Io. Baptistae Portae Neapolitani Elementorum curuilineorum libri tres. In quibus altera geometriae parte restituta, agitur de circuli quadratura. Ad illustrissimum ... Federicum Caesium ..

61쪽

IO BAPT PORTAE

ELEMENTORUM CURVILINEO RQ Liber Sectandi I S.

I idem addideris , quod prius dempseris , quantia

tas aequalis erit.

Si nota quantitas a nota subtrahatur, quaeremnet Ia ta erit

Triangulum semicurvilineum ex aequalibus, iisdem ci circumserent ijs compositum. quadrare. Prop. I. Esto triangulam quodpiam si

micuruit ne in Am B CAE, Aequalibus nimi tum ijsdemq. cim cumferentij ADB, AEC. reet BC basii constituta volo illud quadrare. Ducatur linea AB, QAC, aio arcam trianguli semicurvilinei ADBCE est aequalem re oulo lectilineo AB C. QtIoniam circumferentia ADB lira, itialis portioni AEC, ablata APB, repositaq in AEC a quak remanet triangvlunata Metilineum Ara C semicurvilineo per primum axioma

62쪽

BAPT PORTAE

Vel fiat triangulum aequaIe rectilineum BC, sit AF ex 2. I. Euclid erit semicurvilineum triangulum ADBCE aequale triangulo semicurvilineo demptata, communi portione in remanet rectilineum AT C triangulo semi- curvilineo aequale ADBCE.

Alter Casus. AT si triangulum ADIT E an

gustius erit, tortionis lineae

neutiquam intactas circumferentias relinquent , sed per medium transibunt,eadem operatione idem assequi poterimus . Sed quo res dilucidior euadat, rem exemplo complectemur.

Esto triangulum ADBCE,4 circum- serentia ADB aequalis sit AFC, trahanturq rectae linea AB,

AC, secet AB basis ADt circumferentiam AEC, aio rectilineum ABC aequalem semicurvilineo ADBCE oniam portio ADB, aequalis est AEC dempta communi AEF, remanet AD DF D aequalis AFC, apponatu utrique areola DC, erit A B C rectilineum triangulum semicurvilineo triangulo proposito ADBCE aequale. Vel ad eadem Kaestanda possumus

easdem circumferentias in plures pamtes diuidere, nempe binas, ternas, quaternas, ut ABC circumferentiamin AB, BC, ADE in AD DE. Vnde exclusae partes AB, C, inclusis AD,DE erit area rectilinea ABCEDA aequalis semicurvilineo ABCEDA.

Tria

63쪽

Triangulum semicurvilineum ex variis ci cum serentiis compositum quarum altera alterius dupla sit qua

drare. Prop.

Sto triangulum semicur

ius circumferentia EMG siit circi ilici apti pilus ABC. Sed EDC sit octava pars circumferentiae sui circuli GEDC, circuli vero ABC quarta. Aio triangulum semicurui lineum ABCD rectilineo inuestigari posse parem. Remita moliemur. Completa circumferentiaci, si CEG, coniungatur AC, mox portionem EG diuidatur per medium,l sit diuisionis linea EF, dico triangulum AF semicui uilineo triangulo parem esse inoniam tota portio ABC aequalis est dimidiae ECF, id propterea dempta Aic portione reposita EF semicurvilineum ABCE, abhi in trian ulum rectilineum AC F. At si circulares lineae magis cohaereinuat, ut

circumferentiarum bases introrsum se secent, eadem crit operatio, demonstratio, ut in prima propositione . Productis lineis poriton sAC, semiportionis EF triangulum rectilineum AEFC semicurui lineo par erit. Quoniam spatia ipsarum portionum ABC, EF aequalia sunt ablata interiacent portione DC, quod resiquum est ABCD ipsi DCF aequalesciit, addita utrique areola AED, erit totum triangulum rectilineum Et C toti semicurullinco ABCD aequale , nam quanta pars ex dem-

64쪽

demptione abi) , tota ex repositione substituta est. Vel potest transpositis inuis alio modo triatagulum se mic urvilineum constitu siticii qui'ferentia dupli CD retro B A ante, tunc ex punisto C. super bassim AE cadat perpendicularis CF, connectatur GA, sic triangulum semi- curvilineum At GD E rectilineo caparenti Ratio in superiori hi vidi cimus ex variis, in qua libus cucumse alijs orbiculata trian u-la composita erunt, tunc mente concipienduin, si circulus duplus alteri 1li su diipli duae circumferentiae partes, ni dupli respondent, si quadrupli quatuor, sic deinceps . Esto verbi gratia circuli dupli circumstrentia Em C, est octava ri C: Viruumstrentiae pars respondet duo-

'-ABC. Diuidatist ambiens linea

AU, H portiones, uni EC aequales, sic una EDC, duas illa 'B, B C absumet. Vnde si triangulum semicurvilineum Uuabus octaui circumferentiae partibus decrescimus, AB, BC augemus una ED. sic parpari referemus.

ADCED, si ABC quarta duplicirculi, ADEstmicirculus subdupli docebitnus quomodo possis rectilinea mangulum vale bmicurvilineo facere Tralia turcto per medium circuli A DExsilue ad C, sit linea AD GDAcasti Eruttiangulum semicuritilineum ABCEDRquale

65쪽

ELEM CURVI L. LIB. II.

equale rectilineo DCE.Quoniamiportio A DC elt dupla ipsius A per i 9 primi nostri,&huic nempe portioni AD aequalis DE.dematur dimidia portio ABCD, addatur DE compaΠ, remaneat l. communis areolae DC EF, utrique sic enim rectili neu uitriangulum DC aequale semicirruilineo ABCED, sic excessus unius alteritis defcctu rependetur. Sic desti no is circumserenti; quadruplis quintaiplis eodem Melli Oruti

poteris. Semicu ilinea triaiasivi ad verticem constitu ta e)c eisdem, Sc aequalibus circumferentiis,vel eo aequalibus itota quadrare. Prop. s. SI duo semicirculosa

triangula ad verticem constituta ex eisdem aequalibus circumffuerint dutiis a vertace ad bases rectis lineis,erunt rectangula circulosis qualia. Si primam huius libri letas non secus esse inuenies, qua diximus . Si acciderit, circumserentiae eaedem ad verticem sint ini patiles , sed in leonueniant portet, ut dextrania teriori inistrio e teriori aequalis sit. Sint inaequalia friangulas inaicon ilhcus antia BAE, ACD segmenta sint ae tu alia

66쪽

AE, AC, triangula rectiturea Bassi, AD C, erunt circulosis aequalia B FAME, A DIA. Quoniam segmentum BFAxquale est Am. Si BFA seorsum expellimus, AID sua vice complectemur , sic etiam reijcimus G C reponimus

sit AL, Amad I. binae aliae reictae BA AI, dis, ilinea triangula ALI, ABM, simul iunista 'spalississe Semicurvilinei BEAFD,CGAHI. Quoniam periferi DAC est circuli dupli quarta, BAI subduplus semicirculός, dus Limiportu FDM, AGCL, absument duas porticines,BEA. demptis igitur B EA, Ac CL, repossitis q. AHI AEBM, rectilinea triangula BAM, LAI, aequivalebunt semicurvilineis iam dictis.

Curvilinea triangula ex eisdem de aequalibus circumseren thri de ex variis notis quadrare. Prop.

ESto curvilineum tri gulum ex tribus imicumferentijs A BC, D, I cID A, eiusdem cui uis , sed ABG dupla AD,DC con- llsitutum quod quadrare liuendimus. Dico prota

67쪽

ELEM CURVI L. LIB. II s

ctis aequalibus subtensis AB, BC, CD, DA quadrilaterum , rectilineum ABCD,cile aequale curvilineo ABCD. Quoniam demendo portiones Alue, BC, addendoq. AD, DC, quae simul

aequalia lunt voti compos fies, vel aliud dicimus Poterimus alio modo id assequi Protrahath. Ibi

duae portiones dimidiatar E, CDF a qui ualentini integra ABC na hac dempta, his additis quod diximus eueniet Eodem modo curvilinea triangula ex inaequalibus circumferentiis, sed altera alterius exempli causa sit diipla . Sit curvilineum triangulum At C ET D eae inaequalibus circumferenti s , sed ABC dupla sit ADF, FEC subtensis lineis AC, AF, FG erit quadratum nempe binae portiones ADF, EF aequipollent simplici Assic, unde illa dempta , his additis triangulum rectilineum AC aequipollet curvilineo proposito. Potest contingere ut triangulum constituatur ex variis circumfercntijs,

de inaequalibus, ut E sit dimidia ipsius Am C,

ipsa ABC dupla ipsus AC, sic iacia semipor

68쪽

tione CFG, aequali BHC, subtensis AT portio ADT erit aequalis ABH. Vnde hac dempta, illis subditis triangulum rectilineum ACG erit aequale curvilineo ABCEFD.

Esto curvilineu triangulum ABCDFEpropositum quadradum,& circumferentia circuli

AB C sit dupla EF DG C dividatur circur ferentiari Dc bifariam in D. trahatur CD Berit ceratoide triagulum BHC GD equale postioni per ρ primi nostri. Vnde dempto HG CD reponatur eius vice portio EF D equalis G quia circumferentia L est aequalis , de eadem is sitis A B. ablato AB reposita AE trapezuim rectilineum ABDEerit aequale proposito curvilineo triangulo A B H

Cylloide triangulum ex aequalibus, a licius circumsereia iij quadrare.

Prop. Sto Cy ide triangulum At C emtribus inaequalibuxo circumferentijs constitutum Am curvilineum, latera diuisa, aequalibus circus serenti:

69쪽

ELEM. CVRVI L. LII. II

constitiata, ut AB, sita sitialis BC, MCD,

FA, unde tractis lineis rectis AC, E,E A,&deniptis tribus circumferentijsita DE,FA, alijstribus repositis AB, CD, EF,rectilineum triangullam A. aequale cst cys Oidi ABCDEF. Si quoque scini-cyisoide triangulis In

ex varijs circulorui . circum serenti sed tamen binis semper oppossitis aequalibus constitutum videlicet

Gissi maioris circuli circumferentia, quam EDC, ωpD maior CB A, sed tamen GF aequalis NM EDC, IL M, CBA, HI si a puncto A ad basim G lineae recta trahantur, tutum esse lucris, ratio pendet ex superiori.

70쪽

posita CD, ablata H CE reposita DC rectilineum IGBHCF est aequale iam dicto arbitioni. Potest de alio ni cudo probari.semicircu. Ius ABCel duplus semicirculi DBF ergo vacuum ABDGFBC.

est aequale semicirculo, dematur ex utroq;

portio EF, DGF, ergo lunula DBF est aequalis arbitoni DAB BC, sed arbiton est aequale triangulo rectilineo D EF, ergo arbiton dictum triangulo Da F, est

aequale a

iniadratum curvilineum quadrare. Prop. I. F x quadratun ta

curvilineum

angulis AB, BD, DC,

C A , dico quadratuni rectilineum ABCD curvilineo iam dicto praestabit. Quoniam sunt quatuor semicirculi aequales inuicem, tollantur A SC, BG D, reponantur RPB, C PD, sic rei tilineum curvilineo aequale erit.

Aster Castus.

Potestin quadratum aliter fieri ex quatuor ellam rectis angulis , ut diximus Quoniam portiones