장음표시 사용
51쪽
2 ICOSAEDRU M ad sibi inscriptum Do de caedrum pro . portionem ,habet compositam ex propoνtione lateris Ito faedri ad latus cubi in ea de eu Ieosaedro sphara descripti, ct ex proportione triplicata eius, quam habet diameter Icosaedri ad rectam centra basium Ico eari oppos
a 8 DODECAEDRUM excedit cubum sibi inscriptum parallelepipedo, cuius quidem basis a quadrato cubi de eis
rectangulo contento sub latere cubi,tertiaque parte minoris segmenti eiusdem lateris cubi, at υero altitudo ab altitudine e latere cubi, minore segmento eius linea, qua dimidiati lateris cubi segmentum minus existi t. ro DO DE CAED RUM ad sibi inscriptum Icosiaedrum proportione habet compositam ex proportione triplieata eius, quam habet diameter Dodecaedri ad rectam cen-rra basium Dodeeaedri oppositarum copulantem, o proportione lateris euhi ad latus Icofaedri in eadem spharaeum cubo descripti.
3o DODECAEDRVM Dramidis, in qua describitur ,
duas nonas partes continet,minus duobus parallelepipeais, quorum unius longitude lateri etibi in eadem nramide descripti equalis es,latitudo vero tertia parti mi noris segmenti lateris eiusdem cubi, altitudo aenique a latere et de cubi deficit minore segmento eius linea, qui dimidiati lateris cubi eiusdem minus segmentum exsit'. Alterius aurem-longitudo, latitudo lateri cubi pradicti eri aqualis,ahirudo υero minus segmentum eius linea, que dimidiati lareris eubi eiusdem segmentum minus ex sit, tru ut amborum altitudinessimul altitudini, siue latera eiusuem cubi sint aquales.
II OCT AEDRVM exeedit smi descriptum Icosaedrum Parallelepipedo, cuius b si os quadratum lateris Icosaedri, altitudo vero matus segmentum semιdia ne tri Octae ara extrema ac media ratione secta .
52쪽
Ac Theorematum,quae praeter propositiones in sexdecim libris Euclidis contentas in hisce commentariis demonstrantur.
tD E GULAM pro Iiners rectis dueendis examinare, I nnm recta sit,nee ne. Ad defin. . a ANGULUM rectilineum examinare, num rectus sit, an obtusius,vel aeurus.Ad defin. I 2.3 NORMAM pro angulis rectis eanctista endis examinare,num accurate fabricata sit. Ad de r CIRCULUS bifariam a diametro secatur. Ad def. 18.s CIRCULUS a linea per eantrum non tra eunte secatur in partes snaquales,maiorque es ea, in qua centrum. Ad desin. I 8. 6 DUAE recta linea non habenst unum-idem segmenium commune . Ad AXIOma Io. UUAE recta in uno punero eoncurrentes, si producantur amba, necessuriose mutuo in eo puncιo intorsecabunt.
Ad Axioma II.s OM NES anguli recti sunt inter se aquales. Ad Axio
o DV AE racta linea spatium non eomprehendunt. Ad axioma Iq.ro SUPER data recta linea terminata triangulum Isoβε-les,is Scalenum constiruero. Ad propos. I. II OMNE trianrtilum aquilateriam est etiam equiangulum. Coroli propos. s. ιχ OMNE triangulum equiangulum es etiam aquilaterum. Coroll.propos 6. II SI trianguli cuiuslibet productis duobus lateribus, auguli infra basin fiant aequales: Et duo latera illa aqualia
inter se erunt. Ad propos. 6. ' . - .
53쪽
14 SI duo triangula bases habuerint aquales , ct angulos
super bases constitutor aquales,utrumque utrique: Habebunt quoque reliqua latera aqualia,utrumque utrique,
qua videlicet aqualibus angulis subtedutur,angulosque reliquos hisce lateribus inclusos, aquales. Ad propos. 8.is S I duo triangula duo latera habuerine duobias lateribus urrumque utrique aqualia,habuerint uero is basim
basia qualem: aquiangula inter se erunt, is aqualia. Coroll. propos. 8. 16 DUAE linea pecta se mutuosecantes esseiunt ad punctum sectionis quatuor angulos quatuor rectis aquatis.
Coroll. r. propos Is.1 LXoI LIBET anguli circa unum o ide punctum eonsiliati,quatuor rectii sunt aquatis.Coroll-2.propos Is .i8 SI ad aliquam rectam lineam ,ad eiusques num, a recta linea non ad easdem partes sumpta,angulos ad verticem aquales fecerint ei a recta linea in directumsibi inuicem erunt. Ad propos i s. 19 SI quatuor recta linea ab uno puncto exeuntes binos augulos oppositos interse aquales fecerint: Erut qualibet dualinea aduersa in rectum sibi , ct continuum conruncta.
ro ABυno puncto ad eandem lineam rectam non possunt duet plures linea recta , quam dua inter se aquales. Ad propos I 6. at AB uno puncto ad eande linea rectam non possunt duci plures linea perpediculares, qua una.Ad propos II. 22 IN omni triangulo, euius unus ungulus fuerit rectus, aut obtusus,reliqui sunt acuti. Coroll. I.propos I . 23 SI Iinea recta eum alia recta angulos iu aquales Deiat, unum obtusum,is acutum ulterum: Linea perpendicularis ex quovis eius puncto ad aliam illam rectam demissa ea dit ad partes anguli acuti.Coroll. 2.propos I p. 24 OMNES tres anguli in triangul o aquilatera, ct duo μpra basin an Ibore te, sunt acuti. Coroll.3.propos II. as OMNES tres anguli in triangulo Scaleno sunt inequales. Coroli propOLI 8. a 6 OMNIUM rectarum ex quovis puncto ad rectam quam
54쪽
eunque ductarum , ea qua perpendicularιs est, minima existιι. CorolI. propos i 9. 2 SI triauguli angulus bifariam sectus fuerit, scanseque angulum recta lanea ad basim aucta in partes ina quales ipsam diuidat rLatera illum angulis lontine nita inaqualia erunt, , maius quidem illud,quoέ eum maiori basis segmento coinciήιt, minus vero, quod cum minori. Ad
propos. 19. 8 SI prianguli duo latera i qualia Derint i Linea recta bifariam vividans angulum ipsis contentum, secabit basim in ρ artes in aquales, maiusque segmentum eris prope maius latus. Ad propos r9. χρ SL νrianguli angulum i recta lιnea bifariam diuidens , basim bifariam quoque secet: Eruns duo latera angulumeontinentia aqualia. Luodsi latera aqualia fuerint, basim etiam bifariam secabit linea recta, qua angulum , fariam diuidit. Ad propos I9. 3o IN triangulo aliquo duci possunt dua recta una quidἔab extremo lateris, altera vero a puncto prope alterum extremum eiusdem lateras,intra triangulum concurrentes,qua maiores sint duabus lateribus trianguli. Ad propol 2 r. 3 γ SL duo triangula duos angulos duobus angulis aquales habuerint,virumque utrique,unumque latus uni lateriaqu*le, a quod aqualibus udiaeet angulis,stu quod unia qualium AEngulorum subtenditur: ipsa aqualia inter saerunt.Coroll. propos a6.3 2 IN triangulo aquilatero e Isoscola, recta linan ab angulo duobus lateribus aqualibus comprehenso ducta, diuidensiquo vel angulum vel basim bifariam,perpendicularis ad basim;Et si quidem angulum bifariam diuidat; seeabit quoqua basim bifariam risi vero basim secrabifaria,
diuidet quoque angulum bifartam. Et contra, Livea perpendicularis ad basim ducta diuidit is basim, is angulum bifariam. Ad propos 26.
33 TRIANGULUM , in quo linea recta ab uno angui rum ducta ad basim perpenditularis diuidit vel basim, υel angulum bifariam habet duo latera dictum angulu
55쪽
eomprahendenιia aquatra . Et siquidam basis ditii tur bifariam,angulus quoque bifariam fleabisur in vero angulus bifariam seee ur,basis quoquo diuidetur ι Uariam. Ad propos 2 6. 34 SI ab uno puncto duae recta linea angulum faeientes in . finite producuntur,semper magis ac magis inter se dinabunt,omnemque finitam magnitudinem ipsarum distan-ria excedet. Ad propos 28. 3s SI duarum parallelarum rectarum linearum aiseram seces quedam recta linea , relιquam quoque productam secabit. Ad propos 28.
36 SI ad rectam lineam dua perpendiculares recta linea 'erigantur inter se aquales, quarum extroma puncta per lineam rectam coniungansur: Erit perpendicularis ex quo uis puncto huius reci. ad priorem rectam demissa ,-νiIabet priorum perpendicularium aqualιs. Ad pro- pos 28. 37 SI ad rectam lineam dua perpendicuIares recta linea erigantur inter se aquales, quarum exιrema puncta per
lineam rectam eoniungantum Esperet hae recta eum utraque perpendiculari angMlum rectum. Ad propos 28. 33 SI in duas rectas lineas alia recta incidens faciat cum
una earum angulum inrernum rectum , is cum alsera
ex eadem parte aeutardua illa recta minussemper inter se disabui ad eas parros,ubi sangusus acutus, ex alteravera parte semper inter se magis distabunt. Ad propos et 8.
39 SI in duas rectas Iineas altera recta ineidens internos, ad easdemq;parres angulos duobus rectis minores saerat . Dua illa recta linoa in infinitia productasibi mutuo incidet ad eas partes,ubi sunt Angtili duobus recyis minores.
Ad propos 28. Estque axioma I 3. Hae porro quatuor vltimae propositiones demonstrantur ex solis a8. pro positionibus Euclidis,nulla adhibita proprietate parallelarum. O PARALLELOGRAMMUM eon Risuara , cuius unus Angulorum aqualis sit data angulo νectilineo, laioraque ungulum illum comprehendentia datis duabui rectis lι-
56쪽
l neis aqualia. Ad propos 3 I. a A dato puero exara data rectam lineam, rectam lineam ducere, qua eum data recta angulum scias dato angulo rectilineo aqualem. Ad propos.3I. 1 A dato puncto in extremo linea recta,ad ipsam . licet non producatur,aut produci non possis,perpendicularem lineam excitare. Ad propos3 L. I A dato puncto in extremo fere plani,'extra lineam rectam, ad ipsam rectum, lineam perpendicuIarem demittere.Ad propos. 3ἔ.
SI ab uno angulo trianguIi linea recta extra triangu- Ium ducatur faeiens externum angulum aqualem duobus internis ,' oppesitastilla linea erit in dire erum usi Iaaexi constituta. Ad propos. 32. OMNES anguli figura eui uis rectilinea, μοι aquales bis tot ractis,quota Vsa ea inter figuras rectilineas. Ad
6 OMNES anguli figura rectilinea cuiusuis aquales fur bis tot reetis, demptis quatuor, quot ipsa continet latera , seu angulos . Ad propos, 3 2. SI singula latara figura cuiusuis rectiliaeea producantur memιs eandem partem; omnes anguli externi quales sunt quatuor tantum rectis. Ad propos 3 2. 8 SI pentagoni singula larem producantur in utramque partem , ita ut qualibet duo extra pentagonum coeant: etentur quinque anguli ex lateribus coeuntibus aquales duobus solum rectis. Ad propos. 3 z. 9 TRES anguli euiuslibet triangulasimul sumpti aquales sunt trabus angulis cuiusuis alterius ινιanguli uisumptis. Coroll. I . propos 3 2.so LN triangulo Is celes angulus a Iateribus aqualibus
comprehensus fuerιι rectus, erit utervis aqvultum angulorum supra basem semirectus; si vero obtusus, minor δε- mirecto, si denique acutus, maior semιrecto. Coroll. 2. propos. 32. si ΚVILI LIBET angulus trianguli aquilateri .eontinet
duas sertιas partes unius recti, vel unam tertiam partem duorum pector An. Coroll. .propos. 32.-
57쪽
ea. SI ab uno angulo trianguli aquilateri perpendicularis ad latus oppositum ducatur, consituentur duo triangula scatena, quorum unumquoque habet unum angulum rectum prope perpendicularem , alium vero perpendicu. lari oppositum aqualem duabus terIjs partibus unius rem,reliquuetu denique aqualem sertia parti unius recti
Coroll. q. propos. yz.s 3 ANGULUM rectam intres angulos aquales diuidere Ad propos 32.s OMNE quadrilaterum habens latera opposita aqua. lia,est parallelogrammum. Ad propos. 34.ss OMNE quadrilaterum habens angulos oppositos aquales,e t parallelogrammum. Ad propos. I .s6 OMNE quadrilaterum habens , omnes angulos rectos,
en parallelogrammum. Ad propos. I .s7 IN quadrato π Rhombo anguli oppositi bifariam δε-
eantur a diametro.Ad propos 3 q. 18 IN altera parte longiori Rhomboide,anguli oppositi non bifariam secantur a diametro. Ad propos. qq. sy Ire quadrato,stat era parte Iongiori, dua diametri sunt inrer se aquales. Ad propos. 34. 6o IN Rhombo, et Rhomboide,dua diametri non sunt inter se aquales. Ad propos. I A. 6i IN omni parallelogrammo diametri se mutuo bifariam diuidunt. Ad propos. 36. UI OMNE quadrilaterum, in quo diametri se mutuo bi- Iariam diuidunt,parallelogrammum est. Ad proposῖ q. SI RECTA linea secans diametrum parallelogrammi bifariam quomodocunqt e, diuidit parallelogrammum quoque bifariam. Et recta linea diuides parallelogrammum bifariam quouis modo,hecas quoque diametrum bifarto.
6 A quouis dato puncto lineam recya ducere, qua paral lelogramnaeum datum secet bifariam. Ad propos sq. 6s INTER duas lineas rectas in iras angulum facien res,lineam rectam data linea aqualem collocare,qua cis altera i uarum faciat angulum cuiuis angulo dato aquis lem. O portet autem hunc angulum datum, is eum, qui li
58쪽
neis datis continetur , minores esse duobus rectis. Ad
propos IV i56 I N aliquo triangulo conEisui possunt intra ipseum duarecta a duobus punctis basis, aquales duobus lateribus. Ad propos 3 q. 67 IN omni situra rectilinea latera habete numero paria, si quidem Doris aquilatera ct aquiangula, duo qualibet latera opposita parallela inter se sunt. Ad propos 3 .6S PARALLELOGRAMMA aqualiasuper eandem ba. ,ad easdemque partes consiliuia, inter easdemsuniparallelas . Ad propos 3 s. 6ρ PARALLELOGRAMMA aqualia super basees aquales, ρο ad easdem partes constituta,inter easdem sunt parallelas. Et parallelogramma aqualia inter easdem parallelas,si non eandem habuerint basem,super aquales bases sunt constituta. Ad propos 36.
7 o S I duo parallelogramma inter easdem parastelas habeant bases in aquales, illud, ouius basis maior eri, maius erit.Et cotras duo parallelogramma sunt inaqualia in-rer easdem parallelas,basis maioris maior erit. Ad propos. 36. 7 i TRIANGULA, quorum duo latera unius aqualia tduobus lateribus alterius, Utrumque utrique, On Angulus unius illis lateribus contentus moior angulo alterius ,siquidam ambo simul duobus sene rectis aquales, aquatio suntRSi uero duobus stas rectis maiores , minus illud ere, quod maiorem habet angulum ; si denique μι minorex duobus rectis, maius illud erit, quod maiorem angulum
habet. Ad propos. 3 7.Z- SI A quouis angulo trianguli linea recya duearur diuidens larus oppositum bifariam, triangulum quoqu/ b Ariam secabit. Ad propos 38. 73 A puncto quouis dato in uno lasera trianguli propositi lineam rectam dueere, qua bifariam secet ιrrangulum da tum. Ad propos . 38. . . 'γΦ LINEA recta secans duo arianguli latera bifariam reliquo lateri es parallela . Ad propos. 39. 7s OMNE quadrilaterum, quod ab υtraque diametro bi a farium
59쪽
fariam diuiditur,parallelogrammum est. Ad propos 39. 6 TRI ANGULA aqualia inter easdem parallelas,se non eandem habuerint basem, super aquales bases eruns con-.n iruta. Ad propos 4 o. 7γ SI duo triangula inter easdem paragulas habeant bases ina quales,istud, euius basis maior es, maius erit.Et corras duo triangula ι ιna qualia inter easdem parallelas asis maioris maior erit. Ad propos 4o.
8 TRAPEZIA in eisdem parasielis, seuper eadem ba- siquorum opposita bases aequales sint, sunt inter se aqualia. Et tνapezia aqualia in eisdem parallelis, issuper eadem basi, habent bases oppositas aquales . Ad propos o. γρ TRAPEZIA in eisdem parallelis, o super eadem basi, quorum opposita bases sint inaquales , in aqualia sunt, maiusque est illud,cuius basis maior est. Et trapeda ina- qualia in eisdem parallelis, uper eadem bas, habent bases oppositas ina quales, maiorque es illa , cuius trape-xium maius est. Ad propos 4o. εο TRAPEZIA in eisdem parallelis , ct super aqualibus basibus, quorum opposita bases sine aquales, aqualia sunt. Et trapezia aqualia in eisdem parallelis, is super aqualibus basibus,habent bases oppositas aquales. Aa prop. o. st TRAPEZIA in eisdem parallelis , ctsuper aqualibus basibus, quorum opposita bases δει in aquales , ina qualia sunt, maiusque est illud, cuius basis maior es. Et trupeetia inaqualia in ei dam parallelis, O seuper aqualibus ba
bus, habent oppositas bases ιn aquales , maiorque est illa, cuius trapenium maius est. Ad propos 4 o. 82 SI in triangulo linea recta uni laterum parallela du.eatur. Recta ex angulo opposito ducta, diuιdensque alterutram parallelarum bifariam, diuidit quoque alteνam bifariam. Ad propos ε .8 3 DATAM rectam lineam finitam in quoi libet partes aquales secare . Ad propos. o. 8 SI triangulum duplam habuerit basim,fueritque in eisdem parallelis eum parallelogrammo:triangulum parμι Ielogrammo aquale eit. Ad propos. I. 8s SI parallelogrammum ct triangulum aquales habue
60쪽
rint bases, in eisdemque fuerint parallelis : duplum erit paralle Iogrammum trianguli. Ad propos. I. 86 SI triangula parallelogrammum duplum fuerit, eandemque habuerint basem,vel aquales, is ad easdem partes consituta:Erum ipsa in eisdem parallelis. Et si parallelogrammum duplum fuerit trianguli, in eisdemque parallelis Erunt bases aquales ,s non si eadem. Ad propos. 4r. 87 S I triangulum is trapexium super eadam basi, ct iueisdam fueνint parallelis, maior autem linea parallela rapers m basis trianguli: Erit traperium min us duplo trianguli: Si vero minor linea trape 3 basis sit 3rianguli, erit strvexium maius duplo trianguli . Ad propos. 4 I. 88 TRAPEZIUM habens duo latera opposita parallela, duplum es trianguli, quod basiem habet unum larus trapetiy coniungens duas parallelas, verticem vero ιn me dio puncto lateris oppositi. Ad propos r. 89 DATO paraltelogrammo aquale triangulum eonseia tuereon dato angulo recti lineo . Ad propos 41. oo SI parallelogrammum diuisum fueνit 3n quatuor parallelogramma, ita ut ex illis duo adu rsa sin, aqualia: eonsistent reliqua duo circa diameινum. Ad propos 43.
AD datam νectam lineam,dato parallelogrammo conssiluexo aquale ινiangulum, in dato angulo rectilineo.
DATIS duobus νectilineis inaqua Iibus, excessum maioris supra minus inquirere.Ad propos s. LINEARUM a uailium aqualia sunt quadrata. Et , quadratorum aqualium aquales sunt linea. Ad pro
γε T RES numeros inuenire, ita ut quadrati numeri duorum quadrato numero reliquisnt aquales. Ad propos 47. S I in quadraro qTouis diam ter dueatur, qvndra. rum a diam erro deseriptum, duplum eνit pradicti qua