장음표시 사용
91쪽
dimidium rigitur lunula sui quadrati dimidium crit. Vel si cuiuscunqire figurae notae
vacua quadrare velimus minio supra cognito nota sura circumclaudatur, quam si a nota subtrahes, optato potiet is ex ecundo axiomate secundi nostri sit lati exempli peiecisH EI GO F sopienda suo parallelogrammo A B IJ, quam ab ipso seduces icinclusae areae HAE, BI, IGOD, OCHFresiduum innotescet.
Duas quascunque lunullas inaequales in semicirculo sitas simul quadrare. Prop.
TR iangulum redii lineum in semicirculari in ea definiri debet, quod tribus notis distiliximus CE, supra eius latera semicirculi incitabunt ABC, CDE, qtiibus congruens area adinvenienda est , inquam angulus s. micirculo rectus est,&bini semicirculi ABC, CDEae uales sunt semicirculo ACCHE ex eis quae supra habita sunt, reiectis communibus portionibus C. CH relicta semi- lunulae ABCG, CDEH residuo triangulo ACE rectilineo aequiparantur.
92쪽
At si persecta fuerint lanulae Mocunq. modo inaequales, semper orthogonio a circuli medio ad substratam basim d ducendo aequales erunt sit iacens linea AI, supra semici cuius struatur ACFL, ab extremitatibus Ai orthogonium quodcunque struatur triangulum Aci, cuius laterum ductum rectum angulum in C constituant sipra latera AC CLAmbientes semicirculi consurgant ABC, CGL , in eis pes rectae lunulae ex more designentur AB GE, CGLH. His pes actis in verticis sinuos, lineae puncto D ab diametri extremui tW0 'tela consurgant, ut orthogonium trianagulum ADL constituant, aio dictas persectas lunulas ABCE CGL Η , in circulo AC DF descriptum semper dia
cto triangulo AD aequales esse Quonian lutius. ATI
I Potest' alia probandi ratio suscipi . Trian illa ADL
lineam' designetur,&sit AI Κ,&puncto circini pede
93쪽
EX in maimaduertendum impcrscctae lunuli quantomasis scinicirculi vertice declinant , tanto nainores fieri, ut ii trian ut A CL videre est, quod triangulo ADLminus est, 'ui desectum conspicere qui rit, triangulum ACM a trian illo DL subducat hoc modo a lineam D, lineam praecidat, a linca L lineam M obtruncet,&Eneam MN ducat, triangulum I aequale erit Acm, reliquum triangulum ID N erit quantitas lunula ID MI, dempta lunula A E C.
Vacua inter lunulas intermisi quadrare. Prop. T.
T cro interueni cratia vacua circa lunulas si quadrare quaesiicris , ita quadrabis . Esto minor lunula ABCG, maior CDI H imperamus semicurvilinea riangula inania inter illas, in rectilineas figuras reddere scilicet CPD, Q L, CHL ARB, SC, AG C, circumscribantur parallelogrammata tangentia earum ambientestinctas PQ CL, A R SV, fat alterum parallelograminum ex binis L, TV, sit AI TV, ωsa triangulum CLaquale AF L per 3 i. primi Euclid. quibus ita dispositis inquam vacuum circa Aa Vii aequale esse imperatis va
94쪽
cuis. Quoniam triangulum H in est aequale AC ea constitutione, triangillum AC est aequaIe lunulis CDLU, ergo si triangulum A FI a parallelogrammo A TI V abstuleris, reliquum vacuum Aa Vii erit aequale interiectis vacuis iam recensitis
Duas lunulas inaequales in semicirculi ambitu deseriptas seorsum quadrare
ST rectangultim triangulum A CL, culus porrectius latus CL sit duplum exilioris AC, circumserantur lunullex more,quibus adiice suas iteras indices CGL F,&ABCT mox parallelograminum constituatur exdat ribus
95쪽
ribus AC, CL, I ACXL, sat quadrans circuli DLH,
subdupli AECS, nos rationem reddituri, lineam CR trian- ulum AC partiri taliter, ut anguli compares mutuo correspondentes, aequales sinr, ut ACR par sit RDI triannulum A GR par sit lunulta Assica, ct triangulum C RL ipsi CGL F. Quoniam Itinulae CCI P. ABCT pares sunt triangulo ACL quarta liuio. Hostia adiuuante,' triangulo ACI par trimetrum C DAE , quoniam utrique sui parallel grammi dumdium estivi figura quarta huius demonstratum est eroo triangulum C DL est duabus praesignatis iam unulis CGLF, ABCT aequale, sed triangulum CDL est aequale lunulae C GL H, ergo lunula CGL H est aequalis CGL I, de ABC subducatur semilunula CGLF, utpote utrique communis, remanet sublunula CFLH aequalis ABCr, quemadmodum triangulum CDL aequale ACL subducatur communm RI, reliquum triangulum Rissi reliquo triangulo AG aequale,lunulatu partium reprssentantia,sequitur tria
96쪽
gulum; DL esse aeqtiale sublunulae CFLH,&trianguluin AC Raequale lunulae ABCT aquosi triangulum AC su traliatur, aequale lunul e ABCE per primam Hiius remanet subtriangulum ASR imae lunulae AEC Tiar,quod crat de
Vella o modo si triangulum CL aequala est unulis A B GL F, compleatur triangulum C RI, compleatur perfecta lunula,quq sit CGLH,ergo addita pars trianguli l DL aequalis erit additae lunulae FI H, sed pars trianguli addita RDL aequalis est triangulo A GR ut vidimus, par est lunula ABC lunulla CFLH. Vel hoc modo. Tres lunulae ABCE, CGLF, AEC sunt aequales trigono ACL, Quae lunulta CGLF, CFLH trigono DL, ergo omnes quatuor iam dictae lunulae sunt aequales duobus trigonis A CI, AEMI, sed tres lunulea BQ ri
97쪽
lunula AEC est aequalis trigono ASR, quod quUe
Vel tres lunuli AI CI, AECT, CGIL aequales sunt trigono CL, trigonum DL aquale lunuli; GLH, tolle triangulum CDLi luale iam dicti lunul: GLH, reliquum trianaulum ACR lunulis AIM E, AECT aequale est, tolle lunulam perfectam in E sub lunula A E Ca slib triangulo A SI aequalis erit, quod erat demonstrandum.
Trianguli in circulo descripti angillo per medium discisso Sc lunulis a circulo medio diuisis, proportio partis maioris trianguli ad minorem, est icut superior pars maioris lunulae ad inferiorem, superior eadem pars ad minorem lunulam,& superior pars trianguli ad inferiorem sequitur eam suarum lunularum. Prop. 7.
Priusquam ad diuersarum partium rationem lunularunia is descen-
98쪽
descendamus, admonitione dignum censemus, quod cum ab aequalitate duarum lunularum descendimus, quam in secunda parte vidimus, quantum maior crescit, tantum altera decrescit,4 ex alterius defectione altera augumentsi suscipit,&circulus ille, qui per medium utriusque percurrit a maiori scinicirculo subripit, minori addit , sed id non temere , sed certo se superant excessu,ut ratio maioris superioris lunuliadinseriorem eadem sit, quam maioris superioris trianguli pars ad inferiorem, ratio maioris superioris lunulς ad totain minorem,ut ratio partis trianguli anterioris ad posterioreat eandem sequuntur an log am utraque utriusq; rationem sequitur,ut exemplis patebit. Triangulum rectangulum strue, cuius angulis appinges literas CL, pro luetius latus L in duas partes , angustius in unam partiri . In puncto bifaria scissionis lateris I signam, ex quo in interuallo CK circinationis arcus exaretur, cui suas indices literas applic bis CG L, eodemq. ordine signa Ac suum arcum delitica is ABC. mox triangulum maioris circuli GL constitues, est C DI, minoris ABCE, si AC S supra succumbentem omnium basim AL, medius circulus flectatur AC FL, dico Iunii-lam superiorem maioris circuli C GL F ad suam inferiorem CFLH, eandem habere rationem, quam superior pars trianguli CRI ad inferiorem RDL, eadem superior pars lunulet maioris CGLF ad totam minorem ABCT, quam triangulum CRI ad suum sequentem AC R. Quod ut facilius cognoscamus ad hoc demonstrandum , adhibe numterorum officium M ut facilius proportiones observemus cum fractis integros numeros in fractiones soluamus,Vt unum denominatorem habeamus. Quoniam lineam
C in duas partes divisimus erit eius quadratum quatuor partium, cuius pars quarta, destinitas est, hanc in duodecimas solvemus,id est erit ergo totum triangulum ACLE:,
quia linea in ad A, duplam habet proportionem , ita
ad RA. sic triangulum Cita ad triangulum C AR, ergo
99쪽
triangulum CR Lerit triangissum ACR pr. Ergo tota liuaula perlaeta CGL Hvi erit superior lunula maioris circuli C ,LF cum duabus lunulis ABCI simul iunctae sunt, .Tria-gulum V Di erat si superior pars erat vi inferior R Dictat ἔ, quia tota persccta lunula CGL Hest d, ut proportio qua diu pli servetur, quam habet ad minorem mi sectam ABCE triangulum A CS erit ei par inseriorerso pars et , S cum nullus melior construat sublunularum
partibus sit sublunula ALCT: l, sic superior pars maioris it nulla in inferior inde proportio triano ut superioris CRI ad inseriorem BD L crit dupla, ut superior maioris lunulae pars CGL H ad inseriorem etiam dupla destes ador, proportio superioris lunulae pars CGIT ad lunulas Am CT etiam dupla est, sed superior minor lunula ac in seriorem tripla est, ad sic triangulum superius Acri ad A SI, ut τέ ad Tq. Subiiciatur aliud exempliana in tripla diuisione supra lineam porrectani AL, circulum cringamus AC LL,iaox in eo triangulum describendum, ut rectus angulus C litcram possiadeat, cuius latus unum longius CL tres partes, minus AC, unam sortiatur in struendis ibi commode semicirculis CG Lmaior,
100쪽
maior, ABC minor Inde persectae lunulae ex ordine submgnentur, idest trianguli DL, CGL H, trianguli AC
Triangulum ACL, quia linea est trium partium, area erit V proportio CR L ad A CR est tripla, ob id triangulum . CR eiica, triangulum ACRI , triangulum C DE latus trium est partium,quadrans est nouem partium, cuius quarta pars est et , destri supra sunt trianguli CRU. ergo triangulum i DL erita, tres lunulae ABCE, AECT, CGLFest Hsuperior maior ad duas minores est tripla ergo lunula sup rior est ,&duae lunuli ABCE, AECT est , sed lunula pe stet est , ergo superius triangulum Caci e subditum retia qui erit in sublunula reliques inferior maior lunula,ut compleat numerum, ferit. ergo proportio lunula superior ad inferiorem,ides CGL FUC FLI sicut triangulum C RLad RLD. lunulai GL F ad lunulas ABCT. superior i nuta minor ad inferiorem, ut triangulum AC ad triangulum AS R.
Datam maioris lunulam circuli ita secare, ut eius sublunula minori lunulae,ac sublunulae parsit Prop. 8.
Vamquam in supra commonitis idem indicaue rimus, uberioris tamen doctrinae gratia exemplum minimc modum absolvemus in hanc rationem triangulum orthogonium eligendum, in 'ACL ς Vixi porrectius latus CL bifariam
circulum TCI L,&eis triangula subiiciemus CDI, ACR, mox datis meis A C, c Liparallelograminum constituatur CAL Κ, inquam sublunulam CFLR lunulis ABC aequa lamesta Quoniam lunula CGLH aequalis est suo triangu-