장음표시 사용
381쪽
f. 8. Inuento autem valore idoneo pro littera , quoniam ambae aequationes principales identicae evadunt, si Ponam US B - totu motus definiri
debebit ex hac aequatione: quae lucta in et
quae per togarithmos faciles integratur in autem quantitas fuerit negativa, puta cita Μ, aequatio erit
cuiu integratio per arcus circulares absoluitur. Facile autem Ostendi potest, valorem semper esse negativum; si enim so-ret positivus, quia motu initio fuerat Ii et sequeretur deinceps distantiam p augeri, seu ex formula a sequeretur, deinceps fieri a, quod est absurdum. f. s. Consideremus casum supra memoratum UOC. A et I, ideoque m p aequatio igitur motum definiens, ob B a ideoque negativum, et w B- A, erit
382쪽
ita ut habeamus r sin Ut - 1 a - p pla uoniam autem casu quo n unicus est, quem etiam nunc res luere licet, is Vtique meretur ut eius solutionem clariti ob oculo ponamUS.
quo binae distantiae Ai et B C perpetuo eandem inter
se rationem conset Uant. f. O. Cum posuerimus et in q, statuamu3, Ut modo fecimuS, np, ac vidimus, hunc numerum is ex ista aequatione definiri debere: ny 17G- - γν--a, B 1--n ' 1-n I---3 ε 317n O , quae Tecundum potestates ipsius ii dispositi hanc Tormam accipit : A- - Byn -- LA- - aB η' - - ,Α- B ir' a --Bynn- a C in B n-Η- O, qilae, cum sit ordinis quinti, et termini contrariis signis afficiantur, semper nam habebit radicem realem positivam, quae ergo ad nostrum institutum erit accommodata, propterea quod
distantia per hypothesin est positiva.
383쪽
f. r. Inuento autem tali alore idone pro , quaeratur quantitas , Ut sit . A b B i, Jάi. Cum igitur e superiore aequatione sit
qui valor, cum V iam obseruauimus semper debeat esse positivus, hinc concludere licet, quoties fuerit A mihi, toties esse debere Ao contra vero si fuerit A mn QM, tum semper fore I. f. I. is circa numerum, obseruatis, supra inuenimus hanc aequationem dit serentialem inter et
Vnde cum N exprima celeritatem, qua interuallum AB abcrescit, erit ista celeritas H. Sin autem distantiae inter corpora decrescant, quoniam extractio radicis quadratae huc perduxit. scribi debet δι α '-pr i.
Vtroque casu ergo discimus, ubi siet ideoque 'na, tum tramque corporis celeritatem fieri, o At si ueniat λ o, id quod in ipso corporum contactu contingit, tum tramque celeritate fieri infinitam. Verum, ob extensionem corporum, fieri nequit, Vt haec tria corpora in unum punctum conueniant.
Noua Acta Acad. Imp. M. T. III. S f. a.
384쪽
f. a. Denuo autem istam aequationem differentialem integrare licebit; cum enim sit erit integralet tam , MI a Tin UR, in qua sormula signa erunt mutanda, si distanti decrescat. Verum ipse calculus istud discrimen innuit: si enim tempus
computemus ab eo statu, quo fuerat 'ta a, atque adeo Ce Ierita concursus nulla, constantem hinc definire licet; et enim zzα - , Vnde sit πα- . Ouoniam autem ab hoc statu corpora ad se mutuo accedunt, mutatis signis erit
Vnde patet, corpora inuicem esse coitura, ponendo o, elapso tempore t ' f. et . Quo hanc eXpreusionem propius ad sum accommodemus, introducamus angulum p cuius sinus sit M , unde et 'III in iii et sin φ'. tum autem erit
385쪽
f. et s. Ecce igitur ollatio huc est reducta, ut a d tum tempus t quaeri debeat angulus tia, ita ut sit
quo massa unius corpori plane evanescit.
f. 26. Quoniam massae trium corporum praecipuam caussam continent omnium difficultatum, quibus haec quaestio premitur, non immerito suspicari licet, has difficultates maximam partem dissipari debere, si ni trium corporum tribuaturmalsa evanescens, ita ut ab hoc corpore motu duorum rel1- quorum plane non turbetur, quae ergo inter se motu maxime regulari serentur, quasi tertium corpus plane abesset ΡΟ- sto autem in G, distantiis vero ut supra AB p et B Cris, pro 'otii determinando habebuntur duae tequente aequatio-
f. Ilic statim me quationem priorem integrare uiacet, quae posito breuitatis gratia '- να fit
vnde sit i, qui valor si in altera aequatione substituatur, prodibit aequario binas tantum variabiles p et
inuoluens, a cuius ergo resolutione torii negotium pendebit Cum autem in altera aequatione elementum bt Io con-
386쪽
stante sit assumtum, quo hac consideratio exuatur, multiplicetur aequatio per q et repraesentari poterit sub hac forma:
unde ficta substitutione, inter quantitates obtinebitur ista aequatio
studium in ea resoluenda frustra impendi deprehendetur, solo casu Xcepto, quo ambae quantitates constantem inter se tenent rationem. Si enim ponamus 'np, ob q nbp, aequatio hanc induet formam:
membrum vero sinistrum euolutum dat '' Vnde totam aequationem per ρ diuidendo prodit
quae nullam amplius variabilem continet, sed ipsi inumero inueniendo inseruit. Facile autem patet ob et in B, eandem haberi aequationem, quam iam supra pro numero definiendo dedimus, i quidem ponatur mo, unde huic casui immorari superfluum Oret. f. 28. Euoluamus autem in genere membrum sinistrum, ac sumendo elementum p constans, hac aequatio euoluta emerget:
pro qua resoluenda nulla plane via patet, atque omnia artificia, quae adhuc sunt inuenta, nequicquam in subsidium vocantur Quin etiam quamuis sumamus i quo casu aequatio
387쪽
aequatio sit homogenea, nihil tamen praestari possie deprehendemus, aequatio autem habebit hanc formam
Facile enim intelligitur, si haec acquatio ire nostras superet, prioris solutionem frustra suscipi.
f. as Quoniam laec postrema aequatio est homogenea, eam more solito tractemus, ponendo up et q'sΘp, unde statim si Facta autem hac substitutione ip-
sa aequatio induet sequentem formam:
quae multiplicata perura praebet
unde si loco , I scribatur valor modo datus -Z per eumque diuidatur, peruenietur ad hanc aequationem: ubi notetur esse quae quanquam est primi gradus et duas tantum variabiles s et u inuoluit, frustra xamen omnis labor in ea soluenda impendi videtur, unde multo minus quicquam circa aequationem aliquanto generaliorem, in qua inerat constans a sperare licebit, nisi sorte qui obiicere velit, si insuper vel assa A et B panescens statueretur, solutionem facile perfici possie, quod quidem per se est perspicuum, neque hic efferri meretur. .
388쪽
Tab IlI onsideres hi es duos cyclindros IIano origon tali incumben-Ving te. O Aa et in figura per circulos Cini et ab , qui
eorum bases reserant, repraesentatose, tum Vero concipio fui,iculum seu filum trique circumuolutum, quod bi priorem in T deserit, inde ad alterum porrigatur, quem in t contingat, hincque eius peripheriae per 3 et applicetur. Quibus positis quaestio resoluenda in hoc versatur, ut postquam alterutri cylindro Vel etiam trique motus quicunque fuerit impressus, continuatio huius motus per principia Mechanica determinetur huiusmodi quideri quaestiones facile innumerabiles excogitari possctunt, quae autem eatenus tantum attentione dignae sunt censendae, natentis solutione concinna et elegantes suppeditant, atque hoc respectu praesen problema Diam memoratu dignum idetur. f. a. Ad hoc problema soluendum ponamus pro priore cylindro A eius radium in i , eiu pondus seu massam tum ero eius momentum inertiae respectu axis sumptum an proe altero vero cylindro a b sit eius radius
389쪽
ea Σαα, eius massa seu pondus III λ eiu Sque momentum inertiae Vbi cum momentum inertiae reperiatur, si singula massae elementa per quadrata distantiae ab axe multiplicentur, atque omnia haec producta in unam summam colligantur, euidens est, si uniuersa massa triusque cylindri per eius peripheriam esset distributa, tum futurum esse Trima et ν Tlλαα, quando autem massa per totum volumen est diffusa, necesse est, o si a n cm Q μ α α. f. a. Sumamus nunc elapso tempore ab initio motus III t, ambos cylindros eum situm tenere, qui in figura repraesentatur, atque pomamus distantias a puncto fixo O sumptasO A I x, praeterea vero statuamus interuallum
a III et ita V sit J III W--- . Nunc ante omnia considerari
oportet portionem fili ci a priore cylindro ad alterum porrecti, quae scilicet priorem cylindrum in , alterum vero in tangat; unde ad basin demittamus perpendicula Ti et p: ponamus vero inclinationem huius lineae is ad origontem esse , ductisque radiis a et oes euidens est ore angulum in III, ct 3 ca III, sumpto scilicet i in summitate posterioris cylindri, hincque colligimus interualla A P III a sin uae ap tam sinoae, tum vero perpendicula erunt
f. . Hinc iam facile deducitur relatio inter spatium
et angulum ae cum enim sit tang. erit valoribu S
390쪽
que cylindri hunc in finem ducantur radii origontales mei G, atque sumamus puncta, quae initio motus fuerant in et , nunc translata esse in S et , ita ut motus rotatorius prioris cylindri factus sit per angulum CS s et posterioris cylindri per angulum cs ασ, quod iam pro statu initiali ponamus longitudinem fili a puncto B ad punctum lorrecti fuisse s atque necesse est ut etiam nunc longitudo filia puncto S usque in s porrecti sit IIIJ, siue debet esse SB F Ba b AT Tt --tβ -- b ub Ita f. f. . Designemus igitur singulas has partes suis m-bolis, et cum sit arcus S BA a AT ua; TI cos. ω - a- α)s n. ω; βααω; b αἱτr et Fb πατ, habebimus hanc aequationem: f-