Michaelis Pselli Compendium mathematicum, aliaque tractatus eodem pertinentes

41쪽

11 DE ARITHMETIc Abus semper majores cyllocari. Atqui illis opus erat, ut sibi invicem si superpositi eo modo essent. unitate superposita fastigii loco, conus absolveretur. Sphaerae proinde in numeris fiunt, circulis eo numero , ex quibus fiunt, multiplicatis: ut quinquies quinq; , hoc est viginti quinque, circulus: viginti quinque Vero , per quinque multiplicata, centum viginti quinque pariunt, qui numerus est sipha ra. Ita sexies sex, sunt triginta sex, nimirum circulus. Sexies triginta & sex, sunt ducenta sedecim , sphaera. Plures etiam duabus sphaeris in numeris reperiri haud possitne, quando neque plures duobus circuli sunt: ita ut mensurae sphaerarum in numeris respondeat ipsa creatio. duplices enim coelestes sphaeras in creatione etiam fabricata est Ratio opifex : apud quam si ve rationem sive

mentem , omnes scientiarum rationes ecante id tempus, quo res ipsae ut e ssent in universum hoc productae sunt, ab aeterno natae sunt, deinde etiam rebus in natura existentibus additae. Verum ex substantiis naturalibus homines contemplationes earum animo complexi, scientias collegerunt: ita ut scientiae quae in nobis sunt, earum rationum quae

in ipsis rebus existunt, sint quaedam quasi sigilla, de iis expressa. Rationes autem in rebus ipsis, rationum illarum quae in Deo

ante

42쪽

ante secula extiterunt, umbrae quaed im sutar,& imagunculae , quae ipis ad prunam causam trajiciunt hominem, modo ad earum conis templationem pura nos & sincera ducat vita et quae prudentia in judicando adhibita, progressias faciat. Ita enim insti uctus homo, etiam absque hisce scientiis quae instrumento absolvuntur, contemplatione ea quae nullo indiget instrumento , immediatisque conatibus, ad rerum, atque exinde ad ipsius causae cognitionem quantam humana capit natura in mentem suam transfert. Verum enimvero quando solida in figuris sunt extrema, etiam hic noster compendiosus de Arithmetica sermo jam hoc fine claudatur, particularium Arithmeticorum Theoremalum , quorum nullus est finis, expolitione absti

nens.

Exacta summa hic, evidensque

MUSICAE.

TTNiversium hoc, antiqui Musica contineri' perhibuerunt. Nihil enim in rerum natura absque commensuratione & proportione consistit: neque quicquam eorum quae

43쪽

fiunt, sine debita commensuratione & proportione si fiat, recte productum natumve esse dicitur: sive id ab arte essiciatur, sive a natura: & sive sub sensum illud cadat, sive solo in te lectu perspiciatur. Caetetum Musica ipsa per se commensuratio quaedam omnino & proportionalitas est , nimirum harmonia universi existens. Fortassis & ipsam divinam naturam haud inconvenienter sui ipsius & universi harmoniam quispiam dixerit: siquidem in Deo

concinnatus, & ad consonantiam coaptatus mundus, bene, atque adeo quam optimὰ se habere videtur. Tanto nimirum Musicam illi dignati sunt miraculo. Ea quando in Omnibus conspicitur , atque universa temperat, exornatque,tum sensiai voluptatem, co

gruentiam autem harmoniam dico J Naturae, beatitatem denique intellectui largitur: nos de ea Musica quae in sensibus, aut potius uno sensuum auditu consideratur, paucis disseremus. SOnus est, vocis nullo intervallo divise harmoniae particeps intensio, seu tenor. Intervallum autem, sonorum mutua unius ad alterum ratio, sive respectus. Systema, complexus est certus intervallorum. Harmonia, ipsa constructio systematum. Enimvero sonus divisionis capax non est,ut neque punctum

44쪽

COMPENDIU M. 2spunctum in Geometria. Harmoniae part cipem diximus , quia ita effertur, ut possit etiam cum alio sono ad harmoniam conci

nari. Quod nisi fiat, jam is dissonus sit si

nus, non consenus: imo neque sonus dic

tur esse, sed strepitus qsispiam temere editus, & ad consonantiam nulli existens usai. Proinde diversae sunt sonorum , quas illi progressu & ordine , quem a gravi ad acutum

observant, nanciscuntur nomenclationes rProsambanomenos, Hypate hypaton, par hypate hypaton, hypate diatonos, hypate meson, parhypate meson , diatonos meson , me se monos, parameses, trire diezeugmene, diatonos diezeugmene, nete di zeugmene , trite hyperbolaeon , diatonos hyperbolaeon, nete hyperbolaeon. Per has sonorum species heccaedecachordum , hoc est , sedecim chordarum instrumentum in quindecim fidibus instructo organo Pe tecaedecachordum vocant Graeci) absolvi tur, fine octa chordi ad principium seque lium continuo assiumpto. Quam enim rationem habet primus sonus ad octavum, ea dem octavus ad decimumquintum obtinet. Et haec de sonis. Intervallorum autem minimum genus est. quod diesin vocant: deinde semitonium, cujus dupla ad acutum est accessio , respectia

45쪽

16 DE MusICA die seos. Deinde est tonus duplici constans semitonio , & rationem sesqui octavam constituens , ut est novenarii ad octonarium numerum. Quo fit, ut semitonium sit quasi dimidium sesqui octavae, die sis autem quasi

quadrans ejusdem. . Quamvis enim ratione numeri unitas dividi non potest, utique tamen unitas quae in materia conspicitur, dividitur Geometrice. Nam chordam eam quae

observat rationem sesqui octavam, possibile est dividi in semissesqui octavam , quod est semitonium, & hoc denuo dividi in die sin.

Geometriae enim est, semper a majori recta minorem posse detrahere , semperque posse minori apponere majorem. ex quo 1 equitur,

ut quaelibet figura ad placitum possit cum

augeri, tum diminui. Id vero in Arithmetica locum non habet. Ad haec, propositum quadratum in aequalia partiri quadrata, aut duplum efficere non potest. Numerorum enim sedecim, qui est quadratus , neque in

duo potest diducere quadrata octo enim

Arithmetice quadratum esse, aut ejus numeri dare radicem quadratam, impossibile est)neque duplum ejus aliud quadratum dares fieri enim non potest, ut numerus triginta duo sit quadratus) At Geometriae hoc factu non est dissicile. nam Geometer dati quadrati latere loco diametri accepto, ubi circum-

46쪽

COMPENDIUM. 27

posuit quadratum , id statim propositi est

dimidium: iterumque accepta dati quadrati diametro loco lateris ex eo quadratum describet, quod propositum dupli esse constar. Sic etiam sesqui octava toni proportio dividi poterit in semitonium; iterumque in die-sin. Eorundem quoque auctione, compositae quoque reliquae intervallorum species constituuntur: tridie sis, trisemitonium, dit onus, tritonus,& quo quis modo voluerit, idque rhythmus admiserit, veluti exsequentibus cognoscetur. Incompo Ma autem dicuntur , quia tanquam una cantilena ex coalescentibus in unum tribus diesibus, aut semitoniis totidem , aut diversis tonis conflatur, potentia quidem sive facultate diversa intervalla continens, sed unico tamen intervallo edita. Praeter haec sunt de alia intervalla : diatessaron, quartam vulgo dicunt:

diapente, iisdem quinta est : & diapason,

quam trito vocabulo octavam nominant. Haec autem neque immediata sunt, neque

incomposita, sed per media omnia dicta intervalla transeunt. Atque haec quidem intervalla dicuntur, ratione sonitus qui est a primo sono ad extremum e quantitate autem intermediorum sonorum hujusmodi appellationes invenerunt, diatessaron quidem, quia per quatuor sonos aut nervos transit: diapentes

47쪽

18 DE MusICA diapente, quia per quinque: diapason, quia

per omnes, hoc est , per octo. Nam quia omnia intervalla complentur in octachordo, atque inde iterum geminantur , diapason dicitur, quod per octo nervos transir. Argumento sunt etiam nomina, quae sequentibus intervallis obtigerunt, ut sunt diapason cum diatessaron, diapason cum diapen te disdiapason, hoc est, octava cum quarta, octava cum quinta, & duae octavae.

Consonant autem diatessaron dictum intervallum , & diapente, secundum id genus consonantiae quod Paraphonum Graeci dicunt, quasi juxta sonans. Diapason autem. diapason cum diatessaron , diapo son cum

diapente, & disdiapason, secundum id genus consonantiae quod Antiphonum appellant , quasi contra sonans. Inter paraphonum & antiphonum . hoc est assonans de

obsonans , hoc differt quod illud quidem

consonat inaequali tempore , quando soni mutuas suas proportionalitates atque ratio nes aequalitate quadam leniter & concinne sibi invicem succedunt. Antiphonum autem est, cum simul eodem tempore acutum cum gravi consonat: ut cum octavus primo, undecimus quarto, duodecimus quinro, decimusquintus octavo aequaliter ascendit vel

descendit in intensionibus remissionibusve.

48쪽

COMPENDIU M. ita ut acutis graves, vel contra, respondeant proportionaliter. Caeterum tonus.

semitonium, atque die sis per se considerata. initium quidem seu principium sunt con

nantiae, non tamen consonantia. Conficitur autem diatessaron duobus ex tonis, unoque semitonia, & praeterea quopiam exiguo: quod quia minus die si est , appellatio hempeculiarem non invenit. Diapente vero exicibus tonis, semitonioque constat. Diapason autem ex sex tonis conficitur. Diapason autem cum diatessaron, ex octo tonis & semitonio conflatur. Diapason cum diapente,

ex novem tonis & semitonio. Disdiapasen. ex duodecim tonis. Proportio autem diatessaron seu quartae est sesquitertia, diapente sesquialteram constituit, diapason duplam. Diapason cum diatessaron, duplam superpartientem: diapason cum diapente , tripiam. id quo melius intelligatur, exempli

causa constituatur in numeris piimus terminus senarius : ad eum sesquitertius est o ct narius, sesquialter novenarius, duplus duodenarius , duplus superpartiens s nimirum superbipartiens tertias j sedecim. Triplus

denique, octodecim et quadruplus , vigintiquatuor. At enim scire hoc oportet, proportiones intervallorum nequaquam judicari ad numeros sonorum vel fidium facta colla-

49쪽

DE MusICA collatione, sed ad sonitus ipsius intensionem a gravi ad acutum. Nam quia intervallum diapente diximus habere sesquialteram proportionem , equidem id non intelligendum est ad excessum quantitatis respiciendo, qua in respectu se praecedentium sonorum habet. Ea namque ratione ad primum esset quincuplum , ad secundum duplum sesquialterum : at tertio collatum , eum, ejusque bessem continet : sesquiquartum vero est ad quartum, nulli autem horum omnium sesquialtera proportione quadrat. Ergo ad intensionem acuitatis , non ad numerum sonorum respiciendum.eo enim tandem modo

sesquialterum erit, quod idem de reliquis

existimandum est. Porro hae proportiones intervallorum , aut per differentiam longitudinis, crassiti eive nervorum , aut per tensionem , quae fit conversione clavorum , deprehensis sunt, aut a ponderum tractione forte manifestius: in illis vero quae inflantur, vel per cavitatis amplitudinem , vel ab intensione de remissione spiritus. Porro systematum aliud est: tetrachordum , quod

quatuor componitur nervis , omnem vim

intervalli diatessaron complectens : aliud penta chordiam , quinque ex nervis constiturum , diapente intervalli omnem potestatem in Ie continens : aliud octachordum,

octo

50쪽

.C OMPENDIUM. 3et octo ex nervis constructum, omnem octa vae materiam ambiens. Est & quod eontinentibus sedecim nervis conficitur, omnem

disdiapason s decimamquintam hodie vocant) intervalli ambiturii comprehendens, eoque ad duplices usus habile, quod & praedi dia intervalla , & ex his ipsis composita complectitur. Inter systemata proinde, ac

in medio eorum concesta intervalla hoc interest, quod systematum omnis constitutio in materia spectatur: cogitatione autem separata materia, intervalla intelliguntur.Harmoniae proprium est , ut ea stilemata construat atque concinnet ad horum melodiaec eam cantus seu cantilenae modulationem

fere dixeris) generum aliquod, quae sunt diatonori, chromaticum, & harmonicum, cur

ab ipsa Harmonia nomen obtigit. Nam siquidem harmonia ipsa seu consonantiarunt coaptatio potissimum per tonos progrediatur , eo modo diatoni cum conficitur genus melodiae : sin per semitonia, chromaticum, quasi coloratum dicas : sin ipsa harmonia die si bus majore sui parte absolvatur, harmonicus eo modo cantus conflatur. Neque ramen aut solis ex tonis universa harmonia

componitur, aut ex solis semitoniis , solisve die sibus: id enim fieri nequit. Sed quoniam quidem tribus ex inter allis constat diatess