장음표시 사용
711쪽
tur itaque C R ad C L perpendicularis , & aequalis rectae a .& si per R ducatur RS redhae C L parallela , haec curvam
tanget ad infinitam distantiam , seu erit curvae asymptotos. Si corpus in quavis harum curvarum descendendo ad apsidem imam pervenerit, hinc tarsus ascendet in infinitum, &aliam curvam priori similem, seu potius ejusdem curvae similem portionem ascendendo describet. Curvae hae possunt pluribus revolutionibus circa centrum torqueri, priusquam ad asymptoton convergere incipiant, &motus angularis rectae CK erit aequalis totidem rectis , quot numerus n constat unitatibus . v. g. Si n sit roo , perficientur viginti quinque integrae revoIutiones, priusquam distantia a centro evadat infinita. Aucto numero n, eadem manente minuitur et ea enima ις -
proinde fiet a r θ' r; adeoque si δ' ad mlualitatem accedat ipsius a', perveniet quociue ad rationem aequalitaris cum n', & proinde augebitur n , & in eadem ratione minuetur e . natur itaque, esse δ' sere aequale ipsi a'; adeo ut cum disseremia sit infinite parva , fiat n numerus infinite magnus , & radius circuli e fiet infinite parvus, seu circulus in suum centrum contrahetur. At sic evanescente e , non pariter eranescit CT , si angulus VCm sit propemodum rectus rnam in omni circulo , etiam minimo, secans anguli recti est quantitas infinita . Curva itaque haec , ob n numerum infinitum , infinitis numero revolutionibus centrum ambibit, priuia quam ad asymptoton convergere incipiet:
Evanescente autem e fit bra a &--. Et quo B a xniam in omni casu est ' - - - , evanescente e fiet I
712쪽
em - , unde capiendo stientes fiet - , seu v= raba
datae quantitati. Haec curva est spiralis hyperbolica , quae plures habet notabiles proprietates . Si ducatur radius quilibet CI Y curvae occurrens in I, & peripheriae circuli in Y. & ee C ad C Iexcitetur perpendicularis QT, atque IT tangat curvam in I, & rectae E T occurrat in Τ ; erit C T constans recta , aequalis scit. arcui VE; qua proprietate Logarithmicam a mulatur, cum 'CT curvae subtangens dici possit. Sit enim radius circuli CE ib, arcus V E α ir, C I dicatur ae & V Yha haresita . Quia ha xκν, erit &-α'. Por-
proinde est . Et quoniam est I N i NK::CI: CT, hoc
. Si centr'. C, intervallo quovis C G, describatur circuli tu cus G F , hic arcus inter rectam C V & curvam interce-Ptus erit semper aequalis constanti rectae C T vel a. Nam Soniam est V LX CF22CvκVE: erit ULi v E: C Ur:F: V L: G F; unde aequantur VE dc GF. Si ad CG ex C excit tur normalis C R em V E , vel P G vel a , & per Rre tur .Rs rectae Cu parallela , erit R S curvae asymptotos is Mm xii recta M S aequalis arcui Gg. & proinde FS distantia curvae ab R S est semper aequalis excessui , quo arcus superat suum sinum; at cum distantia crescat in infinitum, excessus ille .minuetur in infinitum , & fiet tandem data quavis retia minor, & proinde RS erit curvae asymptotos.
713쪽
sis DE LEGIBUS Sit jam b major quam-; & similiter , ut in priore casu,
invenietur KN ----; at quoniam b superada, erit e mP-a' quantitas positiva, & KN fiet α -
& ponendo radium circuli HY α h, invenietur XY α
His itaque valoribus substitutis, fit
714쪽
le guo Adeoque erit sector C X Y ad --- ---- semper in
data ratione. Harum itaque quantitatum fluentes erunt in eadem ratione , cum simul incipere ponantur. Fluens autem.
stetistis CXY est sector CVY & fluens quantitatis .
est sector perbolae, quod sic ostenditur. Centro C , semiaxe transversis CV m e describatur hypedi la iniuilatera & ex duobus punctis vicinis D & F ω - 'nentur ad axem coniugatum retae DB , EF; ducantur item C D, C F. Et incrementum seu fluxio trianguli B C Daequale erit ΒΕ κ BD - sectore DCF ; unde lector DC F qui est fluxio laetoris C V D aequalis erit B E N B D - Ιωcremento trianguli BCD. Et si BC dicatur x, oblisperis iam . est BD α BG-- CV esse; unde BD ide BER BD π α κ Ve' -- E. Triangulum autem BC D est I x κ-c, cujus fluxio est I g κ c
Proinde erit sector C VD guens quantitatis ---. Pra
terea D T recta tangat hyperboIam , & occursat axi coniuga to in T. Est ex natina hypeihola BC: CV:: CV: CT,
715쪽
hoc est et re e - α CT m 4 Atque hinc oritur constru-
etio, quae sequitur. .l ι '- Centro C , semiaxe transverso C V, destribatur hypem Ia aequilatera V m , item circulus V e. Capiatur sector circularis CVe ad sectorem hyperbolicum CVm, 'ut 3 ad I ἔtangat uperbolam in in recta Τ m occultens axi coniu-. gato in T; producatur Ca ad k . ut sit Ch α CT, & pun-Aum k erit in curva quaesita. Nempe talis est ea curva , ut si Ch dicatur x, perpendicularis 1 C in tangentem eius dein
missa erit semper aequalis ' Quando x est insinita,
evanescit. ν, & perpen latis fit --, &. tune coincidit C R eum C v. Si itaque capiatur in axe coniugato C R α ιτ, di ducatur RS lpli C V parallela, . erit haec curvae asympto
Si ep usque augeatur a ; ut fiat quantitas infinite par-
si de distantia curvae a centro erit sempis data quantitas atque hac ratione migrabit curva in spiralem hyperbolicam. Est itaque, spiralis hyperbolica curva media , seu quasi limes inter eas Curvas , quae Construuntur per sectores circulares &eas , fluae construuntur per sectores hyperbolicos. Itaque spiralis illa hyperbolica concipi potest formari ves per laetorem circuli aut ellipsis vel per sectorem hyperbolae , cujus axis transverius minuitur in infinitum , In eadem ratione augetur numerus n.
Ad eum jam devenimus casum , ubi velocitas corporis mia
716쪽
nor est et, quae acquiritur cadendo ab infinita distantia ubi τΑ8.ι.
ae erit m - κ α' - es, quibus'valoribus substitutis, fit
ut η θ' ad ι hoe est in ratione constanti . . Quare charum quantitatum fluentes sunt in eadem ratione , hoc est , fluens
quantitatis I b seu - erit ad fluentem quantitatis
717쪽
, ut n P ad . . Est autem fluens quintItatis b υ
hyperbolae, quod sic ostenditur . . o. Centro C, semiaxe transverso C V m e describatur hyperbola aequilatera, dc ex odad si punctis infinite vicinis B de D ad axem ordinentur duae redue B E, DF ; ducantur item CB, CD. Et erit fluxio, seu incrementum trianguli CBE triangulo CBD-- BENE F; unde trianguluin CBD . seu sector minimus CBD erit m incremento trianguli CBE BEκE Dicatur CE et, & erit BE αι- α - e , & BENEF
unde constat, sectorem CBV esse fluentum quantitatis . Praeterea si ΒΤ tangens hyperbolam ari
transverso occurrat in T, ex natura hyper lae fit CΕ : C V n
CV : CT, hoc est, trer: er - α CΤ - x. Hinc deducimus sequentem conliructionem . Centro C , semiaxe transverso C V m e describatur hyperbola a quilatera V B , di circulus C e G ex centro C . M hyperbolam
718쪽
dueatur recta CB, & hyperbolae tangens ΒΤ axi transverso occurat in T. Capiatur circuli seAor C V e, qui sit adsectorem hyperbolicum CVB , ut v ad I . In C e capiatur CΚ CT, & erit K punctum in curva quaesita , cujus perpendiculum h centro C ad tangentem in K demistum, si CK
dicatur at, est arauale ''. Et in hac curva , urgente vi centripeta, quae sit reciproce ut cubus distantiae, movebitur corpus, ii secundum dire Rionem tangentis cum iusta velocitate exeat. Qualis autem debet esse velocitas,quae faciat,ut corpus harum curvarum quamvis describat, sic invenietur . Cum velocitas, qua corpus in trajectoria quacunque mov=tur sit reciproce, ut quantitas ρ, assumendo constantem quam
vla a, ea semper exponi potest per . Et si ad axem C V
ordinentur rectae, quae sint reciproce, ut cubi distantiarum aeentro , seu ut Vires centripetae , & hac ratione formetur figura curvilinea , eius area indefinite extensa semper exponi
Potest per - , ut ex quadraturis constat. At area illa est , ut quadratum Velocitatis , quae acquiritur ab infinita di- stamia cadendo . adeoque velocitas hoc casu acquisita erit,
ut - . Hine si velocitas illa dicatur F, & velocitas, qua
719쪽
velocitate descripta erit spiralis nautica, vel circulus existem te prax, 6c a 'b .
Si F sit major quam υ , tunc p major erit quam se, eri
que illa, ut ex praecedentibus constat, t . Curva
autem construetur per sectorem hyperbolicum , ut in ultitia ocasu ostensum fuit, ubi distantia corporis a centro per concursum tangentis hyperbolae cum axe transverso aeterminatur e Sir sit minor quam υ , at in tantilla ratione , ut maneat b masor quam a , curva formabitur per eundem sectorem hyperbolicum . At distantia corporis a centro desiimitur ex Concursu tangentis cum axe conjugato . Si sit= : υ :: p : at, erit in eo calu a m b, & curva evadit i ax spiralis hyperbolica , ubi est p α -- ---. Hinc si de loco
'quovis projiciatur eorpus secundum datam rectam , cum ea velocitate , quae sit ad velocitatem ab infinito cadendo acquisitam,ut dillantia corporis a centro ad perpendicularem Ecen 'trό ad lineam directionis demissam , movebitur illud corpus in spirati hyperbolica . Si denique sit v tanto major qu1m I , ut sit etiam a major quam b , curva construetur per sectores circulares . Atque hac ratione data velocitate semper dete minari possit relatio quantitatum adc b, ac proinde Curva de scribetur, in qua corpus cum illa velocitate movebitur: & vicissim data curva, seu datis quantitatibus a dc , , invenietur Velocitas, qua curva illa describitur . ' iomnium curvarum areae si circulum excipias , quae ur-
.gente hac vi centripeta describi possunt, sunt perlaete quadrabiles . Nam primo, in spirali Logarithmica, quia est p m
720쪽
adeoque erit triangulum CKI m , cujus fluens est
Ia κ-- areae curvae. At si a minor sit quam b , fit -
, Si p sit m ---,ostensum est, esse ΚM , -
unde I CIV KN --,cuius fluens est in I a x m areae. Fiat x α o, & erit Q - I aera o . seu iam ac; unde erit area curvae semper aequalis Iae - Ia ς' . Fiate' - o, seu e m , & area curvae fit ae . Unde si initium areae non capiatur ab initio ipsius x , seu ubi x est o, sed ubi ai m e est maxim, hoc eli si area ab v incipiat, erit TAB. r. area semper aequalis I a . - x . AD Z. De aeris, quas describunt corpora radiis ad centrum ductis, urgeate vi centripeta, quae sit reciproce, ut distantiarum cubi,