장음표시 사용
371쪽
indicatur tum igitur erit m io, hincque celerita uta H , quae ergo erit constans ob angulum i constantem tum vero Vires erunt V et et V m
quae ergo etiam ambae erunt constantes. f. a . Videamus Vero etiam, quomodo in genere Iires futurae sint comparatae, quando corpus iam proxime ad Olum accesserit ita V sit i mo O - ω tum autem erit celeritas I atque vires
unde patet, Vim V infinities esse minorem quam alteram V , ita ut corpus a sola vi v Vrgeri censeri queat, et quia hic exprimet distantiam corporis a polo C , vis ista reciproce erit cubo huius distantiae proportionalis, corpus autem iam cirmca polum C spiralem logarithmicam describet, quae liquesta lem vim centripetam postulat. I9. s. Superfluum ore plures casu euoluere, qua doquidem inde nullae expressiones elegantes et attentione dignae forent Xspectandaes imprimis enim mihi erat propositum ostendere, si corpus in quacunque curua non in eodem plano sta moueri debeat, semper duas vires centripetas assignari posse, quae adeo ad data duo centra virium diriguntur, ita ut corpus ab istis viribus sollicitatum per ipsam curuam propositam promoueatur.
372쪽
SE MUTU ATTRAHENTIVΜ SUPER EADEM LINEA RECTA.
Conuent exhib. d. 12 Decemb. 1 6.
. c argumentum continet sine dubio casum simplicissimum celeberrimi illius problematis , quo motus trium corporum se inuicem attrahentium inuestigandus proponitur. Quamobrem si praesens quaestio, qua tria illa corpora super eadem linea recta moueri sumuntur, omnem sagacitatem Geometrarum ludit, a que adeo Vires analyseos superare videtur , nullo certe modo problematis illius generalis solutio sperari poterit. Hanc ob rem haud inutile erit, istum casum simplicissimum accuratius euoluere, atque omnes dissicultates , quae eius solutionem inpediunt, omni adhibita attentione perpendere, quo clariu appareat, quanta adhuc analyseo incrementa desiderentur, antequam problematis generalis solutio cum successu suscipi queat. f. Sit igitur in linea recta. super qua tria corpora Amae se inuicem attrahentia moueantur, quorum massas per
373쪽
per easdem littera A, B, C indicemus. Iam in illa recta accipiatur pro lubitu metum fixum , a quo ad quod uis em pus distantias illorum corporum inuestigari oporteat. Elapso igitur tempore quocunque a vocentur istae distantiae o Anx, Ora F, et C et ubi quidem assumimus essis tet a , sicque binorum corporum A et B distantia erit i distantia vera et distantia BC et , quarum distantiarum quadratis vires , quibus bina horum corporum se mutuo attrahunt, reciproce proportionale statuuntur. Hinc ergo corpus A a corpore B trahitur si atque Deinde vero corpus B ad A trahitur vi
f. a. Ex his igitur viribus secundum principia motus
orientur tres sequentes aequationes: I. ro motu corporis
atque in his tribus aequationibus omnia continentur, quibus motus horum trium corporum determinatur. Vbi imprimis notari oportet, a formulas tam diu tantum Valere, quam diu fuerit y veluti figura ostendit. At vero si nunc fuerita his, in motus continuatione interuallum At. -- eouS-que tantum imminui potest quoad corpora A et B ad contactum
374쪽
tactum perueniant statim Vero atque hoc contigerit, collisio
siet, qua totus motu aliam indolem accipiet, prout corpora fuerint elastica nec ne , qui effectu neutiquam in nostris sormulis continetur; Vnde euidens est, motum in his formulis contentum diutius durare non posse, quam donec duo horum corporum ad contactum peruenerint. f. . Statim autem patet, o ternas distantias variabi-Ies , - , quibuscum etiam Variabilitas temporis coniungi debet, nullam harum trium aequationum per se integrationem admittere posse. e certas autem combivationes aequationes
inde integrabiles derivari possunt, quarum praecipua est haec Ι Α Φ II. B l III in quae praebet hanc aequationem:
ubi litterae α et 3 denotant constantes per geminam integrationem ingressaS. f. s. Haec autem aequatio Ostendit, commune centrum grauitatis trium corporum nostrorum motu niformi super recta in proferri. Quod si enim hoc tempore commune centrum
375쪽
em iram ivnde cum celeritas progressu istius centri grauitatis sterit ista celeritas ideoque constans. Vnde ma-
nisestum est, quomodocunque tria corpora inter se moUeantur, eorum comune centrum grauitati G perpetuo motu uniformi proferri, nisi forte eueniat, Vt prorsus quiescat, quod fiet, si fuerit α ET O. f. Deinde etiam alia aequatio integrabilis ex tribus inuentis sormari potest, ope huius combinationis: Ι. A , -- II. B I III. Θ et, quando quidem hinc sequens ne quatio nascetur:
cuius integrale manifesto colligitur esse
f. . Haec aequatio continet principium oecundissimum irium vitiarum, vel etiam minimae actionis. Cum enim ' exprimat celeritatem corporis celeritatem corporis B, et L celeritatem corporis , quibus corpora a puncto Xo recedunt, ire Vitiae horum corporum erunt: primi risecundi i DLX et tertii in Elia , inde aequatio modo inventa nobis declarat, summam virium tuarum semper aequari huic formulac:
quae ergo quantitas eatenus increscit, quatenus distantiae binorum corporum fiunt minore S dum contra, si corpora a se invicem recedant, summa virium tuarum diminuitur.
Nova Acta Aeaces . M. T. III. R S. I.
376쪽
f. 8. Duas igitur iam nacti sumus aequationes integratas, quarum prior adeo duplicem integrationem admisiit unde si quis insuper unicam aequationem integratam eruere polliet, is certe plurimum praestitisse esset censendus, quanquam tractatio harum aequationum differentialium primi gradus adhuc maximis di cultatibus foret inuoluta, ita ut etiam tum i Vlla solutio idonea expectari posset. Quantumuis autem Geometrae in hac in uestigatione elaborauerint, nulla tamen etiamnunc aequatio integrabilis deduci potuit. Interim tamen sequenti modo aequationem maXime memorabilem deducere licet, unde haud Parum lucis expectari poterit. f. s. uoluamus scilicet hanc combinationem: Ι Aa II. BF III. Cis, quae dabit hanc aequationem:
Ante autem per integrationem inuenimus
Neque tamen etiamnunc patet, qualis fructus hinc percipi queat, quoniam integrale membri dextri, si per is multiplicetur, nullo modo sperari potest. f. C. Quoniam autem iam inuenimus centrum grauitatis commune arium nostrorum corporum uniformiter in directum
377쪽
rectum progredi , unde ad quod uis tempus eius situm seu distantiam facillime assignare licebit, hoc obseruato sus-ficiet binas tantum distantias inter corpora nosse , quo pacto tota in uestigatio ad pauciores quantitate Variabiles reducetur. Si enim ponamus distantiam B p et distantiam BCII q,
unde si prima a secunda, tum Ver secunda a tertia subtrahatur, impetrabuntur binae sequentes aequationes pro definiendis ad quod uis tempus t binis nouis variabilibus p et :
378쪽
f. a. uia centrum grauitatis G vel quiescit vel ni-sormiter in directum progreditur, posteriore alii, si toti systemati motus aequali et contrariti ei, quo centrum grauitatis procedit, imprimi concipiatur, centrum grauitati ad quietem redigetur. Quare cum nihil impediat, quominus punctum fixum O in ipso centro grauitatis G constituamus , Onamus. O eritque multo simplicius:
Sicque simulac quantitates assignares licuerit, etiam ingulorum corporum loca innotescent. f. 13. Hinc etiam aequationem, quam supra integrare licuit, quae erat
quae porro reducitur ad hanc formam:
quo valores substituto de quati, illa integrata transmutabitur in hanc formam
379쪽
f. I . Quanquam haec aequatio satis est concinna et elegans, neutiquam tamen ulla via patet, inde solutionem quaestionis derivandi, ita ut ista quaestio merito proflandissimae indagini sit censenda, et quicunque studium et operam in his aequationibus resoluendis consumere Oluerit, mox percipiet, se oleum et operam perdidisse; unde manifesto liquet, quid de iis sit iudicandum, qui e iactant, in solutione problematis generali de motu trium corporum se mutuo attrahentium satis felici cum successu elaborasse. f. s. Ρraecipua causa harum dissicultatum in eo posita esse videtur, quod ita quaestio adhuc nimis est generali S, quo-1niam ad massa trium corporum qua Scunque atque ad motUS
quoscunque, qui iis imprimi potuerunt, extenditur. Datur enim lique casu maxime specialis, quo motum horum trium corporum reuera a signare licet semper enim eiusmodi motum in his corporibus concipere datur, ut binae distantiae et perpetuo eandem inter se rationem servent, ad quem castim euoluendum ponatur Inp, ac duae aequationes . O. γtae sequentem formam induent:
s. 16. Statim autem hic perspicitur, eiusmodi relationem inter numerum n et massas A, B, C existere posse, ut hae duae aequatione evadant identicae, id quod eueniet, si membrum dextrum prius per ii multiplicatum aequale statuatur posteriori ex quo nascetur hac aequatio:
Vnde numerum n per resolutionem elicere licebit; haec autem aequatio
380쪽
in qua aequatione incognita n ad quintam potestatem assurgit, ideoque dissicillimam resolutionem postulat. Notetur autem hanc aequationem secundum litteras A, B et C dispositam
Any a- a n--nn B I--n ' I-n') C I--an ann)T O. Certum autem est hanc aequationem unam ad Linirnum habere radicem realem, quae si fuerit positiva, solutionem praebet desideratam. At quia hinc coem ciens supremi termini sit A - B, ideoque semper positivus, terminus autem absolutus est B--CJ, ideoque semper negativus, id indicium est, istam aequationem certe habere radicem realem positivam, qua ergo negotium nostrum conficietur. f. I . Casus hic imprimis notatu dignus occurrit, UOambo corpora Xtrema A et C statuuntur inter se aequalia, posito enim C TA, aequatio habebit hanc formam:
A n-Ι n' - - n' - - nn - - n- - - B - I ' T-nΤIT , quae manifesto habet factorem - , ita ut sit et qITI p; hoc ergo casu, si modo ambo corpora Xtrema a medio fuerint aequaliter remota et aequales motu acceperint, tum perpetuo a corpore medio aequaliter distabunt, et motu
satis regulari eo pertingent. Postquam autem illam aequationem per diuiserimus, prodit ista:
cuius multam amplius uadicem positivam esse posse manifes tum est j. 18.