Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

291쪽

f. 3. Quia igitur fracta f. Vt evanescens spectatur, ponamus sicque angulus dis prae euanescet unde cum loco sinuum anguloruit ipsos angulos ponere liceat, erit noster Valor Deinde quia etiam angulus nihilum abit, loco omnium sinuum, in expressone pro Winuenta occurrenitium, ipso angulos scribere licebit, quo obscruato alor quantita is sequenti modo exprimetur: lim I 'αI-al α - lxLI s etc.

g. 6. Singuli hi logarithmi commode in series resolui possunt. Cum enim forma generalis omnium terminorumst tum ero per notam resolutionem sit

quamobrem singulis partibus hoc modo euolutis et

- etc.

etca

etc.

f. quod se iam cistac series secundum columnas Verticales disponamuS, quia prima columna dat a I

292쪽

etc.

Quoniam igitur harum serierum omnium summae sunt cognitae, hinc per approXimationem eo facilius valor litterae raefiniri poterit, quia littera r semper denotat fractionem unitate

maiorem.

etc.

Horum autem Ialorum ratio iam saepius abunde est exposita.

293쪽

SPECIMEN SINGULARE

Auctore

Conlient exhib. d. 18 Mart. II 6. f. a.

am ante complures annos nouum prorsiis Calculi genus adumbraui, cui Analyseos Infinitorum indeterminatae nomen inposueram, quoniam ad Analysin Infinitorum ordinariam eodem modo refertur, quo Analysis Diophantea ad Algebram communem. Indoles cilicet huius Calculi in eo consistit, ut eiusmodi relatio inter binas variabiles inuestigetur, unde na pluresue formulae integrales nanciscantur valore sue algebraic OS, siue datas quadraturas inuoluentes. Veluti si talis definiri debeat relatio inter binas variabiles x et , ut ista formula integralis fa Θ, -- y algebraicum valorem adipiscatur, Vel etiam datas quantitates transcendentes inuoluat. Hinc enim euidens est curuas algebraicas obtineri, quae sint vel rectificabiles, Vel quarum rectificatio a datis quadraturis pendeat a que hinc problema illud Hermannianum celeberrimum methodo directa solutum dedi, quo requirebantur curuae algebraicae non rectificabiles, sed quarum rectificatio datas quadraturas inuol-Veret, in quibus tamen nihilominus vel unus, Vel duo, Vel adeo quotquis voluerit arcus assiignari possent absolute rectificabiles

294쪽

biles, postquam ipse ermannus et Bernoulii methodo maxime

in directa ad eius solutionem perueni tanti rae erea vero e iam tum temporis plura alia huius generis roblemata non

parum curiosa ope methodi, quam ibi exposui, felici successu expedivi. f. a. Methodus autem mea huiusmodi Problemata fouvendi ita est comparata, ut eius beneficio sequens roblema generale pertractari possit:

Si R, S, etc. fuerint functiones quaecunque datae C riabilis , semper eiusmodi relatjo Igebraica inter binas CarIabiles X et y a signari potes, Ct omnes istae formulae integrales: ΡΘ3 f dAE, RΘF, etc. quotcunque fuerint, algebraico fortiantur Calores. Quin etiam inci potes τι

Una earum, Cel etiam duae, datas quadraturas inuoluant. Quamuis autem iste casus latissime patere videatur, tamen hac conditione maxime restringitur, quod in istis sormulis altera variabilis Fonicam tantum obtineat dimensionem. Si enim diversae dimensiones occurrerent, neutiquam adhuc perspicere OS sum, quomodo resolutio suscipi deberet. f. a. uoties igitur eiusmodi quaestiones proponuntur, quas ad huiusmodi formulas reuocare non licet, fateri cogor, me nullo adhuc modo perspicere posse, quibusnam setificiis solutionem saltem tentari conueniat, id quod Xemplo simplicissimo declarasse sum ciet. Veluti si hae duae sormulae: Igae et in ambae reddi debeant integrabiles, aliam solutionem exhiberi posse non video, nisi quae sponte se offert, dum

pro F potestas quaecunque ipsius 'assumitur. ViX autem asseuerare ausim, nullam aliam solutionem locum habere posse.

Ex quo intelligere licet, quantopere adhuc istud nouum cal cul

295쪽

culi gemis nobis sit absconditum, et omnia quae adhuc sunt praestita vix tanquam prima eius elementa spectari posse; unde maxime esset optandum, ut sagacissima ingenia omnes vires intenderent ad istam Analyseos partem berius excolendam. f. . Ad hoc etiam Calculi genus referri debent bina illa Theoremata, quae non ita pridem in medium afferre sum

ausus, quorum priore asseueraui, praeter circulum nullam aliam dari curvam algebraicam, cuius singuli arcus per arcu cim culares Xhiberi queant, siue nullam aliam inter x et a relationem algebraicam assignari posse, ut fieret Altero autem Theoremate amrmaui, nullam plane dari cu Vam algebraicam, cuius singuli arcus per simplices logarithmos exprimi queant, siue ut fieri possit ψ Θ, --GI' Pluribus quidem rationibus veritatem horum Theorematum cose roborare sum annisus, ita ut nullum amplius dubium superesse posse videatur interim tamen plenam eius demonstrationem Vix ante exspectare licebit, quam nouum hoc Calculi genus uberius fuerit elaboratum. f. s. Imprimis autem ad istum Calculum pertinent quaeStiones iam passim tractatae de lineis rectificabilibus in data superficie siue convexa siue concaua ducendis, quarum solutio semper multo maiorem huius noui calculi persectionem requirere videtur. Postquam enim multum desudassem, ut in superficie sphaerica lineam rectificabilem inuestigarem , nullam aliam reperire potui, praeter eam, quae Geometris iam pridem innotuit, quae scilicet describitur, dum circulus sphaerae maximus super minore prouoluitur, et cuius inuentio casu potius fortuit quam certae rethodo accepta est reserenda unde ViX

296쪽

dubitauerim asseuerare, praeter istam curuam in superficie sphaerica nullam aliam dari, quae esset rectificabilis. Quin etiam insuperficiebus cylindricis et conicis nullae aliae lineae rectificabiles mihi quidem exhibere posse videntur, praeter eas quae ipsae sunt rectae. f. 6. Nuper Vero se mihi alia huius generis quaestio obtulit, cuius quidem solutio iam aliunde mihi erat cognita; jnterim tamen eam ita comparatam deprehendi, Vt nullam plare viam directam , ad eius solutionem pertingendi, perspicere potuerim, nisi ipsa solutio iam aliunde innotuisset. Hinc scilicet methodum maXime obliquam et indirectam deriuaui, quae demum per plures ambages ad scopum perduXerat quamobrem plurimum lucis in hoc obscuro calculi genere affulgere posse confido, si problema istud cum mea solutione, quantumui obliqua Geometris proposuero.

Problema.

Investigare relationem inter binas quantitates variabiles et , ut primo haec formula: 'rari, at algebraica, tum ero isa:

Solutio.

f. . Hic manifesto summa difficultas in posteriori sese

mula deprehenditur, quam ad arcum circularem reuocari oportet ubi quidem in transitu notari meretur, si ista formula e iam algebraica reddi deberet, uti prior, ne Vllam plane iam me perspicere posse hoc negotium conficiendi. Ex quo conditio, quod ista sormula ad arcum circularem reduci debeat, multo difficilior videbatur interim tamen haec ipsa conditio viam nobis apperiet ad scopum propositum perueniendi, id quod ex sequentibus operationibus patebit o

297쪽

f. . Primo igitur formulam ' arcui ci

culi, cuius tangens sit , aequalem statuamus, Vbi data opera duas nouas variabiles in calculum introducimus, quo deinceps ambae nostrae propositae per eas commodius exprimi queant. Sumtis igitur differentialibus consequemur hanc aeuuationem ' RL J- et nunc faciamus

f. s. Vt iam hanc sormulam a differentialibus liberemus, statuamus a III ix, ubi manifestum est formulam integralem pd absolute integrabilem seu algebraicam reddi debere. Hinc igitur habebimus qq- 1 α ά φη, Vbi

quare o x x --y et erit radice extracta IE, ita Vt nunc ambae variabiles et a propositae satis concinne per binas nouas variabiles expressae prodierint, atque posteriori conditioni, qui sormula fra es arcum circuli exprimere debet, iam persecte sit satisfactum, idque tam generaliter, ut nulla limitatio sit introducta, quandoquidem in calculo adhuc duae variabile x et a remanserunt, nullo modo a se inuicem pendenteS. f. o. Quoniam igitur posteriori conditioni problematis est satisfactum, nihil aliud superest, fisi ut prior conditio, qua sormula qΘ ad quantitatem algebraicam est reuocanda adimpleatur Quod si vero loco valorem inuentum substi a tuamuS

298쪽

quasi praeter exspectationem deducimur ad istam soranulam simplici minam: V --pp), quandoquidem hinc denominator quasi casu fortuito est sublatus, ex quo tota quae itio huc est redueta, ut ista formula integralis ΘW3 -- p ad quantitatem algebraicam reuocetur, simul vero etiam, uti iam ante obseruauimus, haec formula pΘx euadat algebraica, quibus duabus conditionibus cum fuerit satis fictum, problema nostrum in omni extensione simul erit resolutum, tum enim primo habebimus fmyx, hincque porro Qx - - 13 et 'at L

His autem valoribu ambae conditiones C praescripta, ita adimplentur, Ut sit f Θ dis - -pp) quae Teri hypothesin est quantitas algebraica; pro altera autem conditione sitI q tang. K ideoque arcui circuli aequalis , uti requirebatur. f. II. Quaeri igitur debet eiusmodi alatio inter binas Variabiles p et x, ut ambae istae formulae sp dx et

quoniam istes duae moti aes sormula es in supra remoratis continentur,o per methodum ilim expositam fatuamus primo I xΘptarit, Ut sit l, atque altera formula abibit in hanc: a quae si statuatur Tu. hinc fiet bi iam pro u functionem quamcunque algebraicam ipsius t assu

mere

299쪽

mere licet. uare si ponamus i O mi erit v hincque et o I 1 p ph -- .f. a. Tota ergo nostra solutio ita se habebit sumta functione quacunque variabili I, quae ocetur Vnde satae t, ita ut etiam O sit functio ipsius hinc primo erit

quo Valores inuento capiatur x ta xt iam' i et x per

Deinde simili modo erit

Denique ex his ipsae quantitates in problemate quaesitae ita per notiam Variabilemo exprimentur, ut sit z xx - ), et in atque ex his aloribus problemati ita satisfiet, ut sitfqΘ ' et'f- qet y tang.

f. II. suo haec clarius intelligantur, Xemplum uobvamus, sumendo at', unde fit C na ι et I CC I inna t*' ', unde colligitur

erit

1 Cum igitur hincsit

300쪽

Quoniam vero hae sormulae iam nimis sunt intricatae, sumamus et Vt it is it et C m ex quibus porro colliguntur atores

per formulas rationales procedenS.

f. 1 . Vt formulas radicales vitemus, ponamus sta

duas formulas:

integrabiles deddi oportet, is quod praestabituri faciendo 'as

duas