Sectionum conicarum synopsis cujus auctor d. Guido Grandus ..

71쪽

ad conjugatam Hyperbolam, 2 ordinentur

H F, RE ad diametrum Alue, item ΗΙ, RO ad NQ, nec non AL ad CH , R AD ad CR . Cum sieCH ad CL , ut CK ad CA . sive ut CA ad CF ex

Coroll. II. Prop.9. , erit triangulum ΗCF aequale

ΛCL ; unde etiam HCI aequabitur Λ DC . Similiter autem erit RC ad CD , ut MC ad CA. sive ueCA ad CE , Se triangulum ADC aequabitur RCE, vel RCO : ergo triangula ΗCI, RCO aequantur; estque GOR ad RCO, ut GD ad ΟC,hoc est ut GR. ad Ru sive ut CF. ad EM,aut ut triangulum RECad RME ; ergolGRO triangulum ad ΗCI aequale RCO erit, ut idem CHI , quod aequatur RcΚsive.ΛDC. ad Rufi: suntque GRO , ΗCI, R ME

triangula similia , quorum homologa latera GR , CH, RM erunt proportionalia r ideoque rectangulum GR M aequatur quadrato semidiametri CH, seu quartae parti rectanguli ex diametro transversa RS in suum latus rectum . Quod erat, &C. COROLL. I. Circulo circa triangulum CMG circumscripto,cuius circumferentiam secet CR in P, erit BR medietas lateris recti ad diametrum RCS pertinentis: quia resangulum GR M aequa hitur CR P rectangulo, unde CR P erit quarta pars rectanguli ex RCS in suum latus rectum , adeoqu ex semidiametro RC in medietatem recti lateris, quae erit PR.

COROLL. II. si circulus hic in figura Hyper

holica non secaret, sed tangeret semidiametrum CR , coincidente puncto P cum C, unde PR aequalis esset CR ; foret Hyperbola aequilatera , ob medietatem lateris recti aequalem medietati transVem diametri.

Diuitire

72쪽

Delinatis ex focis F, V ad quo is punctum Rcuris vis Elliptica , aut operbolica , continent re ctangulum V F aequale quadrato semidiametri g' 4 CH conjugata diametro per punctu,n Rδι-cta ,sis quarta parti reeianguli sub transverse RS , er ejus recto latere contenti. D Ucta enim tangente RG concurrente cum axe N n G , 2 cum axe altero conjuga. to AB in M, ductaque ex centro C I parallela UR, in I, jun Fla IF erit ipsi tangenti perpendicularis coroli.,Prop. 2I. : quare ob angulos re9os MI P, NCF,transiret circulus per puncta M,I, F, C, super diametro FM descriptus et adeoque rectangula FGC , IGM erunt aequalia , unde FG ad G M erit, ut IG ad GC , live ut RG ad GU , ob parallelas Cl, UR ; ergo FGU aequabitur 1 GR, unde etiam per puncta V, R,M, F, transire poterit circulus, unde angulus FMR aequabitur GVR essent enim Fig. ' H in eodem segmento , D Fig. 'q. uterque cum FUR, illi oppolito , huic coniequenti, duos re Sos compleret : sed & angulus FRM aequatur VRG Prop. ao. , ergo triangula FMR , GURiequiangula sunt, & similia, ideoque FR ad Rri , erit ut GR ad RV , & rectangulum URF aequabitur GR M t sed hoc sex Properaeced. aequatur quam drato semidiametri conjugata: CH , quae tangenti aequi distat, seu quartae parti sigurae ex tran-Verso RS , 2 eius parametro contentae; ergo etiam illud rectangulum URF ipsi aequatur . Quod

erat, &C.

COROLL. I. Hinc UR est ad semidiametrum RC , ut medietas parametri ad hanc diametrum pertinentis , ad RF , quia rectangulum VRF aequatur RC in semip ramet ruin , id o nimest

73쪽

est quarta pars rectanguli totius diametri RS in

totam parametrum.

COROLL. II. Ex terminis diametri RS junctae ad secum RF,SF pariter continebunt rectangulum RFS aequale quadrato semidiametri conjugatae CH, seu quartae parti figurae rectanguli ex ipsa diametro RS in suam parametrum : quippe FS aequatur VR,cum sint Dases triangulorum FCS,RCU aequalia latera FC , CV, 2 SC, CR circa aequales angulos ad verticem C habentium ἱ undαRFs aequatur URF. COROLL. III. Quadrata RF, Ω RV cum duplo quadrato conjugatae semidiametri CH, aequanis tur quadrato QN in Ellipsi ; in Hyperbola vero eadem quadrata RF, & RV, demto duplo quadrato semidiametri conjugatae CH , eidem quadrato axis aequantur. Nam QN aequatur aggregat ipsarum RF, 2 RV in Ellipti, in Hyperbola verbaequatur earundem differentiar coroll.a. Prop. 2I.ὶ ergo quadratum QN aequatur ipsarum quadratis,

addito in Ellipsi , 2 demto in Hyperbola , duplici rectangulo ipsarum ., quod idem est , ac duplum quadratum CΗ . COROLL. IV. Rursus in Ellipsi summa ex rectangulo quolibet URF 2 ex quadrato suae semidiametri transversae CR, in Hyperbola Vero eorum differentia, semper ejusdem ea quantitatis, nempe aequatur duplo quadrato semiaxis transuerinii CN, ablato quadrato distantiae soci a centro CV, vel CF. Nam vidimus esse QN quadratum aequale quadrato summae in Ellipsi, vel differentiae in Hyperbola, rectarum VR , FR , idest quadratis VR, 2 FR plus, vel minus duplo reRangulo URF, At quadrata UR , M FR dupla sunt quadrati CR,& qmdrati CV ex dictis in Sebolis num.f. , ergo duplum quadrati CR , cum duplo quadrati CU Plus aut minus duplo rectangulo URF, aequatur

74쪽

quadrato QN ; & omnia dimidiando , quadratum CR cum quadrato CV, addito, aut demto reis Rangulo VRF , aequatur dimidio quadrati QN, quod est duplum quadrati semiaxis CN : quare hinc inde ablato quadrato CV, erit summa veIdifferentia quadrati CR, 2 rectanguli URF, aequa inlis differentiae dupli quadrati CN ab ipso CU, vel CF quadrato. COROLL. U. Et quia rectangulum UR P aequatur quadrato conjugatae semidiametri CH , erit in Ellipsi summa quadratorum CR,&CH, in Hyperbola verb eorum differentia , aequalis sumismae , aut differentiae quadratorum ex utroque se mi axe CN , & CB. Nam pariter summa , aut di ferentia quadratorum CR , CH aequabitur duplo CN quadrati, demto quadrato CU : sed quadratum CN, dempto CV in Ellipta sequatur rectan 'gulo QVN , seu quadrato semiaxis CB ; k in Hyperbola CV quadratum demto QVN , seu CRqUadrato, aequatur quadrato CN ; ergo in Ellipsi CR quadratum cum Cu quadrato aequatur quadratis CN , & CB ; in HIperbola veri, differentia quadratorum CR, R CH, aequabitur differentiae quadratorum CN, 2 CB. COROLL. VI. Hinc quadruplicatis terminis axium QN, 2 AB quadrata simul sumta in Eselipsi aequantur quadratis quorumlibet coniugatoiarum diametrorum RS , Ω ΗT , & in Hyperbola

quadratorum ex axibus differentia aequalis eriddifferentiae quorumvis quadratorum ex diametris Conjugatis. COROLL. VII. Unde Hyperbola aequi latera, Cujus axis transversus aequatur axi conjugato, sthabet parametrum consequenter sibi aequalem soti proportionalitatem harum triuin linearum ) , habebit quaslibet alias transversas diametros suis conjugatis aequales , cum parametris iisdem aequa

75쪽

ibus t nam ubi aequalis est diderentia quadratorum ex axibus , Ω ex binis conjugatis diametris,

si in illis est nulla, pariter in his nulla esse potest . PROPOSITIO XXVI. . Is Ellipsi, y Hyperbola qualibet diameter Hr es

tri media proportionalis inter axem transversurasein rectam ipse ΗΓ parallelam per aliquem focum F traductam. Ducta enim tangente RG , k ex alio soco Viisdem ΗT, RS parallela VD , iungatur

RD, quae bifariam secabitur in E diametto HT, cui est ordinata , sicut FU bifariam divisa est incentro C ab eadem diametro ipiis FR , UD parallela ue erit ergo CD media arithmetica inter ipsas FR, UD , sive inter .FRAE Fs , quae ipsi V D a quatur , nam in pari a Centro distantia utraque ad curvam inclinatur aequali angulo N PS aut RFQ,&QVD ; quare dupla CE , quae est media, a quaint tum mae extremarum RS: at CH est media geometrica inter CE, & CG Coroll. II. Prop.9. I ipsa Se CG parallela FR , aequatur semiaxi transverso N Prop. a I. ; ergo sunt quoque proportionale S

unde patet pro post tum. COROLL. I. Quadratum igitur diametri ΗTaequatur rectangulo ex recta ipsi parallela RS per focum ducta , Ω ex axe transverso QN. COROLL. II. Unde si plures lineae per secum traducantur, erunt singulae, ut quadrata diametrorum , ipsis sequid istantium. COROLL. III. Est SR ad MA latus rectum suae diametri MK, cui ordinatur , ut ipsa diametet MK ad axem transvorsum N Qt nam HT quais dratum aequatur ΛMΚ 3 sed ὀc aequatur RS in QN, ergo

76쪽

' COROLL. IV. Cum RS a diametro M K his, etiam feeta lit in Ο, erit OR quadratum ad quadratum NC , ut reRangulum ΚΟ M ad quadratum MC ; 2 cum sint RS, ΗT, NQ proportionales sadeoque x earum dimidiae OR , CΗ , CN , erit OR quadratum ad quadratum CH , ut CH qua dratum ad quadratum CN , ideoque reBangulum KOM ad quadratum MC , ut quadratum ΗC sive ut rectangulum VMF huic aequale s exprop.prac.)ad quadratum CN.COKOLL. U. Et permutando erunt rectangula KOM, UMF, ut quadrata semidiametri CM,& semiaxis CN , sive ut inte3rorum M Κ, NQ

quadrata.

sint, ut QN quadratum ad ΗT quadratum ex cor.

.prop. I 8.j, erunt ut QN,SR ex coroll. a.bmus) Msemper rectangula ex portionibus linearum per is, cos traieFlarum, erunt ut ipsaemet 'integrae lineae. COROLL. VII. FM erit ad quartam partem pavra metri ΜΛ pertinentis ad diametrum MΚ, ut eadem diameter MK ad aliam MU ex altero seca inclinatam quippe UMF aequale CH quadrato, aequatur MX in quartam partem sui parametri.

PROPOSITIO XXVII.

Summa inclinatarum ex focis ad idem punctum hyperbola, earumque disserentia in Elli si nempe Fig. 8. R, plus, aut minus. ra es ad CO disantiam or- ω amata RO a centro, ut focorum distantia rF ad semiaxem tranfoersum m.

NAm tangenti TRG ductis ex seco F, 2 excentro C parallelis FH , CM , concurrenti-Ε bus

77쪽

atque ordinata ad axem RO , ob angulos FRI,VRT aequales , etiam RFH , RHF aequales erunt, qua re HR aequatur RF: unde VH erit summa inhrpei bola, & differentia in Ellipsi, dictarum in eli natarum FR , UR ; est 'ue VH ad UF, ut VR ad VG, sive ut CI aequalis CN , ad CG, vel ut Co ad CN s quia CO , CN , CG sunt proportionales , ergo VH ad UF est , ut Co ad CN , 2 peris

mutando , vH summa , vel differentia inclinatarum a focis , est ad Co distantiam ordinatae Ro Icentro , ut distantia socorum UF ad semiaxem CN . Ouod erat, &c. COROLL. I. Hinc summae , aut differentiae,

inclinatarum ex focis ad varia puncta curvae hyperbolicae, aut Ellipticae, sunt ut distantiae orclinatarum a centro , cum sint illae ad has distantias in eadem constanti ratione VF ad CN.COROLL. II. Unde si inclinandae sint ex socis ad diversa curvae hyperbolicae , aut Ellipticae pun-εta , lineae , quarum summae, aut differentiae sine in aliqua data ratione, acceptis in tali ratione distantiis a centro, & ordinatis ad axem rectis, imclinatae ex focis ad harum ordinatarum terminos. satisfacient quaesito.

In omni sectiona Conica ordinata ex foco ad axem FM, ductisque tangentibus H, NO , erit ipsa FM medietas lateris recti, No aequalis NKEsto Nx latus rectum , erit in Parabola NFejus quadrans,estque FM media proportionalis inter abscissam FN , R ipsum NX , proptex NF quadratum aequale FNX ; ergo FM est medie- eas ejusdem parametri NX , nam inter ψ. st x. mediae

78쪽

mediat a. Quia verb etiam GP dupla est FN , ea utique GF aequalis FM , quae eiusdem FN est duapta, & NG aequalis NO: unde NF aequalis GΝ,

aequatur No.

In aliis autem sectionibus rectangulum QFN ad quadratum MF est, ut transversum latus QN ad rectum NX, sive ut QNX rectangulum ad NX quadratum ue 2 permutando QFN ad QNX , ut quadratum MF ad NX quadratum ; sed primum est quarta pars secundi, ergo 2 tertium est quarta Pars quarti , adeoque MF est medietas NX, ut illius quadratum sit quarta pars hujus. Quia verbQPN est pars quarta QNX , aequabitur rectanges

ex medietate transversi , nempe CN in parametri medietatem MF: quare cum sit Q SN aequale etiam

rectangulo CPG ex Coroll. .prop. 9. , erit CN in MF aequale ipsi CFG ; unde CF ad CN s sive CN ad CG 3 erit ut MF ad FG, scilicet ut ON ad NG, sed etiam FN ad NG est in eadem ratione CF ad

CN , aut CN ad CG, quia dividendo etiam terminorum differentiae sunt, ut ipli termini proportionales,ergo ON est aequalis FN,cum ad NGutraque habeat eandem rationem ; Quod erat demonstrandum. 'COROLL. I. In Parabola GF aequatur FM , in aliis autem iectionibus inaequalis est , in ratione tamen GN ad No, sive ad N P huic aequalem estque GN ad NP, ut GQ ad QF Coroll. II. Prop. 9. .

quia secatur harmonice diameter ab ordinatae, re tangentis occursu cum suis terminis et ergo GF ad

FM est etiam ut G ul QF. COROLL. II. Et quia in hyperbola Ga est minor in , in Ellipsi verb illa major ista. ide, GF semper minor est in hyperbola ordinata FM, in Ellipsi verb maior. COROLL. III. Juncta Fo, erit angulus N Fosemirectus, ob latus NF aequale ipsi NO. E a

79쪽

k. - Ii em positis , ordinata ad axem quamvis aliat/ξ'do TEH, secante tangentem GM in Λ , juncta ex φδ' foco curvam recta FH erit aequalis .REctangulum enim TAH ad quadratum tanis gentis AM est , ut ἰquadratum N O ad quadratum OM t ex Prop. I 6. i , sed NO aequatur NFt ex praeced prop. ergo est etiam , ut quadratum N F ad quadratum OM , vel ut quadratum FB ad quadratum ΛM , ita rectangulum TΛΗ ad idem quadratum ΛM ; quare illud rectangulum aequ2tur FB quadrato ἡ & utrinque addito quadrato BH, erit ΤΛΗ rectangulum . cum quadrato BH aequale utrique simul sumpto quadrato FB . 2 BH . idest quadratum B L aequabitur quadrato FH : ergo ramus ex Foco FH aequatur ipsi BΛ ordinatae , ad tangentem GM extensae , Quod erat, &c, COROLL. l. Hinc conisat rectangula ΤΑ Η,

ex ordinatis axi, ad tangentem GM protentis , in earum partem externam, aequari quadrato BP, distantiae soci ab ordinata. .

COROLL. II. Hinc quaelibet sectio conica describi poterit, si in triangulo rectangulo GFM productis lateribus GF, G M, & dubiis quibuslibet ordinatis BA , b a ipsi FM parallelis , ex fixo pun-Ro F ad ipsas inclinent ar FH , Fb dictis ordinatis

aequales ψ erunt enim puncta Η , h ad Parabolam.

1i latus GF sit aequale FM , ad Ellipsim autem si GF sit maius FM , ad Hyperbolam verb s& etiam ad eius oppositam ) , si GF minus FM .

COROLL. HI. ubi tangens MG ex terminoaordinatae ex soco FM dubia, concurrit cum axe, si agatur GPK parallela ordinatis dicetur haec qumque in Ellipti,& Hyperbola, ut in Parabola in

80쪽

dicavimus prop. I9. LineaJublimitatis, ad quam ex quovis curvae puncto H ducta ΗΚ axi paraIlela, uti etiam M P, erit semper ramus FH ex soco ad quodlibet punctum H ductus , ad ipsam ΗΚ, ut F M ad Μ P, sive ut FN , aut No ipsi aequalis , ad N G : quippe in eadem ratione est etiam ΛΒ ad BG, adeoque 2 FH ad ΗΚ, cum sint illis aequales. COROLL. IV. Quia etiam , si ex foco ad lineam sublimitatis ducatur qua libet inclinata linea FHS , ductoque alio ramo FL agatur ipsi Ff parallela LR ad eandem sublimitatis linea in ter minata , in qualibet sectione , etit FH ad HS , ut FL ad LR ; auctis enim agi parallelis ΗΚ , LP,

cum sit FH ad ΗΚ , ut FL ad LP , 2 ob similia triangula ΚΗS, PLR, sit HK ad HS, ut LP ad LR, erit ex aequo FH ad HS , ut FL ad LR .

PROPOSITIO XXX.

Si ex contactu 'perbolae , aut Ellipsis , ducatur tangenti perpendicularis MP ad axem transder g.

sum terminata , ese ex centro C in eandem tam δε-

gentem agatur perpendicularis CS , rectangulum in 'ex PM in CS aequabitur quadrato semiaxis conjugati O , seu quarta parti figura rectanguli εκ transverse latere in suum rectum. ORdinentur ad utrumque axem MK , MR . Similia erunt triangula HCS , PMΚ : ob aequidistantia enim latera SC , MΡ , angulus M PK aequatur SCP , adeoque 2 CHS , quia

utervis cum ' ΗCS rectum complet, suntque anguli recti MΚΡ , HSC pariter aequales: igitur est M P ad ΜΚ , ut CH ad CS έ quare PM in CS aequatur CH in MK , sive in CR illi aequalem: at HER

aequatur CA quadrato scoroll. II.Prop.9. ι ergo Pariter PM in CS eidem quadrato minoris semiaxisiaequatur , seu quartae parti rectanguli ex axe trans-