장음표시 사용
51쪽
31 DE MUSICA.ron, Comprehensum videlicet duobus tonis&semitonio: in harmoniam coaptatis duobus tonis, opus est reliquum semitonio per- 'fici. hocque genus diatessaron, diatonicum
vocatur: quanquam ad ejus constitutionem, praeter duos tonos , semitonium quoque accesserit. Iam si duo sint semitonia, quod superest, excoalitu utique conflatur intervallum, trisemitonium incompositum : atque ita ex duobus semironiis& tri semitonio confundetur genus diatessaron, quod Chromaticum vocatur, ad movendos affectus & luctam ciendum esticacius. Sin melodia per duas dieses procedat, alterum intervallorum erit di tonus ex coalitu: idque genus diatessaron, Harmonicum dicetur , quod eo quia sit optimum, a communi harmoniae vocabulo nomen invenit. Neque alia ratione etiam ab harmonia reliqua systematum genera conficiuntur. Verum quia exemplo retrachordi ostendimus,quomodo intervalla inter se contexerentur, facile studiosus lector etiam de reliquis systematibus conjecturam faciet. Sane ad cantum dissicilina Eomnium genus melodiae harmonicum applicari potest , multamque ea res usum ac consuetudinem requirit: quare neque in usumsere venit. Contra diatonicum simplex est,
egregium turaeque aptum:quo factum est,
52쪽
ut Plato quoque id receperit. Verum horum Iraeterea unumquodque variatur , inqueaud paucas cantuum divisiones, differentias atque species diducitur. Modo enim Lydia , modo Phrygia, mox etiam Dorica
cantilena concinnatur: ad quarum unam- quanque,Paean, Hymenaeus, Exodius,& alia quaecunque meliodiarum genera aptantur. Neque enim sola intervallorum mutatione, aut eorum discrimine , sed praeterea etiam obliquioribus aut celerioribus transitibus, mansionibusaeuxibus,tum tactuum ipsorum pulsationumque variis administrationibus, innumera, atque plane varia canIilenarum genera comparantur.
PVnctum est, cujus nulla pars existit: Linea, cujus partes sunt puncta : Superficies, cujus partes sunt lineae: Corpus, cujus partes sunt inperficies. Vel aliter: Punctum est momentum quod non fluxit: linea vero, punctus fluens: superficies, ex fluxu lineaereodem modo & corpus, ex superficiei fluxu
definiamus. Iterum: Punctum est quod
53쪽
omni dimensione vacat:linea,id quod unam habet dimensionem: superficies, quod bifariam dimetimur: corpus, quod trifariam. Hoc modo in componendo, sumpto ab unitate initio , una dimensione quodvis suo praecedente majus est: &in dissolvendo, una semper dimensione a priore posterius deficit. Linea alia recta est, alia curva. Recta, quae aequaliter inter sua puncta jacet: curva, quae secus. Curvarum linearum variae sunt species. nam alia circularis vel rotunda, alia
voluta, denique alia obliqua dicitur: reli
quae vero omnes mixtae seu confusae vocantur. Rot0nda dicitur, quae circunducta, in id punctum a quo incoeperat, desinit. Voluta, seu volubilis, quae ab interiori parte ad exteriorem circumducitur. Obliqua , quae ad anteriora oblique pergit. reliquae definitionibus non distinguuntur. Superficierum aliae sunt planae, aliae inaequales. Planam vocant , quae ex aequo suis lineis interjacet: quae secus, inaequalis dicitur. Parallelae lineae sunt, quae in eadem superficie in infinitum
si ejiciantur ad utrasque partes, in neutrum Concurrunt. Angulus planus, est flexus duarum linearum, unius ad alterum: siquidem illae in plano aliquo mutuo sese contingant, neque in una linea ambae sint. Angulorum
alii sunt tectilinei, alii non. Rectilinei, qui sub
54쪽
sub duobus continentur rectis lineis, non- rectilinei, qui contra. Porro angulorum rectilineorum hae sunt species: rectus,obtusus, acutus. Nam si linea recta in recta incidens, angulos ex utraque parte aequales effecerit, uterque rectus est: si inaequales, alter eorum obtusus erit, alter acutus. Obtusus quidem, is qui major rector acutus, qui minor exi
stit. Ambo vero hi simul sumpti, duobus
rectis sunt aequales. nam quocunque modo tecta linea insistat, duos angulos, aut rectos,
aut duobus rectis aequales efficit. Et si insistens, cam cui insistit, dispescat, qui hac divisione esticiuntur anguli, aut recti sunt omnes, aut quatuor rectis aequales. Quod si in uno aliquo puncto complures rectae lineae aliquam dissecuerint, quotquot anguli eo modo efficientur, ii omnes simul sumpti, quatuor rectis aequales erunt. Quicquid enim spacii circa hunc punctum divisionis ex omni parte est, id omne quatuor rectis completur angulis , neque his plures admittit natura. Figurarum planarum principium est tri latera, hoc est triangulus. Duae enim rectae lineae spacium nullum includunt. Includuntur autem spacia a figuris: earum igitur primae sunt trilaterae . dividitur autem triangulus in tres species, & denuo in tria genera diducitur. Triangulorum enim alius
55쪽
est aequi laterus : alius denique totus inaequalis , Graeci scalenum vocant. Aequilaterus est, qui tribus aequalibus continetur laterihus : Aequi crurus, duo habet latera aequalia: Scalenus, trium est inaequalium invicem lis terum. Iterum aliqui aiangulorum rectanguli, alii obtusianguli, alii item acutianguli dicuntur. Rectangulus est, qui unum habet
Iectum angulum: neque enim duos habere rectos potest. Abtusiangulus, qui unum habet obtusum angulum; nam & hic alter non admittitur. Ocutiangulus, tres habet acutos angulos. Trilateris proximae in ordine sunt quadrilaterae figurae, Quarum alia quadratum dicitur, figura aequalibus quatuor lateribus ad angulos rectos constituta. Aliam altera parte longiorem fere vocant, quatuor rectis angulis constantem, non tamen & omnibus aequis lateribus complexam. Est & Rhombus, figura quatuor aequalibus lateribus comprehensia, sed non rcctangula, & rhomboides, vel simile rhombi , neque aequalibus omnibus lateribus, neque ad angulos rectos
constitutum. Horum omnium commune
est, ut sint parallelogramma. hoc est , quaevis duo opposita latera in illis de parallela seu sequi distantia sint, &ejusdem longitudinis, nec non & anguli bini oppositi aequales. Quae praeterea sunt quadrilaterae figurae,Trapezia
56쪽
C o M P E N D i V M.' 3 peetia Graecis vocantur, id est mensulta. Sequuntur multilaterae, ut quinquangulae, sex angulae, septangulae, dc reliquae. Quinquangularum quaedam sunt , dc aequilaterae, Maequiangulae: aliae aequilaterae quidem, non tamen aequiangulae. Item quaedam neque laterum aequalium, neque ejusdem magnitudinis angulorum. Dari vero quinquangula figura aequalium angulorum non potest, cum
jus latera sibi invicem sint inaequalia, sicut neque in reliquis multiangulis figuris hoc u-sevenit, quae omnes eandem divisionem se .cipiunt, quam de quinquangulis retulimus. At circulus figura est plana, una linea, cui
circumferentiae nomen est , contenta : ad
quam ab uno puncto, eo nimirum quod in medio consistit, quotquot lineae ejiciantur, omnes sibi invicem aequales sunt. Id punctum, centrum circuli appellatur. Diamc- ter vero, linea est per circulum ducta, &in
utramque partem circunferentiae ejus desinens r ea linea circulum in duas aequales partes dirimit. Caeterum diameter, earum figurarum quae & aequalia latera habent, de partem angulorum numerum, linea est per medium earum ducta, & ex utraque parte
ad oppositos angulos finita quae & ipsi figuram in duas aequales portiones partitur.
57쪽
ea quam diximus ciameter, per centrum circuli eius transibit , & ex utraque parte ad circumferentiam terminabitur. Circulus . vero rectilineae figurae circumscribi dicitur. si ita circumcirca ambiat, ut extrinsecuS Omnes angulos contingat. Inscribitur idem eidem , ii ita intra collocetur, ut omnia latera
contingat. Rectilinea porro figura rectiline circumscribi dicitur, cum foris circumposita, omnes ejus angulos suis lateribus attingit. Insciabitur item, quando intro posita, suis angulis omnia ejus tangit latera. Atque haec sane de qualitate figurarum planarum. Si
quis enim praeter eas quas c5memoraVimus, planam aliam figuram comminiscatur, eam is aut ex dictarum divisione, aut ex compo
sitione excogitaverit. Quod genus sunt seniicirculi, portiones circuli, sector ejusdem,S quadrati gnomon , quem vocant. Semi circuli quidem dimidiae sunt partes circuli,
diametro, dc ea parte circumferentia quam diameter utrinque abscindit, contentae, aequales invicem. Portiones autem circuit, palles ejus sunt, contentae recta quadam linea & circumferentiς partibus a se interventu ejus lineae diremptis, inaequales tamen illae. Sector circuli est & ipse circuli pars, angulo ad centrum constituto: & aliqua portione circumferentiae, quae sub ejus anguli lineis
58쪽
C o M P E N D V M. 39 comprehenditur, constans. Id genus figurae divisione deprehenduntur, compositione autem gnomo. Est autem gnomo, unum quadratum circa diametrum quadrati, cum duobus supplementis:Is gnomon a toto quadrato sublatus, ipsum minuit: neque tamen alterat,aut in aliam formam transfert. Idemque appositus, auget, non etiam alterat. Verum ut diximus, de qualitate figurarum planarum hactenus satis : restat ut iam nunc de quantitate, qua ipsarum anguli inter se diffe
Proinde si ordine rectilineae planae figurae
collocentur, quaelibet earum praecedentem
se duobus rectis angulis superat: quaa sic fiet perspicuum. Omnis trianguli, tres anguli duobus rectis aequales sunt: est hoc Euclidis libri elementorum primi capitulum 3 α. quod &nos, quo res fiat dilucidior, e plicabimus. Sit triangulus ABC, extendaturque linea B C usque ad punctum D. dico angulos ACB,& AC D, duobus rectis aequales esse. insistit enim linea AC, lineae B D. Niximus autem supra, si recta rectae insistat
lineae, eo modo aut duos rectos angulos eiu-ci , aut duobus rectis aequales. His ita habentibus ubi ostensum fuerit angulum Α CD,
duobus his C A B , & A B C simul sumptis,
aequalem esse, erunt utique omnes tres an-- ς Α
59쪽
4O . DE GE E TRIAguli propositi trianguli, duobus rectis aequa. les. Sed angulum A C D angulis C A B, de ABC , aequalem esse, hinc constat. Si recta linea in aequi distantes has enim parallelas vocamus 3 rectas lineas incidit, anguli coal- recisi, quos Enallax Graeci vocant, seu alte Gnatim positi, aeqnales sunt. Sint enim parallelae AB, &C D. in has incidat linea EF. conspicuuin igitur etiam sensui hoc est ne singulis demonstrandis immorantes in longum extendamus orationem ) quod anguli coalterni AEF, & EFD, aequales sunt: ite, rumque anguli B E F, E F C, eodem modo positi, ipsi aequales. Iterum, si perparralluas recta transeat, exteriores anguli interioribus & oppositis aequales sunt. In lineas enim parallelas A B, ct C D , incidat linea E F. sintque signata puncta G H, quo loco per illas transit. Iterum ex aspecta patet, quod angulus exterior E G B , angulo interiori &opposito, videlicet GH D,aequalis est: & angulus FH D, angulo HGB aequalis. Itemque anguli EGA, &GHC , aequales : similiter anguli F H C, & HG A. Quae.
cum sint, ad propositum redeamus: sum ainturque denuo triangulum ABC, cum extensa ulterius linea B C, usque ad punctum DrducatuIque linea, quae parallela sit linea ΑΒ, linea CE. In has parallelas quoniam incidit linea
60쪽
lima A C, anguli alternatim positi B A C de
ΑCE, aequales erunt. Iterum, quoniam per dictas aequidistantes transiit linea B D, erit externus angulus E C D , angulo interiori de opposito ABC aequalis. Ita fit, ut totus an-gylus externus ΑCD , duobus angulis B AC aequetur. Ergo duo anguli cum tertio con juncti ACB,duobus tectis cum sint aequales, constati tres trianguli angulos duobus rectis esse aequales. Iam omnem quadrilateram figuram in duo partiri licet triangula, quae
eum omnes suos angulos quatuor rectis aequales obtineant, utique omne quadrilaterum quatuor rectis angulis suos omnes angulos habebit aequales: quo fit, ut duobus rectis angulis excedat angulos trianguli. Proinde etiam in his figuris quae ordine sequuntur, cujusvis omnes anguli proximae prioris figurae omnes angulos duobus rectis Minellunt: siquidem earum figurarum excessus eodem ordinis tenore procedunt, accepto semper unius anguli incremento.
Hinc quantitas perspici potest cujustibet anguli , in figuris quae & aequiliterae simi, &aequiangulae. Si enim in quovis triangulo omnes anguli duobus rectis aequipollent: in aequiangulo triangulo, qui idem est aequilaterus, quilibet angulus bessem recti aequet necesse est. Iterum, quandoquidEm omnis ς 3 quadri-