장음표시 사용
101쪽
N ordinata Nb ad G U, erit quadratum C Naequale quadratis N h , Ch ε quadratum autem CIaequale quadratis CB, IR: sed Nb quadratum aequatur rectangulo ΚBF, Ω ΙB quadratum aequale est GbU ex Coroll. r. Proptrae.) , eigo duo quadrata CN , CI aequantur rectangulo ΚBF cum quadrato CB , 2 rectangulo GbU , cum quadrato C b, adeoque sunt aequalia hinis quadratis CF , Se CU ; Massumptis eorum quadruplis , quadrata NQ , ΩΙΗ aequabuntur quadratis ΚF, 2 GU . Quod
erat &c. COROLL. I. Hinc quadrata duorum diameiserorum conjugatorum aequantur quadratis alio-xum quorumlibet diametrorum parites conjuga torum ἔ nam quaelibet horum quadratorum paria aequantur quadratis utriusque axis.
COROLL. II. Quadrata etiam GF . 2 FVerunt aequalia quadratis QI , 2 IN ; nam illa aequantur duplo quadrato CF , R CU , haec autem duplo quadrato IC , R CN ; sed quadrata CF χCU aequantur quadratis CI , 2 CN , ergo etiam GP, ὀe FU quadrata sunt aequalia quadratis QI,
m. ii 4 At in 'perbolis, quadrata diametrorum eonisis gatorum IH , NO, si fuerint i qualia) eade quantitate inter se disserunt, ac bina quaeliberaliorum diametrorum conjuguraram EF , Gν quadrata.
Ductis enim ex N, & V Inter asymptotos
tangentibus ΛNT . LVR , quae ipsis secundariis diametris I H. KF aequabuntur, nam NA aequabitur semidiametro CH , ae Via semidiame
102쪽
tro CR; stactis in asymptoto CΛ perpendicularibus NM , ΤΕ, atque UE, RD , patet fore AMaequalem MB . ut AN aequatur NT: unde dimistentia quadratorum CN , ΛN , quae est eadem , acidifferentia quadratorum CM, MΛ quia CN quadratum aequatur CM , & MN quadratis, & AN quadratum aequatur quadratis ΛM , MN 3 unde ablato communi quadrato MN, remanet illorum qua diatorum differentia eadem, quae CM, M AM erit eadem, ac differentia quadratorum CM, MMB , quae eadem est, ac rectangulum ACB . Si mi liter differentia quadratorum E U , & VL eadem erit, ac differentia quadrati EC a quadrato EL, sive ab aequali ED , cuiusmodi erit rectangulum LCD . Sed rectangula ΛCB , LCD sunt aequalia, quippe CB ad CD est , ut CT ad CR , adeoque ut LC ad CA ob aequalitatem triangulorum CLR, C ΛΤ ex Corom 4. Prop. 4o. , quibus inesse debent,
circa communem angulum C,latera reciproce pro Fortionalia per prop. Is . VI. Elon. 3 ergo eadem est
differentia quadratorum NC , & NΛ , sive CH, Ω quadratorum CV . UL, sive CK : un de & eorum uadruplis assumptis, erit eadem differentia qua ratoium QN, HI, ac quadratorum VG, KF, quoaerat demonstrandum.
Sumptis in 'perbolin asidi toto d antiis a eemrro CL , CO, O tantinuὸ proportionalibus, ct bine tactis LP , OE , AI alteri aser toto paranielis , 'perbolam in punctis P, Κ, I secantibus, erunt spatia 'perbolica iras iniereepta LPTO. ΟΚΙΛ , invitam aqualia.
Completis parallelogrammis CLPR , COX CAIM, productisqua ΛI, RP convenienti r
103쪽
bus in T, quae resultant parallelogramma CLEM, CORS, CATR , erunt similia 3 nam ut AC
ut OR ad AI, sive ut CS ad UM , ergo CLEM, SECOXS sunt suntlia . Pariter est LP ad OK sive CRad CS , ut OC ad CL , hoc est , ut CA ad CO; ergo etiam CATR simile est eidem CORS : adeoque gealteri CLEM; quare diameter CT per reliquos angulos E , Κ transit ue 2 juncta PI erit quoquct diameter parallelogrammi PEIT , ab ipsa CEThisariam secta in X : unde erit PI ordinata Hyper-holae ad diametrum CXX , transeuntem Per ve licem Κ segmenti Hyperbolici PΚl. Ab aequalibus ergo triangulis C ΡX , CXI ablatis semihyperbolis aequalibus PXX , IKX , remanebunt aequales sectores CPK , CIΚ ; sed ipsis aequantur spatia ΗΥ- perbolica L PLO, ORIA s Coroll. .prop.4O, : erg. naec quoque resultant aequalia. Quod &c. iii COROLL. I. Si pariter sumantur in asymptoto
CA ad Co , ut quaevis alia CD ad CL , ductis inde parallelis alteri asymptoto AI, OR , & Dia , LP ,
resultabunt aequalia spatia Huperbolica Λlλο , χQDLP a sumpta enim CN media inter extremas Λ , CL, adeoque 2 inter medias Co , CD , Mordinata NU, erit spatium IANV aequale VNLP; necnon ΚΟNV aequale UNDO ; ergo δe reliquum
COROLL. II. Et si sumptae fuerint quotlibet distantiae continue proportionales CΛ, CO , CN, CD, CL , ordinatis correspondentibus resultabunt 'qualia spatia moerbolica iis interposita ΙΔΟΚ,
COROLL. IIL Quoniam si duplicata sit ratio LC ad CN rationis DC ad CN , erit spatium VΝLP. duplum UNDQo 2 si esset triplicata prima ratio secundae , esset Primum spatium triplum
104쪽
secundi , totidem enim aequalia spatia co Itineret, quot aequalibus rationibus ejus ratio componere
tur et Hinc quodlibet spatium KOLP est ad aliud spatium QDLP , ut ratio LC ad Co, est ad rationem LC ad CD , juxta quantitatem logarithmicam proportionum.
COROLL. IV. Quae dicta sunt de his spatiis
valent etiam de sectoribus Huper holicis ICK, QCP, VCQ &c. quae correspondentibus spatiis asymptoto adjacentibus sunt semper aequalia: COROLL.V. Patet autem,totum spatium inter curvam Hyperbolicam, & ejus asymptotos interie Sum, Min infinitum productum, esse infinitae magnitudinis , quia cum possint rationes CΛ, CO , CN 2c. in infinitum continuari , infinita spatia primo I AOK aequalia correspondebunt hisce infinitis rationibus, in eodem asImptotico spatio contenta.
Si recto utere aequali transverso M. mpe bolae aquilateris NM, ad eundem axem parabola NR defcribatur,ducta quavis recta AD , axi parallela , conveniente cum axe siecundario 'prmbola CE i , em cum 'perbola in M, erit linterbolicum spatium aequale rectangulo ex semiaxe transverso cΝ in curυa parabolica por-rionem NB , vertici, eidem recta BD inter-ρ tam a
JRdinata enim MK ad Hyperbolam , Ω ΒΛ
ad parabolam , quam tangat m, eique perpendicularis ducatur BP , iuncta DN erit ipsi BP aequalis, st parallela ; nam subnormalis AP aequatur NC , cum deheat esse medietas lateris recti coroll. 16. Prop. 9. , Ω ΛΒ est aequalis C , unde &halis BP trianguli rectanguli BAP aequatur bali
105쪽
DN alterius trianguli rectanguli DCN ; sed ipsa DN aequatur DM quippe rectanguluin Q N est
aequale quadrato ΚM, ut diameter transversa QN aequatur parametro NR J seu CD ,& juncto quadrato CN, quadratum CK, seu DM erit aequale DN quadrato : quare etiam BP aequabitur DM . Ac sumpto in tangente BGpuncto I infinite proximo ipsi B, ductaque HIE parallela BD, quoniam ob triangulorum 1 HB , ΒΛ P similitudinem est IBad ΒΗ , live ad DE , ut BP ad PΛ . sive ut DM ad CN , erit rectangulum EDM aequale CN in ipsam
IB, quae ob infinitam proximitatem eadem est, aciportio infinite parva curvae Parabolicae, uti reo
Sangulum EDMo, ob rectam OE infinite proximam DM , idem fere est, ac spatium EDMF 'Perbolicum , a quo differt spatio FOM infinities minori , Idque cum semper eveniat , patet foro rectangulum ex CN in totam curvam paraboli. Cam N B aequale spatio Hyperbolico CDMN ipsi correspondenti Quod erat &c. COROLL. Ex quo DN ostensa est aequari DM, Iatet facilis modus describendi Hyperbolam aequiis ateram , inclinatis recto angulo NCD innumeris
rectis NE , ND , mox ductis ipsi CN parallelis EF, DM. quae dictis inclinatis NE, ND 1int
aequales , nam puncta N , F ,M erunt ad curvam Hyperbolicam aequilateram.
106쪽
O Rdinetur quaevis alia ΑΗ , secans aequi lateis
ram Hyperbolam in F . Erit quadratum B L ad rectangulum QKN, sive ad quadratum K MHyperbolae atqui laterae, quod illi aequatur, ut G ad N Q sive ad N R I ut autem GN ad N R , ita quadratum GN ad quadratum NT mediae proporationalis inter illas; ergo erit BR ad MK , ut GN ad NT , si init iter autem erit ΑΗ adHF, ut GN ad NT : ergo omnes lineae spatii Hyperbolici NBK ad omnes alterius NMΚ,adeoque & spatium descriptae Hyperbolae ad illud Hyperbolae aequi laterae . est ut latus rectum GN primae ad NT mediam proportionalem inter ipsum GN , 2 transversum NO , aut rectum alterius NR , inod &c.
PROPOSIΤIO XLIX. Dasium Parabolae GK aequatur duabus tertiis pa- FD. ri tirallelogrammi ipsi circumscripsi IMΚ- . ORdinetur DB ad diametrum ΑΕ, 2 per B
ducta FBL diametro parallela , iungatur ΛC , secans DB in G. 2 LF in M. Ex revolutione parallelogrammi ΛΗ Ε, 2 trianguli ACH, circa ΑΗ , fiet cylindrus triplus conis 2 cum sit circuis Ius radii LF , sive HC ad circulum radii ML, ut quadratum illius ad quadratum hujus , sive ut quadratum ΛH ad quadratum ΑL , nempe ut quadratum EC ad DB quadratum ; scilicet ut recta ΕΛ ad abscissam AD, sive ut FL ad LB ; ideo
omnes aequales circuli illius cylindri erunt ad omnes circulos inscripti coni, ut omnes aequales lineae parallelogrammi, ad omnes lineas trilinei
parabolici ABCH, quare ut cylindrus est triplus Cont, ita parallelogrammum ΛΗCE triplum est trilinei ABCΗ ; adeoque reliquum parabolicum spatium ABCE /equatut duabus tertiis partibus
107쪽
q6 S E e T. CONI C. dicti parallelogrammi AECH , & duplicando
utrumque spatium, parabola integra CΛΚ est arqualis duabus tertiis circumscripti parallelogrammi 1ΗCK : Quod erat,&c. COROLL. I. Hinc patet, esse parabolam sesquitertiam trianguli inscripti, cum enim fit parabola ad parallelogrammum , ut a .ad p. 2 parallelogrammum ad triangulum , ut a. ad I. erit para hola ad triangulum in ratione composita ex a. ad a. , 2 2. ad I., adeoque ut A. ad χ.
COROLL. II. Parabola ΛBCE ad partem Λ BD, sectam ordinata BD est, ut cubus EC ad cubum DB , nam quia etiam Λ BD aequatur duabus tertiis parallelogrammi Λ DBL , est ABCE ad ABD, Di ΛECH ad ΛDBL, scilicet in ratione composita ex ratione basium EC , DB, Ω altitudinum ΕΛ , DA quae duplicata est illius, cum sit ut qua - dratum EC ad DB quadratum , quare erunt haec spatia in ratione triplicata ordinatarum EC , DB, adeoque ut cubi earundem.
circulus diametri AP aequatur triangulo rectan- . u. Iao euis CAR , cujus altitudo radius G, basis autem AB sit aqualis circumferentiae PA.
NAm per quodlibet punctum radii D , ducta
Concentrica peripheria DF, Ω in triangulo recta DE basi parallela , erit AB ad DE , ut peripheria PΛ ad peripheriam FD, chm tam hae, quam illae sint, ut AC ad CD: quare ut AB aequatur peripheriae PA , ita DE aequatur alteri peri- heriae FD , 2 hoc ubique accidet: omnes ergo ineae trianguli CAB χ quantur omnibus. periphe xiis concentricis iplius circuli , ergo est triangulum circulo aequale, Quod Scc.co-
108쪽
COROLL. Hinc circulus idem aequabitus ectangulo ex radio inc dimidiatri circumferentiam, Vel ex tota circumferentia in dimidium radii, seu quartam partem diametri: unde quia ex calculo archimedeo est circumferentia ad diametrum , ut ferme a a. ad 7. erit circulus ad quain
dratum diametri , ut *8 , cum dimidio, ad 49, sive ut ad 98 , hoc est ut II. ad I 4.
εllipsis NEstes ad circulum super axe majori io, descriptum , ut minor axis ad majorem. ORdinata per centrum CE , quae est semiaxis minor Ellipsis, 2 producta ad circulum in A, tum qualibet alia ordinata ΚM , pertingente ad circulum in D,ut rectangulum QKN ad QCN. ita erit quadratum M K ad quadratum EC, Sequadratum DK priori rectangulo aequale , ad BC quadratum aequale alteri QCN. Ergo omnes li- Deae Ellipsit ad omnes lineas circuli sunt, ut EC ad CB ι adeoque spatium totius Ellipsis ad integrum circulum , est ut semiaxis minor EC ad radium CB , seu CQ semiaxem majorem , adeoque ut axis minor ad majorem , Qnod &c. COROLL. Ductis ex centro rectis CM, C erit pariter sector Ellipticus CΜQ ad sectorem sircularem CDQ in eadem ratione minoris axis ad majorem , nam segmentum M KQ ad segme
PROPOSITIO LII. Ii qualibet sectis contra AEB circa suum axem se 'EII rotexur . cuius tangentes ex terminis baser
109쪽
Zara Ap , ΕΗ , eum verticali tangente Ε conveniant in F, H, junctis ad medium basiis Dractis FD,HD, erit solidum comidale ex roratione DEB genitum aequale solida, ex triantuli
DHB rotatione circa eAndem axem facta, prodeanti : solidum autem ex reflinei EN8H revolutione circa ipsum axem aquatur cono , emrrianguli EDH revolutione genito.
Ducta enim ubilibet basi,2 tangenti verticali parallela LX , secante axem in I, tau Eentes in L, Κ, curvam in M, N , rectas FD ΗD1n O,P erit rectangulum MKN ad quadratum ΚΒ, ut quadratum ΕΗ ad HB quadratam σκρrop. I 60,εe permutando , rectangulum MKN ad quadratum ΕΗ , ut quadratum KB ad quadratum HB, sive ut DI quadratum ad quadratum DE , vel, ut radratum ΙP ad quadratum ΕΗ , quare 1 P qua- ratum aequatur rectangulo MEN, scilicet dimerentiae quadratorum IK , IN et unde x circula stadio IP descriptus erit arci ualis differentiae circulorum . radiis IK , IN delcriptorum, sive armilis Iae circulari , quae in revolutione trilinei ENBHeirca axem ED gignitur a recta NK , & hoc sem.
per eveniet, quare conus a triangulo EDΗ circa ΕD revoluto descriptus , cujus sectiones sunt circuli radiorum I P, aequabitur solido ex revolutione trilinei ENBΗ circa eundem axem , cuiussiationes sunt armillae per rectas NK descriptae. Sed hoc solidum ex trilineo ENBΗ, cum solido conoidali ex revolutione conicae sectionis ΕNBD circa ED, aequatur solidis ex triangulo EDΗ, χex triangulo DΗB circa eundem axem revolutis ergo ut solidum ex trilineo ENBΗ aequitur Cono ex triangulo EDΗ, etiam reliquum solidum coin noidale ex revolutione' ENSD aequatur residuo
solido genito ex tilaaguli DHB revolutione circa
110쪽
eundem axem . Quod erat demonstrandum. COROLL.I. Productis tangentibus collaterais libus ΛF, B H quae cum axe conveniant in G, κin basi lecta DS, cuius quadratum aequet disseis rentiam quadrati ΛD ab FB quadrato, iuncta GS, erit Conoides ex revolutione EN BD circa axem ED , aequalis Cono, ex rotatione trianguli SGD circa GD ; nam Conus ex revolutionattianguli ΛDGest triens producti ex circulo radi in in DG ,& conus ex triangulo FEG, cum c no ex triangulo FED est triens producti ex circulo radii EF in EG , plus ED, idest in eandem DG ; ergo excessus coni ex ΛDG supra conos ex FEG, 2 FED, hoc est solidum ex revolutione trianguli ΛFD, seu DEB circa ΕD, nempe Coinnois ex rotatione ENBD aequabitur trienti pro ducti , ah excessu circuli DΛ radio descripti . suis pra circulum radii EF, in eandem altitudinem DG , quare cum sit quadratum Ds differentia quadratorum DΛ , EF, etiam circulus radii Dsese excesius circuli DΛ supra circulum EF, ideo-gue conus a triangulo SGD genitus aequatur ipsit
COROLL. II. Si curva ΛΕNil sit parabola, erit Conoides ab ipsa procedens aequalis tr losolidi ex revolutione trianguli GFD citca ipsam GD ; quia enim subtangens DG est dupla GE, est AD dupla FE, 2 illius quadratum huius quadruplum unde circulus radii DS erit triplus cicinculi radii EF , ideoque eonus ex triangulo SGDa nempe ipsa Conois, triplo m jor erit solido essi rotatione GPD, qui aequatur Cono ex circula radii EF in ipsam altitudinem GD. COROLL. III. Quaelibet Co is est ad Conum inscriptuni a triangulo DEB circa axem EDre- fi voluto, genitum , ut summa basis DB , x verti. calis tangentis ΕΗ, ad ipsam DB Nam radio