argumenta non minorem habeant vim ad amensum cogendum , quam demonstratio quaevis in elementis Euclidis; imo imponibile est, ut ea convellantur, quia simul Geometriae fundamenta corruant ; quae tamen nulla unquam aetas, nulla philosophorum haeresis labefactare po
Ut igitur argumentorum vim deviient philosophi:, distinguunt inter corpus mathematicum, & corpus phylicum ; corpus icit. mathematicum divisibile esse in infinitum , demonitrationum vi coaeti, lubenrer agnoscunt; corpus physicum in partes ulterius divisibiles semper resolvi posse negant . Sed quid quaeso est corpus mathematicum , niti quiddam Duilirco by Corali
45쪽
AD VERAM PHYSICA M. LECT. Iri.
dam in trinam dimensionem extensum Nonne eorpori mathematico competit divisibilitas , eo quod extentum eth At eodem etiam modo extenditur .corpus physicum ; quare cum divissibilitas ab ipsius extentionis natura & essentia d pendeat , & inde ortum suum trahat , illam omnibua extenus tam physicis quam mathematicis convenire nedess erit. Ut enim logicorum phrasi utar , quicquid praedicatur de genere , praedicatur de omnibus speciebus sub eo ge
Est de alia apud philosophos haud absimilis distinctio,
qua corpus quodvis mathematice divisibile essie in infinitum concedunt; divisibile autem esse physice negant Si ullus sit horum verborum sensus. , hic erit: e pus esse mathematice , hoc est, realiter , & demonstrative divisibile in in finitum , concedunt; physice autem, seu secundum fallam 1uam hypothesin, negant; atque sic habebunt distinctionem ., contra quam nihil urgeri potest Quoniam philosophi', contra quos disputamus, demo strationibus geometricis non satis assueti sunt , & proinde earum evidentiam non facile perspiciunt ; priusquam huic lectioni finem imponamus , libet, unum argumentum phym cum ex motu petitum , pro infinita continui divisibilitat proferre ; scit. si continuum ex indivisibilibus constaret, se
Jueretur , Omnes motus aequiveloces fore , nec minus in eo
em tempore Conficiet spatium segnissima testudo , quam Achilles. Ponamus enim , Achillem velocissime cursurum , & testudinem segnissime repturam : si continuum ex indivisibilibus constaret, non poteli testudo in aliquo da- to tempore minus conficere spatium, quam Achilles ; nam si Achilles in uno temporis inflanti indivisibile pertransit sp tium , non potest telludo minus spatium in eodem temporia momento transire , quia ex hypothesi non datur minus . In- divisibile enim alio indivisibili minus non erit, ergo pertram sibit aequale ; idem de alio quovis temporis momento dicen dum est: ergo lam per ab utroque percurrentur spatia aequa
ha ; & proinde Achilles velocissimus non plus conficiet sp tii, quam testudo lentissima ; quod est ablurdum. Alia ejus-
46쪽
dem generis absurda ex eadem indivisibilium hypothesi deduci possunt ; verum, quae dicta sunt, sufficiant.
. . di qua respondetur obiectionibus contra materia div
ibitisaum inori solitis. HActenus . Academici, argumenta exposuimus , quibus
continuam materiae in ita ritas numero partes divissionem clare satis demoniliavimus; restat, ut obiectioni-hus seu philosophorum argutiis respondeamus. Sunt enim philosophi haud pauci . qui nescio qua idearum obscuritate laborantes , & demoniirationum , quas attulimus, evidentiam non satis perspicientes , Coatra rem tam manifeste veram argumenta sua proferre non audeant tantum , verum & confiis ant speciolo demonstrationum titulo ea insignire. At ego , qui plures illorum evolvi libros , nunquam incidi in qui quam ab iis de hacce re scriptum, quod rationis quidem speciem haberet; adeo equidem sunt demonstrationibus destituti, ut ne minimam demonstrationis umbram in iis quinquam geometra , et si lynceis donatus fuerit oculis, perspicere queat. Fateor tamen, esse aliquid in natura infiniti, quod humano intellectui haud adaequale comprehensibile esse videtur ; adeoque non mirum erit, si ex ea quaedam sequuntur, quae hominum mentes densa caligine involutae concipe re non possunt: dc speciatim in hac, quam nunc prosequimur , quaeitione , multa sunt, quae quibusdam philosophis , hi lce rebus minus assuetis, paradoxa & incredibilia videntur: nihil tamen exinde sequitur , quod vel contradictionem implicat, vel cui vis axiomati, aut demonlirationi repugnat. Sed videamus, quas asserunt philosophi Atomistae, argutias . Prima est ea Epicuri; si continuum divisibile esset in infinitum, contineret infinitas numero partes, adeoque finitum Contineret infinitum , quod est absurdum . At rogo , ut terminos
suos explicent, & dicant; quid per has voces intelligunt, in-
47쪽
ADv ERAM PHYSICA M. LECT. IV. , s
itum non posse eontineri in finito ; s dicant , infinitam
magnitudinem non posse in magnitudine finita contineri. hoc lubenter concedam ; at hrius contrarium non sequitur ex ea , quam proposuimus , do strina ; nec unquam illud necessaria consequentia exinde deducere potant. Si dicant , partes numero infinitas , & infinite exiguas non posse finita magnitudine contineri, hoc illud ipsum est , quod iis probandum incumbit. Non, ut opinor, dicent, ipsis abique ratione credendum esse ; nec illud tanquam propositionem Per se claram inter axiomata reponent, cujus contrarium tot validis rationibus demonstrari potest . Urgeant itaque , partes numero infinitas infinitam magnitudinem Componere;
sed hoc rursus est principium peiere ; illud enim ipsum est ,
de quo disputamus, utrum scit. finita magnitudo potest habere partes numero infinitas 3 Certum enim est, quotcunque partes habeat, sive finitas , sive infinitas , eas suo toti
aequari r sicut enim decem partes decimae unitatis efficiunt unitatem , centum centesimae unitatis partes simul sumptae etiam unitarem component , di mille partium millesimarum in unum collectarum summa toto non maior erit; ita etiam
partes infinitae infinitesimae alicuius magnitudinis iam magnitudinem adaequant. Vel sic: sit linea AB divisa in par-- res centum ; erunt omnes hae simul sumptae ipsi AB aequales , , di eodem modo, si recta A B dividi intelligatur in mille partes , harum paritum mille simul sumptae magnitudinem nec majorem nec minorem ipsa AB component. Vel etiam , si divideretur recta A B in milliones , partes hae rursus simul sumptae toti A B erunt aequales ; & universaliter, si sint duae magnitudines A B & C, habeatque C eandem rationem ad AB, quam habet unitas ad numerum quemvis N, erit quantitas C per numerum N multiplicata ipsi A B aequalis. Cum enim quantitates C, AB, unitas , & numerus N sinr propo tionales , erunt extremae in 1e invicem ductae mediis in se i vicem ductis aequales ; at cum AB per unitatem multiplicata ipsi A B est aequalis c unitas enim nec multiplicatione a tet, nec divisione minuit , erit quantitas C per N numerum C mu
48쪽
multiplicata ipsi A B aequalis : quantumvis igitur magnus , sive parvus sit numerus N, hic multiplicans quantitatem Cfaciet semper productum ipsi Λ B aequalem , modo C talis sit quantitas, ut ad AB eandem habeat proportionem , quam habet unitas ad dictum numerum N. Adeoque si N sit numerus infinitus , & C pars rectae A B infinitelima , hoc est , si eandem habeat quantitas C rationem ad AB, quam habet unitas ad numerum infinitum N, est etiam quantitas C petnumerum infinitum N multiplicata, hoc est, infinities lam-Pta , quantitati A B aequalis, nec ea maior , sicut nec minor esse potest . Si igitur pars tum magnitudo eadem ratione diminuatur , qua earum numerus augetur , totum ex hisce
omnibus partibus conflatum idem manebit; nec aestimandaeli quantitas aliqua ex partium numero, sed ex earum numero , dc magnitudine conjunctim; adeoque si partes infinite parvae sint, necesse erit, ut earum multitudo sit infinite magna , priusquam quantitatem quamvis dabilem exsuperare possint. Sed praeterea plura possumus proferre exempla tam ex Arithmetica, quam ex Geometria , ubi, ipsis fatem tibus adversariis , partium numerus erit infinitus , at ipsa magnitudo ex partibus istis infinitis composita finita erit. Sit primum exemplum series infinita numerorum in ratione quavis decrescentium , quae finito adaequμur numero υ. gr. H. uisti&c. Huius teriei in infinitum . continuatae summa erit unitati aequalis; at cum in infinitum extendatur series , erunt ejus termini numero infiniti; quare in hoc casu partes quantitatis numero infinitae finitam efficiunt quantila-.tem . Similiter & hujus seriei summa ; H a , cum in infinitum continuatur, aequalis erit parti uni secundae, seu unitatis dimidio , ut in Aritnmetica demonstratur ; at nemo negabit, seriem hanc in infinitum continuatam infinitas partes habere ; quare possunt dari paries quantitatis numero infinitae, quae tamen unitatis partem dimidiam non exsuperant. Similiter in Geometria notum ell, spatium posse dari infinite longum , quod tamen spatio finito periecte adaequatur ;hoc enim infinitis sere exemplis demonstraverunt Clarissimi Geometrae Torrιrialius , , Barουius , & alii, ex qui- Diqitigod by Coral
49쪽
AD VERAM PHYSICAM LECT. IV. 37
bus libet exempla quaedam proferre. Et primo sit curva ABCD talis naturae , ut si sumptae fuerint in asymptoto EH ΤΑΒ. .
rectae EF, FG, GH aequales , ieu posuis rectis E F , E G ,-φ. E H in proportione arithmetica ; & ad puncta E, F , G, Hordinatim applicentur rectae ΑΕ, BF, CG, DH; sint ordinatae hae in proportione geometrica : curva A B C D dicitur curva logarithmica, & spatium interminabile inter asymptoton & curvam infinite productas contentum , aequale erit spatio finito, ut a Clarissimo Baro vio in lectionibus geometricis demonstratur; ex quo potest colligi supra nominata Proprietas numerorum in proportione quavis geometrica decrescentium . Sed ut hoc ad proposillam nolirum applicemus;nemo non agnoscet, in spatio interminabili HGFEABCD, quod infinite longum est , esse partes numero infinitas ; at omnes illas spatii partes esse spatio finito ariuales, demon-srant geometrae; quare sunt aliquae 'partes spatii numero infinitae, quae non spatium infinitum , sed finitum conficere Possunt. Isodem modo, in hyperbolis omnibus, Apollo-
.niana excepta, erit area inter Curvam & asymptoton inmnite protensas perfecte quadrabilis , de areae finitae aequalis ;.sed in areis hisce omnibus sunt partes numero infinitae, quare erunt partes numero infinitae aequales quantitati finitae. Praeterea , in hyperbola Apolloniana C AB, etsi area intem ΤΑΒ , minabilis , inter curvam AB & asymptoton EF in infinitum fit. oprotensas contenta, sit area infinita , seu qualibet finita m am ; si tamen area illa infinita circa asymptoton suam r. . Volvat ut , Recie ratatur solidum, seu corpus vere infinite longum , ' quod tamen aequale erit solido , seu corpori finito ; ut elegantissime a Greleellis demonstratum est, qui solidum hoe hyperbolicum acutum nominavit: at in hoc solido sunt partes numero infinitae, cum scit. infinith longum est ; ergo
Partes corporis numero infinitae finitum component corpus .
Alia innumera proferre possumus hujus rei exempla, sed diutius fortasse , quam par est, huic objectioni refellendae immorati sumus.
ado. . Objiciunt, Atomistae; si quantitas omnis est divisibilis in infinitum , magnitudo quaevis minima aequabitur maxi-
50쪽
mar, cum scit. tot partes habet minima, quot maxima. 'Qualis , quaeso , est haec consequentia quia ulna Anglieana dividi potest in centum partes , & pes Anglicanus etiam dividi potest in centum partes, ideo sequitur , pedem ulnae aequari 3 At ovum ovo non similius invenietur, quam est haec argumentatio illorum objectioni; quae falsissimae innititur hypothesi, qua magnitudines voliant i olam per partium numerum , non item per earum quantitates esse mensurandas.
Ulterius objiciunt ; si pes dividatur in infinitas partes
aequales , & ulna etiam ita dividatur , ut pars unaquaeque ulnae sit aequalis parti cuivis pedis , erit numerus partium ii ulna triplus numeri partium in pede; unde cum numerus partium in pede sit infinitus , erit numerus, partium in ulnatilius numeri infiniti triplus, de inde daretur infinitum triplo majus. At uude notum est illis, hoc esse absurdum p. Ancontradicit axiomati alicui vulgo recepto Nequaquam mehercule ; nullum enim eii axioma, quod omnia infinita
aequalia ponti. Nec infiniti naturae repugnat, vit ab alio infinito superetur: nam si detur infinitum , infinita gr. Iinea, erunt in ea infinita milliatia , plura itadia , & multo plures pedes. Sic in spatio , quod undique extentum imaginamur , si duae lineae parallelae in infinitum producantur, erit area ab hisee rectis comprehensa revera area infinita ., eo quod omnem aream finiram , seu undique Uaulam superat; erunt igitur in ea infinita iugera , plures perticae quadratae, , multo plures pedes quadrati; rursus, si intra has lineas ducatur recta utrivis earum parallela , dividet harer linea. priore mi aream in duas areas etiam infinitas ; quae igitur simul sumptae priori infinito adaequantur . Non igitur naturae infiniti r pugnat, illud posse ab alio infinito excedi, per aliud multiplicari , & in alia etiamnum infinita dividi; haec , inquam , nullo modo repugnant, sed ex ipsius rei natura facillime sequuntur; imo nemo est . . qui infinitum spatium concedit , quin simul agnoscere cogatur illius spatii in alia infinii a divisibilitatem . . . L
Aliud petunt largumesatum contra infinitam materiae 'divisibilitatem ex omnipotentia divina. Dicunt enim, Deum pos se