장음표시 사용
21쪽
i DE ARITHMETICA unitatibus constituta. Vnitas sane numerus nequaquam est, sed numeros gignit: fons de radix , adeoque primordium omnis multitudinis. Quo fit, ut imaginem in se Dei con-tlaeat: qui cum nihil ipse sit eorum quae in natura rerum existunt, ea tamen omnia efficit,
omnino immutabilis: qui neq; alteratur ipse,& quibus rebus adest, immutabilitatem eis communicatione donat. Ita enim & unitas in seipsum dum multiplicatur, neque vertitur , neque alteratur: & si in aliquos ipsa numeros ducatur, nequaquam suam illi exinde multitudinem excedunt. Semel enim unum, unum est, non amplius: itemque semel duo, duo sunt. eademque ratione fit in aliis numeris. Id vero in alio quopiam numero nullo offendes. Bis enim duo , quatuor sunt, non duo. Et bis tria, sex, non tria existunt: idemque fit in aliis. Inde formam atque ma
teriam binarius numerus repraesentat, ne
que perinde similis est divinae naturae, quan vis eo ipso & ternario, dc reliquis numeris praestet, quod sive binarium in se ducas , sive
eum secum componas, eadem quantitas exeat. Bis enim duo, quatuor sunt: tantundemque sunt duo ela duo. In aliis numeris secus habet. Ter enim tria novem sunt: tria autem & tria, sex. idemque aliis numeris accidit. Itaque neque binarius proprie numerus est,
22쪽
est, quanquam ab unitatis proprietatibus desciscat. Sedenim trias, hoc est ternarius, qui & ternio dicitur , proprie numerus est, primusque numerorum : qui & initium habet, & finem, & medium: principium ille multitudinis, primus stuper binarium excessus, primas inter omnes numeros gerens,
idemque prae cunctis mysticus, quippe qui numero aequalis est estigi ei trium unitatis personarum , quod in eo neque multitudinis est penuria, dc illa ipsa tamen immobilis est multitudo, ne in infinitum diffundatur.
Eiam vero omnis numerus aut impar est,
aut par. Impar, qui in duas aequales partes dividi non potest: par qui potest. Imparium numerorum quidam primi sunt, quidam compositi: quidam mediam inter utrosque
naturam obtinent, medios nuncupant. Primi sunt, quos sola metitur unitas: id genus sunt, tria, quinque, septem sola quippe
unitate metiri eos possumus) eorumque assimiles. Compositos dicimus , qui duobus, aut etiam pluribus numeris dividuntur , ut quindecim , ternione & quinario : sic viginti& unum numerus, ternario & septenario numero : sic quadragintaquinque numerus, exacte dividitur numeris ternario, quinario, novenario, & quindenario. Medii sunt, qui inter hos sunt constituti : hoc est, quosne a 2 quς
23쪽
DE ARITHMETICA que sola unitas metitur , neque duo etiam
aut plures numeri, sed unus tantum : ut novenarius , quem ternarius meti tur: vigintiis
quinque , quem quinarius: quadraginta novem , quem septenarius metitur : quique alii horum sunt similes. Compendium aurem , quo hos omnes quis inveniat, hoc est.
Exponantur omnes impares numeri ordine.
initio a ternario facto. Eos , & in seipsos quemlibet, & deinceps unum in alium continuo ducemus: & qui producentur numeri, eos, ordine ab his ponemus. Iam sic suppositos contemplabimur, quaerentes si qui impares subteriugerint hanc seriem, tum qui in ea habeantur. Atque ex his iterum , quinam unius tantum, tum qui duorum, aut etiam plurium numerorum multiplicatione
provenerint. Quos enim quasi elapsos subterfugi sse deprehendemus , primos esse eos intelligemus. Qui vero in ipsa serie reperientur, eos, si ex unica tantum multiplicatione prodierint, medios agnoscemus: qui ex duabus aut pluribus compositos. Figura autem quae expositis eo methodi hujus modo numeris conficitur, Cribrum appellatur, quod per eam quasi cribrum elabantur primi numeri. Medii autem dc compositi numeri, etiam impariter impares appellantur, quod nimirum impar numerus impari
24쪽
eos metiatur numero. Parium porro numerorum quidam sunt pariter pares , qui inaequales partes dividuntur, atque denuo dividuntur usque ad unitatem : ut triginta duo in sedecim, sedecim in octo, ea in quatuor, haec in duo, quae ipsa in duas tandem unitates dividuntur. Alii pariter impares, qui in prima , eaque sola divisione subsistunt: ut octodecim, qui in novem dividitur, neque' ulterius progreditur divisio: eodemque modo viginti duo in undecim , & viginti sex in
tredecim. Sunt & impariter pares , inter hos collocati, quorum tamen divisio antequam ad unitatem perveniatur , desii nit: ut duodecim dividuntur usque ad ternarios.
Methodus autem qua & hi indagantur, hujusmodi est. Pariter pares habebis, si sumpto ab unitate initio, componas unitatem cum unitate, & erunt duo: haec cum alio binario, sunt quatuor: iterum quatuor ad quatuor addita, octonarium ostendunt: et octonarium alium si adjunxeris, sedecim habebis: eoque modo perge quoad libuerit. Nam
si a quovis horum compositorum numerorum inceperis divisionem, ea continuabitur tantisper dum ad unitatem pervenias, hacque ratione pariter pares numeros deprehendes. Pariter impares autem , si quem
25쪽
6 Dκ ARITHMETICAris : neque enim quicquam praeterea facto opus est. Hunc compolitum enim dividere volens. unica divisione ad eos ex quibus constat, pervenies. Impariter pares habebis, si ab imparibus numeris compositione inchoata,
non substiteris in prima compositione, sed pergas. Nam ubi iterum desuper divisionem auspicaberis, similiter non una, sed plures tibi divisiones occurrent, donec in primo simul acceptis imparibus subsistas, a divi- 'sone in unitates interclusius. Haec igitur est via inveniendi species paris numeri. Iterum, numerorum quidam perfecti sunt, nonnulli diminuti, alii etiam abundantes. Perfecti, qui suis partibus aequales sunt: ut senarius,cujus partes unitas, binarius, ternarius, quorum si amma senarium esticit. Diminuti sunt, qui suis partibus majores existunt: veluti octo harius, cujus partes unitas , binarius, quaternarius : hae colle etae , septenarium constituunt, quem excedit octonarius. Abundantes dicimus, qui sus partibus minores sunt: quemadmodum duodecim. partes enim ha bet unitatem, binarium , ternarium, quaternarium, & senarium: qui numeri simul sumpti , sedecim constituunt , numerum
duodenario majorem. Numerus numerum
multiplicare dicitur, quando quot in multiplicante sunt unitates , toties sumptus ille
26쪽
COMPENDIUM. Tqui multiplicatur, aliquem alium numerum constituit. Numerus autem qui eo modo constituitur, planus seu superficialis nominatur: cujus latera sunt illi ipsi numeri, quorum unus alterum multiplicavit. Ex trium vero numerorum multiplicatione exurgens
numerus, solidus dicitur: &ipii numeri, ejus lates a. Quadratus numerus est, qui aequaliter est aequalis, aut qui sub duobus aequalibus numeris continetur, aut ex numeri in seductu constitutus est. Cubus, hoc est cubicus numerus, est, qui aequalis aequaliter existit: aut qui sub tribus aequalibus numeris contiisnetur: aut qui constituitur ducto numero in se, eoque iterum producto , multiplicato per ipsum numerum. Numerus numeri pars dicitur, mihor majoris, si eum metiatur. ut ternarius senarii pars est . metitur enim cum
exacte. Partes autem numerus numeri dicitur , si non exacte metiatur eum: quo modo
dicimus , quaternarium senarii esse partes. Multiplex numerus alicujus alterius e sse dicitur, major minoris, si minor eum metiatur.
Haec igitur quasi elementa, & definitiones,& prima numerorum principia praemissa sint: deinceps vero de rationibus, hoc est numerorum proportionibus quas vocant, disserendum est.
27쪽
8 DE ARITHMETICA i De Proportionibus. USi igitur proportio, mutua duorum nu-
merorum erga se habitudo. Quia vero omnis numerus alterius aut aequalis est, aut non: primo proportio existit, quando aequa- is aequali numerus confertur: ut quatuor ad
quatuor, quinque ad quinq; , & omnino cum aequalis aequali comparatur. Inter inaequales autem, alter ad alterum est vel superparticularis, vel superpartiens, vel multiplex, vel multiplex superpnticularis, vel multiplex superpartiens. has proportiones majoris inaequalitatis
nominant. Proportiones autem minoris inaequalitatis, in quibus minoris ratio ad majore spectatur , sunt subsuperparticularis, subsuperpartiens, submultiplex submultiplex superparticularis, submultiplex superpartiens. Numerus ad alterum superparticularis est, si eum integrum continet, ejusque aliquam partem .in quo genere prima est sesquialtera proportio, totum,&ejus insuper dimidium complectens. est enim semis maxima pars totius. Secundum locum sesquitertia obtinet, qua totus cum tertia sui parte continetur. proxima enim pars a medietate, est triens. Tertio loco venit sesquiquarta, cum totus, ejusque adhuc quadrans comprehenditur in majore.
Quartum locum debemus sesquiquintae,
28쪽
quintum meretur sesquisexta , deinde sex- qui septima, & reliqui ordine. Hae igitur sunt superparticulares proportiones , in quibus
majorum numerorum fit ad minores comparatio:eademque varietas est,cum vice versa minorum ad majores fit aestimatio, quae proportiones subsuperparticulares dicuntur. Proportio superpartiens est, cum major minorem numerum totum , ejusque aliquas insuper partes complectitur. Hoc in genere prima est superbipartiens, quum in m jore numero totus minor cum sui besse comprehenditur. Proxima supertripartiens, videlicet ubi major minorem, ejusque dodrantem includit. Tertium locum occupat superquadripartiens , post superquincupartiens, deincepsque reliqui. Rationes autem id genus minoris inaequalitatis , superpartientes nominant. Multiplex proportio intelligitur, ubi major numerus aliquoties in se habet minorem. Inter hujus species prima est
dupla, exinde tripla, post quadrupla, deinde
quintupla , & reliquae. Submultiplices vocantur proportiones in his, ubi minoris ad majorem fit collatio. Multiplex superparticularis proportio est, ubi major minorem aliquoties, aliquamque ultra ejus partem continet ea ratione, qua diximus in superparticulari genere. Minoris inaequalitatis I rationes
29쪽
1o DE ARITHMETICA rationes in hoc genere submultiplices supe particulares dixeris. Multiplex superpartiens proportio est, ubi in majore minor, cum sui aliquot partibus, pro ratione superpartientium includitur. Minoribus vero ad majores eo modo aestimatis, proportiones submultiplices superpartientes nominantur. Τantum erat, quod de proportionibus, quae
in numeris constituuntur, dicere volui. Sequitur, de harum inter se collationibus Proportionalitates vulgo appellantur) ut verba
De Proportionalitatibus. DR oportionalitas est , duarum vel plu- rium proportionum inter se mutua quaedam similitudo, seu convenientia. Estque proportionalitatum alia continua, alia divisa. Continua , in qua proportiones recta coaptatae & conjunctae habentur, exempli gratia : Quae ratio est numeri sedecim ad
octonarium, eadem octonarius collatus quaternario , eademque est proportio quaternarii ad binarium : hae enim omnes proportiones duplae sunt. Divisa seu de junctam malis dicere si ve ctiam discretam ) est, quae ex
proportionibus non recta coaptatis &conjunctis constat: ut, sicut se habent triginta-duo 1d sedecim, ita duodecim ad sex , eodemque
30쪽
COMPENDIUM. TIdemque modo quatuor ad duo. Sunt enim hae quoque proportiones duplae omnes: veorum hoc interest, quod non continuo conjunctae sunt. Neque enim quae est habitudo inter trigintaduo & sedecim , eadem inter sedecim quoque & duodecim intercedit. haec enim non, sicut illa, dupla est, sed sesquitertia. Neque quam proportionem servant duodecim ad senarium , eadem intervenit inter seniarum & quaternarium : quarum nimirum altera dupla est , altera sesquipla. Notandum & hoc, continuas proportion litates non paucioribus tribus constitui te Gminis: dejunctas veεo, ut minimum quatuor
requirere terminos. Sunt autem proportionalitates numero-
tum decem. Prima est , quae Arithmetica dicitur: cujus hoc proprium est, ut excessus. omnes ejusdem sint quantitatis. quomodo dicimus: Quam rationem habent sex ad quatuor, eam obtinent quatuor ad duo. utrinque enim excessus duarum unitatum, seu binarii extat. Secunda est Geometrica, cujus hoc proprium est, ut eadem proportione unus numerus alterum superet: veluti, quae est proportio novenarii ad senarium, eadem est senarii ad quatuor. utraque enim est sesquial