장음표시 사용
381쪽
tenent dimensiones adesse ; quaecunque enim fuerit Superficies, CAP. V. in ejus aequatione generalissima semper omnes inerunt termini 'summarum dimensionum, neque idcirco hypothesis, qua omnes terminos duarum dimensionum adesse ponimus, universa litati solutionis ullam vim insert. Quando autem termini y r& x r adsunt , prae iis termini θy & ι x evanescunt; relinqueturque haec aequatio
Hac igitur aequatione natura portionis in infinitum extensae exprimitur. Io6. Si quam igitur Superficies habeat portionem in infinitum eXtensam , ea congruet cum portione infinita Superficiei, quae exprimitur hac aequatione ita ut haec Superficies sit quasi Asym tota illius Superficiei aequatione generali expressae. Quia vero in hac aequatione tres variabiles ubique duas habent dimensiones, erit ea pro Superficie conica , Verticem in initio Cnordinatarum, ubi omnes simul evanescunt , hahente r semper ergo exhiberi potest Superficies conica, quae erit As,m tota Superficiei propositae, si quidem in infinitum extenditur ; seu cujus portio infinita cum Superficie proposita vel penitus congruit, Vel intervallo tantum finito ab eo est remota. Uti ergo ramos Curvarum in infinitum abeuntes per Lineas rectas Asym totas distinximus, ita Superficierum partes in infinitum extensas per Superficies conicas Asym totas distinguere licebit. Io7. . Quoties ergo Superficies Asymiora conica erit realis,
toties Superficies ipsa in infinitum extenditur; atque ita quia Diuitiam by Cooste
382쪽
APPCNP. dem ut utriusque partes infinitae congruant; sicque ex natura Superficiei Asym totae natura ipsius Superficies propositae colligi poterit. Quod si autem Superficies Asymtota sat imaginaria, ipsa Superficies nullam habebit partem in infinitum extensam, sed tota spatio finito includetur. Ad Superficies ergo secundi ordinis, quae in spatio finito contineantur , indagandas, tantum opus est , ut videamus quibus in casibus aequatio pro Superficie Asym tota fiat imaginaria ; quod fit , si tota Superficies haec in punctum unicum evanescit. Namque si ullam extensionem haberet, vel punctum extra Verticem situm, nece sario in infinitum expandi deberet , propterea quod supra ostendimus , totam rectam quae per verticem & unum Superficiei punctum ducitur, in ipsa Superficie esse positum. Io 8. Quando ergo Superficies conica Mymtota , hac aequatione expressa
in unicum punctum abit, omnes ejus sectiones per Verticem factae pariter in idem punctum evanescere debent. Primum
ergo , facto ἔ - o , aequatio δyy ε ε xy - xx - o, debet esse impossibilis, nisi sit x - Ο & y o , quod evenit si fiterit 6 δ ζ major quam ε ε. Deinde idem evenire debet posito vel x o vel y - o : erit ergo εαδ major quam CC, major quam γ γ. Nisi ergo in aequatione pro Superficie secundi ordinis
suerit major quam ε ε; Φαδ major quam- ας major quam γγ , Superficies certo habebit partes in infinitum
Io9. Νeque vero hae tres conditiones sussciunt ad Superficiem in spatium finitum includendam : requiritur insuper ut valor ipsius t ex aequatione Asymiotica supra erutus fiat imaginarius ; quod sit si ista expressio
383쪽
perpetuo obtineat Valorem negativum, si quidem pro utraque variabili x &y valores quicunque praetero substituantur. Quod, cum cc - αδ & γγ - ψας sint quantitates negativae, fiet
si quidem α. habuerit valorem affirmativum , quoniam illam aequationem per α. divisimus. Quod si vero α. habeat valorem amrmativum , ob superiores aequationes ψας major quam γγ ἔδαδ major quam W; & δ ζ major quam εε ; couffcientes δ & c erunt assirmativi. x Io. Superficies ergo secundi ordinis in spatio finito continebitur , si in ejus aequatione quatuor sequentes conditiones locum habeant ; nempe si sit
α ε' ε δν' i minor quam C γε - αδ ζ. Nincque genus primum Superficierum secundi ordinis desin mus , ad quod eae species omnes pertinent, quae non in infinitum excurrunt , sed in spatio finito includuntur. Ad hoc ergo genus pertinet Globus , cujus arquatio est Φ yy ε xx - aa , cum enim hic sit α. I , δ I , I , ε o , γ P . ε o, quatuor inventis conditionibus omnibus satissit. Gen ratius vero hic pertinebit aequatio ista - ,
quae si , ζ, fuerint quantitates assirmativae, semper est pro Superficie clausa , nisi unus duove coeuicientes evanescant. III. Perspectis his quatuor conditionibus, quibus Superficies Euteri Introduci. Anal. insin. Tom. II. L b b
384쪽
in spatium snitum redigitur ; si proponatur aequatio secundi ordinis quaecunque determinata , statim dijudicari poterit utrum Superficies ea aequatione expresta habeat partes in infinitum extensas , an nullas. Quod si enim unica illarum quatuor conditionum desit, Superficies certo in infinitum extenditur. Hoc autem casu nonnulla: suhdivisiones sunt faciendae , quibus singularis varietas partibus in infinitum extensis inducitur. Prima subdivisio ergo constituatur , si fuerit αε' Φ δγ' in major quam quo casu Superscies in infinitum extendetur , atque Superficiem conicam pro Asymtota habebit, uti jam ante ostendimus. Hicque casus e Di ametro est oppositus praecedenti, quo tota Superficies in spatio finito continetur. II1. Praeterea autem dantur casus quidam intermedii, quihus , etsi Superficies in infinitum ahit, simili tamen modo inter duos praecedentes locum tenet quo Parabola inter Ellipsin& Hyperbolam continetur. Casus ille oritur si fuerit αε' 4- δγ' - - ζc' - c γ εeritque Propterea
Habebit ergo aequatio Asymiotica
duos Factores simplices , qui erunt vel reales , vel imaginarii , vel inter se aequales. Triplex ista diversitas ergo tria genera Superficierum in infinitum extensarum praehet, sicque Omnino quinque genera Superficierum secundi ordinis sumus adepti , quae nunc diligentius prosequemur. II 3. Quia, mutando positionem ternorum Axium , quibus
Coordinatae sunt parallotae, aequatio generalis ad formam si Diqitirco by Corale
385쪽
pliciorem reduci potest, ista reductione ita utamur , ut sequutionem generalem pro Superficiebus secundi ordinis ad formam simplicissimam redigamus , quae tamen omnes species a ueac generalis in se complectatur. Cum igitur aequatio generalis Pro Superficiebus secundi ordinis sit
quaeramus aequationem inter alias ternas Coordinatas p, ρ & r . quae quidem se mutuo in eodem puncto , quo teruae Priores decussent. Ad hoc ex g. 92. statuatur x α ρ f. h. cofm in. st n. m. f. V --q cof . .m -ε- sn. h. cos. m. cos. n) - 'Ita. k.s . n
y - - P sin. . cof m - - cof kJla. m. s. n -q sin. h. .m cof h. cos. m. cos. n) - r. cos. k.sen. n. atque P.s n. m.sn. n Φ q. cos m.sa. n Φ r. cos. n. unde resultet ista aequatio
runt , ut tres coessicientes D, E, & F evanescant. Quanquam enim calculus nimis sit prolixus , quam ut angulorum illorum determinatio actu ostendi possit ; tamen si quis sorte dubitet, an semper ista eliminatio ad valores reales angulorum illorum perducat, is certe concedere debebit , duos saltem eoes scientes D & E nihilo aequales reddi poste. Hoc autems fuerit effemam , positio tertii Axis , cui ordinatae r sunt parallelae in plano ad Ordinatas p normali , sacile ita mutari potest , ut etiam coessiciens F evanescat. Statuatur enim g t. . t in M. cos i & r t. cos i-u.sn. i, ita ut, loco terminiqr, novus terminus tu inSrediatur, cujus coefiiciens ope a
386쪽
guli i nihilo aequalis fieri poterit. Hoc igitur modo aequatio generalis pro Superficiebus secundi ordinis ad hanc formam
Perducetur App- FBqq-FCrr-FGP-FFIq- - Ir - Κ o. ras. Nunc praeterea Coordinatae p, q, r datis quantitatibus. ita augeri diminuive poterunt , ut coemcientes G , Η & Ievanescant ; quod fiet mutato tantum puncto illo, unde omnes Coordinatae initium habent. Atque hoc modo omnes Superficies secundi ordinis in hac aequatione continebuntur
ex qua intelligitur unumquodque trium planorum principalium per initium Coordinatarum ductorum Superficiem in duas pamtes similes & aequales bisecare. Omnis ergo Superficies secundi ordinis non solum unum habet planum diametrale, sed adeo tria, quae se mutuo in eodem puncto normaliter interiacent ;quod punctum propterea Centrum Superficiei constituet, etiamsi in nonnullis casibus hoc Centrum in infinitum distet. Simili scilicet modo , quo omnes Sectiones conicae Centro dicuntur praeditae etiamsi in Parabola Centrum a Vertice infinite re
II 6. Perducta ergo aequatione , qua omnes Superficies secundi ordinis continentur , ad formam simplicissimam, primum harum Superficierum genus exhibebit ista aequatici
s quidem omnes tres coeficientes A , B, & C valores obtineant assirmativos. Superficies igitur ad hoc primum genus pertinentes non solum totae in finito spatio includentur , sed omnes quoque Centrum habebunt, in quo tria plana diametralia se mutuo ad angulos rectos decussant. Sit C Centrum hujusi
figurae, & cA , CB , CD Axes illi principales inter se no
387쪽
males , quibus Coordinatae p, q, r sunt parallelae erunt tria CAP. V. plana diametralia AB ab; A Da; &BDb, quibus hoc Cospus in binas portiones similes aequales secabitur. I 17. Ponatur r o ; & aequatio A p p in B q q a a ex- primet naturam sectionis principalis AB a b ; quae idcirco erit Ellipsis Centrum habens in C , cujus semiaxes erunt C A C a --: & C B - C b --. Si ponatur q o, aequatio Appin Crr-aa , erit pro sectione principali A D a, quae pariter erit Ellipsis Centrum habens in C, cujus semiaxes erunt C A - C a --, & C D- Posito autem p o,
prodibit pro tertia sectione principali B D b aequatio B ρ ρ -F-Cnr aa, quae etiam erit Ellipsis Centrum habens in C &semiaxes C B - C b - , & C D --. Cognitis autem his tribus sectionibus principalibus , seu tantum earum semia-xibus C A - --; C Η - & C D - π , natura hujus Corporis determinatur & cognoscitur. Hinc primum istud Superficierum secundi ordinis genus Elliptoides appellari conveniet , quia tres ejus sectiones principales sunt Ellipses. II 8. Sub hoc genere continentur tres species prae primis notatu dignae. Prima est, si omnes tres Axes principales C A , C B , & C D inter se fuerint aequales, quo casu tres sectiones principales ahi hunt in Circulos , ipsumque Corpus in Globum cujus arquatio, uti supra vidimus , erit
Secunda species eos complectitur casus, quibus duo tantum Axes principales sunt inter se aequales. Sit nimirum C D C B , seu C B , atque sectio B D b si et Circulus, ex aequa tione autem Ap ρ- - B qq-krr a a intelligitur omnes sectiones huic parallelas pariter fore Circulos ; unde hoc Co
pus erit Sphaeroides sive oblongum, si AC major sit quam Diuitiroo by Corale
388쪽
Arrrvn. B C ; sive compressum si A C sit minor quam B C. Tert a' denique species ea complectitur Corpora, in quibus coefficientes A, B , C sunt i quales, quae ideo nomen generale ELliploides retinebunt. II9. Sequentia genera Superficierum secundi ordinis hac
desit; eorum autem , vel unus Vel duo , Valores haheant negativos. Sit unus tantum negativus , atque consideremus hanc aequationem .
in qua jam A , B, C numeros assirmativos denotare ponimus. Quod ad Centrum hujus Corporis & plana diametralia attinet, omnia eodem modo sunt comparata , ut ante. Patet igitur hujus Corporis sectionem principalem primam ABabesse Ellipsin , cujus semiaxis A C - , alterque B C -g. Binae reliquae sectiones principales A q , B S erunt Hyperbolae Centrum iu C & semiaxem conjugatum se ha
I2o. Repraesentabit ergo haec Superficies speciem infundi-huli , sursum di deorsum secundum Hyperbolas divergens. Unde ista Superficies Asymtoton habebit Conum aequatione A ρ ρ in B q q - C re o expressum , Uerticem in Centro C habentem, & cujus latera sunt Asymtota Hyperbolarum. Stabit autem isse Contis Asymtotos intra Superficiem, eritque Conus rectus si fuerit A - B; scalenus vero si A non ipsi B aequabitur. Axis autem Coni erit recta C D normalis ad
389쪽
planum A B a. Ccterum omnes sectiones Axi C D normales cap. v. erunt Ellipses similes Ellipsi AB ab, sectiones vero plano AB ab normales omnes crunt Hyperbolae r unde istas Super i-cies elliptio hyperbolicas vocari conveniet, Asymroto suo conico circumscriptas. Hujus igitur Superficies nobis constituent genus secundum.11 i. Species in troc gencre iterum tres notari poterunt: quorum prima crit, si a - o , quo casu Ellipsis AB ob in punctum evanescit, & Hyperbolae in lineas rectas ahil unt: Superficies vero ipsa cum Asymtota sua penitus confundetur , ex quo haec prima specics complcctetur Cranes Conos, sivo rectos sive scalencs; unde nova sthdivisio fieri posIet. Altera species erit si fiat A - B ; quo casu Elliptis AB ab in Circulum mutatur , & ipsa Superficies fiet rotunda seu tornata. Orictur scilicet haec Superficies, si Hyperbola qi cunque circa Axem conjugatum convertatur. Iertia species ab ipso genero non discrepabit. ma. Tertium genus definiamus, si duo cousscientes te minorum Ap. qq , & re fiant negativi, cujus ergo aequatio sit A p p - B ρ ρ - C r r a a. e
Posito ergo r o, erit prima sectio principalis Hyperbola T 1 v. E A Feaj Centrum habens in C , cujus semiaxis transversus XXXi κ. erit --, & semiaxis conjugatus - Altera sectio ε'vprincipalis , posito q o , Pariter erit Hyperbola A Q, a q, eodem semiaxe transverso praedita , sed cujus Axis semiconjugatus erit --: tertia sectio principalis sit imaginaria. Tota denique haec Superficies intra Superficiem conicam Asymtotainerit sita : unde hoc genus vocari potest hyperbolic hyperbolicum Cono Asym toto inscriptum. Si fiat B C , Superficies erit
rotunda, orta ex conversione Hyperbolae circa suum Axemrausversum, quo casu species peculiaris constitui posset. Sin Diqitigod by GOoste
390쪽
. autem ponatur a o, oritur Superficies conica, quam jam :tanquam speciem generis praecedentis, sumus contemplati. I et 3. Ad sequentia genera cognoscenda ponamus unum Coeia
ficientium A , B , C evanescere. sit igitur C - o, atque aequatio generalis f. II . inventa crit App in B qq Η-Gp - - Ηρ H- I r -l- Κ - o, in qua , augendo seu diminuendo Ordinatas p & ρ , termini G p & H q, non vero I r tolli poterit. Relinquetur ergo terminus I r in aequatione : ejus vero ope tolli poterit terminus ultimus Κ, unde ejusmodi aequationem habebimus
cujus duo casus sunt perpendendi. Prior si uterque coeffciens A & B fuerit assirmativus : posterior si alter sit negativus. Utroque autem casu Centrum Superficiei in Axe C D erit situm sed ad distantiam infinitam remotum. I 2 . Sint primo ambo coessicientes A & B amrmativi iquo casu Constituatur genus quartum , aequatione hac con
Prima ergo sectio principalis oriunda si ponatur r - o, in punctiim evanescet; altera posito q- o ; & tertia posito p o, utraque erit Parabola. Nempe M A in & N A n. Cum igitur hujus Superficiei omnes sectiones ad Axem A D normales sint Ellipses; sectiones vero per hunc ipsum Axem factae Parabolae , hujus generis Corpora elliptic parabolica appellabimus. Cujus species sunt notandae duae : altera si A - B, quo casu
Oritur Corpus rotundum, concides parabolicum Vocatum: altera
Vero si a o , fitque Ap p in B bb , quae dat Cylindros , tam rectos si Α - B, quam scalenos si Α & Bfuerint inaequales. Quintum Diuitiam by Corale