장음표시 사용
51쪽
propterea Diameter. Atque ubi Diameter producta Curvam secat in C , per id recta I Κ Ordinatis parallela ducta Curvam in puncto C tanget. 92. Ad hanc proprietatem nos manuduxit consideratio summae binarum radicum ipsius y ex aequationeyy Φ' -i y -- - .
Ex eadem vero aequatione constat fore productum ambarum
radicum P M. P N - Φ , quae expressio 'RUvel duos Factores habet simplices reales vel secus. Illud evenit si Axis Curvam in duobus punctis si & F secet, quia enim his in locis fit 3 -o, erit φ gie -mo , hincque radices ipsius x erunt A E & AF, atque adeo Factores x A E x - AF ita ut sit - - . 22 - x - A E x- AF .PE. PF ob x - AP. Hanc ob rem ergo erit P M. P N- P E. P F seu rectangulum P M. P N ad rectangulum P E. P F constantem habebit rationem ut δ ad c ubicunque Applicata P M Nducatur, dummodo sit angultas NP F assumto, quo Applicatae ad Axem inclinari ponuntur , aequalis. Erit ergo simili modo, si ducatur Applicatana n ob Ep & pin negativas p m. pn
pE. PF. 93. Ducta ergo recta quacunque PE F Lineam secundi ordinis secante in duobus punctis E , F, si ad eam parallela: ducantur ordinatae quotcunque NMP, npm, erit scmper P II P N: P E. P F p m. p n: p E. p F, utraque enim hujus proportionis ratio aequatur δ: Simili modo si, quia Axis positio est arbitraria , recta P MN sumatur pro Axe , atque ipsi P EF alia quaecunque Parallela ducatur e G , erit quoque PAL
52쪽
duae ordinatae inter se parallela: MN& mn ducantur, illas secantes in punctis P , p, q, r, erunt hae rationes omnes inter se aequales. P M. P N: P E. P F p m. p n : ρ E. p F- ρ M.q N : qe. cys rm. rn : re. G. Quae est altera proprietas generalis Linearum secundi ordinis. 9 . Si igitur duo Curvae puncta Μ & N coincidant, recta P M N fiet Curvae tangens in concursu illorum duorum punc- -' torum, abibitque rectangulum P M. P N in quadratum ipsius P M vel PN, unde nova tangentium proprietas obtinebitur. Tangat nimirum recta C P p Lineam secundi ordinis in puncto C, & ducantur lineae quotvis P MN, p mn inter se parallelae,
quae ergo omnes cum tangente eundem angulum constituant. Ex proprietate igitur ante inventa erit. pC' i PM. PN pcr :pm. yn,
seu quaecunque ordinata M N ad tangentem sub angulo dato ducatur, erit semper quadratum rectae C P ad rectangulum PM MPN in ratione conflanteos s. Indidem etiam sequitur, si Lineae secundi ordinis duca- T18. V. tur Diameter quaecunque C D , omnes Ordinatas MN, mn imi Q. inter se parallelas hi fariam secans , atque ipsa Diameter Curvae occurrat in punctis duobus C & D, fore
Cum autem sit Lu- LN, & Im in , erit L M' : ει CL. LD : CL ID , seu perpetuo erit quadratum semiordinatae LM ad rectangulum CL LD in ratione constante. Hinc sumta Diametro CD pro Axe, & semiordinatis LM pro Applicatis, reperietur aequatio pro Lineis secundi ordinis. Sit enim Diameter CD-a, Abscissa CL - x & Applicata LM-y, oh L Γααa-Xerit, γ' ad ax - in ratione Diuitiaco by GO Ie
53쪽
LII. II. constante , quae sit ut h ad k, unde orietur ista pro Lineis secundi ordinis aequatio yy T ax in xx ).--v 96. EX ambabus autem jam inventis Linearum secundi O ii. dinis proprietatibus conjunctim aliae erui poterunt proprietatos. Dcntur in Linea secundi ordinis duae ordinatae inter 1 e parallelae AB & CD, & compleatur quadrilaterum AC DB, quod si jam per punctum quodcunque Curvae M ducatur Orsinata MN illis AB & CD parallela secans rectas A C &E D in punctis P & Q , erunt partes P M & QN inter se
aequales. Nam recta, quae hi secat Ordinatas duas AB d CD inter se parallelas, bisecabit quoque ordinatam MN: at, per Geometriam esementarem , eadem recta bisecans latera A B de
CD quoque bisecabit portionem P Q. Cum igitur lineae MN& P Q in eodem puncto bisecentur , necesse est ut sit MP N Q & N Q N P. Dato ergo , praeter quatuor Lineae s cundi ordinis puncta A, B, C, & D , quinto M cx eo reperietur sextum N, sumto N Q - ΜΡ.97. Cum jam sit M Q. QN ad B Q. D Q in ratione contalante , Ob QN M P erit quoque u P. M Q ad BQ. D Qin eadem ratione constante. Scilicet, si aliud quodcunque Cu vae punctum, uti c, sumatur, & per id recta Ge Hipsis AB, &CD parallela ducatur donec lateribus AC BD occurrat in punctis G & H, erit quoque e G. c H ad B H. DII in eadem ratione constante , ideoque e G. eLI: B H. DH-MP. M Q rBQ. D Q. Quod si autem per II basi B D parallelae ducatur RMS Ordinatis parallelis AB , C D occurrens in il &S, erit, ob B Q M E dc D Q MS , haec quoque ratio
M P. MQ: MR. M S constans. Si igitur per quodvis Cum ae punctum M duae ducantur rectae, altera MPQ lateribus oppositis AB, CD parallela, altera vero RMS basi BD parallela, inini sectiones P , Q , R, & S ita erunt comparatae, ut sit MP. M Q ad N R. Λ1S in ratione constante.
98. Si loco ordinatae CD, quae posita est ipsi AB pa-xallela , ex puncto D alia quaecunque D ς in ejus locum subs,
54쪽
tituatur, &Chorda A e jungatur: ita ut nunc rectae MQ &RMS, cArductae, ut ante, per M lateribus AB dc BD parallelae , latera quadrilateri ABDe secunt in punctis p , Q , R des; similis proprietas locum habebit. Cum enim sit AI P. AIQ: B QMDQ-e G. e II: BH. DPI seu MP. II Q : MR. MS e G. e II: B H. D H, ob rectam RS ipsi BD parallelam &aequalem. Triangula vero similia A Pp, A Ge dc D Ss, e IID, praebent has proportioncs Ppt A P - Ge : AG; seu, ob A P: G - BQ : ΒΗ, hanc Pp : B Q Ge r BII: altera similitudo dat hanc DS , MQ : S s - e H: DII, quibus conjunctis sit
ratio Mp. MQ ad MR.Ms eadem , dummodo rectae a Q& R s per Μ ducantur Chordis A B & B D parallelae. Ex superiore vero proportione sequitur fore MP i MS -Mp: Ms. Cum igitur, Variato puncto c, tantum puncta p & s mutentiar, erit a pad Ms in data ratione , utcunque punctum c Varietur, dum punctum M fixum servatur.
99. Quod si quatuor quaecunque puncta A, B , C, D in I.
Linea secundi ordinis fuerint data , eaque jungantur rectis , ut habeatur trapegium inscriptum ABDC, proprietas Secti num conicarum latissime patens ex praecedenti deducitur. Scilicet , si ex Curvae puncto quovis M ad singula trapetii latera sub datis angulis ducantur rectae M P. MQ, ME & MS,
erunt semper rectangula hinarum harum linearum ad oppo..ta latera ductarum intex se in data ratione, nempe erit M P. M Q
55쪽
TAR. II. ad DR am in data ratione eadem , ubicunque punctum Min Curva capiatur , dummodo anguli ad P , Q, R & S iidem ferventur. Ad hoc ostendendum ducantur per Μ duae rectae M &rs, illa lateri AB haec lateri BD parallela, ac notentur intersectionum cum lateribus trapezii puncta p ,q, r dcs: eritque per prius inventum Alp. 31q ad M' AIs in data ra
tione. Propter omnes autem angulos datos datae erunt ratio
Tan. VI. Ioo. Quoniam supra vidimus , si ordinatae parallelae MN. U mii producantur, quoad tangenti cuipiam CPp occurrant in
P & ρ , fore P M. P N: CP' p m. pn:έρ'. Quare, si puncta L &l notentur, ut sit P L media proportionalis inter P Il&PN, pariterque pi media proportionalis inter ρm &pz n , erit P Γ : C P' - pr : Cp' ; ideoque erit P L: C P - ρI: Cp, unde patet omnia puncta L, i in Linea recta per punctum contactus C transeunte esse sita. Quare, si una Applicata P M N ita secetur in L ut sit P L' - P Μ. P N, recta C L D per puncta C & L ducta omnes reliquas Applicataspmti ita quoque secabit in I ut sit p l media proportionalis inter p m & pii. Uel, si duae Applicatae P N dc p n ita in punctis L & l secentur , ut sit P L' - P Μ. P N & ρl' p m. p nrecta per L& I producta per punctum contactus C transibit,
atque omnes reliquas Applicatas illis parallelas in eadem ratione secabit. T a. VI. Io I. His Linearum secundi ordinis proprietatibus, quae exserma aequationis immediate consequuntur , eXpositis ἔ progrediamur ad alias magis reconditas investigandas. Sit igitur pro posita aequatio pro his Lineis secundi ordinis generalis
ex qua cum cuivis Abscissae AP - x. duplex Applicata γ
56쪽
oempe P M & P N respondeat, positio Diametri omnes OG CA dinatas MN bifariam secantis definiri potae. Sit enim IGista Diameter, quae ordinatam MN secabit in puncto medio L , quod ergo punctum est in Diametro. Ponatur Ρ p& , cum sit F - - P Μ ε - PN, erit et c--, seu 2O-μεx Φ γα o , quae est aequatio positionem Diametri I G praebens. Ioet. Hinc porro longitudo Diametri IG definiri potest, quae dat loca bina in Curva, ubi puncta M & N coincidunt, seu ubi fit P Μ- P N. Ex aequatione vero dantur P MPN - & P Μ. PN-δ unde fit PM- PN ' - PM Φ PN ' - ' P Μ. PN-
normales saluantur. 1o3: Sint istae Applicatae, quas hic sumus contemplati , no males ad Axem AH; nunc vero hinc quaeramus aequationem pro Applicatis obliquangulis. Ducatur ergo ex quovis Cumae puncto Mad Axem Applicata obliquangula δεμ faciens cum Axe angulum A II., cujus Sinus sit - μ & Cosinus - ν.
57쪽
II. in aequatione inter x dc y , quae erat o - α cx F γγ
δ xx ε ε xy ε ζyy , substituti praebent
qua aequatione positio Diametri ig definitur. Ios. Prior Diameter I G, cujus positio per hauc aequatio nem determinabatur γ o , producta cum Axe concurrat in O , eritque A O --: hine fit PO -- x, & anguli LOP tangens erit -- Dissili od by Corale
58쪽
producta Axi occurrat in O, eritque A O - , anguli Aol tangens erit --Cuin jam anguli AOL tangens sit - ambae Diametri se mutuo intersecabunt in puncto quodam e , facientque angulum OCO- Aol ADL,
Io6. Inquiramus autem in punctum C, ubi hae duae Diametri se mutuo intersecant: ex quo ad Axem perpendiculum
C D demittatur, ac vocetur A D - g C D h ; eritque primo, quod C in Diametro IGextat, et ζ h in εg εγ o. Deinde, quia C quoque in Diametro i g reperitur, erit
εε-- -& h - γ δ In quibus determinationibus cum non insint ιε- Α δ ζ μ . quantitates ta & ν , a quibus obliquitas Applicatarum p Mnpendet, manifestum est punctum C idem manere , utcunque obliquitas varietur.
59쪽
LIB. II. Io7. Omnes ergo Di ametri I G & ig se mutuo in eodem: 'puncto C decussant : quod ergo si semel fuerit inventum , Omnes Di ametri per id transibunt ; ac vicissim omnes rectae per id ductae erunt Uiametri , quae omnes Ordinatas sub certo quodam angulo ductas bisecent. Cum igitur hoc punctum inquavis Linea secundi ordinis sit unicum , in eoque omnes Di amatri se mutuo decussent, hoc punctum vocari solet CENTRUM Sectionis conicae. Quod ergo ex aequatione inter x & ΥPro sita - α - - cxεγy--δxx-Fε xy- - ζy ylia invenitur, ut sumta A D - ' , capiatur C D -
Θ Η οῦ sunt autem IR & GH perpendicula ex terminis Di ametri ΙG in Axem demissa ; unde perspicitur esse. A D - EU TUAE , atque ideo punctum D erit medium imter puncta Κ & H. Quam ob rem Centrum quoque C in medio Diametri I G erit situm ; quod cum de quavis alia
Diametro aeque valear , consequens est non 'lum omnes
Di ametros se mutuo in eodem puncto C decussare , sed etiam se invicem hi fariam secare. Τ a. VII. IO9. Sumamus nunc quamcunque Di ametrum AI pro Mert. 26. ad quum ordinatae MN applicatae sint sub angulo AP αρ, cujus Sinus ni & Cusinus - n. Ponatur Abscissa AP - κ& Applicata P M y, cujus cum duo sint valores aequales
altei' alterius negativus eorumque adeo summa O, aequa
60쪽
I ro. Cognito jam Centro, Sectionis conicae C , in Axe AI, id convenientissime pro initio Abscissarum accipietur.. Statuatur ergo CP - t, quia manet ΡΜ y , ob x AC - CP --- t, prodibit haec a quatio inter Coo
seu yy - α -- Φ γ it. Posito igitur x loco t, habebitur aequatio generalis pro Lineia secundi ordinis , sumta Diametro quacunque pro Axe , & Centro pro Α5scissarum initio, quae, mutata constantium forma, e te yy - α - cxx. Posito ergo y o fiet C G - CI- Vl, ideoque tota Diameter GI erit - 2. VHI. Ponatur x o , ac reperietur Ordinata per Centrum transiens EF : fiet scilicit C Ediis CF- v α; ideoque tota ordinata E F- Σ V α ; quae , quia per Centrum transit, pariter erit Diameter , cum illa GI angulum faciens E C G-y. Haec autem altera Diameter EF bisecabit omnes ordinatas
prior, Diametro GI parallelas ; facta enim Abscissa A P n gatiVa , Applicata a C versus I cadens manebit priori P Μaequalis ; & , cum eidem sit parallela , puncta ambo Μ juncta dabunt Lineam Diametro GI parallelam ideoque bisecaudam