장음표시 사용
271쪽
rvin alterum, alterum Theologorum matbe A mo mero in sinistr iudicari minimepatienturmaticos sane hau vereor gratiam ibi abiaturos non modicam , quod viam illis huius rei inuestigandae aperuerim lati sumam nam inuenis quo quaero mi audeo polliceri. Et in hanc I em erigit mesan non raro Clautinostrae Societatis Mathematici testimonium, qui mihi pro pluribus, ne dicam pro Ommbus haberii rito potest Theologoriim Ner patientiam emposco,atque ut huius consillime decretum aequi bonique consulant, rogo: Esi enim, ni mea me
fallit opimo experimento quoque probare poterunt, me in j ijsis, quae de cubiti mensura, ac alijs mathematiciis quaesirmissima unt monstrationibus a sero, comprobata plane ac
certa asserre inoHramquesententiam inanibus
quibustam excogitatis es iugi oppugnari im-
Sed hoc aliorum iudicium entos quod nostrum fuit, curauimus, it haec omnia seorsum reponerentur, ne legentium adfinem voluminis anhelantium cursus retardaretur. Porum,
rosv ijs ac votis, qui principia, quibus in his
nostris rebus demonHrandis innitimur,pers Lcere cuperent, debere meputaui,ut ea hic fusiissatque berius explicarem. Atque adeo set, ro,Vt hi,quibus ac quamsirmis fundamentis innitatur haec nostra de mensuris tractatio, in telgigant illis vero ad alia properantibus ea dem nec des ectui, nec impedimento sit futura. In citandis porro Euclidis elementas utimur claui commentariisse quod ideo dixerim, itintedigas, ubi scholia, corollaria, quae non raro adducimus, inuenire possis.
272쪽
proportionales inuicem conserunt.
SI SINT quotcumque magnitudines continue proportionales, Pae ex eis, inter quas aequales
numero magnitudines intercipiuntur, erunt pro
portionales, continue quidem sinterceptae cum extremis continuentur is verὰ non continuentur, discrete.
Iu magnitudines A, B, C, D, E, F, G, Η, I, Κ, continue proportionale . Dico primo, etiam A, C,F, G, I, Vel B,D, F,Η, Κ, inter quas singulae magnitudines in
tercipiuntur, eue continue proportionales. Cum enim sumantur ternae ma
gnitudines A, B,C, C,D, E, E,F, G, c. I sitque ex hypothesi earum proportio;,a; ordinata ex aequalitate, erit quoque eadem proportio A, ad quae ,ad E, E,adi,&c.Parique rati O- ne si sumantur ternae magnitudines, B, C, D, D, E, F S c erit ea- A. D. C. D. E. F. G. dern proportio I I 6 32 6 . 118. iues v, d D, qu es,
ad R&c. Immo 1 quaecumque duae, inter quas intercedit una media, conserantur cum quibuscumque duabus, inter quas similiter una media intercipiatur temper demonstrabitur eas proportionales esse Accipiantur enim binae A,C,quae conferantur cum duabus D F, vel cum duabus Η, Κ, vel cum duabus R,D, erit omnino eadem proportio A,ad C, quae D,ada,vel H,ad K,vel B,ad D nemne exaequalitate ordinata ut prius solumque haec deprehendetur in utraque argumentatione diuerentia, ub prior illa colligat proportionem continuam, posterior vero discretam rursum eaedem magnitudines continue proportio nates. Dico secundo, etiarix, in G, K, vel B, Ε, Η, inter quas binae mediae cadunt,continue proportionales elle . Atque sibi Cnae A, D conserantur cum magnitudinibus B, E, vel , I, c interritias similiter binae Inediae intercipiuntur, erunt in eadem proportione 1lcreta Quia enim accipiuntur quaternae ma
gnitudines A,B, C,D, D,E, F,G, G,H, I, Κ, quarum est ordinata
. μωα proportio,erit rursum ex aequalitate eadem proportio A,ad D quae D ad G G ad K. Eodemque modo erit contiirua proportio inter B, E, H, haec,eadem cum proportione, verbi gratia, A,ad D,nempe cum ea,quae est inter quosvis duos terminos, inter quos duo medii intercedunt. Semper enim omissis duobus messii ex quattuor terminis proportionalibus, licebit ex aequalitate inferre eandem proportionem extremorum, ut in exemplis adductis patet. Atque idem ipsum eadem ratione de quibus vidique ali)ς magnitudinibus proportionalibus, inter quas aequales numero mediae cadun P, licebit inferre quod erat de
monstranduIT . De . a quincti.
PROpORTIONES, quae componuntur ex ei
dem proportionibus, vel quae sunt duplicatae, vel triplicatae, c. eiusdem proportionis funceaedem inter e ct quae funt eaedem inter , componuntur ex eisdem , vel funt duplicatae, triplicatae, o c. eiusdem.
Ropo Io πεs Α, ad B, C, QD, sint compositae ex eisdem, nempe proportio A,ad B, sit composita ex proportionibus A , ad E, E, ad F, a,ad B,&hae in eaedem cum proportionibus C, ad G, G, ad H, H, ad D, ex quibus componitur proportio C, ad D. Eriti e aequalitate eadem pro AG --
portlo A ad B, quae , ad D. Si vero proportiones A ad B, G, ad D, ponantur, verbi gratia, triplicatae proportionis A, ada, vel , ad G,poterunti in terra, i, interponi duo termini E, F, per quos continuetur pro . A. E. F. B. portio , ad E; inter C I. in interponi quoque po- C. G. H. D. terunt duo termini G, H, per quos continuetur proportio . Quibus interpositis erunt qua tuor magnitudines A, E,F, A, totidem aliae C G, H, D , inter quas est proportio ordinata. Vnde ex aequalitate erit rurium eadem proportio A,ad B, quae C,ad D . quod erat primo demon
deinde eadem proportio A ad B, quae , ad D, sitque proportio A ad B, composita ex proportionibus Α, ad , E,ad λ&F, ad B. Dico etiam proportionem , ad D, componi ex ei Ddem proportionibusci fiat enim vim ad L, ita C ad G, vi F, ad F, ita G, ad H, denique uti ad B, ita H,ada. nare Ex demonstratis erit eadem proportio A,ad B, quae , ad L sed eadem p nitur ,ad D pergos I, D, sunt aequales Miccirco etiam proportio C,ad D, componetur ex proportionibus C,a G, G, ad H, H ad I hoc est, ex proportionibus Α, ad , E,ad F. F, ad s. Quod si proportio A,ad B, ponatur, verbi gratia , triplicata proportionis A,a E, erit quoque proportio C, ad D, triplicata eius dem . Interiecto enim insuper terni ino F per quem proportio A, ad Ε, continuetur, si fiat vim, adi, ita C,a G, vis,adi, ita G, ad H, denique uti, ad B, ita Η,ada, erit quoque proportio C,ada triplicata proportionis C,a G, hoc est A,ad E. Ac proin de ex demonstratis erit, A,ad B, sic , ad I sed ita ponitit ouoque , ad D ergo ut priris , D, erunt aequales tcj:: ctiam proportio C, ad D, triplicata proportiolus C, ad , vel A. LE. quod erat demonstrandum.
273쪽
SI SIN quotcumque magnitudines continuὸ proportionales, ct inter proximas quaslibet interponantur quotui mediae numero aequales; erunt hae cum iPis continu proportionales inter se in eadem proportione continua magnitudinum propositarum, si videlicet ea inter se conferantur, quae sbi restondent, nempe secum dae fecundis, tertiae terti,s, c.
AGNtΥvDIME quinque , C, E, G, I, mi prim continue proportionales, inter quaslibet proxima sint interpositae singulae me diae B, D, F, H. Dico omnes nouem magni tudines esse continue proportionale . . niam enim tres magnitudines A, B, C, itemque tres C,D,E, nec non tre S E,F, G, tres,G, τυμ . , I, sunt continuo roportionales,erita in singulis proportio pri-
D. F. . . . . nis primae ad 16 I 18. λ 6s , secundam,VI- delicet , ad B, C,ad D,&c Sunt autem proportiones primarum ad tertia ex hypothesi eaedem ergo primarum ad secundas,uel quod dem est, secundarum ad tertias, atque adeo cuiuslibet antecedentis ad proxime sequentem, proportio erit eadem Ergo singulae mediae eum magnitudinibus propositis sunt continue proportiona Lem. r. les. Ex quo sequitur', iuxta primum lemma etiam inter se esse huitii. continuὰ proportionales, nempe ita esse Β, adi,ut , ad F &c. Et quidem in proportione magnitudinum propositarum, nempe δε ad C, propterea quod tam inter illas qua in inter has singulae cadant magnitudines mediae, ut in eodem lemmate fuit de
secundo magnitudines A,D,G,X, continu Pr p m nales, S inter quaslibe proximas interi j ciantur binae mediae BC, EF, HI, eruntque proportiones rimarum ad quartas,nempe A, ad D, D,ad G, G ad Κ, triplicatae proportionis primarum ad secundas, vel secundarum ad tertias, vel tertiarum ad quartas, camper interiectos terminos semper eadem proportio sit continuata Clim ergo rursus proportio primarum ad a lamma quarta sit eadem, erit quoque proporti primarum ad secun-huim das, secundarum ad tertias, tertiarum ad quartas, atque adeo omnium magnitudinum propositarum cum vis med ijs eadem a s .mma proportio continuas&consequenter deadem quoque Proportio .mus . cuiuslibet secundae ad proximam secundam. tertiae ad te tiam,&c proportio eadem, quae est inter magnitudines propositas, hoc est,aue,ad F, E,ad H, vel C,ad F, F,ada, erit eadem quae A,ad D propterea quod inter singulas binae cadant mediae proportionales. Eoo modo si quotcumque aliae mediae Interponantur inter magnitudines continue proportionales, demonstrabitur propositu n nisi quod loco proportionis duplicatae vel triplicatae assumenda sit quadruplicata,vinctu plicata,&c.
SI SINT quotcumque magnitudines continu proportionale quaelibet Parum erit media inter quaslibet duas, quae ab ea utrimque aequaliter disent. SI SINT quattuor magnitudines e continne, sue di crete proportionales tuae es media proportionalis inter minimam o maximam , es etiam media inter duas reliquas; se quae est media inter bas reliquas, est quoque media inter maximam ct minimam.
Mori, proportio sit A, ad B, quae C ad D, IN que A, minima, O maxima, inter quas sit media E . Dico eandem E, esse mediam inter reliquas B, C. Quoniam enim ex hypothesi est, uti,ad A, ita D,adi. Vt A,ad B, ita ponitur C, ad D, erit quoque ex aequalitate pertur 'ῖ. PM-bata, uti,ad B,ita C, ada quod erat primum. si deinde E,medi A B. C. D. tes B &C. Dico eandem o, 6 . mediam esse inter ,&D. Quia enim ut A,adi, ita ponitur , ad D, , B, adi, ta F, ad C erit ex aequalitate perturbata, uti, ad E, Ita quoque E ad D. quod erat demonstrandum.
SI SUNT quattuor magnitudines, quae es
media proportionalis inter minimam, ct maximam, ea sit quoque media inter reliqua ; qua tuor sis magnittidines erunt proportionales , ponendo minimam ct maximam extremas.
VAT Tvo sint magnitudines A, B, C, D, sitque A, minima, D, maxima, Maliqua magnitudo E sit media proportionalis tam inter A, D, qtiam inter B,C. Dico ipse magnitudines pro portionales esse,hoc est, A. C. D. ita esse Α, ad vi C, ad D, vel A ad C,ut B,ad D, utcumque sumantur,modo minima, maxim ponantur extremae. Nam ex hypothesi vi ad ita est E,ad D,&vtE, ad B, ita C, UE: ergo ex aequa .quin litate perturbata erit quoque , ad B, Vt , ad D, vel permutando biti, ad C, ita B, ad D. rσ. quincti Euriid. magnitudines A,B, C,D, E,F, G tar, verbi gratia, continue proportionales. Dico magnitudinem, verbi gratia, D, non solum mediam esse inter C, E,quod ex hypothesi constat sed etiam inter , I, nec non inter A, ωG. Clim enim sint re magnitudines B, C, D, Maliae tres, D,E, F, sitque earum proportio M.σuincti ordinata ex hypothesi, erit ex aequalitate proportio B,ad D, ea-
dem , quae , ad , eodem modo erit e dem , ad D, quae D, ad G sit loco trium magnitudinum sumantur quattuor A, B, C, D, aliae quattuor D, E, F, G. Immodioc ipsum constat etiam ex primo em matessi siquidem tam inter A,D, quam interi, G, cadunt duae mediae.
LI IN quotcumque magnitudines continuδproportionales, ciliae quaedam in eadem ratione Atque una aliqua poseriorum media i re duas quaslibet priorum, etiam reliquae po- seriores eodem ordine erunt mediae inter rei quas priores.
Ou hvst, magnitudines A,B, C,D,E,F, esse conis tinue proportionales, Malias L,Κ,G, H,I,In ea dem ratione proportionales , sitque verbi: gratia, media inter ,D. Dico etiam reliquas eodem ordine esse medias inter reliquas, nem-pem,inter D,E, I, inter E,F: nec nona, inter A,B,&Κ, inter B, C. Quoniam enim G, media est inter C,D,eries proportio C, ad D, duplicata proportiorus C, ad G,vel G, ad D.
o etiam proportio G ad H, erit duplicata proportionIS e. ad D, ac proindem, erit media inter G, H, hoc est, ut G ad D, MM. ita eriti, ad Pin. Eodemque modo ex eo, quis eadem sit proportio D,adi,quae G ad Η, D, fit media inter G,MH, ostendemus H, mediam esse inter D. E.& consequenter , mediam esse inter H,I,&I,mediam inter E, F Immo eadem ratione dein monstrabitur quoque Κ,L,medias et se inter B, B,A. quod erat demonstrandum. quincti.
274쪽
SI SINT quotcumque magnitudines continue proportionales, O ut prima ad Dimam, iii sit l- Iim . ad atram, haec in ratione primae adsecundam occupabit duplo remotiorem locum prima , fmpto mo quam occupauerat ultima. Et rursumpsit ut prima adproxime inuentam, ita eadem iuuenta ad aliam haec posterior in eadem ratione occupabit si militer duplo remotiorem locum a prima, dempto uno quam occupauerat
Εωrva in primis duae magnitudines A, B, fiatque ut A ad B, ita B, ad Cci dices occupare duplo remotiorem locum dempto uno a prima A quam Occupauerat secunda B, nempe tertium, id quod patet. Quemadmodum enim inter A, B, nullus alius intercedit termitius in ratione A, admitta neque inter B, C. Ac proinde cum ab A,vsque ad B, sint duo teramni. a B, cque ad C, similiter duo termini, essent omi uno quattuor termuni
.. 3 ρ. ssi. x usque ad C, hoc eu C, occuparet quartum locum , duplo scilicet remotiorem , quam occupat secundus R, nisi lue esset terminus communis,hoc est inter illos termi hos bis numeratus. Fiat rursus, A,ad C, timentum terminum,ita C,ad alium Ea dico Esc- Cupar 'uinctium locum , e quod quinarius numerus a duplo terti unitate deficiat. Quoniam enim eadem est proportio A,ad C, quae C ad E,8c proportio A,ad , duplicata est proportionis A ad B, erit' etiam C ad E, duplicata proportionis A ad B laoc est, inter C e i, cadet unus terminus D, per quem continuetis rproportio A ad B. Quare cinia ab A,vsque ad C, sint tres termini, de similiter a C,vsque ad E,alii tres essent omnino ab Α, usque ad Ε, sex termini, ni ii , magnitudo bis fui iset posita hoc est, E,occuparet duplo remotiorem locum, quam , nempe sextum, nisi propter repetitum terminum C essent anthim quinque . Ause renda ergo ei unitas ex illo numero sexto , qui duplus est, denominationis loci terti termini C. Eodem modo ostendemus,si fiatu A,ada, quinctum terminum , ita idem terminus E , ad alium I terminum I. occupare nonum locum,e quod novenarius, merus unitate deficiat , duplo quinarij. Cuius rei ratio similis praealtatis est nam ciun tam ab Α, usque adi, quam ab ,vsque ad I sint quinque termini, consequenter ab A vsque ades, esient decem termini, nisi auferendus este semel terminus E, qui in eiusmodi numeratione bis computatu P. t vero propositae essent tres magnitudinc continue pro portionat s A, B, C, itin, ad C, ita C, fieret ad aliam E , ut , ad Ε, ita E ad aliam , coincidere: haec progressio cum D praecedentes, ac proinde utriusque ea leni se demonuratio S item quattuor magnitudines A, B, C,D, continue proportionales, SI, A ad D, quartam, ita fiat D ad aliam G dico G, occupare septimum locum ab A. nempe locum duplo remoti rem, dempto uno, quam occupet quarta magnitudo D. Cium enim, si continuata foret proportio A ad B, ab A vsque ad D, PT nt' lattuor teranini erunt quoque a D, usque ad G, quat tuo termini, propterea quod utraque troportio A ad D, O, ad G , si triplicata eiusdem proportionis A ad B. Quare ab A, usque ad G ,estent octo termini nisi terminus D semel esset rei j-ciendus , eo quod bis fuerit numeratus . Eademque est ratio, si plures est dint ma nitudines propositae, continuesproportional 5. quod erat demonstrandum .
SCHOLIVM P RIMUM. O D si dicta pro remo non imperet a
cundi, tertii, quarto, a Ac tamen δε-
st. Nam , verbigratia, in eadem sign-ri ni quattuor magnitudines continNe proportiona Ie A, B, C, D, it A secunda ad D, quartam, ita stat , ad aliam P erit ouminoi, quincta secunda 'T, in proportione L, ad C, hoc es , A,ad B, a proinde, ha atur ratio prixuae magnitudinis A, erit eadem -- gmtudo F,sexta a prima A . Si re iter fiat, Ut T. ad F ita F, ad aliam K, erit K, nonus terminus a se eundo A iuxta propos tum lemma, consequenter res festi termini A, erit eadem magmtudo , decimus
Eodem modos Dissent quinque magnitudines A,B, C, D, E, V Uti,fecunda ada, quinctam, itas baberet
i ,ada iam , essti, rejectu T, quarta, Diergem mapropo tam , respectu Aineptima,eo nodi gna tuo faciant diro ct dempta Unitate maneant septem. Eadem igitur magnitudo , esset terminus oditauin shaberetur ratioprimi termini A. Non aliter argumentandum foret, si a quouis alio terminoprogresonissumatur initium. Si enim iuxta hoc emma di istenter aduertatiar, Notum locum occupet quilibet terminorum inuentorum ab Ego te mino, a quo incipit progressio, or idi loco addant&r tot nitates, quot termini tindem terminum , a quo progresso inci- peti praecedunt, conficieturitimerus locorum pro icrmino iuuento res ecta primi. Ita enim ides, siati Gadi ita E, a G, numero gmniuio, qui denominator loci , respectu terminii, addantis duo, eo quὰ terminum C, antecedant Iiν duo A, B, produci numerum 7 denomiuatorem loci pro eodem termino G, reJed tu tormini A. Atque ita dereliquis.
SCHOLIUM SECUNDUM. R ,Σ E semper cogamur nouo di cursu et fi p- putatione eorundem terminorum loca inm ξ μ ligare, sequentem tabulam bio tibi=c re Zibuit, in qua prima series transier- si continet denominatores locorum aliquot magnitudinum continuὸ proportionalium a primi r , quando silicet di prima adfectiniam, ita Accinae , erit ad tertiam prima ad tertiam ita haec ad aliam ct rursum ut 1 lina ad hanc ita baec eaden , ad aliam, e Numeri enim in dicIa serie ori end ut, noti ni isti termini in continua proportione primae adfectindam. In secunda σὴ ferre descripti sunt idinumeri, qui indicant, quotlyn inguli termini, quando stibus magnitudinibus datis continue proportionati-hus, Otprima ad tertiam , ita fortia ad aliam 'nu fumi prima ad hanc prim intientam, ita ea em inuenta ad aham, o in tertia pariter feri repositi sunt id numeri denominatores terminorum, et an quattuor propostis magnit dinibus continu proportionalibus, Ut prima ad Iartam, ita quarta se babeat ad aliam, ι Utprima ad hanc aliam, ita eadem proxime inuenta ad aliam, ita deinceps de reliquis
denominatores locorum magnitudinum continis proportiona hum prima.
TABULAE FABRICA MV S a iniri, is tabulae numerus HVVit δε omiuator rimi terminis
cundita Cerrinti merus fisemper diuersus, crescitque per singuia Unitates ibinario; eo quod alter terminus secundum Uenta primὰ continuanda eri proportio pol it esse Ce eo dus e duobus datis, ei tertius ex tribis datis, et sartus ex quattuor tam Tertiuideinde n&merus in m olis ordinibus denominatprimum terminum, qui per diectam
275쪽
tum itast reliqti numeripo Iscundum eo or in I
quos mutuo consequuntur ersus dextram deno=-nent terminos eodem ordine in entos. Otio Cero ad diabtilae extensionem attinet, aperfaciliberii. Desicripta enim primaseries Lira defendente, quae Hus nitatibu contenta eLI, scunda δε-rie, quae a binario persingulas uitates, Ut praed xi-wm,crescit, religis numeri uiu userie translers e per renti Huam displicationem numeri praecedent λύ memunt, dempta smper e duplo uitate is Et quon iam idem si duplicare propos itum mimerum, ex duplo referre Unitatem, quod duplicare minurum nitate minorem numero proposito Daddere nitatem , at et eosdem numeros transuersos etiam producis silibet numerus antecedens minor Em-tate duplicet tir, o duplo adi ciatur Unitas. Ita Urdes iuxta priorem resulam in primaserie ex duplicatione binari , qui L secundus dicti ordinis, pro ne quaternarium, sinosublata nitate relinqui ternarin ,, reponendum in tertia cedula in eundem terna Itim produci si dupli retur et nitri, quae eL minor Una UnItate quam binari s . . plo Vi nempe binario a iseriatur Gnitag. Possim etiam ingula ries defenden te compons exprimi s promo numero uirus is ordinas . Namsinu. merus ni se Liror, qui m sit timerussupremus, ad datur et cm upremo , producetur numerus proXIme inferior: shui iterum addatur idem numerms, qui primo fuit additus procreabitur aster numerus ferior proAimesequens ita per eontinuam addit Ionem eis dem numeri minoris nitate, quam sit supremas, ad proxime inuentum, habebuntur Anguli reti qui numeri inferiores Exemplum ei locis quis extenae reve hi sextamseriem descendentem, cuiusue premus nume rus e I septem de com , primis ad 17. addat 6.m me rum proxim minorem numero II procreabitque n&merum proxime inferiorem a Dein eicii numero a 3 iterum ad ijciat sexdecim, inurniet numer m q9. 9 se eloceps,
denominatores locorum magnitudinum continue proportionalium a prima.
mam proxime iustentam, ita eadem Undecima ad aretam, erus locum prima denominabit numeruiquartus tu dem aincti ordinis, nempe et L hoc L , per continusitIonemproportioni trima termini ad Undec um inuenitur terminus igesimus primus. Ea emporro tabula inseruit quoque illiprogressom, i am in priori cholio exposuimus. Namsi verbi grati iterum ni proposta sex magnitudines continuὸ proportionales atque Ut tertia, ad sextam, itasAO ad aliam, o G eadem tertia ad hanc, ita aciem hae ad aliam. taprogressi sal uxta lemma prae missum, qua tertius terminns primus foret, con
s uente sexsta re periti eius rem, inrita quanti,
inuenientur reliquores terminorum denomina fres tu tertias te transuersa tabulae praecedentis, quotas z- delicet quisque sit a tert: termino, tamquam a rimo. tque iccircosi gulis numeris iisdem ordina tertii adjoiatur binaritis, eo quod tertiti terminum datumati duo praecedant , conscientur denominatores Omnitim terminorum inuentorem, en e tu primi termini
dati, Ut patet ex iis, quae in priorisvuli unt dicta.
IN 7 propostae, erbi gratia, sex magni ' tudines continue proportionales, qIIaeranturque terminiprogressionis se ea inlli rea tur itixta praemissum lemma uaeratur rim inter scundos numeros, hoc scandi ordinis descendentis numem ex qui chm reperiatur in quinatasDie', ansuersa, ilia erit quae continet denominatores quaestos terminorum. Nam Asat Ut prima magnittido data ad sextam datam, ita haec sexta ad aliam, inuenietur magnitudo, quae Undecimum locum occupet a prima in idelicet proportio pri mae ad secundam datam continuata fuisset seque ad undecimum termin&- quem quidem denominatorem Undec intim exhibet tertius numerim i incti ordinis.
SI SINT quotcumque magnitudines continue proportionales, ου prima ad quamlibet ea rum, eluti ad fecundam, ita sit alia quaelibet earundem ad aliam, eluti tertia ad quartam pista quae es in ar quartae,occupabit eum locum ab ea, quae si insar tertiae, quem illa, quae sinstar fecundae, obtinet a prima. Eadem quoque, quae est sar quartae I prima occupabit eum locum dempto uno, qui componitur ex eo, quem habet tum ea, quae es insa secundae, rum ea, quae es insar tertiae ab eadem prima.
RO pom urva ex magnitudines A,B, C,D,E, F, conti liue proportiora ales, Nut earum prima,
verbi gratia A, ad D, quartam veluti ad secundam, ita sit, verbi gratia, eadem quarta D, in star alicuius tertiae ad aliquam , quae sit in ista quartae . Dico G, eum locum obtineri a D,quem , occupat ab Au itemque eandem G, eum locum occuliare ab Α, uno dempto, qui componItur e X eo, quem habeti,quarta dum est instar secundae, de , dum eli
1 I. 'ε. 3α S. 2 6.s Ia IO: . I. a. instar tertiae ab eadem D dum ei instar secundae. Nimirum magnitudinem , occupare quartum locum a D, quot Im etiam D, occupat ab A eandemque G, occupare locum septimum ab A propterea qubd hic numerus septem reli Iiquatur. si ex numero octo, qui componitur ex duabus distantiis D ab A nempe ex bis quattuor, dematur natas. Priori parta Shaec est demonstratio . Quoniam enim eadem est propomo A,ad D, ouae , ad G, in , ad D, est triplicata pro pomoni Sipsius A, ad B, erit D, ad G, triplicata eiusdem atque adeo inter D, G, cadent duo termini E, F, per quos continuetur terinter extremos D, G, proportio , ad B. Quemad inodum inter A,D, cadunt duo termini B, C, per quos continuatur ter e dem proportio A,ad B. Quare eum locum occupabit , D, Quem D,abo ne Inpe quartum . Eademque est ratio a reliquis: nam eodem modo demonstrabitur F, sexta occupare quartum locum DC, tertia, vel H,octava aba, quincta, si ut A ad D, ita ponatur C, adi,vel E ad FI . 1 autem tin, ad ii, quinctam, e bi gratia, ita ponatur H, octava ad , duodecimam, irendetur N abes, occupare quinctum locuti, cuia scilicet, quem E, O tinet ab A. Selic dereliquis. Ex quo posteriorci partem facile licet dedit cere. Ula enim G occtipat quartium locum a D, itemadna dum D ab , si distantia G. a D addatur distantiae , ab A producetur numerus octo, a quo si dematurinitas, ne bis computetur eadem D, relinqttitur numerus septem, dillantiae , ab A 1 quod etiam patet ex praecedenti lemmate siquidem pi oportio A ad D, continuata est ad G sis , si v A,ad D quartam, velut ad secundam, ita sit C tertia, ut tertia ad aliami, veluti ad quartalia dico' esse Msextam ab A . Cum enim C ab A tertium occupet locum, J, L quartum, eo quod per priorem partem hinus lemmatis tantum distet F, a C, quantum D ab A , si ex numero eptem, qui componitur ex ternario, quaternario, auseratur nitaS, ne a 2. Lemma huitu
276쪽
1dem te iratas C, his numeretur, vel quia post , sol im sint tres magnitudines usque ad , relinquetur numerus sex illaniatiae magnitudinis F,ab A . Eodem modo si ut A ad D, veluti ad secundam, ita sita,veluti tertia ad H, veluti ad quartam tu numero quinario distantiae tertiae E, ab A addatur quartus numerus distantiae secundae D. ab Α, quae quidem est eadem cum distanti Η, aba, producetur numerus novenarius, a quo si subir hatur unitas, ne videlicet terminus F, bis numeretur, relinquetur numerus octonarius distantiae teria ni quartim, ab eodem primo termino A.
IN quattuor magnitudines A,B, C,D, continue proportionales, sitque A prima maior hecunda B. Uinter AD, interponatur quincta aliquam gnittrdo E,media, rursu ira inter A,de Ε, sexta magnitudo G inter E, G, septima magnitudo I. denique inter G, I, o flava magnitudo L. Di cor, I, minores eue, SI G, L, maiores ipsa B, inter minores E, L posteriorem L maiorem esse priore E: at vero L, quae inter
ADEM rationes loco primae magnitu dinis inumatur inritarprima quaecumque reliquarum magnitudinum contina ei proportionalium Gerbi gratia, magnitudo quarta D, atqtie tu, ad aliam Uerbi gratia, ad G qtiae sit infriar secundae, ita alia, verbi gratia, non magnitudo I, quaesit inri a tertiae, ad aliam M, quaest infriar quartae; deprehendetur, quotast haec quarta prima modo conLiet, quota si ita, quae Litans iarsecundae , ab ea , quae erit in far primae, quota si ita, quae L in Iar tertiae, a prima A semper enim Vltima inuenta, nempe ea, qtiae L in Parquartae a prima magmtudine AE eum locun obtimebit dempto Uno , qui componit tir ex dis Iantia , quam habet ea, quae eri inflarsecundae ab ea , quae eri in Iar Dr mae ct ex ilia distantia, quam habet ei, quae Licin- Liar tertiae a prima AE. Vnde cum in exemplo termi nus I, qui Li in Par tertiae magnitudinis sit nonus terminus ab A tar terminus G, at,seu M ab I, t quartus fa laque additione quattuor ad nouem flant tredecim, dematur nitas, remanebit numerus duodecim cibi denominabit diritantiam innenti termini , dprimo termino , hoe erit,' erit terminus duodecimus. Ceterram haec regni et Iu=n habet lociam, quando terminus, qui e I in a primi, ef propinquior primo termino , quamsit is, qui es in Par termini terti=. Nam, oret eadem proportio, verbigratia, G, ad I eius qui erit infriar primi termini ad eum, qui Li in Harsecundi, ita erbi gratia C. L a terti ad aliam L, qui stin- Liar quarti non redite per traditam regu m deprehendetur huisu quarti terminiae, diritantia a primo A: δqυὰd terminus , qui est in tar terti , si propinquior primo , quam terminus G, qui erit Liar primi. N hilominus eiusdem termini quarti dis tantiafacile habe bitur, di tantia tendinini, qtii L infriar terti, a primo termino Jubtrahatur a d tantia eius, qui eis infriar
terminiscundi, ct insuper ex reliquo numero tot itinunitas UisImus enim numerus retictio erit dis Iantia quaesita ita enim ides sex novenario numero di L antiae secundi termini I, a terminora subtrahat tiriernarim, di tantia terti terminii, ab eodem primo terminora, relinquitur senarius, quos auferatur unita3, remanet grainarius, denominans d tantiam te, mini, qui fuit in Par quarti ab eodem termino A.
SI SINT quattuor magnitudines continue proportionales,sitque prima maior fecunda, interque extremas cadat quincta amnitudo media ipsa erit minor scundae quattuor proportionalibus o inter hanc tiinctam magnitudianem , ct primam interponatur alia magnitudo sexta, ea erit maior eademsecunda . Septima autem magnitudo , quae fuerit media inter quinctam sextam, erit rursum minor, se magniaturi octaua, quae fuerit media inter sextam septimam terum erit maior eademsecundae
ita de alijs magnitudinibus med se, quae simili
s modo interponuntur, quae omnes alternis et/icibus maiores erunt minore e magnitudine δε cunda femperque inter minores posterior erit maior priore quae inter maiores fuerit po- serio , erit priore minor. lemmhuim. lemmmaiores sui posterior esse minorem priore G Mita de alijsmagnitudinibus, quae 1cto Iraodo ac ordine interponi possunt. Quoniam enim Α, Β, C, D, sunt continue proportionales, inter que extrema A, D posita est media F, ea erito quoque media , a Iemm. inter B,&C,&ideo E, minor erit qui B, cum in proportione uius maioris inaequalitatis, quae est inter terminos B, E, C, terminus E, Isit posterior. Intelligatur quoque inter A, B, positus medius terminus , de inter BE, medius Η id denique inter B, G, medius Κ. Clim igitur magnitudines A, B, C, sint continue proportionales,&inter ipsas sint media F,&E, erunt quoque omnes A, F, B, E, C, continue proportionales, consequenter magnitudo , quae posita est media inter A, 4, erit quoque media inter P, B, S ideo maior quam B, chinis, si terminus posterior ira ratione maioris inaequalitatis. Rursum nragnitudine FBE sunt continue proportionales, eo quod sint tres termini corvinui ex quinque terminis A,F,B, E,C, quos proxime ostendimus esse continuo proportionales,interque ipsos positae sunt aliae mediae ,H. Ergo etiam omnes quinque magnitudines F, G, B,H, E, erunt continue proportionales. quia inter G E media est per constructionem I, ipsa erit quoque media inter B, Η, ideoque minor qui in B, maior tamen quam E qui in proportione maioris inaequalitatis est terminus posterior. Postremo quoniam G, B,H, sunt continue proportionales , immo S G, Κ, R,I,Η,e quod Κ, sit posita media inter G,B,ILI, pr xime ostensa media inter B, H, erit omnino magnitudo I , quam posuimus mediam inter G, I, quoque media inter Κ, B, idcoque maior quidem quam B, minor vero quam G eademque est ratio de quibuscumque alijs magnitudinibus similiter interpositis. Quod erat demonstrandum.
SCHOLIUM. UOD sproportio posta fuisset minoruin
aequalitatis , essent termini G, L minores termino B, 9 I, E maiores, idque demon-LIraretur ijsdem prorsus me s, quibus instimus in hoc lemmate.
D Ah, maneat prior proportio maioris inaequalitatis, eodem feri modo demonstraretur sinteri, D, ponatur media sexta aliqua magnitudo , ct interi, Mineptima magnitudo , interque pM oectauim gnitudio, magnitudines E, , maiores fore tertia magnitudine ict , minorem esse magnitudine Elon Griorem priore. At ero magnitudines M, O,fore minores, maiorem ipsis, quidem proportisponatur maioris inaequalitatis. Si vero proportio propos effet minoris inaequalitatis, asserendum esset opposuit: Ut manifes te codigitur e d Eiis.
OSITIS quotlibet magnitudini us inaequalibus, ita, quaesibet antecedens sit maior consequente , conflabitur disserentia extremarum ex disserentiis intermediarum.
U magna ines sint AB CD,EF, G, ut proponi tir,earumque differentiae sint H F, ID,
ti; si F, ID ΚB. Si enim ip- sis CD,EF,sumantur in AB, aequales AK AM , erit Xν, aequalis differentiae I , ML aequalis disterentiae N F. Cum ergo differentia LR, componatur ex LM. Κ, ΚΒ, constat id quod proponitur
277쪽
SI SINT quotlibet magnitudines continue proportionales, erunt earum disserentiae in eadem
ratione. RE macraritudines AB, CD,F, sint continu pro-
η portionales, sintque earum differentiae B, Dico esse
BF ad D G, ut AB ad CD , vel CD,ada . Clim enim sit ut AB ad AF, hoc est, ad CD, ita CD, ad CG, hoc est ad E, erit quoque diuidendo, BF ad AF, ita DC. ad G C, D permutando BF,ad DG ut A ad G C, hoc est, ut CD,ad E velut AB, ad CD. Eademque est ratio de pluribus.
HINC sequitur, differentiam inter maximam mediam, maiorem esse di serentia inter mediam Sc minimam.
SI SINT tres magnitudines conmiue proportio
nales, di ferentia extremarum maior es quam dupla disserentia inter mediam ct minimam.
eadem figura,ctim ex demonstratione praece
s denti lemmatis sit BF,ad DG differentia ad disse
rentiam ut AB ad CD, AB, est maior quam CD, erit quoque BF, maior quam GD . Igitur BF,DG, simul, maiores erunt quam dupla ipsius DG. Cum i itur Bb, D G, aeqiiales sint differentiae inter Al , i, maxi- Diam&minimam Lerit quoque differentia inter maximum minimum terminum magnitudinum proportionalium maior dupla DG, quae est differentia inter max1mami minimam.
ΗΠ sequitur, differentiam inter mediam lini mari esse minorem semisse disterentiae inter maximam Minimam.
EM V PT V R etiam, si sint quattuor vel plures magnitudines continue proportionales , di fierentiam inter maximam minimam mulio esse maiorem disterentia, inter minimam, proximam minima es siquidem omissis reliquis , s solum habeatur ratio trium ultimarum, adhuc differentia inter maximam minii m maior est dupla disserentia inter mediam illarum, Dminimam : vel differentia inter mediami minimam minor semisse ditiarentiae inter maximam & minimam.
SI SINT quattuor magnitudines continue pro- , portionales Itque prima malo ecunda, interque
extremas cadat quincta magnitudo media, inter primam se quinctam alia magnitudo femta iterum mediae rursus inter quincum sextam alia magnitudoseptima interfextam ct septimam magnitudo octava, o magnitu dinessexta craua 'quaesunt maiores secun Eda quattuor proportionalium ita appropinquabunt eidem fecundae. t tandem inhiab ea differant quacumque magnitudine proposita.
I, T quattuor magnitudines A,B C,D, continue proportionales, in maior sit quam B, interque Α, D, ponatur media, nempe quincla aliqi a magniti do Ε, inter A, E sexta magnitudo , Minter E, G, magnitudo eptima I, denique inter G, I, magnitudo octaua L, c. Dico magnitudines G, L, quae omnes per lemma decimum maiores sunt se-A F, B, B, C, continue proportionales. Et quia G, posita est meis dia inter A, E, ipsa erit quoque media inter F, ideo per c rollarium primum Lemmatis decimi terti disterentia, inter G, B, minor erit semisse differentiae inter , B, multoque minor semisse differentiae inter A, B , ita ut per interposita nem masnitudinis G , ablatum sit ex disterentia, quae fuit uuer A, B, plui quam dimidium. Rursum si inter B, E intelligatur mediam, erunt F, G B, H, E continue proportionales o consequenter magnitudo , quae posita est media inter , G, erit quoque media inter B, H. Eodemque modo i inter G, B, intelligatur medias, erunt G, Κ, B, I, H, continue proportionales , magnitudo , quam statuimus mediam inter , I, erit media inter Κ, B. Vnde cum Κ, L, B sint continue proportionales , magnitudo media L, a minus disseret a B,l emisse differentiae, quae est inter extremas magnitudines Κ, B, atque adeo differentia In ter L B, multo erit minor semisse differentiae quae erat inter huius G, B. Quia ergo magnitudo , minias differt a B semisse differentiae inter A,B, magnitudo L, minus differt ab eadem', semisse differentiae inter G eademque est ratio de reliquis in gnitudinibus, quae dicto modo ac ordine interponerentur patet per earundem magnitudinum mediarum interpositiones a semper magis ac magis appropinquari ad secundam B, b an
eunda magnitudine B ita eidem B, appropinquare , ut tandem minus ab ea differant quacumque a tutudine proposita . Nam si inter x, B, intelligatur quoqile media proportionali si erunt
dem minorem fore differentiam quacumque magnitudine pro tu II. posita.
S inter duas magnitudine ponatur una media,
quae sit tertia, ct inter primam ct tertiam alia magnitudo media, quae sit quarta, ct inter tertiam ct quartam alia media quincta, ct inter quartam se quinctam alia media, nempesexta, is ita deinceps dis rentia inter tertiam sequartam minor erit semisse disserentiae inter primam secundam sue differentiae inter extremas item disserentia inter tiinctam sextam mino emisse disserentiae inter tertiam is quartam, ita de reliquis ita ut semper binae me
dia poseriores ministi inter se disserant femisse
disserentiae inter duas proxime praecedentes.
AGNITUDINvM A,B, prima A, sit maior, S secunda B,minor, inter quas ponatur tertia ma-
gnitudo media C, Minter A, C, sit quarta magni- tudo media D,&rursum inter C,D, quincta ma-
ui nitudo media sit E inter D,ver5 a ,si media magnitudo videlicet sexta. Dico differentiam
inter CD, minorem esse semisse differentiae inter A, B, differentiam inter E, F, minorem esse semisse differentiae inter D.
Cum enim D sit media inter A, C, erit disserentia inter C, D, a Coroll. 1. minor semisse differentiae inter A, C. Est autem differenti lj mmte A,C, minor differentia inter A, ergo disseientia inter C, D, Eisisti multo erit minor semis te differentiae inter A,B. Eodem modo, Quoniam E,F,D, sunt continue proportionales, erit differentia inter EF,minor semisse differentiae inter E,D quia disterentia inter D,E, minor est differentia , quae et inter D C, erit quoque differentia inter E, F minor semisse differentiae inter CD. Sic etiam, si inter E, F posita esset media G, magnitudo eptima, inter F,G, media H, magnitudo scilicet octaua; magnitudiares H, G, in is inter se different, semisse differentiae, quae est inter E,F. Quod erat demonstratidum.
A IN C est itur, si dicto modo de ordine continue immittantur mediae inter duas magnitudines datas tandem duas earum aequaliter distantes ab extremis miniis inter se differre,qu cumque differentia proposita . Cum enim demonstratum sit,di fetentiam inter C, D,minorem esse semisse differentiae inter A, B, ke differentiam inter , , minorem semisse differentiae inter C, D, differentiam inter G, H, minorem semisse differentiae, quae est inter , F inc deuenietur tandem hac ratione doli' Ῥμμὰ quas duas medias, quae' nainus inter se differant quacumquς a. Etietiae differentia proposita.
278쪽
SI duae rectae lineae fectae sint in quattuor partes continue proportionales , prima cum temtia consituant lineam priorem fecunda verὸ ct quarta poseriorem erit tota ad totam in eadem ratione partium.
AB, CD, sect a sint ina,MF,ita ut partes AE, F, EB, FD , ni continue proportionales. Dico totam AB, ad totam CD, habere eandem proportionem, quam habet pars E ad par- Sri . tem CD, vel CF , ad EB Iec. Clim enim tres rectae AE, CP, EBa itemque aliae CF EB, FD, sint in eadem ratione continuo proportionale erit λ ex aequalitate, vel ex prini lemmate primi capitis huius, ut AE, ad EB, sic CF ad D. Et Abi , 'ν componendo AT , ad C. EB,ita D,ad FD. Permu- a tando vero erit tota AB, ad totam CD,v EB,ad FD, quae quidem est proportio ipsarum par
tium. Quod erat demonstrandum .
1 II. III. rem partem maioris . Et denique id quod si
ex tota maiore in minorem partem minoris, aequale erit et , quod si ex tota minore in miano rem partem maioris.
I reetae AB,CD, sint irsum sectae in punctis F, F,ita ut partes ΑΕ, CF, EB, FD, sint continue pr po tionales; sitque AB,maior, quam CD . Dico rectangulum sub AB, tota maiore,& sub EB,minore segmento suo , aequale esse rectangulo sub tota minore CD, maiore eiusdem segmento CF. Chimenim ut tota AB, ad totam CD, ita a sit CF,ad EB,erit re a Trimactangulum sub prima AB, vltima B, aequale rectangulo itius. comprehenso sub intermedi)s CD , CD, quod est primum. Et b is desti
quia rursum ut tota ΑΗ, ad totam CD, ita est pars ΑΕ, ad partem e . iCF, eritqtioque rectangulum stib extremis AB, CD, aequale re clangulo sub intermedijs CD, AE, quod est secundum . Et denique quoniam iterum, tota ad totam ita est pars EB ad partem FD, erit etiam rectangulum sub AB, FD aequale rectangulo sub CD, EB, quod est tertium, Multimo loco demonstrandum.
SI duae rectae linea in diuisae gulae in duas
partes , ct quemadmodum tota ad totam, ita sit ablata ad ablatam , in per una pars iussi media inter duas partes alterius ς runt omnes quattuor partes continue proportionales. C
ut tota AB , ad totaia 1 CD, ita ablata AE ad ablatam CF, verbi gratia, pars CH, ipsus CD
sit media proportionalis inter partes Ata ER, ipsius AB. Dico omnes quattuor partes AE, F, EB, esse continue proportionales. Nain cim stut totam , ad totam CD , ita ablata AE , ad abi, a I9. quin tam CF. erit etiam reliqua Elmad reliquama , ut tota ad to- εὶ Eiicli tam , hoc est, ut ablata AE ad ablatam CP sed ita ponitur quoque est CF ad EB ergo etiam CP, ad EB, eadem erit proportio, quae EB, ad D, atque iccirco omnes quattuor rectae AC, CP, EB, I D, erunt continuῆ Proportionales. Eodem modo si fuisset vi tota AB, ad totam CD, ita ablata EB ad ablatam FD, verbi gratia EB, posita fuisset media proportionalis inter CF, FD; demonstraretur, easdem quattuor partes este continue proportionales. Immo si in priori positione reliqua di posita fuisset media proportionalis inter partes F, FD adhue sequeretur east dem quattuor parte continue esse proportionales ob eandem rationem. Quod erat demorastrandum.
SI duae rectae lineae inaequeses singulae in duas paries fecentur, ipsaeque partes sint continue proportionales, di prima pars cum tertia es . ciat priorem fecunda vero ct quarta poseriorem erit id,quod si ex tota maiori in minorem
fui partem aequale ei quod ex tota minori stin partem fui maiorem . Itemque id quod textota maiori in maiorem partem minoris,ae
quale erit ei, quod si ex tota minori in maio-
1 III. IIII. SI duae rectae lineae inaequales fecentur singulae in duas partes sic t id, quod i ex tota maiore in minorem fui partem sit aequale ei,
quod si ex tota minore in fui partem maiorem, O in per id, quod ex tota maiore in maiorem partem minoris sit aequale ei, quod sit ex tota minore in maiorem partem maioris: et certὸ id quod At ex tota maiori in minorem partem
minoris, si in super aequale ei quod st ex tota
minore in minorem partem maioris erunt quattuor idae partes, in qua secta erant lineae, continue proportionales.
Von si rectangulum sita AB EB aequale ponaturrectangulo sub CD, F, insuper rectangulum sub AB, CF aequale sit rectangulo sub CD, AF, eritis is sextia ut AB,ad CD, ita CF, ad EB,&v AB,ad CD, hoc Eucli. est, F, ad EB, ita AE ad CF, ac proinde AE, F, EB, erunt continue proportionales. Et quoniam ut tota AB ad totam CD ita es ablata AF,ad ablatam CF, erit4 19.quia- quoque reliqua EB ad reliquam FD,ut tota ad totam,vel labia Aisu lita AE ad ablatam P. Ac proinde omnes quattuor AE, F, EB, FD, erunt continue proportionales. Sintili prorsus ratione erunt eaedem rectae continue pi oportionales, si ursius rectangulum sub AB EB, ponatur aequale rectangulo sub CD GF, insuperrectangulum sub AB, FD aequale rectangulo sub CD, EB Erit e s. sexti enim iterum ut AB ad CD, ita CP, ad EB; it ΑΒ, ad CD, hoc est CF ad EB, ita EB ad FD. Et quia ut tota AB, ad totam CD, ita est EB ad FD ablata ad ablatam Letiam reliqua AE , ad reli quam CF, erit, tota ad totam , vel ut ablata B, ad ablatam FD,&c. Qi d erat demonstrandum.
SCHOLIUM E TE RAM quando re 7.ingulum sub AB CF, aequale eri restavus sub CD, AE, o insuper re iam ulu us AT, FD, aequale rectangulosub CD, B, Hums
quitur, eandem se proportionem AB, ad GF, quae EB ad FD, non autem quod onmes quattuor lineae An continue proportionatis, Ulpatet.
279쪽
THEO REM A PROPOSITIOSI tres lineae rectae continue proportionales ad idem punctum conueniant, ct media ad relia quas sit perpendicidaris e rectae quae Parum
coutungunt terminos , continebunt angulum rectum
i a mis rectae CB, CD, A continue proportio se ales conueniant in puncto C, ita ut CD, quae est media, ad reliquas sit perpendicularis . Dico ducta AD , DB, continere angulum rectium in D. Nam restae in primis Aa, B constiis tuenta nam rectam lineam. Deinde, quoniam circa aequales angulos nempe rectos DCB, DCA, latera
DC, B, proportionalia sunt lateribus DC, C herunt ii triangula CB, DC A aequi angula, aequalesque habebunt an ulo CBD , DA , sub quibus subtenduntur latera homologa CD , A, atqui angultis BD, cum an-qulo CDB, aequi ualet recto DCB propterea quintomnes tres angIlli trian- 32. primi illi DCB, aequales sint duobus rectis ergo angulus ADC, Eucti constituet cum angulo CDB, rectum ADB . Quod erat demon
EDR: sed angulus DB, cum angulo CD Α, aeqitalis est recto ADB ergo etiam anguli AD , D , recto aequales erunt, ergo b reliquus angulus CD in triangulo, CD restus erit. V et rimic An igitur recta DC perpendicularis sit ad AB a vicisti m AB, Eucli. perpendicularis ad DE , triangula CD, DC B, BCE ut in sexti erunt triangulis ADB, DBE , habebuntque latera Circa aequales uoli. angulos pro pomon aha, ioc est, ut AC, D, ita erit CD ad CB, CB ad C E . Quod erat demonstrandum. I . pr ι Eucli.
1. huius. 8. sexti Eucti. s. siexti Eucti.
S I duae lineae rectae sese ita ad angulos rectos
fecent , et i quattuor illarum partes sint ordine, continue proportionales e tres rectae , quae eodem ordine earum terminos coniungunt, tuae sunt continue proportionales in ratIone partium.
rectae continue proportionales A, CD, B, C E constituant angulos rectos in C , ita, ut prima 4 tertia itemque secunda, quarta ia- , ceant in directum , hoc eli constituant rectas AB, ε DE . Dico etiam iunctas rectas AD, B, BE quae cimit Laium puncta extrema , essi comitiue propo itionales, in proportione AC, ad CD , vel CD, ad CB vel CB ad C Cum enim CD, media sit proportionalis inter A , CB, &CB, media proportionalis inter DC erunt anguli ADB, DBE, recti ac proinde triangula ADB, DBE, eidem trianguloDCB, inter se similia habebuntque aequales angulos
ABD, DEB itemque angulos BAD, EDB. Quare eadem emtii oportio AD , ad DB.quae DB, ad BE, hoc est, AD,I B, Bb erurit continue proportionales in quidem in ratione CD, ad CB quae eadem est cum proportione AD ad DB, vel DB ad BE, propter similitudinem triangulorum ADB,DBE, cum triangulo D B. Sud erat demonstrandum
THEO REM A VII. PROPOSITIO VII.
y tres lineae continue proportionales sibi inuicem in terminis eodem ordine ad angulos rectos in stant quae istarum terminos nectunt duae rectae lineae, se mutuo secabunt ad angulos rectos, in quattuor partes continiae proportionales.
As propositio conuersa est praecedentis, fac1leque demonstratur in eadem figura praecedenti. Si enim tres rectae AD DB, BE, sim continue proportionales , constituant angulos rectis in D, B, nectanturque AB, DE , se mutuo secantes hi C,
eriti triangulum ABD, simile triangulo DE B, aequalesque habebunt angulos ABD, DEB itemque angulo BAD,
SI sint tres lineae continue proporis onales, δε- per maxima describatur semicirculus, ad quem e termino diametri applicetur media, ab eodemque termino diametri ex diametro abscin datur aequalis minimae stiae connectit terminos meriae, is minimae ex diametro abscisse, perpendicularis erit ad diametrum, ct eadem media proportionalis existet inter minimam excessum maximae super minimam.
USU M N eadem figi ira sint tres rectae continuetionales AB, BD, BC, Iu permaxir
libatur semicirculus DB, in quo applicetur
media 'D ρ ni in ima BG, sit pars diametri AB, ita ut AC radi fierentia inter maximam, Mininimam. Dico ductam CD, esse perpendicularem ad AB, mediam proportionalem inter AC, CB . Nam si insuperne statur AD. erit angulus ADB, in semicirculo reetus . t quoniam duo triangula ABD, DBC , habent circa communem tert)angulum B proportionalia latera , nempe ut AB ad BD , ita BD, Eucli. ad BC, ipse erunt aeqiii angula ; ac proinde angulus BCD , ae .
qualis erit recto ADB . Cum ergo in triangulo rectangulo ADB, b .sexit. ex recto angulo D, demissa sit perpendicularis Da ipsa erit Eucli. med a proportionalis inter segmenta AC, CB. Quod erat de e coroll. g. monstrandum sexti Eucli.
SCHOLIV M. OG theorema potuisset etiam proponi hoet 'o pi modo . Si in triangulo rectangulo et oba r m ad num faterum, os et idem alvi ad aliquam tertiam , quae Ucindat ex basi ' prope Pud fatui, recta quae iungit terminos abscissae, Valeris praedicti, L perpendictitaris ad basim o demons iratio enim et trobique eodem modo
IX. IX. S in triangulo rectangulo ex quolibet acutorum angulorum interualgo lateris adiacentis arcus
circuli describatur secans basim se ex uinofectionis demittatur perpendicularis in totus praedictum idem latus erit media proportionalis, inter basim trianguli Fgmentum lateris contentum inter perpendicularem c angulum acutum.
Di in figura praecedente triangulum rectat gulum BCD centro B interuallo BC, descriptus si t arcus CG , secans basim BD, in G, ex quo demissa sit ei pendicularis G H. Dicolatus BC, mediam si proportionalem inter BD.SH . Cum enim GH, fit parallela ipsi DC, erit' ut BD ad BG, hoc est, ad BC, ita BC, ad B H. Quod erat demonstrandum . sexti Eucll.
280쪽
S I basis trianguli rectanguli bifariam diuidatur,
inde tie perpendicularis educatur ea abscindet ex utrolibet laterum circa angulum rectum se
misim eius lineae quae ad bast eandem habet
proportionem, quam eadem basis ad latus, ex quo
N eiusdem figurae triangulo rectangulo CD, secta sit basis AD, bifariam in Κ, ex X e reosta sit perpendicularis FL, secans latus AC, in F,
d DC pro actum ina, ipsique , verbi gratia, AF, sumatur aequalis B. Dico Α, ad D, eandem habere proportionem , quam habet AD ad AC. Nam chm AD, AB, sint duplaeta in laruni AK AF, erit AB ad AD, ut AF, ad AK. Sed AF, ad AK, est . eadem, quae AD ad AC; propterea quod triangula A CD, AKF sunt aequi angula, utpote habentia praeter angulos recitos ad C. Κ, reliquit m angulum ad A, communem : ergo etiam AB, ad AD. erit, quemadmodum AD,ad AC. Eodemque modo clim dupla ipsius DL ad DA ,habeat eandem proportionem, quam DL, ad DX,8 DL ad DK sit ut AD,ad DC,ob similitudinem triangulorum I DK, ACD, erit quoque dupla ipsius DL, ad AD ut AD,ad
XII. Am recta linea diuisa teumque, aliam,
Ham cum ista consituere ita diuisam, ut partes datae cum partibus consitutaes in continue proportionales.
recta AB, diuisa utcumque in C, descriptoque semicirculo AD 3 erigatur perpendicu laris CD, secans circumferentiam in D, S si rectam AC cupiamus esse primam quattuor pr portionalium, erigatur ad ductam DR, perpendicularis BE quae protractam DC , secet in E Dico quattuor rectas CA, CD, CB, E, esse continue proportio-tionales . Iuncta enim AD, sd erit langulus ADB, in s micirculo rectus , ex quo cum demissa sit recta DC, perpendicularis in basim AB, quemadmodum Z in triangulo rectangulo DBE, ex angulo recto DBE, per pendicularis BC, in basim DE. erit CD, media proportionesis inter segmenta AC, CB, CB,media proportionalis inter segmentae quarum prima C . si vero prima deberet esse recta CB, opo teret e gere perpendicularem ex puncto A , super rectam AD illa enim perpendicularis abscinderet ex re La DC, protrac a quartam proportionalem, ut patet ex det nonstratis.
SI I triangulo rectangulo ab angulo recto in basim cadat perpendicularis is rufum ex angulo recto unius triangulorum partialium alia perpendicularis in suam basim constitutae erunt quattuor lineae continue proportionales
nempe basis trianguli totalis, ct basis partia-
Iis nec non duo earundem bir tum segmenta in
tercepta inter perpendiculares , O angulum
Evos sit in triangulo rectangulo ADB,
pniecedentis figurae, perpendiculari DC, in triangulo partiali CD, perpendicularis
I. Dico quattuor re stas videlicet duas bases,
Ad, AD AE duo segmenta AC, AI, a perpendi
λ- et: m. culariblis DC, DI ad communem angulum A, abscilla esse continue proportionales. Clim enim tria triangula ABD. A CD, AIC, sint aequi anguli, erunt latera clica communem angulum A , proportionalia, hoc est, ut BA, ad AD, sic erit
AD ad AC, AEC, ad AI Quod erat demonstrandum.
DC, CE, atque adeo qua tuor partes A, CD, CR, E contii iue erunt proportionales,
D duobus lateribus, vel eorum proportione, et dato latere, cum perpendiculari, quae in
triangulo rectangulo demissi foret ex angulo
recto in bissim vel dato no laterum vel perpendiculari et no segmentorum tum reliquo
segmento ipsum triangulum et isti simile δε-
VI Bus v MON duabus ex senis rectis linei praecedentis figurae datis nimirum AB, AD, BD, CD, CA, CB, vel saltem earum proportione data, ipsium triangulum descriptum iri. Primo enim sit data basis AB, vria cum alteriatro laterum AD, B, verbi gratia , cum A D. Diuisa
AB, bifariam in F, describatur centro D, circa AB, semicirculus ADB, in quo applicetur recta aequalis ipsi AD, ne staturque ID, quaecum efficiat angulum rectum cum latere AD, erit trian a meri' gulum ABD, rectangulum, id quod conitruendum propone Eucli
Secundo detur eadem basis AB vnti eum perpendiculari CD. Descripto iterum semicirculo ADP, secetur recta AB, in puncto C, ita ut re ista CD, sit media proporticinalis inter segmenta AC, CB si quod fiet per ea, quae ex Peletario demonstra Clauiu b e . seu Is. rectaque perpendiculari ex secante circumferentiam in D,ne Euri, cflantur AD, BD. Erit igitur CD media proportionalis inter AC, CB , atque adeo aequalis datae perpendiculari, plum triangulum AD , erit id, quod oportebat conitruere. Tertio basis AB, detur cum alterutro segmentorum AC, B, verbi gratia , cum C. Descripto semicirculo ADB, erigatur perpendicularis ex C, nempe CD, ieetantur AD, DB, factumque erit triangulum ADB; quod quaeritur. Quarto dentur duo latera AD,DB quae constituantur ad angulum rectum in D id ueta enim ΑΒ, factum erit, quod proponitur. sincto detur unum latertim circa angulum rectum, verbi gratia, AD una cum perpendiculari. Discribatur circa AD,semicirculus A CD, in eoque applicetur recta C. Iuncta enim AC erit constructum triangulum A CD, cui addatur triangulum CD , erigendo exi, super AD , perpendicularem DB , qua cum AC, protracta concurrat in B, ipsumque triangulum ABD,
Sexto detur iterum unum laterum circa angulum rectum, verbi gratia, AD una cum segmento basis AC, quod eidem lateri adiacet V ex his constituatur triangulum ADB prius con-r, struetur triangulum A CD, applicando in semicirculo CD, rectam A. quemadmodum in quincto casu applicata fuit perpendiculari DC ac deinde adiungendum triangulum BD, ut ibi
Septimo, detur iterum latus AD, una cum εἰ mento BC. Et
adijciatur segmento C, reeta A, ita ut rectanguli in sub c scin δε BA, AC, sit aequale quadrato D inuentaque erit ecta AB, terit Eucli.
superquam si describatur semicirculus BD, atque ex C eri gatur perpendicularis CD , nectanturque D A , DR , descriptum erit triangulum ADB, cuius latus AD, lateri dato erit aequa te. Nam ex constructione praedicta, cum in triangulo restangulo ADB, ex angulo recto demissa sit perpendicularis DC, erit AD, media proportionalis inter BA, AC, hoc est, utili Coroll. 8.tum AD, erit aequale rectangulo comprehenso sub LA, AG sexti Eucli. sed etiam ouadratum lateris lati aequale est eidem rectangules e L . I extiergo quadratum AD, erit aequale quadrato lateris datis necnon Eucli. latera ipsa eorundem quadratorum,nempe latus AD,erit aequale lateri dato. Octauo, detur perpendicularis CD, cum alterutro segment Eoum, verbi gratia, cum Ac . Coniungantur ad angulum rectum in C, ductaque AD, erigatur ad ipsam perpendicularis DB, quae cum AC, protracta concurret in B, perficietque triangulusu rectangulum V B. Nono, ultimo dentur duo basis segmenta AC,CB. Descriptoque semicirculo ADB, erigatur perpendicularis CD iuncitae enim DA, B, constituent triangulum quaestum. Quando loco laterum datur dumtaxat eorum proportio, si mendae erunt duae quaeuis rectae, habentes illam proporti nem loco ipsorum laterum datorum tunc fiet triangulum quaesito simile. Sin vero num dumtaxat latus detur, di proportio, quam habet ad aliud latus inueniendum prius erat illud alterum latus , ad quod habeat illam propolitionem, id quod est icitur ex problematibus sexti Euclidis S postea ex lateribus inuentis construelidum erit triangulus uno aliquoi dorum praedictorum.