Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae

351쪽

Si area circuli in se baseos segmenti in E statumitur constans, quaeraturque , quonam casu superficies segmenti fiat Maximum Vel inimum , ponatur area baseos IIT , segmenti Eritque II π DG' et rar a' et r dis 4 a' Vnde I, AEUO Ostendit, casu a II iaream S fieri inimum. Illo enim casu est III et rar IIS, ob aliis Vero omnibus casibus maior est III s-- ra'. Fit quoque L f. III H r. Hic itaque casu a III non praebet aximum, quod quoque rei natura docet. Quia enim sceu functio ipsius a considerata hocce casu Maximum est, erit Θs Ino, velo infinite parum decrescit crescente a Vnde non opus est augeatur, licet a nonnihil crescat. Eodem vero casu S, quae constat e parte constante s et variabili et a isd- modum crescere debet, Unde non potest essemaximum. At eandem ob causam patet, neque fieri posse Minimum, quia sensibiliter decrescit, decrescerare non mutato.

f. Sit nunc Fig. m. ACB Onus rectus, cuius ab ILaltitudo mi a radius baseos AD, , ac primum statua Fig. 8.tur area circuli Ai constanS, qua posita erit amet mr

Noua Acta Acad. IN. So. T. III. O adeo-

352쪽

adeoque constans. Si nunc Alaxi ima et Minima pro superficie conica ACB quaerantur, erit iS-πrA C ri atque hic per se patet, ob r constantem, cum . in infinitum crescere se eo fieri maiorem, quo minor angulus A Cm ergo S seri nequit aximum. Non minus euidens est, S cum a decrescere sed non in infinitum. Si ne impe a IO, fit rr'; quodsi autern a ulterius ccrescat abeatque in partem negatiuam unde oritur Onus nostro in Vertice oppositus), S rursus crescit. Ergo casti fit Minimum. Idem differentiando elicitur. Est nempe s peti , quod evanescit Posido Eodem autem casu fit

Contemplemur iam ipsum Conum A CAE , quo post s

S, sumatur superficies conica A C B constans , ut sit g a -- H. Quoniam aequatio inter binas Variabiles quaeritur foret Xprimenda per , quod ob signo radicali in aequatione pro S affectas difficultate non careret. Verum 1ncommodum hoc euitari potest, eliminando disserentiale quantitatis a pe aequationiS Gs O, 6 constantem Hinc erit

353쪽

Iam ero casu T. sit ' rra, adeoque habens factorem seu tres factores aequale evanescentes, unde et 'ri et 'I non autem factorem habebit evanescentem. Quapropter radix neque aximum dat neque inimum Casu a. et . sit

unde concluditur, ambo radice dare Maximum, quia posito a negatiuo a V etiam Valorem induit negativum , ideoque signum positiuum , quo affectum est , hic speciem Minimi mentiens reuera ostendit S esse aXimum negativum: quod per se patet, siquidem Cono opposito respondet. Mitaque aximum sit, si a, . . tang. ADTTI, I et Ia 6. Omnium itaque Conorum rectorum, qui aequalem habent superficiem, ille est maximus, cuius latus ad basin inclinatur sub angulo ' h. e. sub quo alae

molarum alatarum ad axem inclinatae esse debent, Vt Ventus in eas adhuc quiescentes maximam im Xerat.

355쪽

MATHEMATICA.

357쪽

VIRIBUS CENTRIPETIS,

AD CVRVAS NON IN EODE PIANO SITA sDESCRIBENDAS REQUISITIS.

Auctore

otissimum est problema' a summo NeCtono egregie soluitum, quo Vis centripeta ad datum punctum fixum tendens quaeritur, a qua si corpus sollicitetur, per datam lineam curuam promoueatur. Fuidens autem est in nunciatione huius problematis tacite assiimi, tam totam curuam a corpore describendam in eodem plano sitam esse debere, quam ipsum centrum virium in eodem plano esse statuendum , quando quidem certum est, omne Corpus ab unica vi centripeta sollicitatum semper in eodem plano moveri, quod per ipsum centrum virium transeat. Hinc ergo patet, si curva a corpore describenda non fuerit in eodem plano sita, tum omnino fieri non posse V talis motus ab unica i centripeta producatur, sed ad minimum duo centra Virium diuersa constitui debere. Ostendam igitur hic, talia duo centra virium semper pro arbitrio accipi posse , quomodocunque curua descripta extra planum divagetur, ac perpetuo illas binas vires centripetas ita determinari posse , te pus ab iis sollicitatum per curuam propositam promoueri queat.

358쪽

f. a. sit igitur proposita curua quaecunque Aa, cur ius punctum quodvis Z Vtcunque extra planum tabulae sit positum, cuius ergo locus more solito per ternas coordinatas vetetes, Xa zzz et Y Z definiatur, inter quas igitur ob curuam datam duplex relatio detur necesso est , Vnde pro quavis abscissa x tam Valor ipsius 3 quam ipsius cassignari possit. Quin etiam , introducendo ipsius curua elementum, quod si poni poterit , zzz pG s hys et lazzz Θs, ita ut sit p r et quouis casu Vesores harum litterarum ut cogniti spectari poterunt. f. a. Constituatur igitur alterum centrum virium in ipso puncto C ac ponatur ab eo distantia puncti Z scilicet

V ipsam vim centripetam qua corpus in Z versus istud centrum C urgeri debet, e qua ergo secundam directiones coo dinatarum resultabunt ternae Vi s quae erunt secundum secundum X taetra et secundum ZYm . f. . Alterum autem centrum visium CZ ubicunque in plano quidem tabulae accipiatur, pro quo si punctum Z pariter per ternas coordinata prioribus parallelas reseratur, Vocentur eae IIIa et Y Z ante, quae ergo a praecedentibus tantum quantitate constante discrepabunt, ita ut sit x III W-l i, et IF - - b. Quod si vero centrum extra planum tabulae accipiatur, tum praeterea erit et E -- c; unde differentialia harum coordinatarum a praecedentibus non

discrepabunt, ideoque litterae 1 , perinde ad ambo centra virium C et si reserentur Statuatur igitur pro hoc centro C

359쪽

distantia': et ipsa vis centripeta huc tendens III mita vi nunc si PH-s y --Σ Σ at Vires pro terinnis nostris directionibus hinc oriundae erunt

secundum In J secundum X Vm secundum v I . f. s. Introducamus nunc elementum temporis is, quo pro constanti assiimio principia motus sequentes tres aequationes suppeditabunt:

ubi α denotat certam quantitatem constantem, ex ratione quatam tempus t exprimitur quam ipsae vires, et V ad mensuras cognitas reuocantur, petendam. Cum igitur hic tres habeantur aequationes , facile intelligitur, ex iis binas vires in

cognitas, et V semper determinari posse. f. . Elidamus hinc primo imo , id quod duplici

modo eri poterit primo scilicet ex aequationum . praecedentis prima et secunda fiet

deinde secunda et tertia simili modo praebent

quarum haec per illam diuisa perducit ad hanc aequationem:

Vnde etiam ipsum temporis elementum 4 est expulsum, inte-Νolia Acta Acad. Imp. e. T. III. P rim

360쪽

rim tamen conditio, qua i constans est assumtum, etiamnune inhaeret, unde ratio differentialium secundi gradus, qua per se orent indefinita, peti debet. f. . Quod si iam postrema ista aequatio euoluatur, peruenietur ad sequentem aequationem ΘΟ, Σ - ὰ,- s λυ χ/z a xy- 3 δῖό 3 -x quae commode per a diuidi se patitur, et aequatio induet hane formam: δῖ oz3-ν zὶ Θυ x z-z, - δῖα γυ-xb TIT O. Hic iam introducamus valores supra notatos, scilicet x I x-a, , Σα --h, Iz-c, et prodibit haec aequatio: δῖ bΣ - - Θυ az - cxh- - Θz hx -υλα o, quae secundum litteras a b c disposita euadet