장음표시 사용
71쪽
6o NEO. STATICAENAm perinde se habet, seu duo praedicta pondera constituta
intelligantur in extremis ipsius librae cr, seu ubicunque in linea suarum directionum 33 dum a ) nimirum, ubicunque locentur, aequali vi motrice, & sub eadem omnino directione citare intelligantur ad motum ipsa in crperexise trema ipsius punctae,& r. Itaque constituta intelligantur in puncto d, quod est utrarumque directionum conis cursus . Rursum perinde se habet, seu duo distincta pondera locata intelligantur in d, siue unum tantum cum duo bus illis impetibus, & sub eisdem directionibus . At, si unum tantum sit pondus, Constat ex praecedentibus, quod praedictum punctum n erit Centrum aequilibrii. Igitur idem etiam sequetur in isto casu. Quod erat demonstrandum
PROPOSITIO SEPTIMA.I vcro, siue aqualia, sitie inis ualia pondera e ct r consit
ruta intriugantur in ex remis fibrae e r . Dico centrum qui- ob st fore in puncto n, ρώοd ira ae idit ipsem e r, ut ratio c Rad n r componatur ex ratione Hre, ipsius e d ad r d , ct ex re-c proca momenti ponderis r ad momentum pondoris C.
Si enim pondera sint aequalia , res liquet ex praecedente, cum ponderum aequalium ita se habeat momentum ad momentum , ut impetus ad impetum . Sin vero sint inaequalia ; in codem tamen puncto , in quo aequilibrata censentur pondera inaequalia c, dcν, consistet aequilibrium, si loco ponderis ax. s. nosi primI .
72쪽
LIBER S EC UND VS. 6 tris r substitui intelligatur in r pondus alterum h, quod ipsum aequale sit quidem ponderi c, sed aequale habeat momentum Aponderis r sub eadem prorsus directione . In eodem , inquam , puncto saὶ consistet aequilibrium, cum in utroque aequales adsint
vires motrices, atque eaedem prorsus directiones . Stante autem aequilibrio in n aequalium ponderum c & h in extremis librae cr constitutorum , ratio en ad n r componitur, ut iam noui inus,
ex ratione directa ipsius c. ad rae, siue hae, de ex reciproea momenti ponderis B ad momentum ponderis c. Igitur cum in eodem ipso puncto n habeatur aequilibrium eiusdem ponderis e ,& alterius inaequalis ponderis r) ex eisdem rationibus componetur ratio cn ad n r, nimirum ex directa ipsius c d ad r d, Seex reciproca praedicti momenti ponderis θ ad momentum ponde.ris c, siue aequalis momenti ponderis r ad idem momentum is ponderis c . Quod erat demonstrandum .
HInc, ijsdem stantibus, ratio en ad n r componitur ex raiatione direct ipsius c d ad rd, ct ex reciproca rum ponis iueris ad pondus, tum impetus secundum r d uus dr, ad impratim secundiam c d aut d e. Constat ex praecedente: Nam Uratio momenti ad momen. tum componitur ex homologis rationibus ponderis ad pondus, di impetus ad impetum.
PROPOSITIO NONA. Hoc rursum, si impetur praedicti proportionentiar Hsganii
a ptincto communi concursus suarum directionum , nimiiarum ipsis ed, r d; centrum aquilibridi erit in puncto n diuiden, re libram cr in reciproca ratione ponderum.
73쪽
6a NEO- STATICAE T Am,habito aequilibrio inn, ratio cn ad n r eomponitur. per praecedentem, ex ratione directa ipsius c d ad rae, & ex te. R ciproca rum ponderis ad pondus, tume impetus secundum rae aut aer ad iiii.
V petum secundum c d aut aec. Porro autem prima harum rationum sa) eliis duur per tertiam , dum impetus fuerint inter se, ut ipsae distantiae rae, cae. Igi. tur, hoc stante, soIa superest ib) ratio
reciproea ponderis in r ad pondus in c, cui aequetur praedicta ratiocri ad nn, ut propterea ipsa libra er diuidatur per punctum aequilibrij iu reciproca ratione ponderum. Quod erat demonstrandum .
RAlio composita ex ratione euiuslibet a ad quamlibet b, σex incieria ipsius , ad eandem a, es raria aqualitatis. n e cst enim vi bad a, ita b ad c ν, --- - Erit e aequalis ipsi a. Ratio autem composita ex rationibus a ad b, dc b ad e, hoc est , aderit ipsa ratio aequalitatiL AE ad c . Quod erat Propositum c
Si ratis aquali tatis fuerit una ratioπα- componenIium, eade' manebit ratio, qua comosita dicitur, siue ralia aqualitatis inIerueniat ad componendum, siue non .RAtio aequalitatis o ad b, de ratio e ad L, componant rationem k ad m. Dico, solam rationem componentem c
74쪽
LIFER SECUNDVS. ει praedictae rationi compositae ad m. Nam ratio Φ ad in , hoe est composita ex rationibus e ad d, & a ad , , aequalis est rationi rectanguli ex c in a ad rectangillum ex ae in b. Atqui, propter
aequales altitudines a, & b, ratio rectanguli ex e in a ad rectaniagulum ex d in b, aequalis est rationi basis x ad basim aer igi. tur ratio composita Φ ad m aequalis est soli rationi componenti e ad d. Quod si ratio ε ad m composita fuerit ex ratione aequalitatis a ad b, & praeterea ex rationibus e ad fri& g ad B ue similiter exclusa ratione aequalitatis a ad , aequalis illa erit rationi compositae ex reliquis componentibus e ad f, Se g ad h. Ratio enim c ad A composita sit ex ea. tionibus e ad K & g ad B . igitur ratio ε ad m composita eriteκ ratione aequalitatis AE ad b, & ex ratione c ad ae . Quare, ut supra, ratio ε ad m aequalis erit soli rationi componenti e adae, hoe est rationi compositae ex rationibus e ad L, Sc g ad β. Quod erat propositum .
N Equis autem, Rante aquilibrio in n , ita esse e n ad n r, ut reciproce pondus in r ad pondus in c, quin impetus secundum praedictas directiones sint proportionati insunt νι β puncto
communi concursus. NamsDisitiam by Cooste
75쪽
b Ana, ex praeost uiis, ratio en ad n r componitur sa) ex ratione directa a pluis c d ad ν d, & ex reciproca tum pon-m deris in r ad pondus in c, tum impe- tus secundum r d aut aer, ad impetum secundum c ae aut d c . Quare , ut eadem ratio en ad n r aequetur soli ratio. ni reciprocae ponderis in r ad pondus inc ue debent reliquae duae rationes Componentes, nimirum prima , ac tertia , se
inuicem b) elidere, hoe est in rationem aequalitatis coalescere. Igitur , cum prima ratio sit rpsius e d ad rae; tertia ratio, quae est impetus secundum rd aut ad im- letum secundiun c d aut de, erit inuet se ipsius rae seu ἀν, ad edeu dc , nimirum distantiae ad distantiam . Itaque libra secari nequit per punctum aequilibrii in reciproca ratione ponderum, quin ipsoru in impetus proportionentur distant ijs a puncto communi concursus suarum directionum . Quod erat demonstrandum .
Hoc, si aquilibrium ponderum, Hapte natura versus cinistrum aliquod commune tendentium, sit in puncto diui-άen e libram in reciproca ratione ipsorum ρonderum, manifestames, quod impetus naturales ex fuiete omnium grauium Uersus centrum commune proportionantur ipsis disiani se .
SInt enim duo quaelibet pondera ubi fibet locata in punctis e, & r.
Jungatur cr, quae consideretur tanquam libra ; sitque punctum d ccntrum commune grauium . Pondera locata in c, &rcum suis naturalibus impinibus ex quiete versus centrum commune d , aequilibrata erunt, ex hypothesi, in quodam puncto n diu dente libram er in reciproca ratione ipsoru in ponderum . Nequit autem, per praecedentem, id esse, quin impetus ipsi versus A propor
76쪽
LI B E RSEC UNO A S. 6sportionentur distant ijs rd, c d. Igitur, stante praemissa hypothesi,
impetus naturales ex quic te quorumlibet grauium versus centrum commune proportionantur ipsis distant ijs . Quod erat &e.
SIn autem, Rante aquilibrio in n , Raruantur aquales impetus secundum c d , r d , aut d c, d r ; ratio e n ad n r compone ur ex narione directa ipsius e d ad r d, ct ex reciproca ponderis in r ad pondus in c. NAm, ex praeosten sis, ratio en ad n r componitur ca raditione directa ipsius c d ad ris , & ex reciproca momenti ponderis in r ad momentum ponderis in c. Atqui, stante a qualitate praedictorum impetuum , ita est momentum ponderis in r ad momentum ponderis in c, ut pondus in r ad pondus in c. Igitur, eo stante, ratio cn ad n r componitur ex ratione direct ipsius c d ad rT, & ex reciproca ponderis in r ad pondus in c. Quod erat demonstrandum . PROPOSITIO DECIMA TERTIA. , 'SI quadam raris ex duabus, auI pluribu/ rarionibus com natur , qualibet rationum componentiam composita erit ex ara rarione composita. st ex aliis rationibus componenribus imMersim acceptis. SIt enim ratio a ad b composita ex rationibus e ad L, R e ad L. Dico alterutram rationem componentem, ut c ad d, com poni ex ipsa ratione composita a ad b, & ex altera ratione comis ponente inversim sumpta, quae est ipsius fad e. Quoniam enim ratio composita ex rationibus e ad L, & fad e, est ratio aequalitatis 3 ipsa ratio ς ad A ex his tribus rationibus componetur,
77쪽
66 . NEO- STATI GAEquae sunt e ad d, e ad L, & fad e . Atqui ratio a ad , compo. sita est ex duabus prioribus, nimirum ι ad d, & e ad fi igitur
Tatio Componens e ad d componitur ex ipsa ratione composta a ad b, & ex altera componente inversim sumpta, quae est ip-
Quod si ratio a ad , ex pluribus rationibus componatur, vis ad A, g ad B, ad m r ostendetur adhue , quod quaelibet ra 'tionum componentium, ut e ad d, componitur ex ipsa ratione incompositi a ad b, dc ex alijs duabus componentibus inversim sumptis. Ratio enim e ad scomposita sit ex praedictis rationibus g ad B, de Φ ad m. Igitur ratio a ad , composita erit ex rationibus c ad is, e ad I. Quare vi supra, ratio ς ad ae com-Pouetur ex ipsa ratione composita a ad b, & ex altera ratione componente inversim sumpta, quae est ipsius f ad e. Quoniam vero ratio e ad scomposita ponitur ex rationibus g ad ι de ρad m; etiam conuertendo, ratios ad e componetur ex rationibus B ad g, & m ad Φ. Igitur ratio componens ς ad a com- Ponetur ex ipsa ratione composita a ad & ex alijs duabus componentibus inversim sumptis, quae sunt B ad g, di m ad ε; Atq; ita, si pilires adhuc fuerint rationes componentes . Igitur ,s quaedam ratio ex duabus, aut pluribus rationibus componatur, quaelibet rationum componentium composita erit ex data ratione composita, & ex alijs rationibus componentibus inversim acceptis. Quod erat deinon strandum.
78쪽
SI impe ui naturales grauium ex quiete versus censrum comis mune Ratuantur in quacunque issiantia aequales e demissis ex puncto aquilibriν qualisecunque ser angulus rnd in rectis ni,nx, ad ipsas cd, rd, si opus fuerit , protractassaquales Ant respective anguli xnr,inc, Vm n dr, n d c. Dico ita fore pondus in r ad pondus in C , υι reciproce n l
JUngatur nae. Ratio e re ad n r componetur a' ex ratione , directa ipsius e d ad rae, & ex reciproca ponderis ita r ad pondus in c. Igitur ratio ponderis in r ad pondus in c componit tir b ex rationibus e n ad nn & rd ad c ἡ siue ex rationibus cn ad n r, rd ad nis, & nd ad c d. Quoniam vero angulus xnr aequalis est angulo naer, & angulus ad punctum rest communis ; similia erunt triangula xnri naer: atq; item, cum angulus Inc aequalis sit angulo που c, de angulus ad punctum c communis 3 similia erunt triangula inc, ndc . Quare in , Propter triangula similia , ratio rd ad n d, aequalis est rationi I a Ur,
79쪽
g Quod erat demonstrandum. COROLLARI V M.
Constat autem ex elementis, ipsas n I, n x perpendicularessore ad ι,r . si angulus νnd suerit rectus; ut propter ea, existente recto angulo rnae, pondera in r, & c constit ita, sint inter se in reciproca ratione perpendicularium, ex Pun cto aequilibrij demissarum ad ipsas cae, ν d.
EMRentepuncto d centro communi grassaem fig. pra c. re ctus sit angulus rnd, habeatque pondus e ad quoddam
alterum pondus c non minorem rationem , qtiam sit ipsius rdad rn. Proten Iur rn in quantamlibet longi redinem rncὴ in cuius extremis r , ct c locata inredigantur praeicta pondera , cum suis naturalibus impetibus ex quiete versus cenIrum ipsum commune d. Dico nulgatenus fieri posse , ut ilia ροηδε quilibrata exinant in n , F imperus naturales grauium exquirae versus centrum commune statuantur in quacunque dictan-ru aequales.
SI enim fieri potest, aequilibrata existant illa pondera in re,
etiamsi aequales statuantur eorum impetus naturales ex quie te versus centrum commune d. Dem illis ad c d , νου , perpendi
80쪽
LIBER SECUNDUS. 6scularibus nI, nx; habebit pondus in r ad pondus in e rationem a aequalem illi, quae est perpendicularis n I ad perpendicularem πις, atque adeo minorem illa, quae est ipsius nis ad n x, siue, propter triangula similia, ipsius rae ad ru . Hoc autem est absurdum, cum ratio ponderis in r ad pondus in ι posita sienon minor ea , quae est ipsius rA ad rn . Igitur illa pondera habere nequeunt aequilibrium in re, si impetus naturales grauium ex quiete versus centrum Commune statuantur in quacunque distantia aequales. Quod erat demonstrandum.
COROLLARIUM.QVare, stante postulato huius libri, sustineri non potest, quod
impe Is naturales grauium ex quiete versus centrum sint
in quacunque distantia aequales: Se multo minus, quod in maiori distantia sint minores s quod quidem facilE eruitur ex praemissis . Itaque in maiori distantia debent esse maiores.
BReuitatis gratia: nostram hypothesim dicemus, γε vult imis petiis naturales grauium ex quiete versus centrum propo tionatos distant ijs: communem autem, quae istos impetus iacit in quacunque distantia aequales.