장음표시 사용
391쪽
12s. Quintum genus continebitur hac aequatione A pp-B qq - ara . cuius sectio principalis prima , facto r- o , erunt duae linea rectae E e , G, se mutuo in puncto A decussantes. Omnes vero sectiones huic parallelae erunt Hyperbolae sua centra in Axe AD habentes, & intra Asymtotas rectas E e dg Ff constitutae.
Duo igitur plana , quae plano ABC in Lineis E e dc Ff no
maliter insiliunt, in infinitum cum Superficie proposita congruent , ideoque haec Superficies pro Asym toto habebit duo Plana se mutuo decussantia , sectiones reliquae principales in planis A CD & AB d factae erunt Parabolae: unde Superficies ad hoc genus pertinentes vocabimus parabolico-hyperbolicas duo plana pro Asym totis habentes : cujus species , la a - o, ut sit
nes sectiones ad Axem A D normales erunt Hyperbolae inter se aequales : si insuper sit b - o , oriuntur duo illa ipsa planaasmiotica. I 26. Sextum denique genus Superficierum secundi ordinis complectetur haec aequatio App- ρι quae praebet Cylindrum Parabolicum , cujus omnes sectiones Axi A D normales erunt Parabolae similes & aequales, ita ut singularum Uertices in rectam A D incidant & Axes inter se sint paralleli. Ad haec igitur sex genera omnes Superficies secundi ordinis reduci poterunt, ita ut nulla exhiberi possit,
quae non in uno horum generum contineatur. Ceterum, si
in genere ultimo fiat a- o, ut sit Ap p - bb, haec aequatio praebebit duo plana inter se parallela , quae quasi speciem hujus generis constituent. Similitudo scilicet hic, uti in Lineis secundi orclinis obtinet, ubi vidimus duas rectas se decussantes Hyperbolae speciem , duas autem Lineas parallelas Parabolae
392쪽
I 27. Quanquam haec sex genera ex aequatione simplicissima , ad quam Superficies secundi ordinis reducere licet. formavimus ; tamen nunc facile erit , si aequatio quaecunque secundi gradus sit proposita , genus assignare ad quod Superficies pertineat. Quod si enim proposita fuerit haec aequatio .u - - DF -- ιο φ cxx Φη; Φ y Φ ix Φ κ o , iudicium ex supremis terminis, in quibus duae variabilium Occurrunt dimensiones , putendum erit; spectari scilicet debe
vocavimus, pertinebit. 128. Si una pluresve harum conditionum desint; neque t
cundum vel ad tertium genus pertinebit, eritque corpus hyperbolicum Cono Asymtoto praeditum , eique vel circumscri tum in genere secundo , vel inscriptum in genere tertio. At,
resolvi poterit in duos Factores simplices , sive imaginarios sive reales. Casu priori Superficies pertinebit ad genus qua tum , posteriori vero ad quintum. Quod si denique ista ex pressio duos habeat Factores aequales, seu sit quadratum, tum orietur genus sextum. Sicque statim facile dijudicari poterit, ad quodnam genus quinis aequatio proposita pertineat; dis Digiti sed by Coral,
393쪽
cilius tantum erit judicium circa genus secundum & tertium : quae cAe. v. ambo ideo in unum conflari possent.129. Simili modo Superficies tertii & sequentium ordinum pertractari atque in genera dividi poterunt. Spectari scilicet tantum debebunt aequationis generalis termini supremi , & consequenter , pro Superficiebus tertii ordinis , ii in quibus Coordinatae tres obtinent dimensiones , qui erunt
Primum igitur dispiciendum cst, utrum hi termini conjunctim sumti, seu aequationis membrum supremum , resolvi possit in Factores simplices an non. Si resolutionem in Factores retapuat, habebit Superficies Conum tertii ordinis pro Asym- toto. Quia autem natura hujus Coni exprimitur supremo membro nihilo aequali posito , plures hujusmodi Coni tertii ordinis dabuntur, ex quorum diversitate hinc plura tauperti-
cierum genera constituentur. Quamvis enim Coui secundi ordinis omnes ad unum genus resuruntur, quia sunt vel recti et scalent; tamen in tertio ordine multo major varietas lo
I3o. Expositis ergo his generihus, considerandi sunt casus, quibus supremum membrum in Factores simplices resolvi potest, sive sint reales sive imaginarii. Habeat primum unum Factorem simplicem, qui erit realis : ex eo Superficies habebit Asym totam planam. Alter Factor nihilo aequalis positus vel dabit aequationem pollibilem vel non : si aequatio fuerit possibilis , nisi omnes Coordinatae evanescant , unica erit Asymtota plana : sin autem sit impossibilis, Superficies duas habebit Atymtotas , alteram planam , alteram Conum secundi ordinis. Quod si habeat tres Factores simplices, quia unus semper est realis, si bini reliqui sint vel imaginarii, vel reales , duo nova genera oriuntur. Denique si omnes tres Factores simplices sint reales, prout duo vel omnes fiat inter se aequales, adhuc duo genera constitui poterunt. Nulla autem in hoc ordine datur Superficius , quae non in infinitum extendatur. C c c Σ
394쪽
De intersectione duarum Superficierum.13 I. OUPRA iam exposita est methodus investigandi naturam sectionis , quae oritur si Superficies quaecunque a plano secatur. Cum enim Linea curva, quam sectio format , tota posita sit in eodem plano, quo sectio est facta , hinas Coordinatas, quarum relatione natura hujusmodi Linearum curiarum exprimi solet , in eodem plano assamsimus , ut hoc pacto cognitio ad receptam rationem reduceretur. At , si Superficies secans non fuerit plana , quoniam tum sectio non in eodem plano jacebit, ejus natura duabus Coordinatis comprehendi nequit : quapropter allo modo erit utendum, ad hujusmodi se tiones aequationibus includendas, quibus cujusque puncti P sitio vera indicetur. I 32. Punctorum autem non in eodem plano sitorum loca definiri possunt, si tria plana inter se normalia in subsidium adhibeantur , atque pro quovis puncto ternae illae distantiae aiasignentur, quibus id a quolibet plano distat. Hinc tres variabiles requirentur ad naturam Lineae curvae non in eodem plano constitutae exprimendam ; ita ut, si una pro libitu definiatur , ex ea binae reliqua: valores determinatos obtineanro Una igitur arquatio inter tres illas Coordinatas non sufficit ad hoc praestandum ; quippe, quae indolem universae Superficiei cujusdam indicaret; quocirca duabus opus erit aequationibus , quarum ope , si uni variabili datus valor tribuatur, simul binarum reliquarum valores determinentur.
I 33. Natura igitur cujusque Lineae curiae, quam in eodem plano constitutam esse non constat, commodissime exprimi rurduabus aequationibus inter tres variabiles, puta X , y, , quae totidem Coordinatas inter se normales repraesentabunt. Ope duarum ergo hujusmodi aequationum binae variabiles ex tertia
395쪽
determinari poterunt, aequabitur scilicet tam y quam Functioni cuipiam ipsius x. Poterit etiam pro arbitrio una Uariabilium eliminari; unde tres aequationes duas tantum Variabiles involventes formabuntur, una inter x & y, altera inter x & r, & tertia inter y & r. Harum trium Vero aequationum quaevis per binas reliquas sponte determinatur , ita ut, si habeantur aequationes inter x & y , & inter x & r . ex his tertia jam per eliminationem ipsius x inveniatur. I 34. Sit ergo proposita Linea quaecunque curva non in e dem plano posita, cujus unum quoddam punctum sit M. S mantur pro arbitrio tres Axes invicem normales AB, AC.& A D, quibus tria plana invicem normalia B A C, B A D& C A D determinantur. Ex puncto Curiae M in planum B AC demittatur perpendiculum M Q, & ex puncto Q ad Axem AD ducatur normalis QP , erunt AP , P Q dc QM
tres illae Coordinatae, inter quas si duae dentur aequationes , natura Curvae determinatur. Vocentur ergo A P - x ,
P Q y , & QM r; & ex duabus aequationibus inter x, y & r propositis, eliminando formetur aequatio duas tantum variabiles x & y continens , quae determinabit positionem punc
ti Q in plano B AC; atque singula puncta se ex sigillis M
orta praebebunt Lineam curiam B Q F, cujus natura aequati ne illa inter x&y inventa exprimetur. I 33. Hoc igitur modo ex duabus aequationibus inter tres Coordinatas propositis facile cognoscitur natura Curvae E Q F, quae formatur demittendis ex singulis Curvae indagandae punctis M perpendiculis M Q in planum B A C. Curva autem haec E OF vocatur projectio Curvae GM H in planum BAC. Quemadmodum autem projemo in plano BAC secta inveniatur eliminando variabilem r ς ita ejusdem Curvae projectio in plano B AD vel in plano C AD obtinebitur, si vel variabilis y eliminetur vel x. Una autem projcctici E CF non sufficit ad Curvam GM I cognoscendam, sin autem pro
singulis punctis Q cognita fuerint perpendicula QM ἔ, ex projectione E Q F ipsa Curia GM H facile construetur.
396쪽
A Ad hoc igitur opus est, ut praeter aequationem inter π&y, qua natura projectionis , exprimitur, habeatur arquatio inter r& x , vel inter & I, vel etiam inter tres ἔ, x , y , ex qua
longitudo perpendiculi QM- r pro quovis puncto Q in
136. Cum autem aequatio inter r & x exprimat projectionem Caervae G M H in plano BAD factam , aequatio autem inter r dcy projectionem in plano C A D , atque aequatio inter tres variabiles t, y & x exhibeat Superficiem , in qua curva GM H versetur : manifestum est primum ex duabus projectionibus ejusdem Curiae G ΜΗ in duobus planis faAis ipsam
Curvam GMΗ cognosci. Tum vero perspicuum est, si detur Superficies, in qua Linea Curva GMΗ contineatur , atque P terda ejus projectio in quodam plano, pariter Curvam illam fore cognitam. Erigantur enim ex singulis projeimonis putastis rectae normales QM, quarum intersectio cum Superficie definiet Curvam G ΜΗ quaesitam. 137. His praem issis, quae ad indolem cujusque Curvae non in eodem plano constitutae cognoscendam pertinent, non dita - ficile erit intersectionem duarum quarumvis Superficierum desinire. Quemadmodum enim interiectio duorum planorum est Linea recta , ita intersectio duarum Superficierum quarumvis erit Linea , sive recta sive curva ; haecque vel in eodem plano posita vel secus. Utcunque autem fuerit comparata , singula ejus puncta ad utramque Superficiem pertinebunt , ideoque in aequatione utriusque Superficiei continebuntur. Qubd si
ergo ambae Superficies exprimantur aequationibus inter ternas Coordinatas, quae ad eadem tria plana principalia inter se normalia seu ad eosdem tres Axes inter se normales AB, AC& AD reserantur, tum ambae istae aequationes conjunistae naturam intersectionis expriment,r38. Propositis ergo duabus Superficiebus se mutuo secantibus, utriusque natura exprimi debet aequatione inter tres Coordinatas , quae ad eosdem Axes principales reserantur escque habebuntur duae aequationes inter tres COOrdinatas x,
397쪽
y & r, ex quibus si una eliminetur , aequatio inter binas C AP. vl. reliquas praebebit projectionem intersectionis in plano , quod his duabus Coordinatis constituitur , factae. Hoc igitur modo quoque intersectio cujusque Superficiei a plano factae investigari Poterit: cum enim aequatio generalis pro plano sit αῖ - βy Φγx f, si in aequatione Superficiei loco r substituatur ejus va-IOr ex illa aequatiane oriundus. De Pe sprodibit aequatio pro projectione intersiationis in plano Coo dinatarum x &y facta. Simul vero aequatio .) pro quovis puncto Q projectionis praebebit quantitatem perpendiculi Q M ad ipsam intersectionem pertingentis.139. Quod si eveniat ut aequatio pro projectione sat impossibilis, uti si inveniretur xx Φ yy in a a o ; tum hoc erit
indicium , ambas Superficies se mutuo nusquam intersecare. Sin autem aequatio projectionis in unicum punctum deducat, seu , si projectio in punctum evanescat, tum ipsa quoque intersectio erit punctum , ideoque ambae Superficies se mutuo in Puncto contingen cui contactus itaque ex aequatione cognosci poterit. Datur autem praeterea contactus linearis, quando duae Superscies se in infinitis punctis contingunt ἔ Lineaque contactus vel erit recta vel curva. Recta scilicet erit, si planum tangat Cylindrum vel Conum : Conus reditas autem a Globo intus tangetur per Peripheriam Circuli. Qui contactus EX aequatione cognoscentur , si pro projectione ejusmodi prodierit aequatio , quae duas habeat radices aequales , propterea quod contactus nil aliud est, nisi concursus duarum i tersectionum. I o. Ad haec clarius explicanda ponamus Globum secari a Plano quocunque. Sumamus aequationem ad Centrum Globi
que posito haec Labebitur aequatio
398쪽
unde, cum si --, sequens orietur aequatio inter x & y pro projectioneo - Π-α'a - Συγ-2 ΣΦ α Φe )F Φ χ ο -- α' φ ν' - , quam patet esse Ellipsin , si quidem aequatio fuerit realis ; sin autem fuerit imaginaria Globus a plano nusquam tangetur :at, si Ellipsis in punctum evanescat, planum & Globus se mutuo tangent. Qui casus ut eruatur, quaeratur . e eγxtav a , Φe'ὶ -f' φ a x- α' φe, εω )ωχὶ
libi si s ejusmodi habuerit valorem , ut quantitas radicalis nunquam fieri possit realis, nullus dabitur contactus , neque intersectio. IAI. Ponamus esse f- a V α' Φ β' - ν' eritque
Quare , si fuerit fa - v Φ β' Φ γ' , planum , quod
exprimitur aequatione ε βy Φ γ x αα L Globum tanget; punctumque contactus habebitur , si capiatur
quorum valorum veritas per Geometriam elementarem, ubi contactus Sphaerae a plano docetur, comprobari potest. I x. Hinc igitur generalis regula deducitur, cujus ope
cognosci potest, utrum Superficies quaecunque a plano aliave superficie Diuitigoo by Corale
399쪽
Superficie tangatur an non 3 Eliminata enim ex ambabus aequa- CAP.VLtionibus una variabili , videndum est an aequatio resultans resolvi possit in Fuctores simplices an minus. Si enim habeat duos Factores simplices imaginarios , dabitur contactus in . Puncto , quod innotescet ponendo utrumque Factorem o. Sin autem habeat duos Factores simplices reales eosque inter se aequales , Superficies se mutuo secundum Lineam rectam tangent. Quod si vero illa aequatio habeat duos Factores non smplices aequales; seu , si fuerit per quadratum divisibilis , tum ejus radix nihilo aequalis posta exhibebit projectionem illius Lineae , quae ex contactu oritur. Hinc quoque patet si eadem illa aequatio quatuor habuerit Factores imaginarios , tum Superficies se mutuo in duobus punctis contingere. I 3. Quo haec plenius explicentur , investigemus contactum
Coni & Globi cujus Centrum in Axe Coni sit positum. AEquatio pro Globo est in v Φ aa , pro Cono autem , f- r ' - m x x in nyy, posito quod Uertex Coni intervallo a Centro Globi sit remotus. Eliminemus hinc variabitam ae, eritque f-r ' - na a - n ta Φ m - n xx, pro projectione intersectionis in plano Coordinatarum x & .
Sit primum Conus rectus , seu m - n, CritquE
, ideoque contactus erit linearis; scilicet per Cimculum . cujus projectio in plano per Axem transeunte est Linea
recta ad Axum normalis. Iψ . Pro Cono autem scaleno, ubi m, sunt inaequales, aequa tio inventa videtur semper dare intersectionem , cum.
Euteri Introduci. in Anal. insin. Tom. II. D d d
400쪽
Arrat. 3, tamen sopius nulla existat. Semper enim, si quidem m superet n , prodibit aequatio realis pro projectione intersi citonis : at vero notandum csi realitatem projectionis non semper indicare intersectionem realem. Ut enim ipsa intersectio sit realis non si 12cit projectionem esse realem , sed insuper pe pendicula a projectione ad intersectionem diusta realia esse oportet. Quamvis igitur omnis Curva realis habeat quasvis projectiones reales ; tamen non vicissim ex realitate Pr jectionis realitas ipsius Curvae , quae quaeritur , concludi P rest. Haecque cautela perpetuo prohe est adhibenda, ne realitate aequationum quas pro projectionibus invenimus, abu
Ιqs. Hoc incommodum evitabimus , si projectionem in plano Ordinatarum x & y quaeramus : quia enim in hoc plano nullum datur punctum, cui non punctum in conica Superficie respondeat , si projectio in hoc plano fuerit realis , ipsa quoque intersectio erit realis. Cum igitur sit V aa- xx - γγ , fiet ex altera aequatione