장음표시 사용
71쪽
1 IN omni iri angulos cireulus inseribatur, duo qualibet latera superat reliquum recta linea, cuius quadratuquadruplum s rectanguli eomprehensi sub recta ab angulo ulis lateribus eomprehenso n eauam peripheriam
aucta , Θ sub eius segmento exteνiore. aeuod se angulus
. comprohensiussit rectus,seuperabunt illa duo latera latus recto angulo oppositum diametνo circuli triangulo inscri
3 SI circulo cire a triangulu deseripio, centria intνa triangulum eadat, triangulum est acti tringulum : Si vero in unum latus trianguli, rectangulum: Si denique exfra triangulum.obi angulum. Coroll. propos s. CENTRUM eireuli circa triangulum acutangulum
descripti intra triangulum eadi Meirca rectangulum vero, in latus recto angulo oppositum : circa obrusangulum denique,exrra triangulam. Coroll. propos s. 1 PER data tria puncta non in una racta linea existentiae ireulum describere. Ad propos s. '6 SI circa datum circulum deseribarur quadratum , is in eode circulo quadrarum inseruatur. Erit quadratum
circumscriptum quadrati inseripti duplum. Ad propos 9.
ΙN triangulo Isoscete, cuius uterque angulorum aqua lium reliqui duplus ess : Avulus aqualibus lateribus comprehensius, quinta parr es duorum rectorum,uterlibet autem aqualium, dua quinta parses. Item illa duas quintas partes unius recti continet, iterlibet aurem horum - quatuor quintas partes. Coroll.propos 1 o.
8 SI recta linea seeetur,τι propos Ir. lib. 2.3raditum est :Uoscessi triangulo, cuius basis maiori segmento aqualis est,υrrumus vero laterum aqualium ipsi data linea aquale, babes virulibet angulorum aqualium duplum reliqui. Ad propos I r. 9 ANGVLVS pen agoni aquilateri, ct a quianguli eom-pIectitur tνes quintas partes duorum rectorum, vel sex quintas 'Inius recti. Coroll. propos Ir. i s S V P ER data 'recta linea terminata Pantagonum aquilaterum , is a quiangulum constituere. Ad pro pos a X- --
72쪽
I r SI in circulo quacunque figura aquilatera, ct a quian gula describatur, is ad extrema semidiametorum ex centro ad angulos ductarum excitentur linea perpediculares: Ha perpendiculares consituent aliam figuram totidem laterum , is angulorum aqualium circulo circum
scriptam. Coroll. propos Ιχ.ia IN figura aquilatera, is a quiangulas quirim angulorum numerus impar esi:Recta ιι Mea ex quovis angulo
demissa secans oppomum latus bifariam, diuidit quoque angulum bifariam et Et contra , recta linaa diuidens angulum bifariam secat quoque latus oppositum bifariam.Si vero numerus angulorum ea par, Recta linea ex quovis angulo ad oppasitu angulia ducta, secat utrumque angulism bfariam: Et contra , Recta linea secans quem urs angulum bifariam cadit in oppostum angulum, eumque bifariam quoque diuidit. Ad propos. Ir.i 3 LATUS hexagoni aquale est semidiameiro circuli, in quo describitur.Coroli propos i s ,r ISOSCELES triangulum ovgonium eo risuere, cuius tertium latus viro uis aqualium maius sit. Ad proposis.l f SI in circulo ab eodem puncio inscribantur duo later duarum figurarsi aquilaterarum, γ a quiangularu :Coti-nsbι ι arcus inter illa latera inclusus tot latera alserire figura inseribenda in eodem circulo, quot unitatιbus intersa disserunt denominatores eorundem latersi. Con- sinebit autem figura inscribenda tot latera, angulosique aquales, quot uniιates sunt in numero,qiii ex multiplicatione denominatorum producitur. Ad propos I 6.i6 o M N IS figura aquilatera eiνculo ivscripta,a uian gula quoque est: as non omnis figura aquilatera circulo circumseripra necessario a quia raula quoque est,nisi quando numerus angulorum ipsius est impar , vel si pares , quan/o duo anguli prox,mi aquatis hunt, vel duo
non proximi, dummodo uno eorum primo posito, alter occupet Deum parem quemcunque , ut quartum Jb.eo,vel sextum , Octauum, decimum, Orc. Ad propos. 16.17 OMNI S figura a quiangula circulo eircumscripta,es eriam aquilatera: at non omnis figura a quiangui circulo
73쪽
circulo inscripta , necessario aquilatera quoque es , nisi quando numerus laterum ipsius est smparti vel si par es , quando duo latera proxima aqualia sunt , vel duo non proxima,dummodo uno eorum posito primo, alterum occupet locum parem quemcunque, ut quartum ab eo, vel sextum,octauum, decimum , duodecimum, cyc. Ad propos. I 6 i s IMPARIUM laserum Aura inseribuntur in eirculo beneficio IIoscelium triangulorum,quorum anguli aquales ad basiem multiplices funt eorum . qui ad verticem sunt, angulorum. Parium vero laterum figura inscribun ur beneficio triangulorum Isoscelium,quorum anguli ad basim squales, multiplices sesquialteri sunt eorum , qui ad υerticem sunt angulorum. Ad propos i 6.i9 FIGURAM qu mcunque aquilateram a quiangu lam ιn cιrιulo practice desieribere, e ope triangulorum
Iboseelium pradictorum. Ad propos I Sio FIGURAM quamcunque aquilateram, , aquia gulam supra datam rectam practiee describere. Ad pro
et i LATERA pentagoni, is deeagoni in eirculo describendorum,una eademque opera inuenire. Ad proposi6. 1 SI bifaria sectiones laterum figura aquilatera, re aqui. angula rectis coniungantur lineis Ucripta erit figura aquilatera quoque, , equiangula totidem laterum in illa figura,idem centrum habens. Ad propos. 16. 23 INTER Omnes figuras aquilateras, is a qui angulas,se lum triangulum, quadratum, b hexegonum,secum reple
i TRACTATUS de proportionibus,ct Proportionalitatibus copiosissimus. Ad defin. .
δ ANGULUM euruilineum anguis rectilineo exhibere aqualem. Ad defin. s.
74쪽
CVst Euelides in desin.6., s.quatuor magnitudine proportionales,ctnon proportionale per earum aque multiplieia definierit. Ad defin. 8. NUMERUS integer eum fractione in se mulsiplicatus producit necessario numerum integrum eum fractione. Ad defin. S. s SI quatuor magnitudines fuerint proportionales, o
conuertendo proportionales erunt. Coroll.propos. 4. 6 AE UALES magnitudines ad aquales eandem habent ratronem. Ad propos. 7.ν UAE eidem sunt eadem rationes, inter se siunt νε-dem. Ad mpos m. 8 SI prima adsecudam eadem habuerit rationem, quam tertia ad quarram; tertia vera ad quartam, minorem mtionem habuerit, qua quinta ad sextam: Prima quoque ad Ieeundam , minorem rationem habebit, quam quint
ad sextam. Ad proposis SI prima ad sieeundam maiorem haΓuerie ration qua tertia ad quarta, tertia autem ad quartam maiorem habuerit quam quinta adsextam: Prima quoque ad secundam multo magis maiorem rationem habebit quam quinta adsextam. Ad propos I r. ro SI prima ad secundam minorem habuerit rationem,
quam tertia ad quartam i tertia autem ad quartam minorem habuerit, quam quinta ad sextam: Prima quoque ad secundam multo magis minorem rationem habebςt,
quam quinta ad sextam. Ad propos I p.
II SI composita magnitudines proportionales fuerint, haquoque per Diuisionem rationis conuersam p roportionales erunt. Ad propos. I .r 2 SI composita magnitudines proportionales fuerint, haquoque per Diuisionem rationis contrariam proportionales erunt. Ad propos l7 13 SI diuisa magnitudines proportionales fuerint, hae quoque per eompositionem rationιs conuersam proportionales erunt. Ad propos i S. I SI diuisa magnitudines proportionales fuerint, ba quν - 1 quo par compositionem rationis contrariam proportio- l
75쪽
nales erunt . Ad propos I 8. Is SI quatuor magnitudines fuerint proportionalesnEt quoque per eonuersionem rationis proportionales erunt. Coroll. propos. 19. . I 6 SI prima ad secun am eadem habuerit rationem, quarerita ad quartam: Habebili etiam aque multiplices prim a ac tertia ad secundam quartam,eandem rationἔ;
Item aeque multiplices secunda, ' quaria ad primam,is tertiam ,eandem rationem habeb unt. Et contra, eandem rationem habebunt secunda quarta ad aque multiplices prima or tertiE:Item prιma ac rertia ad aquemultiplices secunda ct quarta , rationem habebunt eandem . Ad propos 22. .
I7 Sl dua magnisudines ad duas magnitudinet eandem habeant proporrionem, , detracta quadam habeant ad easdem eandem proportionem: Et reliqua ad easdem eandem proportionem habebunt . Ad propos 2 . I 8 SI tres magnitudines fuerint propormionales: Maxima et minama maiores erut,qua dupla reliqua. Ad propos s. 19 SI prιma ad se eundam habuerit minorem proportione. qua tertia ad quartam habebis conuertendo secunda ad
primam maiorem proportionem , quam quarta ad ter-rιam. propos. 26.
ao SI prima ad secundam habuerit minorem ρν oportione , etiam tertia ad quartam. habebit quoque vicism prima ad tertiam , misorem proportionem, quam secunda ad quartam. Ad propos 27. a1 SI prima assecundam habuerit minorem proportione quam tertia a a quarta. habebit quoque composita primaesi secunda adsecudam, minorem proportιonem,qua composita tertia cum quarta ad quartam. Ad propos. 28. aa SI composita prima cum secunda ad secundam habuerit minorem proportionem,qua composita tertia eu quarta ad quarta,habebit quoq; diuidendo prima adseesidam minore proportιone,qua tertia ad quarta. Ad propos. 29.2 3'SI composita prima eum secunda ad secundam habuerit minorem propoνtionem , quam composita tertia cum quarta ad quartam: habebit per conuersione rationia pri-
76쪽
ma eum secunda ad primam , majorem proporrionem ,
quam te νιia cum quarta,ad rertiam. Ad propos 3 o. 24 Si sint tres magnNudines, ct clie ipsis aquales numero, sique minor proportio prima priorum ad secundam, qu prima posteriorum ad secundam : Item secunda priorum ad tertiam minor,quamsecunda posteriorum ad tertiam: Erit quoque ex aqualitate, minor proporito prima prior si ad tertia, qua prima posterioru ad tertia. Ad propos. I I. SIsint ires magnitudines alia i sis aequales numero, sitque minor proportio prima priorum ad secundam,qua secun a posioriorum ad tertiam; Item secunda priorum ad-tertiam minor,quam prima poneriorum ad seeunda: Erit quoque ex aquatitate, minor proportio prima priorsi ad tertia,qua prima posterioru ad tertia. Ad propos. I a. 16 I fuerit minor proportio toitus ad rotum , quam ablati ad ablatum: Erit 6' reliqui ad reliquum minor proporiis
quam totius ad totum, Ad propos 33.
r PROPOSITIS quot cunque quantitatibus, proportio prima ad ultimam eomponitur ex proportionibus omnibus
in tarmediys. Ad defin. s. 1 TRIA GULA, O MiraIlelogramma,qua ita se habent inrer se , ut bases, aquales habent altitudines, vel ean-
1 TRIANGULA, O parallelogramma, quorum aquales μοι bases,vel eadem in se habant inter se, ut altitudines. Ad propos. I. ν-. TRIANGULA, ct parallelogramma,qua ita se habent interse,ut altitudines: aquales habent bases ,si unam ct eandem non habeanι. Ad propocr. LINEA recta, qua parallela dAeitur uni lateri in tria gulo, a fert trisulsi toti trisulo simile. Corolbprop. 4.3 SI ex duobus punctis cuiusvis acta, quorum alterum Hextremum, alterum vera intra lineam, a parallela inserar se ad easdem partes educantur, ita ut proportionem habeant eandem, quam recta inter ipsas, ct qltera extre- mu punctum inclusa: Recta coniungens extremsi unius
77쪽
earum eum extremo prioris linea, tras it per extremum alterius linea. Ad propos. 4. SI ex duobus punctιs cuiusuis recte due parallela edueantur in diuersas partes, habentes eandem proportione, quamstamenta recta inter paralielas conterminas, is aliquod idem punctum intra, datam rectam: Recta coniungens extrema puncta parallelarum transibit per dictum punctum intra rectam. Ad propos . 8 SI in triangulo quouis uni lateri parallel a recta agatur ,'ex quocunque puncto illius lateris ad angulum oppositum recta educatur linea: diuidentur linea parallela, edi larus illud in easdem rationes. Ad propos . y RECTA perpendicularis, qua in rectangulo triuulo ab angulo recto in basim demittitur, est media proportionalis inier duo basis segmenta: Item latus virulibet angulsi rectum ambiens , medium proportionale ea inter totam
basim, is illudsegmentum basis, quod dicto lateri adia--t. Coroll, propos s. Io DATAM rectam lineam in partes quotcunque aquale diuidere. Ad propos. I . II DATAM rectam secare in duas partes, qui habeant proportionem quamcunque datam. Ad propos. Io. 'SI dua recta linea Iecetur in binis punctis proportionalittera. Erat quoque intermedia sectiones in ea em proportioue cum quibuslibet segmentis duobus. Ad propos. I o. SI linea recta sit secta in quotcunqua partes Arithmetice proportionales, oe alia recta secetur in totidem par-
Erunt quoque partes huius linea Arithmetice proportio. lnales. Ad propos Io.ι SI dua linea in aquales ad alias duas eandem habeant proportionem,minor ad minorem, is maior ad maiorem: Erit quoque excessus priorum ad excessum posterioru ,ut priorum linearum una ad una posteriorv. Ad propos. Io. Is LINEAM rectam datam, vel numeru,in quotuis partes Arithmetiee proportionales feare. Ad propos. I o. FEOTLIBET lineas continue proportionales in daturarιone inuenire. Ad propos II. iν IN- .
78쪽
t τ PNTER duas rectas, duas medias proportionales practiee inuenire. Ad propos ir.
R D TIS uabui rectis lineis, duas alias in eadem cum
illis proportione inuenire. Ad propos I 1. s TRIBUS datis rectis lineis, quartam inuenire , qua sita a rertiam.υι prima adsecundam. Ad propos Ia. 1, o RECTA linea , qua in cireuio a quouis puncto diametri ipsi diametro perpendicularis dueitur ad ei reumferentiam ust, media es proporrionalis inter duo diametri segmenta, qua a perpendiculari facta sunt. Ad propos rdi I DATA recta linea, aliam ractam c qua minor non sit, quam dupla illius Pisa secare,ut data recta sit media proportionalis intersegmenta huius. Ad propos II. RECTA linea qualibet est media proportionalis inter
quasvis alias duas rectas, qua eomprehendunt rectangulum quadrato illius aquale, Ad propos Ir. et 3 SECTA linea recta in duas partes utcunque,alterutra earum ita rursus parriri in duas partes,ut omnes trer partes sint continue proportionales. Ad propos i 7. 'La4 DATIS duabus rectis lineis,mediam proportionalem in Arithmiti ea proportionalitate inuenire. Ad propos 17.2s DATIS duabus rectis lineis, minorem Oxtremisarem nArithmetica proportionalitate inuenire. Ad propos II. a 6 DATIS duabus rectis lineis , maiorem extremitate in proportionalitate Arithmetica inuenire. Ad propos ret. 17 DATIS duabus rectis lineis, medium proportionalem in Geometrica proportionalitate inuenire,aliter, quam pro-
ef i 3 actum est. Ad propos I .
DATIS duabus rectis lineis,minorem extremitatem in proportionalitate Geometrica inuenire,aliter, quam Iro-
U. II. factum est. Ad propos ret.
Δρ DATIS duabus rectis lineis,maiorem extremitatem is proportionalitate Geometrica inuenire, aliteriquam pro
3o DATIS duabus rectis lineis,mediam proportionalem in Harmonica proportionalitata inueMire. Ad propos tr. 3I DATIS duabus rectis lineis, minorem extremitatem in HarmonicaMedierate inuenire. Ad propos 17.
79쪽
s E DATIS duabus reritis lineis, maiorem exr remitatem in pro ortionalitate Harmonica inuenire. Ad propos i 7. 33 AN DO auo numeri proportione habent dupla maiorem, no potest illis adiungi tertius maior in proportionalia a te Harmonica. Ad propos. 17.; EX claras quibusvis duobus numerIs,tres numeros Harmonice proportionales, quorsi ex tremi eadem proportione habeaut, quam datι duo numeri, reperite. Ad propos i 7. 3s TRES numeres Harmonice proportionales ιnuenire, quorum extremi proportionem habeat datam, oe mediussit dato numero aqualis. Ad propos II.;6 DATIS duobus numerii, medιum Harmonice proportionalem inuenire. Ad propos i . 37 DATIS duobus numeris, minorem extremum in proportionalitate Harmonica inuenire. Ad propos i . 38 DATIS duobus numeris, maiorem extremum in Nar-mon Ica proportionalitate inuenire. Ad propos i 7, 39 PROPOSITIS tribus terminis Geometrree proportionalibus siue aqualibus,siue in aqualibus: Summa ex primo semel,secundo bis, is rertio semel collectari,ae summa conflata ex fecundo et tertio semel; ae rertius semel,sunt Geometrice proportionales . Ad propos I . o PROPOSITIS tribus terminis siue aqualibus,siue ine- qiιalibus, Geometrice proporrionalibus: Summa ex primo bis,secundo bis, o tertio hemel collecim, ac summa exprimo,secundo, ct tertio semel conflata I ac denique reν titis semel,sunι Arithmetice proportionales. Ad propos I . 1 PROPOSITIS tribus terminissiua aqualibus siue in qualibus, Geometrice proportionalibus : Summa collecta ex primo bis, ex secundo ter, is tertio siemel ae summa consata ex Deundo bis, di tertio semel; ct denique summa ex secundo semel, is tertio siemel coaceruaru , Harmonice proportionales sunt. Ad propos ι 7. 2 A data recta linea dato rectilineo similesimiliterque positum rectilineum describere, expeditius, quam ab Eucli
I SI tres recta linea proportionales fuerint: erit. ut trima ad tertiam, ita triangulum super primam descriptum ad
80쪽
triangulum super fecunda ite, similiterq; descripum:
Item ita irrangulum super secunda ad triangulum superreri iam simile militerque descript ῆ. Coroll. propos I9. Si fuerint tres recta linea proportionales: erat ut prima ad tertiam,ita postgonum super prima descriptum adpolnonum super secun am similiterque descriptum : Item ita pol onum super secundam a 4 polygonum super tertiam simile, iliterque descriptum. Coroll. propos ro. li4 s POL TGONA similia, aquilatera is a quiangula diuiduntur in simitta triangula, is numero α qualla, ductis eeentris circulorum ipsa circumscribentium ad omnes angulos rectis lineis. Ad propos ro. 46 SI linea recta dupla fuerit linea recta, quadratum illius quadruplum erit quadrati huius. Eι contra , s quadratum quadruplum fuerit quadrati,iatus illius duplia erit Iareris huius. Ad propos e o. ν AEEUALIA rectilinea similia,similiterq;descripta,co itura junt super aquales rectas lineas. Ad propos 22. 8 SI fuerint tres recta linea proportionales:erunt , rectilinea similia militerq; descripta ab eis, proportionalia.
Et si a tribus rectis lineis similia simili erque descripta
eri itinea proportionalιa fuerintri ipsa etiam recta propor-l tionales erunt. Ad propos 2 a. 49 TRIANGULA, qua unum angulum uni angulo aqualem habent. proportionem habent ex lateribus aqualem angulum eomprehendentibus compsi a. Ad propos. 23. so PROPORTIONEM ex duabus proportionibus, velpluribus componere. Ad propos rs 1 PROPORTIONEM minore ex minore auferre. Ad Sp. 23s E TRIANGULA, qua unia angui a uni angulo aqualem habent,eadem proportione habent, quam rectangula,qua sub lateribus aqualem angulum comprehendent ιbus continentur. Ad propos. 23.
33 PARALLELOGRAMMA inter se a quiangula, eandehabent proportionem, quam rectangula sub lateribus ipsoru aqualῆ angulia e Fimetibus coprehesia. Ad propos. α . TRIANGULA O paralle log γ ama in se proportione 'habent eompositam ex proportione basium, G proportione