장음표시 사용
91쪽
est latus transversum , Ω latus rectum . COROLL. II. Quaelibet uni asymptoto parato tela BH intra angulum ΛCR ducta , Hyperbolae curret , quia intervallum parallelarum idem semper manet, dum intervallum Hyperbolae abas Imptoto semper minus evadit quolibet dato . COROLL. III. Multb magis quaelibet BC angulum ACR dividens Hyperbolam secabit, quippo ejus distantia ab asymptoto semper augebitur, dum Hyperbolae distantia subinde minuitur . COROLL. IV. Patet aequalia esse reetangula 'DM L, d ma a portionibus quarumlibet Parallelarum diametro ordinatarum, per Hyperbolae cur am , & per asym totos sectis, contenta , quippe singula etiam DVZ , Sedu s quadrato AN iunt aequalia. COROLL. U. Etiam partes hinc inde acceptarinter curvam , 2 asymptotos , nempe DM , & VEaequales sunt , nam ut ΛN aequatur NR , ita DK aequatur ΚΖ, Ω ordinata MK eth aequalis ΚU,adeoque 2 reliqua DM est aequalis UL.
Si quaelibet recta TD Huperbolam alibi contingat, velut in ν, occurrens asymptotis in T , D , erit TV aequalis rD , er cujuslibet quadratum aquale pariter quartae parti rectanguli sub diametro ICU , ω ejus latere recto ra contenti. Quando enim hoc non eveniret , sumptis hinc inde UG, UB, quarum quadrata aequarentur quartae parti dim rectangulii, tunetae CG, CB essent asymptoti, juxta praecedentem propositionem ; Id quod est impollibile ; nam . GCG cadat ultra CT, ab ipsa magis, ac magis divertet in infinitum producta, adeoque non accedet
92쪽
det curvae Hyperbolicae, ut facit asymptotus CT,& si cadat intra angulum asymptoticum TCD, ut recta CB , haec producta secabit ipsam Hyperbolam s ex Coroll. q.praeced. ὴ adeoque non erunt CG, CB asymptoti: ergo ipsae portiones UT, UD, non verb ipsis majores, aut minores , continebunt quadratum aequale quartae parti rectanguli sub latere transverso IV, 2 latere recto UF contenti, unde invicem sunt aequales. Quod erat lic. COROLL. I. ordinata pariter ad diametrum CV recta LXo parallela tangenti TD, occurrente asymptotis in P, S, erit rectangulum PLS, aut POS aequale pariter quadrato VT,quemadmodum simile quid demonstratum est in propera ed. COROLL. II. Hinc pariter interceptat intorcurvam, Se asymptotos PL , ΟS sunt aequales ι unis de quaecunque recta PS secet Hyperbolam , Masymptotos, eius portionas curvat. M asImptotis interpositae aequales evadunt , nam bifariam secta L in K, k juncta ex centro diametro CX, occurrente Hyperbolae in U. ac per V ducta ipsi GL Parallela TVD erit tangens , in V bifariam .secta, ex bac propositione; M rectangula PLS , POS quadrato TV, aut VD aequabuntur : unde portiones PL, OS debent aequales esse. COROLL. III. Constat ex dictis in hac pro unicas esse asymptotos CT, CD, nec posse alias asymptotos eidem Hyperbolae assignari.
δi qualibet stes 'perbolas oppositas secet, occurrens Mymptotis in Ε, Ζ , aucta per centrum dia- Dd. Iosmetro ICV eidem sis parallesa, erit rectangulum E OZ aequalis quadratosemidiametri cri
93쪽
ti parallela ordinetur OL eidem diametro, quae asymptotos secet in P, S. Ratio rectanguli EOZ ad rectangulum SOP componetur rationibus
ad rectanguium TVD idest ad quadratum UT ex iisdem rationibus Componitur δ ergo ut rectangulum EOA ad aliud SOP . ita quadratum CV ad quadratum UT 3 sed ex praeed rop. rectangulum SOP aequatur quadrato UT, ergo M recta ngulum EOZ quadrato CV erit aequale 3 Quod erat&c. ἐCOROLL. I. Similiter ostendetur rectangulum . ZQE quadrato CI aequari , quod CV quadrato aequale est : unde aequalia erunt rectangula EOZ,& ZQE, & rectae OZ , QR erunt pariter aequales , quia horum rectangulorum aequalitas dat ratio- inem laterum Eo ad EQ aequalem rationi QZ ad ΣΟ, unde componendo Od ad QE erit ut OO ad ΣΟ quare interceptae asymptotis, 2 utraque Hyperbola QE. R OZ aequantur , sicut etiam OE, RQZ aequabuntur, sicut & rectangula QEO, QZΘaequalia erunt .
COROLL. II. Et quia ducta etiam qualibet alia o a e q eidem diametro VCI parallela erit pariter rectangulum e o a aut a q e , seu geo , aut qaο eidem quadrato CI aequale , erunt ergo invi . Cem aequalia quaelibet reS angula EOZ, e o a a portionibus rectarum aequi distantium , interceptis Hyperbola utraque, & aiymptotis, Contenta , Ω Partes s a, q e aequales resultabunt, nec non est,
Fig.Ioε Si in eadem inperbola, vel in oppositis Zus punctis Io . O, F accepta fuerint, ex quibus ora OS, P
94쪽
iolaem parallelae ducta fuerint, ad Udim' toros terminata, necnon dua alia OP , VP pariter imuleem parallela ducta sint usque ad ea emo tosor, erit rectangulum SOP aquale reoctangula DyT. Iuncta enim recta OU, quae asymptotis o cu iarat in I, L erunt interceptae Ol, UL aeqv iles ex coroll. . prop. g8. ω qq. , nec non OL , 2 Ulaequabuntur , ergo OL ad UL eii , ut VI ad OI; sed ob similia triangula, est OP ad UT , quemadmodum OL ad UL , atque UD ad OS . ut VI ad GI; ergo OR ad UT est, ut UD ad OS , quare rein Elangula SOP. DUT aequantur. COROLL. I. Si per quaelibet puncta hyperbo Iae U , Nductae sint ad asymptotos parallelae UT, UD , & NR , NΛ , erit parallelogrammum RNA aequale parallelogrammo TVo, nam quia haec
rectangula sunt aequalia, etiam aequiangula parat telograinma, ob aequalem laterum reciproce comis Paratorum rationem , aequari debent.
COROLL. II. unde M triangula CNR, CUM eorum parallelogrammorum dimidia aequari deo
COROLL. III. Hinc semper ratio ordinatarum ad asymptotum NR, UT alteri asymptoto aequidistantium, eadem est ac ratio distantiarum reciproce sumptarum GT, CR, ob aequalia illa
rectangula, aut parallelogramma, vel triangula supradicta , quae circa aequales angulos latera habere debent reciproce proportionalia. COROLL. IV. Ductis tangentibus PNM,HUGad asymptotos terminatis , quae bifariam sectae sunt in contactibus N, U ex prop.78.1, erunt quoque triangula CPM , CHG huic spatio a sympi tico inscripta , invicem aequalia , quippe dupla Parallelogrammorum aequalium RNΛ , TUD, F a seu
95쪽
seu quadrupla triangulorum aequalium CNR, CUT. COROLL. V. Quadrilatera mixta RNVT , MANUD sunt invicem aequalia, nam obaequalitatem parallelogrammorum TUD , RNA , comis muni oblato CRXD, est TUXR aequale ANXD ,& adiecto utrinque trilineo VXN , fit RNUTaequale ANUD. COROLL. VI. Item sector hyperbolicus CUNaequatur cuilibet ex dictis quadrilateris RNUT, aut ΛNUD , nam ob triangulum RCN aequale CTU, dempto utrinque triangulo CRZ, addito. que trilineo VZN , res It at VCN sector aequalis
ipsi RNUT , aut huic aequali ANUD. PROPOSITIO XLI. . si υνperbola M, GH sint inror asi totos ACE, ' O CT , quae amulos ACT , TCE Ibi consequenter
binis rectis aquales comprehendunt, O illas curis vas secent recta NH, νG uni a Imptotorum ACE parallelae , secabuntur ab alia vidi tota T in panctis , T in eadem ratione.
sunt ut reciprocae distantiae TC , CR, in qua pariter ratione erunt aliae ordinatae RH , TG; quare M permutando erit NR ad RΗ, ut est UT ad TG : Quod erat &c. COROLL. I. Hinc Quadrilaterum RNUT ad quadri laterum ΗRTG erit semper in eadem ratio, ne NR ad RH , eo quod omnes restae in utroque ordinatae, ipiis N R , & RΗ parallelae sunt in data
COROLL. II. Et sunctis ad centrum C remaNC, VC , GC , CH erunt pariter sectores CNU, GH in eadem ratione, utpote dictis quadrilate ris
96쪽
COROEL. III. Si ex punctis N, H agant ullian entes hyperbolarum ad asymptotos productae, exiliente NΗ asymptoto ΛCE parallela, convenient tangentes ad idem punctum T alterius asymptoti nam quia ΗΕ aequatur ΗΤ, etiam CR aequabitur RT , & quia ΛN aequatur NT , paritet CR eidem RT aequatur quare utrinque respondet eadem RT aequalis CR: unde idem est punctum T , in quo duae illae tangentes conveniunt. COROLL. IV. Et si ex eodem puncto Τ unius asymptoti agantur hyperbolarum tangentes ΤΗΕ, ΤNΛ, jungens contactus ΗN alteri asymptoto ACE parallela erit , quoniam utraque illa tam gens bifariam secatur in contactibus H, N ; ideoque latera TE , ΤΛ proportionaliter secta sunt ab ipsa rectaΗN,quae propterea parallela erit basi EA. COROLL. V. Ipsaque triangula CAT, CTE illis asymptoticis spatiis inscripta erunt sempellin data ratione, quae est NR ad RH , quibus proportionantur bases AC, 2 CE , idque etiam iatriangulis ad idem punctum minime concurren- .
tibus eveniet, quia in quolibet asymptotico spatio ejusdem hyperbolae inscripta triangula pex suas tangentes, aequalia sunt m coroll.4.Prop. O.
Si ad seundam diameerum HI, priori diametro transversa Niacamnatam flant dua onsta re. IIci, erbola ΗΚ , IF, quarum vicissim Iecunda diameter conjugatast eadem Ν , erunt baru quatuor fectionum communes AEImptoti . Voce νur ariem is paruar sectiones coniuῖatae.
97쪽
M S E c T. C ο N I C. Ductis tangentibus NT , IT convenientibus
in T, quae erunt parallelae ordinatis diametrorum NQ , HI , adeoque R conjugatis semidiametris CI, CN, iuncta CT erit asImptotus com munis utrique Hyperbola: NU, IF quia cum sit CNTI parallelogrammum, est NT quadratum aequale quadrato CI, seu quartae parti re- Ranknli sub transverso latere QN, 2 mus latere 14So; & similiter tangens IT aequalis semidiametro alter ΗΤperbolae coniugato CN, continet quadratum aquale quartae parti rectanguli sub transverso latere HI, 2 re Mo tibi correspondente comis prehenso ac similiter ducta alterius oppositae Hyperbolae ΗΚ tangente ΗΛ parallela ipsi IT, ac producta ta Pgente ΤN , concurrente cum ΗΛ in Λ , erit UANC parallelogrammum, ipsaeque tanis Oentes NA , ΗΛ aequales erunt coniugatis semidia
metris sibi oppolitis CH, CN ; unde & iuncta AC
erit hisce Hyperbolis asymptotus communis ex Prop.r .):igitur ipsae TCX , ΛCE sunt communes admptoti harum quatuor sectionum, quae invucem conjugata dicentur. COROLL. I. Iungens contactus NI, cum evadat diameter parallelogrammi CNTI, hilariam secabitur ab ast mptoto CT in R , quia CT est alia diameter ejusdem parallelogrammi. COROLL. II. Et quia sex coroll. properae ἀ NI aequidistabit alteri asymptoto AE , etiam quae-Ιibet alia VF jungens contactus aliarum tangentium PF , PV ex eodem aliquo puncto P communis asymptoti deductarum , ipsimet ΛΕ aequidl- stabit ,& bifariam secabitur in Z, cum sint in
eadem ratione NR ad RI, ae V2 ad 2F spre RoLL. III. Et quia etiam CP bisariam secta est in Z , ut tangens PFM est bifariam secta in F sex Prop.ra. , erunt CF, CV ductae ex centru
98쪽
ad contactus parallelae tangentibus PV, PF, adeoque erunt semidiametri coniugatae harum Hyperis holarum , quia PF aequatur CV sibi parallelae , MPU aequatur parallelae CF ; unda CU aequidistae ordinatis ad diametrum CF , 2 CF aequuti stat oris dinatis ad diametrum CU. e COROLL. IV. Haec parallelogramma CNTI, CVPF semper erunt aequalia , licui aequantuς triangula CNR, CUZ ex Coroll. a. Prop. o. , quae sunt quartae partes dictorum parallelogrammo
COROLL. V. Et quodvis parallelogrammum RLSM iisdem Hyperbolis coniugatis inscriptum,
contentum ab ipsarum tangentibus per terminos diametrorum conjugatorum ductis erit aequato
cuilibet alteri inscripto parallelogrammo HEX ab aliis tangentibus, per terminos aliorum diametrorum coniugatorum ductis, comprehensos Haec enim parallelogramma erunt quadruplRaequalium triangulorum CLR , CΛΤ, sive aequalium parallelogrammorum C URF, CNTI. COROLL. VI. Iunctis quoque contactibus ad terminos coniugatorum diametrorum positis , fiet parallelogrammum ΚUFG aequale alteri HNIQ, sunt enim haec parallelogramma medietates ali xum RLSM , ΛΤΕX invicem aequalium ue quippe& triangula CNI, CVF , quartae partes dictorum parallelogrammorum ΚUFG, ΗNIQ, medietates lunt parallelogrammorum CNTI, CURF, quae
sunt Aliorum RLSM , ΛTEX pariter quadra
Etiam in Ellipsi, ut in Huperbolis eonjugatis , Μ rallelogramma RISM, ATEX, ex tangentibur ad νermisos duomm diametrorum conjugatoin
99쪽
rum Gr , KF , aut M , HI ductis , compreDPnsa, semper aqualia erunt 3 Hat etiam funae aequalia parallelogramma eidem Ellipsi inferis EFFG , HNN ex rectis fungentibus terminos
binorum diametrorum conjugatorum .
Jung ntur duo puncta V, I, 2 ad diametrum
Ninordinata per V recta VP , secante tangen--m II in Z , tum per I ad diametrum FK ordinata I B, quae tangenti UR concurrat in G, erit utique parallelogrammum CUDB aequale alteri alteri CPZI ; quoniam utrumque duplum est trianguli ipsis inscripti CVI: at concurrente se midiametro CF cum tangente IE in D, M semidiametro CN cum tangente UL in Y , atque utraque tangente ID, UL in E , erit Parallelogram-mum DCYAE ad CFRU, ut hoc ipsum ad C UOB, cum sint aeque alta , 2 eorum bases CD , CP, CReontinue proportionales ex coroli. Iterop.9. ὶ ι χidem DCYIE ad CNTI est, ut hoc ipsum ad CPZI, ob proportionales hases CY , CN , CP , 2 eandem horum parallelogiam morum altitudinem , ergo inter DCYAE ,& CVOB , vel huic aequale CPZI, tam eli medium proportionale CFRU , quam CNΤΙ, ergo haec duo sunt aequalia: sunt autem quartae partes parallelogrammorum RLSM., RATE X ergo haec pariter sunt aequalia; & horum dimidia sunt inscripta reliqua ΚUFG , & ΗNi Q, t ut triangulum CFU est dimidium CFRU. M triangulum CNI dimidium ei CNTI, quae trianis
gula lunt pariter quartae partes diBorum paralleis logrammorum I tripli inscriptoriun): ergo haec pariter parallelogramma inscripta sunt aequalia, mi etiam aequantur alia circumscripta . Quod
. COROLL. I. Patet esse FC divisum in B pro
portioraliter, ac NC in P, quia DCYIE ad CVO
100쪽
est ut idem illud ad CPZl hujc aequale; adeoque ratio DC ad CB est eadem, ac YC ad CP: sed illa
est dupla rationis FC ad CB, haec autem dupla rationis NC ad CP ι ergo haequoque rationes FC ad CB. 2 NC ad CP sunt aequales , unde quoties coniugatae iunt diametri FK ,uG, & pariter binae aliae conjugatae N , IH , ex termino V diametri VG ducta ordinata ad diametrum N Q , 2 ex ter mino I diametri lH, ordinata IB. ad diametrum FK , secabuntur proportionaliter diametri N. MFK ab ipsis ordinatis 3 nam Nindupla NC erat ad CP, ut FR dupla FC ad CB , sive illa ad Ieliduum PN , ut haec ad residuum BF . COROLL. II. Quin etiam si ex utriusque diametri conjugati terminis N , I ordinentur super alias coniugatas diametros N, , IB, erunt hae di metri UG, FK in punctis b, B proportionali tens ae, erit enim VC ad G, ut YC ad CN , quia ordinata Nb est parallela tangenti YU , adeoque u CN ad CP, sive ut CF ad CB , ideoque UC ad Ch, ut m ad CB, 2 UC ad reliquam Vb, ut ipsa CF au residuam FB ; ac duplicatis antecedentibus VGad Ub , ut KF ad FB ; uti etiam dividendo, G, adbU erit, ut KB ad BF . COROLL. III. Erunt ergo rectangula Gbv xEBF , u t quadrata CV 2 CF , sen GV , 2 K F , aue
ut latus transversum GV ad suum latus rectum, sive ut rectangulum GhU ad quadratum N, , velut quadratum IB ad rectangulum ΚBF , idebruadratum m erit aequale KBF rectangulo , qua ratum ver binaequabitur rectangulo G. U.