Michaelis Pselli Compendium mathematicum, aliaque tractatus eodem pertinentes

31쪽

11 DE ARITHMETICA Tertia est Harmonia, quando, sicut se

habet major numerus ad minimum, eadem proportio est excessus inter duos majores ad intervallum du9rum minorum : ut sex, quatuor, tria, major ad minimum : hoc est, senarius ad ternarium duplus est: di Terentia vero inter majores, hoc est, inter sex di quatuor, binarius: inter minores, quaternarium videlicet, & ternarium , unitas. Est autem etiam binarius ad unitatem duplus, qua proportione etiam major ad minimum erat collatus. Haec proportionalitas Harmonica ut dicatur, ex eo fit, quod in ea Musices proportiones harmonicae roperiuntur: quod genus sunt, sesquitertia, cui in Musica respondet diatessaron : sesquialtera , cui diapente et dupla, cui diapason. Nam diapason cum diatessaron, diapason cum diapente , & disdiapason omittamus: easdem enim obtinent proportiones, sed suo

quodam excessu. Harmonica equidem ana

logia si ve proportionalitas, praedictas in se

omnes habet rationes, sesquitertiam, sesquialteram & duplam. Constituatur enim ea innumeris senario, quaternario, ternario. Minorum proportio est sesquitertia, majorum sesquialtera , extremorum autem dupla.

Quatuor enim ad tria, sesquitertiam habent rationem: senarius ad quaternarium, sesquialteram:

32쪽

COMPENDI V M.' 13 alteram : maximus vero ad minimum senarius scilicet ad ternarium) duplus est. Quamobrem tertia proportionalitas, cum harmonicas Musicae rationes, hoc est, ex quibus

concentuum ratio omnis conflatur, contineat in se, haud injuria Harmonich nunc

pata est. .

Quarto opposita est Harmonicae , cum quae ratio ad minimum est maximi, in ea differentia minorum ad differentiam majorum constituitur .: ut sex, quinque, tria. Sex ad tria duplam habent proportionem: differentia inter minores est binarius, inter majores unitas. Porro binarius etiam ad unitatem

collatus, duplam habet proportionem. Tot igitur, hujusque modi sunt proportionalitates, quas quidem Pythagoras, &ejus se statores tractaverunt. nam quae sequuntur reliquae, a recentioribus in ventae sunt, & additae. Quinta est, quando ut medius ad minimum , sic differentia minorum ad intervallum majorum : ut quinque, quatuor, duo. Quatuor a. duo duplam constituunt : minorum differentia est binarius , majorum unitas, iterumque binarius unitatis duplus. Sexta, quando ut maximus ad medium, sic minorum disterentia ad differentiam majorum : exempli causa , sex, quatu0r, unitas. Senarius ad quaternarium est lesquiplus: minorum

33쪽

r . DE ARITHMETICA norum quoque differentia ternarius, ad differentiam majorum, quae est binarius, sesequialteram habet proportionem. Septima, quando ut maximus ad minimum , ita eorundem differentia ad differentiam minorum. Veluti , novem, octo, sex.

Novem ad sex, est sesquialtera ratio. Differentia inter hos numeros, ternarius: minorum vero, binarius. Est autem binarii terna istius sesquialter. Octava, quando sicut maximus ad minimum , ita eorundem differentia ad differentiam majorum: ut novem, septem, sex. Novem ad sex, sesquialteram proportionem efficit: differunt autem ternario, qui ad binarium, differentiam majorum, est sesquiplus.

Nona , ubi sicut medius ad minimum se habet , sic extremorum differentia

ad differentiam minorum : quemadmodum evenit in numeris septem , sex , quatuor. Minorum proportio est sesquialtera, differentia extremorum ternariω : qui &ipse sesquialteram habet rationem ad binarium , qiue est differentia minorum Decima, quando ut medius ad minimum, sic se habet differentia extremorum ad differentiam majorum : veluti in numeris octo, quinque, tria:

34쪽

Quinarius ad binarium, superbipartiens est : differentia extremorum, quinque, differentia majorum, tria. Sunt autem quinque ad tria eadem, qua modo diximus, propor

tione.

Caeterum inter proportionalitatem exaequalibus constitutam numeris,& Geometrica, nihil differt, ut quatuor quatuor, quatuor:

quae proportio est primi ad medium , eadem

est medii ad minimum .utrinque enim aequalitas est. Eam igitur proportionalitatem, ut quae in idem cum Geometrica coincidat, omisimus : unde fit, ut decem omnino, non

plures sint proportionalitates. At enim quia de illis satis jam perspicue verba fecimus. postmodo ad artificium constituendorum

planorum numerorum convertemur.

De planis numeris. N numeris omnis figura a monade inchoa- tur, expositisque sequentibus numeris perficitur : in triangulis quidem , nullo intermisso in hac compositione: in quadratis vero , semper uno neglecto: in quinquangulo, duobus: in sexangulo tribus, ac sic deinceps : ut nimirum semper ea figura quae plures adhuc habet angulos , adsectione unius numeri ad numerum omissorum constituatur. Enimvero , uti diximus , quan

35쪽

16 DE ARITHMETIc Atum ad triangulos, continua facta numerorum compolitione, ita ut nullus inter eos' praetereatur, eu modo trianguli coagmentamur. Exempli causa: unum . duo, jam sunt tria , quae est prima triangulorum figura , ex unitatibus constituta tribus, quarum una vertex ipsius figurae est, eaque ratione quodvis latus binario constat. Dein de ubi proximum a binario numerum hisce adfecerimus, secundum triangulum habebimus , cujus singula latera ternario, ipsum vero senario numero constet. Postea, ad hoc triangulum si proxime ternario posteriorem numerum addiderimus , tertium prodibit, cujus quod vis latus quatuor unitatibus , tota vero figura denario mutatum numero absolvetur. Eodemque modo deinceps quartum efficiemus , adjecto huic eo qui quaternarium insequitur numero : 8c quintum , si quarto eum qui quinarium sequitur numerum apposueris. Isque modus deinceps se in infinitum extendit. apponitur quippe identidem numerus, qui in continua

numerorum serie sequitur,augenturque uni

tatis subinde accessione latera, majorque ipsa figura adjectione numeri ejus efficitur. Et

haec de triangulis. Quadrata , non continua numerorum

adjectione , quemadmodum de triangulis

36쪽

sitione uno numero praeterito, ut unum,

tria. vides uno inter hos numero, scilicet binario , neglecto, primum quadratum esse - ex unitate & ternario conflatum. Bis enim duo, sunt quatuor. Definitus enim quadratus est a nobis numerus , qui ex multiplicatione numeri alicujus in seipsum proveniret. Latera autem primi quadrati, sicut &primi trianguli , binario continentur. Id enim commune est omnium figurarum, ut earum latera a binario facto initio, deinceps adjectione unitatis subinde excrescant. Secundum quadratum efficitur , adjecto ad primum eo numero, qui facta intercapedine

unius numeri in continua numerorum serie, proximus est: nimirum quinario. inter ternarium enim & quinarium, iterum unus omissis est: nempe quaternarius. Is autem

quinarius cum primo junctus quadrato, novem efficit, qui est secundus in ordine quadratorum numerorum : ter enim tria, sunt

novem. Reliqui etiam quadrati eadem ratione producuntur , semper uno numero praeterito. & proximo ad praecedens quadratum adjecto. Sane alia etiam est quadratos numeros ordine inveniendi methodus, videlicet 'ut numeri nacinali sese ordine se

quentes, singuli in seipsos ducantur: ut, bis b duo

37쪽

18 DE ARITHMETIc Aduo sunt quatuor, ter tria novem, quatuor quater sedecim, & sic deinceps. Quinquangulae autem figurae fiunt, subinde duobus intermissis numeris: ut, unum, quatuor. Ecce duobus in medio numeris praeteritis, binario & ternario , unitas cum quaternario juncta , primum quinquangulum effectum est , ipsum quinario totum constans, singula vero latera binario. Secundum ut habeamus,septenarium primo appO- nemus , iterum duobus in medio relictis numeris, ut totum jam quinquangulum duodecim unitatibus, singula autem latera teris nis constent, & simul omnia denarium unitatum numerum efficiant, duasque in medio includant. In omni enim figura quae post laterum absolutam constitutionem restant unitates, in medio collocantur. Simili ratione etiam tertium quinquangulum habebitur, & quartum, re quintum, ac deinceps reliqua, identidem eo numero qui duobus neglectis proximus est, ad prius quinquangulum coace Ivat O. Sexangula trium praeteritione numerorum componuntur: septangula, si quatuor: octangula, si quinque in medio numeri omittantur. Denique ut uno verbo dicam accedente ad numerum angulorum' angulo uno, ctiam ad summam eorum numerorum

38쪽

qui in medio relinquendi hunt, unitas additur : itaque demum, ubi facta figurae compositio est, observata hac quam dixi praeteritione , alia deinde eodem modo fit compositio, atque iterum alia , quantisper nimirum figuram propositam augere stat sententia. Circularis numerus fit, ubi numerus in seipsum multiplicatus, in seipsum desinit: ut quinquies quinque sunt viginti quinque,

sexies sex sunt triginta sex. Praeter hos in numeris alios circulos non invenies. Quod si vero iidem etiam quadrati dicuntur, diversa tamen utriusque nominis est ratio. Eo enim quod conficiuntur ex ductu numeri in seipsum , quadrati nominantur. Quatenus vero

a seipsis incipiunt, & in seipsos desinunt, jam circuli appellati sunt. Et haec sint nobis deplanis seu superficialibus numeris, figuris exposita. Sedenim inter has aequales dicuntur,qnae ea proportione quam aequalitatis dicunt,latera habent sibi respondentia. Similes Vero, quarum alio genere quodam propor tionis latera se invicem respiciunt. Ad hunc modum & in solidis, quae se ea ratione habent, aequalia vel similia dicuntur : sed de his

39쪽

Dι selidis numeris. C Olida igitur fiunt, si figurae plane aliis a-

liae adiiciantur. Quod si ordine minoribus majores subjiciantur , minimaeque figurae unitas superponatur, fuerintque hoc modo coacervatae figurae angulares, quae hoc modo constituta est fgura , Pyramis nominatur: potestque, quantisper fuerit visum, hoc incrementum, subjectis subinde ejusdem generis figuris, prorogari, a minoribus ad majores facto progressit. Ab hujusmodi figurisii ipse apex sive quis verticem potius dixerit , seu fastigium) auferatur, mutilae exinde pyramides , seu curtae fiunt. Quarum primacit, ubi tantum ipsa unitas subtracta est: secunda , etiam primo, hoc est minimo ablatolii angulo : tertia , etiam secundo abjecto: quarta , ubi ad haec etiam tertium : sin &quartum, quinta curta pyramis apparet i dc sic deinceps. secundum triangulorum amputationem , ordine etiam ipsae Pyramides nominantur. Si vero aequales angulares figurae aequalibus superponantur , ejusmodi figurae Prismata, hoc est serratilia corpora

appellantur: nimirum ea tantum quae ex

triangulis, quinquangulis, vel etiam plures adhuc angulos habentibus figuris constituum ur. Quae autem solidae figurae, imposi-

40쪽

tis super aequales quadratas aliis aequalibus quadratis conficiuntur, si longitudini &altitudini aequalibus , etiam aeqMalis respondeat latitudo quod aequaliter aeqndqualiter dicunt) eae Cubi vocantur. Sin altitudo longitudinem atque latitudinc mexcedat quod est aequaliter aeque majus in Trabes appellantur Sin dictis dua bus dimensionibus altitudo sit minor aequaliter aeque minus in Lateres nominantur.

Est etiam ubi superficies ipsae quae componuntur, non sunt quadratae, sed longitudinem quam latitudinem majorem Obtinent saltera parte longiores vulgo dicunfinibi tum si latitudini altitudo congruat, irerum solidae figurae eae constituuntur , qua STtabes diximus. Sin longitudini, Lateres. Sin eum neutra inaequalium dimensionum altitudo convenerit, sed fuerint omnes tres dimensiones inaequales hoc est, inaequalia inaequaliter inaequaliter in Cuneos vocant

ejusmodi figuras. Quod si sibi invicem superpositae aequales superficies circuli sitiar, Cylindri constituentur: quorum ea est ad circulos ratio. quae etiam serratilibus ad angulares superficies..Conos, hoc est meras seu turbines in Arithmeticis figuris reperire non

datur: quia neque plures duobus circuli in iis sunt, nedum qui possint ordine a minori-