Sectionum conicarum synopsis cujus auctor d. Guido Grandus ..

81쪽

verso in suam parametrum. Quod erat &c. COROLL. I. Quoniam etiam rectangulum ex verticalibus tangentibus QE , No , eidem quadrato minoris semiaxis aequatur, etiam huic aequale erit rectangulum ex PM in CS , unde QE ad CS erit, ut PM ad No . COROLL. II. Et ob similitudinem triangulo

sintque consequentes proportionales . etiam antecedentes proportionales erunt , nempe QG ad

erunt aequalia.

COROLL. III. Similiter, x reliqua latera EG, CG, GP, GO proportionalia erunt 3 adeoque r .ctangulum FGO aequabitur CGP .

PROPOSITIO XXXI.

Si ex quolibet puncto M emu is sectionis conicae duis, cta ad tangentem ME perpendicularis MP, cum Fiem. axe conveniat in P , O ex aliqua focs F ducto ramo FM, in ipsum ex P ducatur perpendicula- Iaris PD, erit portis aequalis semiparame

tro axis.

1N Parabola id manifestum est, nam ducta diain metro MR axi parallela , & ordinata ad axem MΚ, triangula MPD, ΡMK aequalia, M similia erunt, quia angulus DMP aequalis PMR quorum singuli, cum aequalibus DME , RMS rectum cominplent aequabitur MPK , unde cum eadem sit hypothenusa M P, etiam latera homologa DM', PLaequalia erunt: sed ΚΡ sub normalis aequatur me dietati lateris rem coroll. I 6. Prop.9.),ergo eidem aequalis erit MD. In Ellipsi autem, re 'perbola, ducta cmm

82쪽

tro ad tangentem recta CI parallela ramo FM , ω nt. 8'. CS perpendiculari , seu parallela MP , erit angu- 88. lus ICS aequalis PMD ue utervis enim cum CIS, aut FME huic aequali , rectum complet et unde in triangulis similibus ICS, PMD , est IC ad CS , ueMP ad MD , 2 rectangulum ex IC in MD aequa tur CS in ΜΡ ; sed hoc Prop. praeced. aequatur quartae parti rectanguli m axe QN in suam para metrum , idest CN in semiparametrum ; ergo Rillud : quare cdm sit IC aequalis semiaxi CN serv. a1.4, MD aequatur semiparametro. Quod Scc. COROLL. Ducto etiam ramo UM, R in ipsum ex P ducta perpendiculari PR, erit MR aequalis semiparametro , nam triangulorum MPD, MPRlatera omnia sunt aequalia, nemps MD ipsi MR,& PD alteri P R , ob aequales angulos OH Ρ, RM P, necnon DPM, & RPM.

PROPOSITIO xXXII.

Prop.XI. ,ergo componendo in Ellipsi, & dividendo in Hyperbola , erit VG plus , aut minus GF ad GF, ut UP plus aut minus PF ad PF ; idest dupla CG ad GF, ut dupla CF ad PF ; ac sumptis anteCedentium medietatibus , erit CG ad GF, uvest CF ad PF , ac demum eadem antecedentia ad differentiam te1minorum in Ellipsi, vel ad summam in Hyperbola, comparando , erit CG ad CG minus, aut plus GF, quae erit CF , ut ipsa. ad cEmino, aut plus PF, quae est CP).'Quare

83쪽

'a S E c T. c O N I c. GCP aequatur quadrato ipsius CF , aut VC , cLm sint continue proportionales CG , CF , CP. Quod

COROLL. I. Hinc quadratum semiaxis CN ad quadlatum distantiae soci centro CF, est ut

CK ad CP; nempe ut distantia ordinatae ad axem centro, ad distantiam concursus perpendicu laris M P cum axe ab eodem centro ; nam CNquydratum aequatur GCK , & CF quadratum vidimus aequari GCP, quae tectangula sunt, ut CK ad CP. COROLL. II. unde CK ad CP est semper in eadem constanti ratione CN quadrati ad CF quadratum , ubicunque sumptum fuerit punSum illud M.

p Ropos ITIO XXXIII. x

Fq.8ς. Di omni sectione conica si laventer RE, DE concurisso. 9 I. rant in E , recta ex E ducta , secans sectionem in rectam iungentem contactus BD in Aerit barmonice divisa in his punctis, nempe resultabit AH ad HI, ut ΕΛ ad AI.

Ducatur per punctum B diameter bissecans chordam BD in Κ , qui k hissecabit alias illi per allelas , ex punctis Α, Ω Η ductas, ΛΜ, HS

in punctis L, R, quae concurrant, Cum una tangen.

tiom EB ino, & P . Erit ergo , ut quadratum RE ad quadratum ΕΙ , ita quadratum PR ad quadratum OL , 2 quadratum HR ad quadratum AL, k residuum rectangulum N PS ad AOM sed haec rectangula sunt, ut quadrata tangentium PB , OB coroll. q. Prop. I 6. , ergo quadratum PB ad quadratum OB est pariter, ut quadratum RE ad quadratum EL, sive ut quadratum PE ad Eo quadratum . Est itaque tangens PBP harmonita secta

84쪽

secta , cum sit PE ad Eo, ut PB ad Bo ; quare etiam ab iisdem parallelis PR , BD, ΟΜ secta erit .EΗ harmonice , eritque ΗΕ ad ΕΛ , ut HI ad IA. Quod erat demonstrandum. COROLL. I. Vicissim si ex puncto Ealicuius tangentis EB agatur ΕΗ , secans conicam sectio nem in A , Ω Η; 2 fiat, ut ΗΕ ad ΕΛ , ita Ηl ad ΙΛ , k iuncta BI occurrat se ioni in D , junctRED erit pariter tangens : nam si tangens ex E ad illam partem ducta non occurreret sectioni in D , sed in alio pnncto ipsam tangeret, ex hoc alio contactu ducta recta ad contactum B , secaret ΑΗ in alio puncto diverso ab I, cujus partes forent pariter in ratione HE ad ΕΛ , ob harmonicam ipsius divisionem . Est autem impossibile, quod ΗΛ secetur in eadem ratione HI ad IA in alio puncto diverso ab I; ergo tangens ex E ducta ad partes D, non alibi curvam tangere pote quam in ipso D. COROLL. II. Pariter si ex puncto E extra sectionem conicam ducta secans ΕΛΗ , harmonico in illis punctis , 2 in' Ι secta sit, ducta ex puncto E diametro , v ex I ad ipsam diametrum ordinata BlD , jun EB, ED erunt tangentes ue nam si ali bi ta Verent, iungens contactus ipsam ΕΗ harmonice secaret extra punctum I, quod est impos

hile.

COROLL. III. Similiter si binae secantes ex Educta , ΕΛΗ, EMS in punRis aliis I, X, 2 in praeis cedentibus fuerint harmonice seme, ducta recta IX sectionem secante in B, D, junctae EB , EDerunt tangentes , Ob Oandem ration .

85쪽

aut erunt parallela jungenti contactus BD ut in figuris prop. praeced. , aut in unum, idemque punhum T ipsius recta BD concurrent, sis inistra , sive extra sectionem.

SI enim AM sit parallela BD, erit EA ad ΑΙ, ut ΕM ad MXοῦ atqui ΕΛ ad AI est , ut EH adHI, squia harmoniace secta est EH , estque ΕΗ ad ΕΛ , ut HI ad AI & similiter, ut ΕM ad MX, ita ES ad SX, ergo EH ad ΕΛ est , ut ES ad EM:

unde etiam HS parallela ea ΛM,2 BD. Si veti, non sint parallelae, sed HS concurrat cum BD in T, ductis per Λ, 2 M rectis Y AZ , FMG paralle Iis ΗΤ, convenieotibus cum Tl in Y, & F, accum iuncta ET in Z, Ω G, erit ΗT ad AZ ut HS ad ΕΛ , sive HI ad IA , vel ut eadem ΗT ad ΛY, ob similia triangula TIΗ , IAY, quare erit AZ aequalis ΛY . Similiter erit MG aequalis MF ; quia cum sit SE ad EM , ut SX ad X M, erit quoque STM MG , ut eadem ST ad MF ob similia triangu-Ia TXS , MXF; ergo iuncta TM erit in directum ipsi MA, quoniam in triangulo YTZ rectae YZ, EG parallela: in eadem aequalitatis ratione seca lux: unde eadem linea debet esse TMΛ , alias iuncta linea AT , si non transiret per M ue bifariam secaret FG in alio puncto diverso ab Mι quod est absurdum . Itaque rectae HS,ΛM conveniunt in idem punctum T rectae BD , Quod erat demonstrandum.

86쪽

parvae convenient cum partibus infinitesimis suae CurVae, adeoque productae ad punctum T rectae BD convenientes , erunt ipsius conicae sectionis tangentes. Quare si quaelibet linea ΕΛΗ ex concursu duarum tangentium Ε, secans sectionem in Λ, Η, deducatur, atque ex punctis Λ, Η aliae tam gentes ducantur, convenient ad punctum T rectae BD iungentis priores contactus: seu ducta una tangente ΛT , concurrente cum ipsa BD in T , iuncta TH erit tangens.

COROLL. II. Et recta TB erit harmonice divisa in punctis T , D, B 2 in concursu I cum illa secante , nempe erit BT ad DT, ut BI ad ID t εω

Ex concursu E tangentium EB, ED ducta quamis secante EAIH, concurrente eum AD, iuventa l. ' τ'

contactus , in I , si ipsi BD agatur parallela AM, ' functa HM bifariam secabit BD in Κ, er ' βBD ductis ex E parallella EU, occurrens in Ferit harmonita secta ad puncta B, Κ, M, V, ne .pe erit Ην ad m, ut BE ad ΚM. Uoniam atquidistantes sunt BD, ΛM, EVin eadem utique ratione secantur ab ipsis

ΕΗ, & VH ; quare cum ΕΗ sit ab illis harmonice secta , etiam VH ab iisdein harmonias ta erit 3 ideoque ΗV ad UM , ut HK ad KM; sed ducta ΕΚ secante ΛM in L, Ω ΗG parallelam ΛMin G, erit ut HV ad UM, sive ut HE ad EΛ, ita. HG ad ΛL, atque ita ΗΚ ad XM, adeoque 2 HGad LM ob similia triangula GΚΗ, LΚM : erg est HG ad AL , ut eadem ΗG ad LM, ideoque ΛLaequatur LM r unde erit ΛM ordinata ad diam itum , cui ordinatur etiam ejus Parallela BD,

87쪽

transeuntem per concursum tangentium E , qualis erit ipsa ELΚ 3 unde& BD secta est bifariam in Κab ipsa secante ΗMU ; Quod erat Rc. COROLL. I. Hinc si per medium punctum Κrectae BD , iungentis duos contactus , trajiciatur quaelibet recta ΗΚ,secans curvam in H, M , 2 EVipsi BD parallelam , in V , erit in his punctis V. M, X, H harmonice secta. COROLL. II. Si ex quolibet puncto U recta EV parallelae BD ducatur sectionis tangens UΛ, Ω ex A per medium punctum K rectae BD agaturreeta ΛΚ , occurrens sectioni in S, etiam junctam erit tangens ἔ quia enim VH harmonice sectast in V, M, Κ, Η, juxta hanc propositionem, sitiaque UΛ tangens, debet esse tangens etiam US : si enim alibi tangeret supra , aut infra punctum S , recta iungens contactus, secaret MA alibi quam in K , ubi secat ipsam recta ΛS 3 sed ex prop. gr.

recta iungens contactus secat harmonice ipsam se- Cantem ex Concursu tangentium duetam, ergo ali-

hi quam in K secaretur HM in ratione H ad UM, quae eadem jam est ac ratio HK ad KM , id quod est impossibile. COROLL. III. Hinc habetur,quod si per idem aliquod punctum K innumerat lineae SA , HM ducantur, k ex eorum terminis tangentes ducantur,

invicem convenient, s dummodb punctum K non sit centrum sectionis ; tunc enim quaelibet paria tangentium , ex terminis diametrorum ductarum Per Centrum , parallela forent, neque invicem usquam convenirent ), in eadem recta linea Eriducta parallela illi rectae BD, quae per illud pun- .um K bifariam secabitur , ex punso concursusE tangentium ab illius extremitatibus ductarum BE, DE: nempe tam SU, AU, quam MP, ΗΘ coa- veniunt ad eandem lineam ΟΡ, eΣ hac propo Mope. 'co

88쪽

nea trajiceretur RS , tangentes ab ejus extemitatibus ductae R U, SV convenient in V ad lineam suis h limitatis EU , quae per concursam tangontium ex terminis ordinatae per focum ductarum , deducitur parallela ipsi ordinatae , de qua dictum est inprop. 19, de Parabola, A in coroll. i. prop. 9. de Et lapia , ω Hyperbola.

Ex fco F euiu is Conicae sectionis ductis ad eumvam duobus ramis Fri , FB , re ex iUs punctis A , B ductis tangentibus BD , AD , convenienyribus in D, juncta DF bifariam secabit angulum AFB ab ipsis ramis contentum. O Ccurrat DF sectioni in R , S , ac rectae ΒΛ, quae jungit contactus, in I; ductisque tangentibus RU , SU, hae convenient cum ipsa ΒΛ, n eodem puncto U Coroll. 4. prop. 34. , idemque punctum V erit ad lineam sublimitatis EU Oroli. 4Qrop. u. et quare ductis ad ipsam lineam sublimitatis perpendicularibus AH, ΒΡ, erit ut BP ad AH , ita BV ad UΛ , sed quia BU harmonices ta est in punctis B, I, A, V s Coroll. a. prop. qq. , est BU ad UA , ut BI ad IA: ergo erit Bl ad I Λ, ut BF ad FA , quae sunt pariter , ut BP ad ΛΗ ; cum sit tam BF ad BP, quam Fri ad AH in eadem ratione FN ad NE coroll. δ. prop.29.). Itaque angu lus AFB secatur bifariam a recta DF , cum basis AB secatur in I in ratione laterum trianguli ABFsq. VI. Elem. Quod erat&E. COROLL. I. Hi ne si rami ex soco sint in directum , ut resultat per quamlibet reetam bR per iocum traductam , ductis ah ejus extremis tangentibus SV , RU convenientibus cum linea sublimitatis

89쪽

quia anguli SFU RFU bis rectis aequantur, quo rum medietas est quilibet angulus UFS , aut VFRrectus, uti de Parabola ostensum est supra scirou. 9. Prop. I9.)COROLL. II. Per quodlibet punctum Λ cur ae interceptae inter terminos R, S re per B cum traductae, ducatur alia tangens ΛT , occurreus tangentibus RU , SV ad puncta G , T , iunctae ad focum rectae GF, TF angulum rectum GPT com Prehendent , quia angulus GFΛ erit medietas anguli RFΛ, M angulus ΛFT medietas anguli AFS, adeoque GΛΤ est medietas duorum rectorum, qu hus aequantur RFΛ , ΛFS.

Ex tangente Hyperbola ANRad verticem cujusvis diametri fumantur hinc inde partes vi , aequales Iemidiametro conjugato CB , si υaquarum quadrata sint aqualia quarta parti rectaneuli sub tran erse latere QN , im sub recto NS , tum ex centro C iuncta CA, CR. utcunque producantur, ba ad eurvam hyperbolicam fi-- per propius accedent, quam pro quolibet data

intervallo P, numquam tamen cum sese conυenient.Dicantur autem haractae Λsymptoti Q Huperbola. ORdinata enim ad eandem diametrum recta MKV parallela tangenti, secante ldictas rectas a symptotos in D , Z, erit quadratum DK ad quadratum CK , ut quadratum AN, quod est quarta pars rectanguli QΝs, ad quadratum NC, quod est pariter quarta pars quadrati , adeoque. ut rectangulum QNS ad quadratum QN , sive ut rectum latus NS ad transversum QN , quae pariter est ratio quadrati Ordinatae MΚ. ad rectangulum

90쪽

QKN Coroll. 6. Prop. s. : quare 'cum sit totum uadratum DK ad totum quadratum CX, ut qua ratum M K ex priori ablatum, ad rectangulum QKN sumptum ex posteriori , residuum quoquctili ius ad residuum huius , nempe rectangulum DM Z ad quadratum CN erit in eadem ratione quadrati ΛN ad CN unde patet, esse dictum reis A angulum DMZ aequale quadrato AN , sive r Sangulo ANR ; ergo ut ML ad NR , ita AN ad DM, estque semper prima multo major secunda, ergo M tertia maror est quarta , ideoque cum Pro dueta in infinitum Hyperbola semper maior, ac masor fiat MZipsa NR , etiam ΛN semper multb

major evadet intervallo DM , quod continub miis nuetur in infinitum, uti crescit magis, ac magis

in infinitum ipsa M Z ; ita ut ratio illa AN ad DM major fieri possit qualibet data ratione AN ad P, uti major eadem ratione potest fieri ratio ME ad N R; quia creschre potest in infinitum, tam ordinata MK Hyperbolae , quam ordinata ΖΚ trianguli , & ipsarum quaelibet, ac multb magis

utriusque summa ML evadere potest major qualibet data , in majori recessu a vertice N ipsius Hyperbolae . Accedit ergo CΛ magis, ac magis ad curvam Hyperbolae NM, aqua minori semper in

tervallo DM distat , quod minus esse potest quolibet dato P , nec unquam cum ipsa penitus concurret , quia sempeν punetum M aliquo modo distabit a puncto D , ut esse possit rectangulum DMZaequale quadrato ΛN , uti jam est demonstratum. COROLL. I. Eaedem rectae Asymptoti ultra

angulum C continuatae abscindent pariter ex op

politi verticis tangente rectas QE , QX prioribus aequales , oh similitudinem triangulorum QEC CAN, quorum aequalia sunt latera QC.& CN: unde patet ipsasmet CE, CX evadere eodem modo

asymptotos opposita: Hyperbolae Qt , cujus idem