장음표시 사용
701쪽
concludit, incrementum velocitatis , quod acquirit corpus, dum describit IK, esse ad incrementum velocitatis, dum describitur DE, ut DEA IX ad ΙΚκDE, & proinde velocitatum incrementa ubique in distatutis aequalibus esse aequalia. At si tironibus facilem voluisset tradere demonstrationem , debuisset propositionem Mechanicam citare, eamque ad praesentem Casum accommodare. Et quidem pluribus verbis opus est , ut hoc fiat per theorema , quod innuere videtur , in quo agitur de descensu gravium in planis inclinatis: nullum enim eii hic planum datum, quod restio corporum descensui obstat; imo tantum abest, ut corpus a plano cohibeatur , ut E contra a plano leu tangente per vim quandam continuo retrahatur. Procul dubio igitur manifella magis foret ejus ratiocinii vis , si dimissis Mecnanicae propositionibus , rem Omnem ex pro priis principiis demonstrasset, uti fecit Nevvlonus . Nam re 1blvendo triang. rectang. ΚNI in duo triangula aequiangula , est Κ Iad IN, ut IN ad ΙΤ, adeoque loco rationis NI ad IT ponere potuisset rationem K I ad IN vel ad DE. Si de loco quovis A in recta AC cadat corpus, deque loco ejus E erigatur semper perpendicularis EG vi centria petae proportionalis, sitque BFG linea curva, quam punetum G perpetuo tangit; demonstrat Nevvlonus, vel uatem Corporis in loco quovis E esse, ut areae curvilineae ABGE l ' Vide tus quadratum . Adeoque si velocitas dicatur υ , erit υ' φ, ut
τοῦ .. ABGE l & si S sit altitudo maxima , ad quam corpus
in ei- in trajectoria revolveos, deque quovis ejus puncto ea, quam Piuium. ibi habet, velocitate sursum proiectum ascendere possit: si que quantitas A distantia corporis ii centro, in alio quovis orbitae ἰpuncto ; & vis centripeta sit semper , ut ipsius A dignitas quaelibet, icit. ut Α' - , velocitas corporis in omni altitudine A erit, ut n ' - n A . Similiter Dominus Bernoullius ostendit, si distantia a centro dicatur , velocitas u & vis Centripeta ', esse υ in ab - Ιφα , ubi ex quadraturis constat, esse aream ABGE
702쪽
- ab-s x. Perinde itaque est, sive exprimatur quadratum velocitatis per aream ABGE, sive per quantitatem huic aequalem ab in Et si vis centripeta ' sit, ut nM - , seu fit ab α ρο &f. e M ; adeoque ab I ae est,
ut quantitas P - M. I IDescribat corpus curvam V Κ , Vi eentripeta tendente ad
C, deturque circulus VXY centro C interVali quovis CV descriptus. Q. sit quantitas constans, atque -- Λsitque ΚI elementum curvae, IN vel D E elementum altitudinis , XY elementum arcus : demonstrat die Vulonus , elementum arcus, seu XY exprimi posse per hanc formulam
debatur sormula Nevutoniana quodam modo simplicior Berno-ulliana, eo quod paucioribus constat terminis; at re diligentius explorata , vidi Bernoullianam formulam omnino cum Nevutoniana coincidere, nec nisi tu notatione quantitatum ab ea disterre . Nam si pro ab -I. x ponatur ABGE, pro ac
Ponatur Q. , & x pro A, a pro C X , & at pro I N , fit
703쪽
Nevvlonus commodioris notationis gratia , sormula Bernoul-
. liana evadit -----; unde constat, sormulam illam Α' ABGE - Σ' non magis a Nevutoniana discrepare, Guam verba latinis lite .ris expressa disserint ab iisdem verbis seriptis in Graecis ch racteribus. Post traditam generalem sermulam descendit Dominus. Bernoullius ad casum particularem , ubi vis centripeta est re- Ciproce, ut Quadratum distantiae; & per varias reductiones &operationes istis molestas, constructionem ostendit curvarum, quae urgente ea vi centripeta describi possunt, easque ad inluationes reducendo, probat esse sectiones conicas. Deinde queritu Dominum Nevulonum supponere suae demonstratione , curvas 1 tali vi descriptas esse sectiones conicas . Impossibile est , ut credat, nullam Nevutono notam fuisse hujus rei demonstrationem; noverat enim,eum primum &s tum fuisse, qui hanc omnem de vi centripeta doctrinam ge metrice tractavit, quique eam ad tantam perfectionem perduxit, ut post plures, quam viginti annos, parum admocium a praestantissimis Geometris ei additum sit. Noverat etiam Bernoullius,Nevvtonum,praeter generalem problematis inversi solutionem, ostendisse modum, quo formari possunt curvae, ae Vi centripeta decrescente in triplicata dissantiae ratione escribuntur, adeoque alterum illum casum ignorare non pOruisse. Nec profecto intelligo, qua ratione Bernoullius Neu tono objiciat, eum hujus casus demonstrationem praetermisisse ; cum ipse non pauca saepius proposuit theoremata, quo rum de monil rationes nusquani dedit; & quidni liceat Nevv- tono ad alia festinanti hoc idem sacree Interim in nova Primcipiorum editione . facilior multo & magis clara , licet tribus verbis , extat hujus rei demonstratio, quam in Bernoul-
Tandem Bernoullius, ut necessitatem suae demonstrationis inversi problematis in hoc particulari casu ostendat , haec addit . Considerandum est , inquit, quod vis , quae facit, ut
704쪽
eorpus in spirali Logarithmica moveatur,debet esse reciproce, ut cubus distantiae a centro; at inde sequitur, talibus viribus semper describi debere tales curvas , cum limites etiam vires facere possint, ut corpus in spirati hyperbolica mo
Miror sane, quod vir Cl. suspicetur , Neuvionum talem unquam duxisse consequentiam. Nam praeter spiralem Logarithmicam, ostendit Nevvlonus, qua ratione aliae curvae numero infinitae & diversae formari pinunt, quae omnes describa tur eadem vi centripeta, qua spiralis Logarithmica; interque
eas reponi debet haec ipsa spiralis hyperbolica , ut in sequen
. Tade autem concludit Nevvlonus, sectiones tantum conicas necessario describi debere per vim centripetam quadrato distantiae reciproce proportionalem : nempe , quod curvatura orbitae cujuscunque, ex datis velocitate, vi centripeta, &positione tangentis,' datur; datis autem umbilico, puncto contactus, & positione tangentis,semper describi possit sectio conica, quae curvaturam illam datam habeat. Hoc a me prius ostensum est in actis philosophicis Londinensibus Anno I o8 . In videm- hae igitur sectione, urgente illa vi, corpus movebitur, nulla alia ; cinn corpus de eodem loco , secundum eandem direetionem , eadem cum velocitate , & urgente eadem vicentripeta exiens non possit diversas semitas describere . Liceat jam mihi Dominum Bernoullium imitari, & inve sum de vi centripeta problema longe diversa methodo resolvere,& ad casum particularem applicare;ubi scit. vis est reciproce, ut cubas distantiae, simulque ostendere demonstrationem Cor. 3 pro . 4I Principiorum Ne toni. Uide si
Quod ut fiat, quaedam ex iis , quae in actis philosophicis p 'NR exposui ' , hie praemittenda sunt. - seq. Sit VIL curva qua vis, quam corpus urgente vi centri-TAB με- peta ad centrum C tendente describit: hanc curvam in duo- ΜDus punctis infinite vicinis I & Κ tangant recte I P, Κ p , ad quas h centro demittantur perpendiculares CP, Cf; centro item C describantur KE , ID , & ducatur CI. Erit
705쪽
ut quantitas . Quini erat demonstraadum . PC κ IN velocitas corporis in quovis loco est, ut via in minimo ciu vis tempore percursa directe, & ut tempus illud inverse; acie que & ut ΙΚ κ- , hoc est , velocitas erit reciproceo,
ut perpendi laris e centro in tangentem . Si aistantia corporis a centro ilicaim ae, & perpendicul xis in tangentem nerit in mat&Pp p, & vis centripeta e
706쪽
poni potest per quantitatem , assumendo quantitatem p x quamlibet pro P. Adeoque si cum Domino Bernoullio vim centripetam no-
quantitatum fluentes, erit m fluenti quantitatis x . .
At cum velocitas corporis sit reciproch, ut perpendicularis p , eius quadratum exponi potest per- . Si itaque veIo-
. Citas dicatur u , erit et ' α-mfluenti quantitatis x φ. Quod χρ si Α sit locus , de quo cadere debet corpus, ut acquirat in D vel I velocitatem υ , deque loco Corporis D erigatur perpendicularis DF π φ , erit rectangulum DE X DF x ν, Sitiam BFG linea curva , cuius ordinatae exponant Vires centripetas , seu quantitates φ. Fluens quantitatis x erit area
ABFD latus quadratum . Quod si velocitas ea sit, quae ab infinita distantia cadendo acquiritur, erit Ψ, seu fluens ipsius x ' aequale areae o D F O indefinite protensae. Hinc semper dabitur quantitas p in terminis finitis , quando area illa curvilinea terminis finitis exponi potest. .Sit, Verbi gratia , vis centripeta reciproce , ut distantiae dignitas m , hoc est, sit x ' - , si velocitas corporis sit ea, quae ac-
707쪽
Quiritui cadendo ab infinita distantia , erit U
', de in hisce omnibuς casibus area indefinite poetensa esta p quantitas finita Potest autem corpus in trajectoria revolvi Vclocitate, cujus quadratum veI majus fieri potest, vel minus
quantitate -- - , vel huici aequale Adeoque erit
tas sit minor , erit -- α - ' es; si aequalis , erit
Sit ἰP m a' a' de Y g π e . Et si velacitas cetpori; sit ea , quae: a, infinito cadendo acquiritur , erit ρ' -
708쪽
Adeoque si vis centripeta sit reciproce, ut cubus distantiae,
In primo casu constat, urvam esse spiralem Logarithmicam;
tionem , arta a, erit angulus CIP ubique Constans.
Ponamus jam, esse p'm ex hac suppositione tres
oriuntur diversae curvarum species, prout a major est quam aut ei aequalis, aut minor. Et primo sit a major quam δ. Centro C, di ad distantiam TAR. s. quamvis datam describatur circulus HYX, cui recta CKCl productae occurrant in Y & X. Et est IN : ΚN IP P C & ita CI P C a : P C ' :: α' - p : p : : x'
SN . Et quoniam est a major quam b , erit ι' - quanti
709쪽
de e α - es; quibus valoribus substitutis ,
ad '- --, uin b ad e; hoc est in ratione data; adeoque e
rum fluentes , si simul incipiunt , erunt in eadem ratione ,
hoc est, erit H Y seu v ad fluentem quantitatis , ut ns ad cimod si centro C, radio CV m e describatur circulus VL,
xioni arcus Q m, quando fluxio est quantitas positiva ; sed
710쪽
Praeterea ex natura circuli erit C G:CU:: CV: CT, qua
do im T circulum tangit, hoc est erit et: e::e: -m C Ταα
Hinc si capiatur angulus VCe ad angulum VC m, ut n ad I.& producatur C e ad X , ut sit CKα secanti C T, erit Κpunctum in curva quaesita . Hic obiter notandum est , si n sit numerus , hoc est , si sita de velaad Wa'-b', ut numerus ad numerum , Curva V Ifiet Algebraisa ; nam in hoc casu relatio m G ad sinum anguli VCe aequatione definitur , & inde habebitur relatio sinus anguli VCe ad C Τ vel CK per aequationem determinatam , & inde demum dabitur aequatio, quae exprimet rela-vionem inter ordinatam & interceptam ii pnneto C incipientem . Harum curvarum ordines , & gradus in scala aequati num Algebraica diversi erunt pro magnitudine numeri n. In his omnibus curvis sic descriptis asymptoti positio hac ratione determinatur ; fiat angulus VCL ad recium angulum, ut nad I. In eo angulo distantia corporis a centro evadit infi-
nita. Iam quad. perpendicularis in tangentem PC α - , ubi x est infinita , fit PC m.