장음표시 사용
361쪽
66. Iam, ex sectionis quaesitae puncto quovis M in Basin demittatur perpendicularis MQ; ductaque Applicata QP, sit CP - x , P Q y , erit aacc aan Φ ccxx. Ducatur QT ipsi C G parallela, in eamque ex G normalis G R ; erit GR - γ , & QR-f-x. Quoniam igitur angulus I' GR GCH-θ . erit GT et &-: unde fit
M, erit x. f. θ-yJn. θ --ἰy v. f. θῆ unde aequatio inter i & u reperietur , quae adhuc erit satis complicata. 67. Quod si autem , loco Axium principalium Basis, ducatur Diameter EF interseetioni III parallela , ad eamque Diameter conjugata AB, quae producta ipsi TH occurrat in G. Tum Uero maneant eadem , quae ante posuimus C G - f; GCH-θ ; CHD-φ, CA CB-m, CE CF - Ποῦ fueritque ducta CP Diametro EF parallela, & positis CP-x, P Q y , ut sit m'n - m'y'Φ n'x', erit GT MS-y
362쪽
Dc cosinus anguli CGD ; unde , si ponatur angulus CGD- ου , erit x t. cos. η ; ideoque pro sectione quaesta erit mmnn mmuu in nnit. cos. η , ad Diametros conjugatas,
Centro exiliente in D ; eritque semidiameter in directione, DS - & alter n. Anguli vero, quo hae Diametri invicem inclinantur GS M, tangens erit - εἰ & cos-
V VCθ. Hocque pacto natura sectionis facillime cognoscitur. T n. 63. Expositis ergo sectionibus Cylindri, ad Conum progre- TXXV. diamur, sive rectum sive scalenum : eo vero tantum Conum scalenum a recto differre considero , quod in scaleno sectiones ad Axem Coni normales sint Ellipses sua Centra in Axe Coni habentes ; dum in recto hae sectiones sunt Circuli. Sit igitur Oae UO Conus quicunque Verticem in D & Axem Oe hahens ; quem ad planum tabulae pono normalem , ita ut tabula repra sentet planum per Coni , erticem O ductum & ad Axem Coni Oe normale. Ducantur per ta in plano tabulae rectae
AB, ΕΦ' Axibus ab & ef cujusque sectionis Axi normalis parallelae. Quod si ergo ex sectionis ae V puncto quocunquens ad planum tabulae demittatur normalis MQ, & ex Q ad AB perpendiculum P Q ; si ponantur OP - x , PQ y, QM r , erit quoque sectionis Abscissia ep - x, Applicata pM y : unde, cum Axes ab , es ad Oc- QM
constantem teneant rationem , si ponatur ac be --&ec 1 -ns, erit m ' n mmyy Φ nn xx ἰ quae est aequatio naturam Superficiei Conicae exprimens , inter tres
363쪽
ipsi s valorem constantem apparet ; simili modo facile cognoscentur sectiones , quae vel ad rectam AB vel EF erunt normales. Si enim ille Conus secetur plano ad AB normali& per punctum P transeunte , posito OP a, ista pro secatone habebitur arquatio m'n'f-m' γ' in n' a , inter Coordinatas Pp - r, & p AI-y ; quam propterea patet esse Hyperbolam Centrum in P habentem , cujus semiaxis trania versus erit -- , & semiaxis conjugatus - Fari modo , si y ponatur constans , sectio rectae E F normalis intelligetur esse Hyperbola Centrum habens in ipsa recta EF. 7o. Si planum , quo Conus secatur, sit quidem perpendiculare ad planum vi EB F, at vero ad neutram Linearum AB, EF normale , facile quoque sectio Coni definitur. Secet enim hoc planum Basin AEBF recta BE . ac vocetur OB a, OE b. Iam, ex puncto sectionis quovis A 1
seu γ - b - Ponantur sectionis Coordinatae B Q - t ,
& erit 7 i. Erit ergo haec Coni sectio Hyperbola Centrum habens
364쪽
in puncto G , cujus semiaxis transversus erit Garam--; & semiaxis conjugatus - 'ξ Asym totae vero hujus Hyperbolae, quae Axem G a in Centro G decussibunt, cum Axe Ga facient angulum, cujus tangens
ς' - P hibi j , Quo ergo sectio fiat Hyperbola aequi-
latera , oportet esse m ' n 'a a Φ m n b' - m' b' - - na , seu - - tang. OBE - - - Nisi ergo stit --- major nihilo , Hyperbola aequi latera hoc modo oriri nequit. In Cono recto , quidem ubi est m n , anguli, quem Asym totae cum Axe sectionis constituunt, tangens erit - m,& angulus angulo a Oc.
71. Sit nunc semo obliqua , ita tamen ut ejus intersectio ΒΓ cum plano AEBF sit normalis ad rectam AB. Ponatur OB f, & angulus inclinationis plani ad planum Basis, seu angulus O BC - φ , ..ita ut hoc planum secans Axem Conio C in puncto C trajiciat ; erit BC --; & OC - . Ex sectionis quaesitae puncto quovis II ad B T duc tur perpendicularis MT; tum vero ad planum Basis perpen
365쪽
parallela ipsi B T, sumtaque B G
Erit ergo Curva Sectio conica Centrum habens in G. Eritque ergo Parabola si Centrum G in infinitum abit, quod fit si tang. φ - - ; seu , si restia B C fuerit lateri Coni o a Parallela. Hoc vero casu erit mmit Φ nnsf- χn u. cofp o: Vertex Parabolae erit in G, sumta B G - - ί : & Latus
7ψ. Quoniam sectio est Parabola, si fuerit eos. φ' -m .sin. φ' - o; manifestum est eam fore Ellipsit, , si sit cos. φ' major quam m' sn. φ', seu tang. φ major quam quo quidem casu recta BC sursum convcrget cum latere Coni opposito Oa. Cum igitur sit B G erit BG major quam B C , existente G se nionis quaesitae Centro. Erit ergo sectioinis quaesitae semiaxis in directione B C positus . , alter Vero semiaxis conjugatu -
366쪽
quam -; ita ut recta BC cum latere Coni opposito Gasursum divergat, sectio erit Hyperbola , cujus semilatus transversum erit - - Ποῦ , & semilatus conjuga
f. sin. φ , & anguli, sub quo Asymiotae Axem in Centro G
decussant, tangens erit φ'-cof φ' . Quare Hyperbola erit aequilatera si fuerit m'n'. in. φ'- n. cofφ' -m' minin 1 n n. sin. ς - n n m m , seu sΠ. φ vim in εο ηὶ &- a d hoc ergo necesse nuti mma U , h, noc ergo nece Iecst ut sit n major unitate , alioquin Hyperbola aequilatera persectionem hujusmodi produci nequit. 76. Si Conus est rectus , seu m - n , tum omnes secti nes, ad has , quas evolvimus referri potiunt, quia positio recta A B ab arbitrio nostro pendet. At pro Cono scaleno super Est, ut investigemus sectiones qliar a plano utcunque oblique T A B. ad rectam A B posito formantur. Sit igitur B R intersectio plani secantis cum plano Basis A E B F. Ponatur ΟΒ - , angulus OBR-θ, & angulus inclinationis secantis ad Ba
O C normalis in planum Basis projiciatur, erunt ejus A Xes principales secundum rectas A B & E F dispositi, alterque erit ut
77. In hac sectione projecta ducatur Diameter es parallela ipsi B R : orit angulus B O e - θ ; sitque a ob positio Dia
367쪽
v m'. . P -- u . co. θρὶ atque
8. Cum igitur sit OR .sin. θ, erit
Hinc, ex triangulo Rb C ad R rectangulo, erit anguli CIR
x. Πgςφλ. - i. hi j T unde , angulus C b Rerit cognitus. Iam , ex puncto sectionis quovis M ad rectam AT ducatur MT parallela ipsi Cb , atque ex M ad c bEuleri Introduci. Anal. in in . Tom. II. Z Z
368쪽
parallela IIS ipsi RT: vocenturque bT - MS--t; ἴS TM-u; quae , tanquam Coordinatae obliquangulae secti nis quaesitae spectentur , existente anguli b S M tangente -
orthogonales in Cono recto , propterea quia fit m n.
79. Ex puncto sectionis M ad planum A E B F demittatur perpendiculum M Q ; junctaque TQ erit parallela Diametroab p tum ex Q ducatur ordinata QP alteri Diametro ej parallela. Atque, vocatis OP x ; PQ 3 & Q m
Namque , si per punctum M concipiatur Coni sectio Basiparallela , erunt ejus semidiametri rectis ab & ef parallelae res & ν . At, cum inventa sint Trianguli rectanguli COblatera OC & Ob , erit Hypothentisa
369쪽
G S - s ; erit G Centrum sectionis conicae cujus aequatio CAP. III. inter Coordinatas i & s erit α
cujus semidiameter transversus erit - , &semidiameter conjugatus ii 5 - , & semilatus rectum Ceterum apparet si sit tang. φ minor
Curvam sore Ellipsin ; si sit tang. φ - , Parabolam ; & si tono p major quam - , Hyperbolam. 8 . Tertium corpus, cujus sectiones plano factas hic t
vestigare constituimus , est Globus, cujus quidem omnes se tiones planas Circulos esse ex Geometria elementari constat. Interim tamen quo methodus clarius perspiciatur , quemadmodum ex data aequatione pro Solido quocunque ejus sectiones quaevis erui debeant , idem negotium hic analytice absolvam
quod vulgo synthetice tradi solet. Sit igitur C Centrum T . Globi , per quod planum tabulae transire concipiatur , ita ut κην ἡ sectio hoc plano facta sit Circulus maximus . cujus radius '' C A -C B , ponatur a , qui simul erit radius Globi. Sit porro recta D T intersectio plani secantis cum isto plano ta-hulae , ad quam ex C ducatur normalis CD, quae sit -f, angulus autem inclinationis sit - p. 81. Sit M punctum sectionis quaesitae quodcunque ; unde ad planum tabulae demittatur perpendiculum MQ, hincque ad rectam CD pro Axe assum tam perpendicularis QP. Quod si , jam vocentur Coordinatae CP x, PQ y & QM r ;erit , ex natura Globi , xx ε Π-his M. Ducatur ex Μ
370쪽
Ar L P inclinationem plani secantis ad planum Basis , quae est cp. Quare si DT & ΜΓ tanquam Coordinatae sectionis quaesitae spectentur , vocenturque D T t, T u , ii et M Q -υ. sin. p ; & γ' v. cos. p. Erit ergo C P - x f- . u. cos. φ ; P Q α y - ι& Q JI v.sin. p. Quibus valoribus substitutis emerget aequatio pro sectione Globi quaesita laaec
83. Perspicuum jam est hanc aequationem esse pro Circulo. Namque si ponatur u - f. cois φ s , fiziff. An. φ' in s s - - tD .aa, unde radius sectionis erit V aa- Quare , si ex D Applicatae T M parallela ducatur Dc , in eamque EX Centro C perpendiculum demittatur Ce, ob CD j dc a gulum CDc - φ, erit De .cήφ & C c f in. p. Hinc, cum Coordinatae s & t ad Centrum referantur , erit punctum c Centrum sectionis , & v CB' - Ce' radius istius Cimculi , uti ex Elementis est manifestum. Simili autem modo omnium aliorum Solidorum , dummodo eorum natura sit aequatione inter tres variabiles expressa, sectiones quaecunque planis saetae investigari poterunt.
8 . Quo tamen tota operatio melius perspiciatur, Proponatur Solidum quodcunque , cujus natura sit exprcssa aequa tione inter ternas Coordinatas AP x, I'U-y Cc quarum illae positae sint in plano tabulae haec vero r sit ad planum normalis. Secetur jam hoc Solidum plano quocun- quo , cujus cum plano tabulae intersectio sit recta DT, & inclinationis angulus p. Ponatur recta A D f, angulus
ADE - θ ; eritque, demisso ex A in DE perpendiculo A E, A E Hi. θ & D E f. cos. θ. Tum, ex sectionis quaesitae puncto M ad D T ducatur perpendicularis M T ; junctaque QT, aequabitur angulus si TQ inclinationi datae p. Quare,