장음표시 사용
371쪽
Quare , si isti valores in aequatione inter x , y, & r pro Solido data substituantur , obtinebitur aequutio inter i & ti , seu
Coordinatas sectionis quaesitae , cujus adeo natura innotescet. Convenit autem hic modus fere cum eo , quo supra O. usi sumuS.
De immutatione Coondinatariamo 86. UEΜ AD MODUM aequationes pro Lineis curvis in eodem plano sitis in innumerabiles formas diversas trans formari possunt , immutandis cum Abscillarum initio , tum Axis positione , tum utroque : ita in praesenti negotio multo adhuc major varietas locum habet. Primum enim in eodem
plano , in quo hinae Coordinatae sunt sitae, hae infinitis modis variari possunt. Deinde vero hoc ipsum planum , quod duas
372쪽
APPENI . continet Coordinatas mutari, sicque prior varietas in insnitum augeri poterit. Data scilicet aequatione inter tres Coordinatas inter se normales, perpetuo inveniri potest alia aequatio inter tres quascunque alias coordinatas pariter inter se normales , quarum positio respectu priorum infinities magis variari potest, quam si duae tantum essent Coordinatae, uti usu venit in aequationibus Linearum curvarum.
87. Ponamus primum solum Abscissarum x initium in Axe mutari, ita ut hinae reliquae Coordinatae 3 & maneant eaedem ; atque nova Abscissa quantitate constante ab x discrepahit. Sit igitur nova Abscissa - t , erit x t Φ a qu valore in aequatione pro Superficie substituto prodibit aequatio inter tres Coordinatas i , y & quae, etsi a priori diversa , tamen pro eadem erit Superficie. Simili modo reliquae Coo dinatae 3 & quantitatibus constantibus augeri minuive poterunt : atque , si ponatur x t Φa ; y vh-b & r v*c, orietur aequatio inter tres variabiles t , υ, & v pro eadem Superficie r atque adeo hae novae Coordinatae prioribus erunt parallelae. Interim hoc modo aequatio pro Superficie , etsi est magis generalis , tamen non multum variatur. Τλη. 88. Quoniam tres Coordinatae orthogonales, quarum aequa. Vyx tio naturam Superficiei exprimit, ad tria plana inter se no V Γ' Αεφ' malia reseruntur , ponamus planum unum in quo binae Coo di natarum x & y capiuntur , invariatum manere , in eo autem Lineam quamcunque aliam CT, praeter AP , pro Axe asiasilini. Cum igitur priores Coordinatae pro Axe AP essent AP x, P y , QM r, pro novo AXe C Q manebit Coordinata QI1-r eadem , at hinae reliquae evadent CT t , TQ v, ducta QT ad novum Axem CT normali. Ad aequationem igitur inter has novas Coordinatas i , v & rinveniendam , ducatur CR parallela priori Axi AP , tum ex
C ad eum perpendicularis ducatur CB, ac vocetur AB a.
BC -b & angulus RCT - c. Denique ducatur TR no malis ad CR & ex T in QP productam perpendiculum I S.
373쪽
γ - u. co r.sn. ς - b. Quod si ergo isti valores locox & y in aequatione pro Superficie proposita substituantur,
resultabit aequatio inter ternas novas Coordinatas i , v & r , qua ejusdem Superficiei natura exprimetur. Haec igitur nova aequatio multo latius patentem speciem prae se seret, cum . in eam ingrediantur tres novae constantes arbitrariae a , b & angulus ζ , quae in priori aequatione non inerant. Haecque erit aequatio generalis : quando quidem idem planum , in quo hinae Coordinatae x & y Versantur , retineatur. 9o. Varietur nunc quoque planum , in quo binae priores Coordinatae x & y erant assumtae : ac primo quidem ita ut
intersectio novi plani cum priori APQ incidat in ipsam rectam A P , quae etiam pro novis Coordinatis tanquam Axis specte tur. Sit igitur A PT hoc novum planum , cujus ad prius APQ inclinatio erit angulus QPT, qui ponatur ου. Ex Min PT ducatur normalis MT, quae simul in novum planum erit perpendicularis & vicem tertiae Coordinatae tenebit. Ponantur ergo tres novae Coordinatae A P x , PT - v , &
yi. Cadat nunc intersectio novi plani secantis cum plano APQ in Lineam quamcunque CT, sirique u inclinatio istorum planorum ; ac sumatur recta haec CT pro Axe in hoe plano. Quaeratur primum aequatio inter Coordinatas in plano
A P Q ad Axem C T relatas, quae ex Praecedentibus ita re-
374쪽
92. Sumatur jam in plano isto novo , in quo Coordinatae t & u sunt sitae, alia Linea quaecunque pro Axe ; sicque Orietur aequatio generalis lima pro Superficie proposita. Sint in hunc sinem AP , P Q , UAI Coordinatae r , u , & ν , quas modo invenimus ; ita ut A P repraesentet intersectionem memorati plani cum plano in quo principales Coordinatae x & y positae concipiuntur. Sitque recta C T novus Axis ad quem novae generalillimae Coordinatae , quas quaerimus , r serantur , quae vocentur, CT p, I Q - q, & UM r. Praeterea, sunt AB & BC Lineae constantes, angulus autem CTIt ponatur θ. II s positis erit ex g. 89.r P. cos. θ Φ q.su. θ - A A
u - - p. st n. θ Φ q. cos. θ - B Catque
Qui valores si substituantur in expressionibus s. praecedentis reperietur Dipitigod by Cooule
375쪽
p. Dr. η.sn. θ - - q.sn. n. cos. θ Φ r. eof η - - h, ubi f, g Sch sunt Lineae constantes ex compositione earum , quae in calculum sunt introductae , Ortae. 93. Patet ergo aequationem generalissimam pro quavis Superficie sex constantes arbitrarias complecti, quae utcunque de terminentur , aequatio perpetuo ejusdem Superficiei naturam exprimet. Quantumvis autem simplex & succincta fuerit aequatio pro Superficie inter Coordinatas i, si ex ea constetur aequatio generalissima inter ρ , ρ , & r , ea ob ingentem
Constantium arbitrariarum numerum necessario fiet maxime intricata : praesertim, si altiores dimensiones ipsarum x, y, dc rassuerint. Vix igitur dari poterit casus, in quo conveniret ad aequationem generalissimam assii rgere. Quanquam enim ea utilitas inde percipi posset, ut idoneo modo constantibus illis definiendis aequatio simplicissima redderetur ; tamen , ob calculi prolixitatem, hic labor plerumque fieret molestissimus. In terim tamen in sequentibus ista methodus aequationes generalissimas formandi usu non carebit, quoniam inde egregiae proprietates
elicientur ac demonstrabuntur. 9 . Quanquam autem aequatio generalissima plerumque si maxime complicata; tamen, si ad dimensiones, quas Coordinatae junctim sumtae constituunt, spectemus , earum numeruSperpetuo aequalis est numero dimensionum , quas primae Coordinatae x , y & consecerunt. Sic. cum aequatio pro Sphaera xx ἡ- yy --- aa sit duarum dimensionum , aequatio quoque generalissima non plures quoque quam duas continebit dimensiones Coordinatarum ρ , q, & r. Hinc numerus dimens num , quas Coordinatae in aequatione cujuspiam Superficiei Euleti Introduci. in AnaI. insen. Tom. II. A a a
376쪽
AN No. constituunt, nobis suppeditat Essentialem characterem naturae istius Superficiei; propterea quod, utcunque positio Coordinatarum varietur, perpetuo tamen idem dimensionum numerus emergit. Similis scilicet hic ratio circa Superficies observatur . quam supra in Lineis curvis deprehendimus; unde eas in ce tos ordines divisimus. Eodem ergo modo conveniet Supersicies secundum dimensiones Coordinatarum in ordines disponere : eritque nobis Superficies ordinis primi, cujus aequatio unicam tantum dimensionum comple 'itur : ad ordinem secundum Superficiem referemus , in cujus aequatione Cisordinatae ad duas dimensiones assii rgunt; atque ita porro eX dimensio
num numero sequentes Ordines constituentur.
93. Si jam cum his conserantur 'ea, quae supra de inventione semonum planarum cujusque Superficiei tradita sunt, o dinem sectionum perpetuo cum ordine ad quem Superficies Pertinet, congruere deprebendemus. Sit enim aequatio pro Superficie quacunque proposita inter Coordinatas x, y, & Iad ordinem n pertinens, sectionis autem ejus cujusvis Coordinatae normales sint i & u. Atque supra, g. 8s , vidimus aequationem inter i & u inveniri, si in aequatione pro Superficie sequentes valores substituantur
Manifestum igitur est aequationem pro sectone plures dimen sones assequi non posse , quam habebat aequatio inter x, y M& r; sed perpetuo totidem prodituras esse dimensiones. 06. Superficies ergo primi ordinis alias sectiones a plano lactas habere nequit praeter Lineas primi ordiris, seu rectas.. Deinde , ex sectione Superficiei secundi ordinis aliae Lineae non oriuntur nisi secundi ordinis, seu Sectiones conicae ; est
377쪽
enim Superficies conica quoque secundi ordinis . cum ejus CAP. ωquatio sit
Simili modo, ex Superficie tertii ordinis per sectiones planas prodibunt Lineae tertii ordinis, atque ita porro. Fieri tamen quandoque potest, ut aequatio pro sectione quapiam divisores admittat; quo casu sectio efit composita ex duabus pluribusve Lineis inferiorum ordinum. Sic , sectio Coni per Uerticem facta constabit ex duabus Lineis rectis , quae tamen conjun tim Lineam secundi ordinis mentiuntur , uti supra annotavimus. 97. Constitutis igitur Superficierum ordinibus, investigemus prae reliquis eas Superficies , quae ad ordinem primum perti
nent. AEquatio ergo earum naturam exprimens erit α. x - -
ὀ y ε γ r a , cujus cum omnes sectiones plano factae sint Lineae rectae . perspicuum est has Superficies non planas esse non posse : si enim haberent convexitatem vel concavitatem, necessario daretur sectio curvilinea. Quanquam enim in reliquis ordinibus dantur ejusmodi Superficies , quarum certae qumdam sectiones sunt Lineae rectae , uti in Cylindro , Cono , aliisque , usu venire vidimus, tamen in iis sectiones curvilineae non excluduntur. Similis scilicet hic occurrit ratio , qualem in Lineis observavimus : quemadmodum enim Linea , quae a Linea recta in pluribus uno punctis nullo modo secari potest , est necessario recta; ita Superficies quae a plano secta semper dat Lineam rectam . necessario ipsa plana esse colligitur. 98. Ex aequatione autem generalissima ista indoles clarissime potest demonstrari Formetur enim ex aequatione α. x - - β γ - γ -a aequatio generalissima inter Coordinatas p, q, & r, secundum s. 92. Et, quoniam sex novae constantes arbitrariae inducuntur, nil obstat, quo minus eae ita determinentur, ut binarum Coordinatarum p , & q coessicientes evanescant, atque hujusinodi aequatio r - remaneat, ejusdem Superficiei naturam exprimens. Haec autem aequatio r f ostendet Superficiem propositam esse plano , in quo binae Coordinatae p & q
378쪽
3 L DE IMMUTATIONE COORDINATARUM.
existunt, parallelam; ideoque ipsam planam : Essici quoque potest, ut fiat r o ; sicque evidens erit, ipsum planum, in quo p & q assumuntur, esse Superficiem quaesitam. 99. Cum igitur constet Superficiem aequatione α. x in βy -- γ r a expressam elle planam, opus est ut ejus sitionem respectu plani, in quo coordinatae x & y assumuntur, definiamus. Sit igitur M punctum quodcunque hujus Superficiei; atque tres Coordinatae A P - α , P Q-y, dc Q Al r. Ponatur primum o , atque orietur aequatio α. α' ε 3y- a , quae exprimet intersectionem Superficiei quaelitae cum plano A P Q, quam patet esse Lineam rectam BCF, cujus positio respectu Axis A P talis erit, ut sit recta AB ad Axem A Pin plano A P Q normalis - , & A C - - : unde anguli AC B tangens erit & cosinus
ad occursum recta B C in R : atque , ob C P - x -
Ioo. Demittatur ex Q ad B C normalis Q S : junctaque M S , patebit angulum M S Q metiri inclinationem Superficiei propositae ad planum APQ. Cum igitur sit PR erit
gens I & propterea cosnus Superficies ergo quaesita ad planum , in quo versantur x & y , inclinatur angulo , cujus tangens est I οῦ Diuitia o by Cooule
379쪽
DA SUPERFICIEBUS SECUNDI ORDINIS. 3 3
pari vero modo eadem Superficies ad planum Coordinatarum ρο--x & r inclinabitur angulo cujus tangens est atque ad planum Coordinatarum y & r angulo cujus tangens
est - V ' - , CAPUT V. De Supersciebus secundi Ordinis.
Io I. Cous T 1 Turis ergo Superficierum ordinibus secun dum numerum dimensionum , quas summae trium Coordinatarum x, y , i potestates in aequatione junctim sumtae adimplent ; si proponatur pro Superficiu aequatio algebraica , statim assignari potest ordo, ad quem illa Superficies reserri debet. Cum igitur omnis Superficies primi ordinis ostensa fit esse plana , in hoc Capite Superficies secundi ordinis examini subjiciam. In iis autem major statim deprehenditur diversitas, quam in Lincis secundi gradus, quod quidem cuique attendenti facile patebit. Operam igitur dabo ut haec diversa genera distincte exponam. In ordinthus vero altioribus tantopere multitudo generum increscit , ut ab iis evolvendis prorsus abstinere debeamus. io 1. Quoniam natura Superficierum secundi ordinis exprimitur aequatione , in qua variabiles x, y & r ad duas dimensiones assiirgunt, Cylindrus & Conus, tam rectus quam scalenus , & Globus, quorum proprietates jam decripsimus, in hoc secundo Ordine continentur. Omnes vero Superficies ad hunc ordinem pertinentes comprehenduntur in hac aequatione generali
Dicunque enim tres Coordinatae accipiantur, aequatio semper
380쪽
Aerr Ni in hac forma continebitur. Varia ergo Superficierum hue pertinentium genera a diversa coemcientium relatione mutua Pendebunt , qui, cisi eadem Superficies infinitis aequationibus exprimatur, tamen infinitam variarum Superficierum multitudinem suppeditabunt. Io 3. Quemadmodum in Lineis curvis planis praecipuam divisionem inde desumsimus , quod vel in infinitum extendantur, vel in spatio finito includantur ; ita simili modo omnes Superficies ad quemcunque ordinem pertinentes in duas classes dividentur ἔ ad quarum alteram referemus eas, quae in infinitum abeunt, ad alteram vero, quae in spatio finito continentur.
Ita Cylindrus & Conus priori classi; Globus vero posteriori
annumerabitur. Posterioris quidem classis nulla dabitur Superficies in ordinibus imparibus : cum enim quaelibet Superficies imparis ordinis habeat sectiones planas ejusdem ordinis, curvae autem imparium ordinum omnes in infinitum extendantur , necesse est , ut etiam ipsae Superficies istorum ordinum in infinitum porrigantur. Ioψ. Quoties autem quaepiam Superficies in infinitum e tenditur , necesse est ut, ad minimum , una trium variabilium
x , T & r , in infinitum abeat. Quare , cum perinde sit qua nam hoc casu infinita fieri assumatur , ponamus r fieri infinitam , si quidem Superficies in infinitum porrigatur. Naturam ergo hujus partis in infinitum abeuntis investigaturi ponamus esse
eo : atque nunc potissimum spectari debet terminus primus α. y r , utrum is adsit an vero deficiat. Adsit ergo primum iste terminus in initiatione : atque prae eo termini v &- χ evanescent, habebiturque pro parte in infinitum excurrenici haec aequatio
eX qua porro omnes termini, qui non sunt infiniti, vel infinities minores saltem quam evanescunt.1OF. Statuamus omnes terminos, in quibus variabiles duas