장음표시 사용
281쪽
erit diameter quadrati ex BE . Quod autem DB, sit diameter quadrati ex BF, sic ostenditur. Quadratnam FB, duplum est quadrati BE, eh qithd ostensum sit F, esse diametrum quadrati ex
IN quadratis sta es media proportionalis inter diametrum , ct emi in metrum , in ratione, quam habet excessus iam tri supra latus, ad excelum lateris supra semidiametrum , es quam habet duplus hic excessus posterior ad emcessum priorem.
quadrato A B CD, ductae sint diametri AC, BD, quae se mutuo litariam secabunt bad angulos rectos in P, lateri BA, abscissa sitaequali BF. ipsique EF, aequalis EG, ita ut DF, sit excesius diametri BD, supra costam BA, de EF, B ta sit excessus lateris BA, hoc est, BF, supra semidiametrum BE, JG , dupla sit excessiis EF Dico Al , medii misi proportionalem inter BD, BE,in ratione DF,ad FE, vel GF ad DF Quia enim in triangulo rectangulo ABD, demisia est ex angulo
recto A,In basim BD,perpendicularis AF erit ut DB,basis, hoc est, diameter ad BA, latus, hoc est, ad costam quadrati, ita AB, costa quadrati ad BE segmentum basis, hoc est, ad semidiametrurn ergo costa media est proportionalis inter diame
quod est primum . Deinde quoniam est, ut tota DB, ad totam FB, hoc est,ad BA, ita ablata FB,ad ablatam B p, erit ovoque reliqua F, ad reliquam CFE, ut tota IlD ad tot amis, vel ut ablata DA ad ablatam E. Quare proportio diametri ad costam, SI costae ad semidiametrum eadem est, quae excessus diametri supra costam, ad excessum costae supra semidiametrum. Quod autem haec eadem quoque sit, quae F, ad DF, sic ostendo Vt BD, ad BE, ta est GF, ad FE,cum trobique sit proportio dupla. Et ut BE,ad BA, ita , est ex demonstratis,4 conue tendo EF, ad FD, ergo 'e aequalitate, ut DR ad BA, sic erit GF ad DF. In quadratis igitur,fcc. Quod erat demonstrandum.
N IN C constat in quadrato excessum diametri supra latus quadrati esse medium proportionale inter excessum lateris supra se diametrum, inter duplum , eiusdem excelsus; siquidem ostensum est GF ad DF, esse , ut DF, ad F . II
THEO REM A XIII. PROPOSITIO XV.
SI DUAE in ea habentes proportionem diametri ad cosam, opulentur intermino communi,
eisdemques ut fumptis didiciatur in directum linea recta aequalis erit tota composita ex duabus initio postis, ct ex adiuncta, ὰ compositam ex adiuncta ct minore initio positarum, υ haeci a composita ad adiunctam, di quidem in ratione diametri ad cosam.
in figura praecedenti DF, ad FE, eam rationem, quam habet alicuius quadrati diameter ad iam costam, Meisdem DF, FE,simul sumptis aequalis EB,adiiciatur in directum. Dico DB, ad BF, habere eandem proportionem, quam FB ad B de pia, e pro oortionem eandem este cum proportione DF, ad A, nempe dia taetri ad costam ita ut etiam DB, sit 1 ameter quadrati ex BF, TF, diameter quadrati ex BE . Sumatur enim ipsi EF, aequalis EG, de quoniam etiam ED, EB, positae sunt aequales, si ipsi ED, addatur EG, ipsi EB, recta EF, erunt quoque DG FB aequales immode reliquae DF, B, aequales erunt. Iam verti quoniam DF, est diameter quadrati ex FE, Recit eius quadratum duplum quadrati ex FE ; est autem p quadratum FG, quadruplum eiusdem quadrati PE ergo quadratum FG, erit duplum quadrati DF,atque adeo latus FG ad latus DF,habebit ea dem c proportionem,quam latus DF,adlatus FE . Componendo eruo At etiam GD,ad DF, ut ED, ad FE, Se permutando GD, hoc est, FB,ad DE, hoc est, ad BE,ut DF, ad FE . Quare recta BF,
BE 4 quadratum DB,quadruplum est eiusde in quadrati BE ergo quadratum D duplum erit quadrati BF. Cum igitur quadrata ex DB EF, BE, sint continue proportionalia, erunt latera 'continue proportionalia atque adeo, DB,al BF, habebit propor I xι ιμμιι.tionem diametri ad costam, hoc est, proportionem, quam DF, ad FE quod erat demonstrandum.
THEO REMA IIII. PROPOSITIO XVI.
EI E T in femicirculo a tiolibet puncto dia
metri ad ipsam diametrum perpendiculari, ab no terminorum eiusdem diametri tactis pluribus lineis, quae fecent circumferentiam iis perpendicularem sue intra, Aue extra femicirculum: ista linea quae transit per intemfectionemperpendicularis cum circumferentia, es media proportionalis interidiam cui uis Llerius lineae partem, quae continetur inter terminum diametri, ct circumferentiam, Didiam, quae intercipitur inter eundem terminum, perpendicularem.
Qv o, iis puncto , diametri AD, semicirculi Am C in erigatur perpendicularis B, in te mino D, ducantur plures lineae , una ad ui ctum B , qualis est DB, reliquae utcumque, quales sunt OH DE secantes circumferentiam in II, C, S perpendicularem in I. . Dico rectam BD esse mediam proportionalem tum inter rectas P D, DI tum inter recta ED, DC. Iunctis enim AH, A c ima gulus AHD, in semici culo sit rectus, is erit aequalis angulo recto D AD Est autem insuperangulus ADH, virique triangulo Ami, DFI, communis. Igitur de reliqui anguli DAH DIF, aequales e runt, ac triangula Ps. aequi angula, similia . Eodem modo aequiangula eriant trian gula ACD,DFE, Quare eadem erit proportio
AD,ad DH, quae ID, ad DF itemque AD, ad DC, quae ED ad DF:& tam A R. I s. sexti rectangulum sub IJ D, Eucli. DI quam sub ED,DC,aequale erit rectangulo sub AD, DF. Sed rectangulo sub AD, DF,estς aequale quadratum rectae DB Ergo orest. Is . de rectangulo sub H D DI, M sub ED, DC, idem quadratuma D, sextia 17. aequale erit rectaque BD, s erit media proportionalis tam in eiusde n. Eu . ter H D, DI, quam inter ED DC. Quod erat prim iam demon
Q si perpendicularis educta suimet ex altero terminorum diametri, verbi gratia, exin, qualis in G, tangens cir g 16. ter: .cumferentiam in A, adhuc recta AD, quae ex reliquo termino D, ducitur ad punctum contactus, media cstet proportionalis inter segmenta GD,DB, quae in recta, Verbi gratia, DG, intercipiuntur inter circumferentiam,&Perpendic qZrem, interque terminum D. Siquidem ut prilis, triangula BD,DAG, sunt ae qui angula,&similia: i vel quia ita triangulo reclangillo DAG, 0 a .recta AB, est perpendicularis ad balinam . Quod erat demon rest. strandum. Eurii. Nectantur HB, BC. Quoniam gula duo anguli DHB, DAB insistunt eidem arcui DB, ipsi erunt inter se aequa st 27 terti .les. Sed eidem angillo DAB, aequalis est angulus DBF e quia i . sexti. in triangulo rectangulo ABD ducta EF, sit ad basim AD, perpen Eucesi. dicularis. Igitur SI anguli DHB, DBI, in trian gulis DBH, BI, aequales erunt. Habent autem eadem triangula praeterea an gulum communem ad punctum D, S consequenter relicuum reliquo aequalem. Ergo triangula dicta sint aequiangula, habentque m latera proportionalia nempe HO ad DB,ut DB,ad I. Non aliter si ex puncto demittatur perpendicularis K lecans BD,ini, ostendentur triangula DBC, DCL, effetae quiangula Τί insuper esse aequiangul1 triangulo DLE , atque iccirco ect , eandem proportionem ED, ad DB, quae DB ad C. Quod erat acti. demonstrandum.
282쪽
b Coroll. 8.sexti, I P. eiusdem. Clauius in scholio ad finem sexti prop. I 8.&set Q. V ITVR ex utraque hac demonstratione 'ubd si in semicirculo ex eius diametro erigatur perpendicularis, Mabuno terminorum diametri liotcuinque rectae ducantur, secantes
illam perpendicularem, S circumferentiam rectangula comprehensi sub segmentis illarum, quae intercipiuntur inter peripheriam δε terminum diametri, intereundem terminum perpendicularem omnia esse inter se aequalia . Demonstratum enim est, tum rectangulum sub H D DI, tum rectangsilum sub ED, DC esse aeqtralia vel eidem quadrato reetae BD, quae is media est proportionalis inter latera illorum rectangulorum , vel eidem reflangulo contento sub AD DF . Immo hoc ipsum rectangulum est unum ex illis: quae continentur hoc corollario, cum comprehendatur sub DA, intercepta inter terminum D, circumferentiam, Tub segmento DF, comprehenso intereundem terminum, Minter perpendicularem FB Sic etiam producta recta DC isque ad perpendicularem AG, erectam ex termino A, erunt rectangula sub D, C, sub GD, DB, inter se aequalia si quidem aequalia sunt eidem quadrato ex diametro D, ut demonstratum est in pro
X priore etiam demonstratione sequitur jubd si in semicirculo ex aliquo puncto intra diametrum sumpto ad ipsam erigatur diametrum perpendicularis, ab utroque extremo diametri ad unum idemque punctum perpendicularis rectae ducantur , secantes circumserentiam : Rectangula comprehensa sub utriusque segmentis , interceptis inter dictos terminos diametri, inter circumserentiam δε perpendicularem, simul sumpta aequalia esse quadrato diametri. Ita namque vides , si ducantur duae rectae secantes circumferentiam , perpendicularem in eodem puncto B, rectangulum sub ΑΒ, quae intercipitur inter terminum A,&inter circumferentiam , sub AB, intercepta inter eundem temminum A inter perpendicularem EF, hoc est, quadratum ex recta AB, una cum rectangulo sub rectis DB, DB , interceptis inter idem punctum D, inter punctum B , quod est commune perpendiculari FB circumferentiae , hoc est in cum quadrato BD , aequale esse quadrato diametri AD . Item rectan
gulum sub AD DF; quod' est aequale quadrato DB, una cun rectangulo sub DA AF, quod est aequale quadrato B,aequale esse eidem quadrato ex diametro BD . Et denique rectangulum sub EA AH , una cum rectangulo sub ED, DC , si videlicet ductae sint recta AE DE , ad idem punctum E , perpendicularis BF, eidem quadrato D aequalia esse , t rectangula sub H D DI, sub M CI, si ductae sunt rectae H, Aa, per commune punctuma eiusdem perpendicularis BE. Nam si
&ista aequalia sunt quadratis ex AB, DB, ut patet ex sepra demonstratiS.
SCHOLLUM.A EG propos io multo es et nitier alior imus, quara ex Cardano Ioanne Baptista, Benedicto demonstrat Glauius ad synen ,
bus constabit. Et quoniam eandem intersieritionem δε-nsarum cum perpendiculari multa alia consequesntur situ non inutilia , quamuis ad duas medias proportio nates , adeoque ad propositiam nostrum non omnino fa
i bus explicare libuit quod in asty demonstrationibm Geometricissaepius assumipossunt. Possent eae tamen, si ad finem Deior properet sine magna laestura pra
SI I N in femicirculo ex quotiis cincto intra diametrum assumpto ad Nam erigatur perpen
dicularis, ct ab troque termini iametri duae rectae ducantur, mutu secantes intra femicirculum in aliquo puncto lineae perpendicularis aliae duae rectae ductae abi dem terminit diametri per puncta, in qaibus priores duae δε-
cant circumferentiam si producantvr, concurrent etiam ipse extra emicirculum in idem punctum erectae perpendicularis.
I utroque termino A, D, diametri AD, duc stae sint duae rectae A C,DH,se mutuo secantes intra semicirculum BC, in puncto I, perpendicularis FB Dico restas quoque AH, DC , protractas cum eadem perpendiculari concurrere in eodem puncto,
. . Concurrat enim recca AH , cuin protracta
perpendiculari FB ina, nectaturque CE . Quoniam igitur rectangillum sub EM AH. aequale est rectangulo sub CA, AI, erunt quattuor puncta A, I, C, E, in circumserentia circuli ideo
H I, in quadrila ero H IC E duobus rectis aequales . Sed angulus Em I, reetus est, utpote aequalis angulo AH D, in semicircules ergo langulus CL, rectus erit, aequalisque angulo recto A CD. Quare cum anguli ACE , AC , sint aequales duobus rectis, erunt recta CD, CE , una linea recta , de consequenter protracta etiam rectam , transibit per punctum Non aliter demonstrabitur recta AC, H care perpendicularem in eodem puncto I si ritis ductae suissent rectae AE, DE, ad punctum E extra semicirculum secantes eiusdem circumferentiarn in punctis H, C. Nam diacta, verbi gratia, AC, secante perpendicularem FB in I, iunctisque Η, H, erunt ut prius quattuor pura clavi, I C, E in circumserentia circuli, de angulus IHE, aequalis recto ICE Atqui etiam HD, cum eadem sua tertiue recta AE , facit angulos rectos in puncto Pin. Ergo rectae HI,HD, sunt una linea recta transiens per punctum I. Quod erat demonstrandum.
H P C est manifestum , si in quovis triangulo ex tribus
angulis demittantur perpendiculares in latera opposita , ipsas sese mutuo secare in eodem puncto . Nam in triangulo oxygonio ADE, demissa si ex E perpendiculari EF, e circa AD , describatur semicirculus AH CD, secans latera AE DE M H C, nee stanturque AC DIM, quae S ad eadem latera AE , DE I a ter iij. perpendiculares erunt, Quare ex jς, quae prox inrae sunt demonstrata , eaedem recta AC m H , se autuo secabunt in eodem puncto P, cum perpendiculari A , in qua se mutu,secant aliae duae AHE, DC . Deinde sit triangulum, verbi gratia , AI in amblygonium a ex angulo obtuso 'ID, demisia perpendicularis F, quae intra triangulum cadet reliquae verbduae perpendiculares AH, DC , cadent in latera DP AP, protracta. Dico easdem tres perpendiculare FI, ΑΗ, DC , concurrere in idem punctum E . Descriptus enim semicirculus circa basim AD , transibit necessario h per puncta FIC. ebor. 3 r. Cum igitur AC DIAE, intra semicirculum comi eniant in eo teri f. dem punesto P, perpendicularis FI conuenient etiam rectae AH , DC cum eadem perpendidulari in alio puncto T. Postremo , quod ad triangulum rectangulum attinet, cum in eo duae perpendiculares demissae ex angulis acutis sint , ipsemet latera trianguli circa angulum rectum,patet tertiam perpendicularem demittendam ex angulo recto se mutuo secare cum reliquis in eodem puncto, in quo extitit angulus rectus. 'Ergo , C.
283쪽
SI IN femDirculo ab viroque termino iam triduae rectae ducantur se mutu)jecantes intra semicirculum, O ab eisdem terminis per puncta,
in quibus ducta ecant circumferentiam,ducan tu aliae duae rectae, concurrentes extra femicirculum: recta, quae coniungit utrumque punctum concursus, erit ad diametrum perpendicularis.
N semicirculo ABCD, quenti figurae ex terminis A,D, diametri AD, ducitae sint rectae AC,DΗ, se mutuo secantes iii I, circumferentiam in C, H, per C H, ex ijsdem terminis A, D, eductae sint DC AH, concurrentes in E. Dico rectam EI,quae nectit utrumque putre una concumsus F, I, esse perpendicularem ad diametrum in Producatur enim usque ad F; atque ex I, intelligatur densis perpendicu- I .huius laris I F, quae cum protractes transeat peri, erit perpendicula risIF, una, eademque linea cum recta I hoc est , cum recta EID atque iccirco etiam recta EI F, erit ad diametrum AD, P V- pendicularis . Quod erat demonstrandum.
Nam C patet noua ratio demittendi lineam perpendicularem in datam rectam lineam ex puncto dato , Si enim data tore recta AD Ze punctum E , descripto semicirculo ABD , quouis interuallo , ex quo uis puncto rectae AD , iunctisque AE, DE , secantibus circumferentialia in FI si iterum nectantur DH . AC , illae se mutuo secabunt in puncto P, per quod ducta recta ex puncto E , necessario est pernendicularis ad rectam AD ut demonstratum est.
istu iusiculus descriptus per tria puncta, I, COI, circulus descriptus per tria puncta C, in Ρ: sed tale est quoque punctum H Ergo recta L, protracta transibit per hoc punestum H consequenter H CP, se mutuo secabunt in eodem puncto L . sis I et deinde recta C 'perpendicularem FB in O. Dico rectam H P transire per idem punctum O . Quia enim tam rectangulum sub CA RI aequales est rectangulo sub A, AR, qua in rectangulum sub H D, I, rectangulo sub PD, DR, describetura circulus tam per quattuor puncta C, I, R, inquam per quattuor puncta A, I, R, P. Rectangulum igitur sub O, O Laequale erit rectangulo sub IO, OR, Ii intelligatur ductavio, secare circulum per tria punctam, I, R descriptum in aliquo punctos iri quoque rectangulum sub HO,OP, aequale rectangulo sub IO,OR, hoc est, rectangulo sub CO, O a Vnde' semicirculus ABCD, transiens per tria puncta C QM, transibit insuper per punctum illud P. Idem ergo punctima P, erit communis sectio semicirculi ABCD, circuli describendi per tria puncta Η,I R; sed hic circulus transit quoque per punctum P, in
quo eundem sensi circulum secat recta Di P. Ergo recta P, eadem erit cum recta Ilo, transibitque protracta per punctuna . . O n s loco punctia, acceptum fuisset punctum E , extra semicirculum, ductaeque fuissent rectae AE, DE secantes semicirculum in punctis, verbi gratia, H, C, adhuc rectae H in , se mutuo secarent ii perpendiculari B, in Laes rectae I P, C aes protractae sibi mutuo occurrerent in puncto O. Cum enim tunc etiam ductae rectae DFI, AC, se necessatio intersecent in eadem perpendiculari , nempe in , ex hoc institueriti ecmoa
s I femicirculo ex aliquo puncD diametri ei Agatur perpendicularis, 2 per duo eiusdem pun
cta ab utroque termino diametri quattuor rectae ducantur , secantes circumferentiam in quattuor punctis rectae quae nectunt illa quat
tuor puncta situ opposita siue ad easdem partes
lineae perpendicularis, e mutuo secant in ea dem perpendiculari.
Eis puncta I, R, perpendicularisa dum sint AC, A DK, DP. Dico ita rectasi CP, quae nectunt puncta opposita, quam recta C l, , P, nectentes uincta ad easdem partes,se mutuo intersecare in eisdem punctis lineae perpendicu laris, nempe ina, O Secet enim in primis recta Cp perpendicularem in L, iungati l Q , quam dico protractam transire per punctum H . Nam ductae AZ, D insecabunt
pendicularem in aliquo puncto G , eritque bis ctangulum sub x, AP, aequale rectangulo sub
A, AI, S consequenter, cum quattuor puncta C, I P,G, sint in circumserentia circuli, erit rectangulum sub CL,LP, aequale rectangulo sub
ctam , G,in circumferentia circuli; S si recta L, intelligatur producta usque ad circumferentiam illius circuli, verbi gratiabusque ad H, erit rectangulum sub L LIq, rectangulo liab GL LI, hoc est rectangulo sub CL,LP, aequale . Vnde semicirculus ABCD,trarisiens per tria puncta C, Q P. transibit insuper per punctum re,
hoc est, punctum H, erit illud in quo se mutuis intersecant cit-
s I IN emicirculo ex aliquo puncto diametri
erigatur perpendicularis, se ex utroque termino diametri duae recyae ducantur, secantes circumferentiam in singulis punc is , perpendicularem in puncto communi rectae, quae circumferentiam contingunt in istis duobus uu- cIis, concurrent in eodem perpendicularis puncto.
Etsi ab aliquo puncto perpendicularis extra semia
circulum afιmpto, cantur duae recrae tangentes femicirculum e rectae ductae adiba duo puncta contac Tuum ab troque termino diametri,
eoque vel oppositio, et ad easdem partes lineae
perpendicularis, concurrent cum eadem perpendiculari ad unum idemque parectum.
χam X troque termino A,D, d ametri AD per idem punctum , vel , ductae sint rectae, secantes circuni ferentiam semicirculi ABCD , in puncti H in quibus eundem semicirculum tangant rectae HG, CG . Dico ipsas secare perpendicularem FB in eodem aliquo puncto G. Et vicistims ex ouocumque puncto G extra semicirculum in adrni perpendiculari sumpto ducasatur duae tangentes GH, GC. Dico tam rectas AC, DH,ductas ad puncta opposta, qui in rec stas AH, DC, iungentes puncta ad easdem partes,in eodem perpendicularis punc sto se mutuo intersecare Mi enim prini,ductae sint rectae AC, DIU, per punctum , transibunt quoque ductae AH, DC, per commune punctum E: vel si prius ductae forent AH, DC ad idem punctum E secarent se mutuo etiam rectae H AC, in aliquo puncto I. Quo posito, habebunt duo triangula rectangula ICE , HE, communem basim I E qua diuisa bifariam in G, dico iunctas GC GH, semici culum ABCD, tangere in punctis CH , hoc est, coincidere cum duabus rectis intra pollinus , eundem semicirculum in dictis planetis contingere. Si eni in centro G, interuallo GE , vel GI, intellioatur descriptus circulus, is transibit' per puncta C, H, ac propterea tres rectae GC,GI, GH, aequales erunt, triangulaque GIC GIH 4soscelia , s anguli CCI, GIC duobus GIN, IM, erunt aequales. Sed angulo GIC, in triangulo ECI, aequalis est angulus EDF, in triangulo PD, propterea qui id dicta triangula sint similia, utpote similia triangulo ADC: ergo etiam angulus ADC, aequalis erit angulo AC G. Quare cum recta AC secet circulum ABCD, S angulus ADC, in alterno segmento sit aequalis angulo ACG, quem cum eadem recta A facit linea CG in puncto sectionis C; cadein recta CG d continget ci culuin iniuncto C. Sed eandem ob causam etiam recta HG eundem circulum tangit in H. Ergo duae recta CG HG, tangentes semicirculum ABCD, in punctis C,Η,secabunt perpendicularem in communi aliquo puncto G. Du AN Tu iam duae rectae G. GH, tangentes semicircu tum in H, C. Dico tam rectas AC, DH, quam AH, a se mutuo secare in perpendicularia; Secet enim in primis rec LAC, diactam perpendicularem in I. Cum igitur angulus ACG, ad punctum
284쪽
VI. terist tum contactus aequalis sit angulo tria r 'a merum ADC, ABCD, in eodem puncto R; rectangulum sub CR I aequale 'his nocest, angulo AIF, propter si mih tudinem triangulorum A CD, est eidem rectangulo sub AR,R irgo etiam rcc angillum sub
FR, G,aequale erit rectangulo sub Cli RI, poteritque proinde circa d quattuor puncta F, H, G, C, describi circi:lus, quem escotia super transire per punctum D centrum s micirculi ABCD. Iunctis enim C, KH, erunt in quadrilatero ΚCG, duo anguli oppositi GF Κ, G Κ, aequales duobus rectis. Quattuor igitur puncta FG erunt in circii infercntia circuli in ea scilicet, quae insuper trans per punctum H Vnde rursum in quadrilater KHGC, duo anguli oppositi CG, KHG, erunt duobus f rectis aequales. His autem angulus CG, rectus ergo langulus E HG, rectus erat: re est HG, tanget i, semicirculum ABCD
f p imi angulo AI F, aequales si s angulus GIC, erunt etiam an Hes . guli GCI GIC, aequales, E latera GC,GI, aequalia. Quare
cam eodem modo demora strati possit, rectae GFI aequalem so- re rectam GI, quasi ex perpendiculari FG, abscindit recta DH,' iplaeque tangentes GH, GC, sint l, aequales, erit utique recta si, Corol. 36. I abscissa per rectam AC, aequalis rectae GI, abscissae per re-ieri Eucli. iam Dil,laoces , uti aque GI, erit una eademque linea recia, ideo rectae AC,DH, se mutu A secabunt in perpendiculari in eodem puncto I. immo S rectae AH, DC, se mutuo secabunti T. u . in communi puncto E, i ut demonstratum est supra.
Η patet si in semicirculo, verbi gratia, ABCD, a Cipiantur utcumque dii puncta ,C, ad quae ex oppositis terminis diametri ducantur rectae AC, D H, sese secantes in I: itemque aliae duae AH, DC ad partes easdem concurrentes in Ε, nee tanturqtie I rectas GC, GH, quae ex puncto G, in quo recta I, secatur bifariam, ducuntur ad pundia circumferentiae C, H, eandem circumferentiam in 1sdem punctis contingere . Ex eo enim , quod duae recstae AC, H , itemque AE,
huius D , se mutuo secent in perpendiculari FE , qualis est hic recta EI, ex eo, quod eadem EI, secta fuit bifariam iam , demonstratum est in priori parte huius propositionis recitas GC, GH, tangere semicirculum ABCD.
EX eadem hac propositione est manifestum, si ex aliquo puncto lineae perpendicularis ducantur duae tangentes M ab utroque termino diametri per puncta contactus ducantur re me, quae ut demonstratum est, necessario sese intersecant in eadem perpendiculari, vel intra , vel extra circulum; segmen tum lineae perpendicularis interceptum inter praedi Elam sectionem, junctum, ex quo eductae sunt lineae tangentes, aequale esse ipsis tangentibus . Ostensium enim est in priori parte huius propositionis, tum rectas GI, GC GE, turn restas I, GH, GE, aequales esse ; propterea quod sit centrui circuli describendi tam circa triangulum Eri , quam circa triangulum E PH.
XIX. XXI. SI IN semicirculo ex aliquoptincto diametri eri D
g. itur perpendicularis, atque ex eius puncto quo-
tiis extr. emicirculum a sumpto duae rectae si
c. intur ad utrumque terminum diametri , cantes circumferentiam aliaeque duae eandem circumferentiam tangentes rectae quae nectunt
duo tincta fectionis circumferentiae cum terminis diametri non ad easdem partes lineae perpendicularis,se muttio cant cum linea nectente duo puncta contactuum in υno eodemque punctoi eae perpendicularis.
puncto G, perpendicularis FG,da cantur in figura praecedenti duae rectae lineae GA GD, secantes circuin serentiam semicirculi in punctis P inaliaeque duae GH GC eandem circum se drentiam L ingentes in H,C. Dico duas rectas A untdilo puncta sectionum J', cum duobus terminis A, D, qui non sunt ad ea dem partes perpendicularis cumpune his P, esse mutuo secare in eadem perpendiculari cum recta H nectente duo puncta contactuum C,Η. Et quidem rectasACEDI', e mutuo secare in linea perpendicitiari Flue,nempe iri ara . huius Puncto R, Consita ex demonstratis. Quod autem etiam recta Η, transeat per dem punctum R, ita probatur . Ex unci perpll.ctum R, producatur R, usque ad punctum circumferentiae quod sit si nectaturque GH , quam dico circumserentiam contingere in H, atque adeo coincidere cum tangente GH prilis
ducta CPuri enim super rectam AG, duo anguli FG, Auc., existant recti, circulus circa diametruin G, descriptusi necessariis transibit per pu acta F, Q S iccirco Pim in illo circulo se mutuo secent duae recta FG, A in puncto R reclan hun
e si LM, v ob causuri cum euaui ACE , se amat uos in in se circulo DP, quaeserti Eucli Schol. pus licti H ii quo R, protracta eundem secat. Quint erat de
SCHOLIUM. 2DEM er modo demons Dabimmis Ela AP, Q trans ire perstin tum G , spriis ducantur duae tangentes GH, GC, neditatur ne CH, secans perpendicularemium per Aci, ducantur a DP. Si enim intei g.rtur diarita GD, ponaturquesecare circum-fe, entiam in Uiquo punctora, recta Ad , protracta
necessario tra iret per ictadpunctum Θυ demon Ira tri si in hae propositione Cism ergo etiam rectam fit pars Eius rectae GD , eadem protradia trans bit omni ire pre me Aran G2 eodemque modo recta AP, protra-ecta transmit per idempunestum G.
SI I semicirculo ex aliquo puncto diametri eriagatur perpendicularis, ct ex utroque termino diametri binae rectae ducantur secantes ingulae circumferentiam insingulis punctis, e perpendis
cularem in eisdem, tim intra tum extrasmicirculum junctaque circumferenti. re tum interse, tum etiam cum puncto diametri, ex quo erecta es perpendicularis, tribus refctis nectantur, eae
demque producantur ures angidi trianguli e conspuriti diuidentur bifariam Linterni quidem a linea perpendiculari, duabus rectis, quae
eductae ab extremitatibus diametris mutu cant Intra semicirculum hexterni eryὰ diame
tro jemicirculi, duabus e fis ab eiusdem terminis eductis, quietes mutuosecant extrase
Et si insuper ex ksdem punctis circumferentiae
duae rectae ducantur ad centrum semicirculi, angulus, quem comprehendunt in centro aequa
lis erit angulo praefecti trianguli qui conseisit
ad punctum diametri, unde refcta es perpen
semicirculo ABCD, cuius centrum Κ, expuncto F diametri AD, erecta sit perpendicularis FB quam in eodem puncto I intra semicirculum secent duae rectae H AC occumrentes circumferentiae in punctis Η, a recsae vero AH, DC ductae ab eisdem terminis AD, per eadem puncta H,C,secent eandem perpendicularem extra semicirculum in puncto , nectanturque UC, H F, CF, S pro
285쪽
Cum enim in quadrilatero AFIH,duo anguli AFI, AHI,aequales sint duobus rectis, poterit per quattuor puncta A,F,I,H, describi circulus quare angulus N FI, aequalis erit angulo HAI,
Pron. 6.cularis FB secabit angulum HFC, bifariam . Deinde in eodem quadrilatero AFIH, angulus FHI aequalis esto angulo FAI, hoc est,DAC, d angulus AC,aequalis angulo DI C: ergo inter se aequales erunt anguli FHI, DI C, rectacitae DH, secabit bifariam angulum FHC eiusdem trianguli FHC Eandem prorsus ob causam recta AC secabit bifariam angulum H CF siquidem terque angulus HCA ACF, aequalis est angulo H DF, seu angulo I DF. Praeterea si ab aequalibus,nempe ex rectis angulis BFD BFA,
auferantur aequales anguli FC, FH, remanebunt aequales CFD,HFA. Cum ergo eisdem sint s aequales AFS,DFT,erunt etiam aequales tam anguli DFC,DFT, quam anguli AFH AFS, atque adeo externus angulus CFT, vel HES, secabitur bifariam diametro A D. Item clim tres anguli HA, RHD,DHC, sin a aequales duobus rectis, S angulus AH D sit' rectus,erunt duo anguli AHM DIJ C, simul aequales recto AΗD. Sunt autem ex pau-lb ante demonstratis etiam aequales anguli FHD,DI C: his ergo ablatis, ex illi remanebunt aequales AHP AHM . Eodemquem bdo demonstrabuntur aeqtiales esse anguli DCF DCN. Atque adeo reliqui duo anguli externi illa in N, trianguli FH C, sectierunt bifariam per rectas AH, DC. Postremo angulum HKC, aequalem esse angulo FC, sic ostendemus . Anquius ΚC, duplus est i anguli HDC seu anguli IDC; sed in quadrilatero FI CD, cui potest circumscribi circulus, ut supra demonstrauimus angulo DC, aequalis est angulus Is C; ergo angulus ΚC, duplus est anguli ΙFC. Est autem eiusdem etiam duplus angulus P FC; propterea ubd eum perpendicularis BF bifariam secet. Aequales igitur sunt i anguli HKC, HFC. Quod erat demonstrandum.
re lae AB, DB,secantes tum perpendicularem , tum circumferentiam in Uno eodemque pun Io B, pcri, dit Iasore recta BV tangens circumferenti.rm in eodem punm S; adhuc erum esset, angulos Ru FLV, quos in tin i contariis facit perpendictitaris cum tangente secari bifariam a reditis ABG B. Erit enim angulus DBV, aequatas angulo DAB, di angu-A ATM, aequalis mulo ADB . Sed angulis AB, ADB, aequale uni h anguli DBP ABF propterea quὐd in triangula rectangulo ABD ex angulo recto B,
demissa sit perpendicularis in basim o Ergo Ἀnguli DBU DBF; itemqis AB M ABF, aequales, fer si erunt rediraeque DB, AB, secabunt angulos V, PTM, bifariam.
SCHOLIUM SECUNDUM. ONUE 'S A etiam huiuspropositionis
nudo Notio demonLirabitar in hunc modum . Sint enim in primis duo anguli BPH, TFC, qui sunt et trimque cum perpendiculari PB, inter se aequale et certe anguli FH, DPQ, qui stam ad diuersis partes
cum diametro A D. Dico tam redit ad AC iΗ, quam re ias AH, DC se mutuo secare in perpendictitarii', retempe in I, 9 E. Secet enim des iaci perpendicularem B, in I, 9 ex , per I ducati r DI, secans circumferentiam in H, nectaturque P. Per hanc τυ
propo tionem erit angulus T P aequalis angulo BPC ac proinde re Ia I F, proxime durita coincideteiampriis ducta, Utraque in ircumferentia assignabit idem tinritam ire laque D transibit perpuneium I in quo perpendicularem PT,secat redii a C.
pendicularem in eodemptinrito E, intersecare . su)d aequale uissent con fit uti anguli APH DFG istis
ablatis ex duobus re tis BPA BFD , remanerent ae quales BFH BFC. Immo cum diametro 1', α
fret re la TF, se rursem Mulus A FH, aequa s a gulo DFG, ct consequenter anguli BPH, BFG aequa Ies 9 hine deduceretur conclusso,tpriiss. Se et deinde reris A perpendicularem , FB in I, lunaeiaque CP, flat angulus GH, aequalis an ulo ACF. Dico etiam re tam DR, tra ire per punctum
I itemque ductas AH, DC concurrere cum eadem
perpendiculari B, in eodem undit, . id quod ex prioriparte flati sequituri ita dis satis itprobare mo- rempartem, nempe Η, trans Pepera, quod si ori endit tir Ducatur enim redita DI, D producatur, inquedum secet circes erentiam inpundito H quod dico esse
idem casm ido, in quo eandem circumferentiam secati Hya GH, quae cum G ponitur,conLiituere utilum
ACH, aequalem angulo CP Ctim enim duae rectae AC, Desine mutu,sierent inperpendiculari PB, nempe
in I, erit per hanc propostionem an ullis CH, aequalis angiι CP a proinde re Lya GH, quae nectitptin- ritum, iuuentum per re tam IH eadem erit cunt redira CH, quam initio duximus.
riam per rectam AC, dic equitur, ipatet exsuperiori demon Iratione etiam reliquum angulum FCN, emternum secari bifariam per res iam DC G te contrario ex eo, quὰ angulus FCN, seritus sibi riam perre Elamita sequitur etiam angulum FGH secari bifariam per reditam AC Si igitur priis durita fui et DCE angulo CD , cons isti tu angetllus aequatis DCN, reditaque C protracta fuisset, donec secaret
circulum in , o tenderetur etiam dricta AH,cum per pendiculari Py, concurrere in pune ioi, in quo eidem occurrit rerita DC: nam, diritum L , ex eo quὰ angulus PGN feritus j bifariamper DC equitur etiam, angulum FGH, e tum esse bifariam per rectam AC;
atque adeo duritas AC GH se mutuinsecare in eodemptius Io I. Unde tandem concluditur, etiam rectas AH, DC in eodem undit in concurrere. Neque aliter demon Ir ibitur tam, EAM AC, Η, quam reritas AH, DC se mutu intersecare inperpendiculari FE, siue angulus DNC, ponatur aequa is angulo D HI ue angulus AHM, ponaturaequa is auriflo AHF re Letque H intedigatur protra Iaetoque ad C, ipatet ex demonstratis
DTHEO REM A XXI. PROPOSITIO XXIII.
SI I Niemicirculo ex aliquo puncto praeter centrum erigatur perpendicularis visique ad circumferentiam, ct ex puncto circumferentiae educatur tangens concurrens cum diametro extensa;
atque ex ido conciιrsu ali et ducatur linea secans femicircuitim rerita eductae ab utroque termino diametri ad Pas interfectiones circumferen ita se mutu ecabunt in linea perpendiculari. Eris icissim duae rei iae ex utroque termino diametri educantur ad idem punctum lineae perpendicularis, secantes circumferentiam in duobus punctis recta quae per Pa protrahitur, occurret diametro in idio puncto, in quo cum e dem concurrit linea tangen S.
Jhonvexrv in figura praecedenti tangens VB,vsque dum occurrat extensae diametro in M, ex , ducatur altera recta C, secans circumferentiam in H C. Dico tam rectas AC,DH quam AH, DC, secare perpendicularem FB, in eis de i punctis I,E. Ducantur enim FH, FC, nec non semidiameter ΚΒ quae erit perpendicularis' ad B. Et quoniam in triangulo rectangulo MKB. ex angulo recto demisia est e pendicularis in basim, nempe recta BF erici recta B,medi proportionalis inter totam basim KM, Se inter eius segmentum
N de ideo rectangulum sub KM, F, erit φ aequale quadrato rectae B sed eidem quadrato est etiam aequali rectangulum sub CM, II ergo: inter se erunt aequalia rectangula sub M,
286쪽
diis, Iubet , M H poteritque' per quattuor puncta Κ,F, H, C, Adescribi circulus . Vnde cum in quadrilatero Κ FH C, circulo inscriptibili anguli FC, H C, sint aequales si angulo ΚΗC, aequalis fili angulus CH, eo quod fiangulum AC, sit sciscelec erit etiam angulus FC, aequalis angulo ΚCH qui cum ac-
qualis sit etiam alagulo AFH , propterea quod uterque cum eodem angulo LPH, duobus rectist aequi ualeat; erunt quoque
inter se aequi latera rideoque inter se a quales erunt duo a neuti FC AFH, consequenter reliqui ex rediis BFC,BFH, aequale . Quare ex secundo scholio propontionis praemissae tam rectae AC,l H, quam rectae AH, DC, se mutuo intersecabunt m perpendiculariam insed erat demonstrandum Sria deinde ductae AC, DA secantes perpendicularem in I, S circumseremiam in C, H vel duae rectae AE, DE secantescit cum se entiam ini; dem puncti H C, perpendicularem in T. Dico iunctm CH, transire per , vel ductam C transire per H. Ducta enim C, secante circumferentiam in aliquo puncto , nectatur H quae ex proxima demonstratione efficiet angulum H FlI, aequalem angulo BFC sed etiam recta, FH, quae ducitur ex F, ad punctum H, in quo secat circumserentiam recta DI H, facit angulum FH aequalem angulo BFG, videmonstratum fuit in priori parte huius propositionis utraque e go FH, est una eademque linea, punctumque H, num S idem: nemne id in quo circumferentiam secat ducta C,&in quo eandem secat ducta DI; eademque est ratio rectarum M DC, si iterum nectantur AC,DH, ut patet.
HINC patet, si ex puncto , ducatur quae uis rectabata secans circulum,nectanturque AC, H AH, DC, FH, FC, non solum angulum H PC, bifariam diuidi a perpendiculari FB; sed etiam reliquos angulos FHC FCH, a recti DH, AC; nec non eorundem externos FHM J CN, FT, vel H FS , secari bifariam per rectas AH, DC AD . Siquidem eiusnodi sectio angulorum necessario consequitur intersectionem rectarum C DH, vel AE, C, quam faciunt cum perpendiculari FE, ut demonstratum est propositione praecedente Immo si prius ponantur dicti anguli sem bifariam , hoc est, verbi gratia, anguli ACF, ACH, vel anguli BFH, BFC, c. ponantur esse aequales, constabit etiam veritas conuersae huius corolla ij, nempe ductam CH, transire per punctum videlicet prii, i demonstretur , rectas AC, DH , vel AH, DC, se mutuo secare in perpendiculari M. Hinc enim ex posteriore parte huius propositionis sequetur, rectam CH, transire per punctum M.
E QUI etiam in ab utroque termino diametri re Dctae ducantur ad quotui puncta perpendi ularis, secantes circumserentiam rectas quae iungunt puncta illarum se tionum, omnes se mutuo secare in eodem puncto diametri. Nam quemadmodum ostensum est , re tam H , necessario transir per punctum M , ita demonstrabitur de quibuscumque alijs sit militer ductis.
. tutis utilis aequalibus , erbi gratia BFH,BFG,o c. inuenta fuissent duo puncta , C. per ea ductasiisset redita CH,
oceurrens diametro in facile demonstraretur iun Edram MN, tangere circia erentiam in B. Nam expuncto B ducatur tangens, eaque occurrat diametro inali tio undi M, ex quo nectatur C, haec necessares transibit per punctum , in quo circumferentiam secat Neta DI, ei redita H Ut patet ex demonri rationebuim propos ionis. Cum er o per idem tinctum , transeat hi iam prior recta CH, haec coint de cum re Aa C, quam paulo ante duximu ex puncto M ad piructum G ac proinde re ia quoque A, ducta expuncto , in quo diametro occurrit protrariu CH,tan 1 et circumferentiam inpuncto A
SI I semicirculo ex aliquo puncto diametri educatur perpendicularis fecag circumferentiam, ex ptinoi yi ctionis educatur tangens eaque
concurrat cum diametro; rursum ex alio puncto eiusdem perpendicularis extra semicirculum assumpto ducantur aliae duae tangentes recta quae coniungit puncta contactuum scabit diametrum in eodem puncto cum tangente
puncto B , praecedentis figurae, in quo perpen diculari FB secat circumserentiam, educta sit tangens B M , secans diametrum D , in , atque ex pundi G, ducantur aliae duae rectae GH, C, tangentes eandem circumferentiam in punctis H C, per quae extendatur recta CH , quam dico transire per punctum M. Si enim iungantur AC, DH eae senui tuo secabunt in perpendiculari B, nempe in I. Demonstratum est autem in propositione praecedenti, tunc rectam C Η, t ansire per punctum ergo etiam recta CH, nectens duo puncta contactuum, transibit per idem punctum M. Quod erat
E quoniam eadem est ratio de quibuscumque alijs tangentibus , quae ex quibuscumque alis punctis lineae perpendicularis educi possent , patet rectas omnes puncta illa contactuum coniungentes transire per idem punctum M
SI I di ametro semicirculi praeter centrum fumatur quodpiam punctum ex eo erigatur perpendicularis secans circumferentiam in puncto, in quo eandem alia recta tangit, concarritque cum diametro, erit eadem proportio tangentis ad perpendicularem, quae segmenti diametri inter tangentem, est circumferentiam ad g- mentum , inter circumferentiam G perpendio
larem vel quae femidiametri ad segmentum
inter centrum perpendicularem. Item si ex
eodem puncto intersectionis diametri se tangentis ducatur alia recta secans semicirculum, a punLIo fectionis ducatur recta ad punctum diametri, unde erecta es perpendicularis, erit adhuc eadem proportio segmenti scantis inter diametrum is peripheriam ad rectam , quae ducta es a fectione circti erentiae adpunisum diametri, unde erecta es perpendicularis; quae
segmenti diametri inter tangentem vel secantem, circumferentiam, ad segmentum inter
circumferentiam ct perpendicularem ive quae femidiametri ad segmentum inter perpendic
RAECEDENTE figura cum sua coia structione
resumpta , dico eandem esse proportionem tangentis B, ad F perpendicularem, vel secantis MH,ad rectam H F,vel M ad F quae segmenti MA ad AK vel MD, ad DF vel AX, hoc est, Κ, semidiametri ad KF, segmentum inter centrum de perpendicularem FB. Cum enim in triangulis BF MN F, CF, ductae restae AB, AH, AC, a bifariam secent angulos BF, H F, CF secent communeri basim MF, in A. erit eadem proportio laterum, quae segmentorum basis, hoc est,ut NA,ad AF, ita erit B,ad BF, H, ad F Fin C, ad F. Quod autem haec proportio eadem quoque sit, quae MD, ad DF, A A et D ad Γ, sic ostenditur . Primo, quoniam in triangulo rectangulci ΒΚ, ex angulo recto B demissa est perpendicularis BF in basim K erat eadem
proportio B ad BF, hoc est, A, ad AF, quae ΒΚ, ad KF, hoc
287쪽
cst, quae A, vel ED, ada F, propterea quod triangula BF, B F. sint aequiangula. Deinde quoniam ut Κ, ad EB, vel XD. ita es a X, ad F, hoc est, D,ad EF, erit e etiam compo
MD, ad DF. Quare eadem erit proportio B, a BF, H, ad H F, C,ad CF, quae Α, ad AD: vel D,ad DF; vela D, ad KR vel etiam eadem, quae Κ, ad ΚΒ, hoc est,ad D. Quod erat demonstrandum.
IN fit, quod si in semicirculo ex quo uis puncto diametri, praeter centrum , erigatur perpendicularis , secans semicirculum in puncto , in quo eundem altera recta tangit quaelibet duae rectae, quae ex quovis punisho circumferentiae ducuntur ad duo puncta diametri, in quibus eandem secant linea tangens perpendicularis , eandem inter se habebunt proportio nem ostensum enim est, proportionem HM, ad H F;NB,ad MF;NC, ad CF d c eandem esse cum proportionem A ad Ap
SCHOLIUM.LLVM etiam hoc loco breuiter libet annotare, iisdem positis uenae in hac proposition pontintur, rectam, aperpendiculari PB, ita cari in puncto, verbi gra
THEO REM A XXV. ROPOSITIO XXVII.
SI IN semicirculo,ab alterutro terminorum diametri applicentur duae lineae ad circumferentiam, atque apunctis, ad quae sunt applicatae, duae cadant perpendiculares in diametrum s cantes vicissi m lineas initio auctas, erunt qua tuor lineae interceptae inter perpendiculares, terminum diametri continue proportionales iuratione applicatarum
N semicirculo ABCD, figurae praecedentis, sint extermino diametri D, applicatae ad circumferentiam duae rectae DB, DC, ex punctis B, C, demissae sint duae perpendiculares F, CK, quae vicissim secent applicatas nempe BF, protracta protractam DC, in F,&CΚ, restam DB in L . Dico quattuor rectas ED, DB, DC, DL, comprehensas inter perpendiculares FE,ΚC, esse continue proportionales,in ratione applicatae DB, ad applicatam C. Cum enim DB sit me a 16 idia inter ED DC erit eadem proportio ED, ad DB, quae DB, ad Da sedit ED ad DB, ita est DC ad DL, propter similitudinem triangulorum DBE,DLC, b quod BE LC, sint parallelas ergo ut BD, ad DC, ita erit quoque DC,ad DLa atque ita quattuor I istae ED, DB,DC,DL, erunt continue proportionales in ratione DB ad DC. Quod erat demonistrandum
SI IN emicirculo ex uno terminorum diametri ducatur tangens , se ex altero termino linea fecans tangentem, ct circumferentiam, atque puncto interfectionis circumferentiae , in diametrum demittatur perpendicularis, tota δε- cans diameter segmentum secantis intra mi- circulum, nec no egmentum diametri interfe- cantem se perpendicularem, erunt quattuor I neae continue proportionales.
ετ τva figura propositionis decimaesextae, in qua semicirculum ABCD, tangat recta AG, in R; recta vero G, eandem tangentem secet in circumferentiam in B ex ν, demissa sit in diametrum, perpendicularis BF. Dico
seca ratem diametrum in , segmentum secantis DB, nec non DF, segmentum diametri, inter secantem de perpendicularem, esse continue
AD, isti media proportionalis inter GD, BD. hoc est, ut GD ad D,
ita est AD ad BD: sed ut GD ad AD . ita est
quod triangula ADG, FDB sint similia, propter parallelasin G, FB ergo etiam ut AD , ad BD, itae it BD, ad DF. ac proin de quattuor restae GD, AD, BD, FD, erunt continue proportionales. Quod erat demonstrandum.
SI IN semicirculo,ex alterutro termino diametriduae rectae applicentur ad circumferentiam, minori Partim adiyciatur recta ta ut tota composita ex minore, Madiecta,st ad duas applicatas tertia proportionalis maior ex maiori , prope terminu=n diametri, auferatur recta, quae
ad easdem applicata sit tertia proportionalis minore hoc es, rectae applicatae sim mediae proportionales inter dictam compos tam ct abla
tam rectae quae iungunt termissos duarum maiorum, itemque duarum minorum, erunt perpendiculares ad diametrum.
est conuersa praecedentis , quod attinet ad pei pendiculares: demonstraturque in eadem figura hoc modo . Sint applicatae duae rectae DB, DC ex termino D, Si minori adiuncta si CE ita ut tota DE, si tertia proportionalis maior, a DC, DB; ex maiori DB,ablata sit DL, tertia proportionalis minor ad ea dem applicatas. Dico iunctas BF, CLX, esse perpendiculares ad diametrum AD. Nectantur enim AB, Aa, BQ quoniam igitur triangula EDB, BCD, DCL , habent communem angulum EDB, circa communem angulum late ra proportionalia, hoc est,ut ED, ad DB, ita BD,ad DC, CD,ad DL; ipsa erunt aequiangules eruntque aequales anguli BED, CBD,LCD, sub quibus subtenduntur homolog 1 latera BD, CD,
Deinde, quoniam angulus BCA, aequalis est angulo BDA, de angulus BA , aequalis est angulo BDa, erunt duo anguli BCA, BAC, trianguli ABC , aequales angulo DF, qui componitur ex angulis BDA, BDC, ως reliquus angulus ABC, aequalis duobus reliquis DFE,DEF, trianguli DE . Sed angulus DBC , pars ipsius ABD aequalis est angulo DEF, hoc est,DEB, ut paulo ante ostendimus ergo reliquus FE aequalis erit reliquo ABD, qui cum sit rectus, erit etiam DF , rectiis , hoc est, recta EB , erit pei pendicularis ad diametrum. Elto autem CL , parallela ipsi EF, eo quod angulus DCL,aequalis sit angulo,DEm ergo CL, ad diametrum AD,perpendicularis erit. Id quod etiam hoc mo do probari potest. Angulus DL C aequalis Dest duobus internis&oppositis L DK, LX D sed angulo DLC aequalis es angulus DCB, propterea quod triangula DLC, CB sint similiaci ergo angulus CB, aequalis erit duobus I DK,LKD . Est autem angulus I DK, hoc est,BDA,ac qualis angulo BCA , parti ipsius BCD
ergo reliqinis angulus XL, reliquo angulo ACD, nempe recto in semicirculo, aequalis erit. Quod si una applicatarum , nempe maior, suisset diameter DA, minor, verbi gratia, DB, rectaque D , tertia propo tionalis maior DF, minor, adhuc iunetae AG BF essentie pendiculares ad diametrum Ain immo tunc altera illarum, nempe AG, tangeret semicirculiun .Qu ia enim circa commu
288쪽
PARS II DE POND. ET MENSUM LIB. s. CAP. II.
nem angulum ad in latera sunt pro nortionalia, in trian lige sext. . ADG ADB, DFB, ipsa erunt aequiangula, habebunt angi siexit Euel io DAG, ABD, BFD aequales, sub qu bus subtenduntur lima toga latera G, DA, DBQ sed angulus BD, est rectus in semicirculo ergo reliqui anguli DAG, DFB recti erunt, rectaeque A G, FR, ad diametrum AD, perpendiculares. Quod erat demonstrandum.
DB, R, ponuntur aequales. Eodem modo, si aequales ponantur L DM, erit ut DL, vel N ad DC, ita DC ad DB, vel ad DR ac proinde rectae DB, DR aequales erunt. Quod erat de
SI IN emicirculo ex alterutro terminorum diametri duae rectae applicentur ad circumferentiam, a puncto applicat onis minoris demit latur perpendicularis ad diametrum Ierque punctum applicationis maioris expraedicto te
1mno diametri arcus describatur, occurrens perpendiculari protractae is denique ad punctum iEtid occursus recta educatur ex eodem termino diametri, haec secabit circulum, intercipietque lineam inter terminum diametri se circumferentiam, aequalem Pi segmento maioris lineae applicatae, quod comprehenditur inter eundem terminum diametri operpendicularem. Et L
eissi lex Pitermino diametri, interuabo, quod aequalesit segmento lineae maioris applicatae,
intercepto inter terminum diametri ct perpendicularem, describatur arcus, secans circumf rentia emicirculi iectaque ex eodem termino diametri periPud punctum sectionis circumferentiae extendatur usque ad perpendicularem, aequalis erit maiori termino lineae ab initio a' plicatae
sis , in primis in semicirculo superioris fieturae maior applicatarum ex termino D , sit ipsa diameteri x minor vero sit DB; ex B, cadat in , Ni diametrum perpendicularis BF quam protractam secet arcus E, descriptus centro D , in te uallo maioris applicatarum Dra nectaturque D , secans circumferentiam semicirculi in C . Dico rectam DC aequalem esse rectae DF, hoc est, segmento maioris A, intercepto inter terminum D, Se perpendicularem FB vel quod idem est, dico arcum descriptum CD, interuallo DC, transire perii vicissim si centro D, interuallo DF arcus descri
batur, secans circumferentiam in C, ductaque DC, extendatur
usque ad protractam perpendicularem FB , verbi gratia, usque in E rectam E , aequalem fore ipsi DA , hoc est, arcum descri Dptum ex D interuallo DE, transi re per punctum A Quoniam enim recta FRE , est perpendicularis ad diametrum AD, erit G D ad BD, sicut BD ad DC sed ut ED,ad DB,hoc est, ut AD ad DB, ita est' in triangulo rectangulo ABD, DB, ad DF: ergo etiam ut DL ad DC, ita erit eadem DR ad DF ac proinde DC DF. aequalis erit. Eodem modo si prius descriptus sit arcus C, hoc est, F, G ponantur aequales, ostendemur aequales esse DE, DA . Clim enim iterum recta FE sit ad diametrum perpendicularis, erit ut CD , ad DB , tam , ad DE sed ut CD, ad DB, hoc es , FD, ad DB, ita DB, ad DA; ergo ut DB, ad DE, ita erit eadem DB,ad DR. consequenter recta DE, aequali ipsi DA.
Aliter sine proportionibus. Quoniani in triangulis ACD,DFE, duo anguli ACD, ADC, aequales suin duobus angulis EFD EDF,
nempe praeter communem angulum ad D, rectus alte restae
qualis alteri recto, de praeterea latera AD, DE , quae aequalibus angulis similiter opponuntur, ponuntur aequalia erunt etiam reliqua latera reliquis lateribus aequalia, nempe DC, ipsi DF. Si autem aequasi ponantur latera, D DF, ea adiacebunt aequalibus angulis praedictis ac propterea iterum reliqua latera reliquis lateribus erunt aequalia, nempe DE, ipsi DA, a F, ipsi AC. Sint deinde applicatae duae rectae DB, C, ix C, puncto applicationis minoris demittatur perpendicularis C X, secans maiorem in L. centro D, interuallo DB, describatii arcus, occurrens perpendiculari C, protractae in in nectaturqm DR, circumserentiae occurrens in M. Dic segmentum D M aequale esse segmento DI. Et si vicissim centro D, interuallo D 4 describatur arcus, secans circumferentiam in M, ex Diper , extendatur rectam M usque ad perpendicularem it, rectam DR, ore aequalem rectae DB. Nam recta DC, quae extermino D, applicata est ad punctum C, ubi circumferentiam secat perpendicularis C, i erit media proportionalis tam inter rei ta BD, DL, quam inter rectas RD,DM,hoc est,ut BD ad D vel RD, ad DC, ita erit DC, tum ad rectam DL, tum ad reetam Dra: aequales igitur sunt g rectae DL, M, quernadmodum c.
I patet, si ut in propositione praecipitur, ducan tu arcu BR LM, quorum ille secet perpendicularem, C, in R, hic vero circumferentiam in N, rectam eduetam ex D ad alterum pundiorum, R, transire per reliquam . Demonstratum enim est, si ducatur recta DR,eius segmentum D , aequale esse segmento DL, Se si ducaturi producatur usque ad perpendicularem KQ in R, rectam DR, aequalem ore rectae DB.
THEO REM A XXVIII. PROPOSITIO XXX.
SI IN semicirculo ab alterutro terminorum diametri duae rectae applicentur ad circumferemtiam, is ex eodem termino duo arcus describantur interuabo applicatarum, secantes vicissim applicatas recta connectens puncta sectionum, erit ad diametrum perpendicularis, is quae ex alter punctorum fectionis in diametrum demist fuerit perpendicularis, ea transibit perret quum punctum.
eadem figura sint primo applicatae DA, DC,
SI centro , interuallis D , DC descripti arcus recent easdem applicatas in F,E. Dico rectam EF, quae nediit puncta sectionum F, E, esse perpendi cularem ad diametrum AD S si exi, in diametrum demittatur perpendicularis, dico eam cadere in pundium s de vicissim si ex F, erigatur perpendicularis, dico eam transire per punis tum E . Ducta enim recta AC, erunt duo latera AD, DC, trianguli CD, aequalia duobus lateribus ED, DF, trianguli DEF. Est autem ni per communis angulus a V primi ADE ergo etiam' reliqui anguli reliquis angulis aequales e Eucti. runt; nimirum angulus AC, angulo DF sed ille est rectus: ergo hic Rursum si EF, ponatur perpendicularis ad DA, ducta ex E, erunt duo anguli EFD, EDA, aequales duobus angulis ACD, ADC, latera DF DA, rectis angulis opposita, aequa b46. primilia; ac proinde etiam reliqua latera DF.DC. erunt aequalia i Euel
Si veris ex E ponatu erecta perpendicularis PE, i ijsdem triangulis, angulis praedictis adiacebunt aequalia latera DF,DC qu re etiam reliqua latera DA DE, erunt aequalia, hoc est, perpendicularis FE , transbit per punctum E in quo arcus DE secat applicatam C. Deinde sint applicatae rectae AB, DN, Miterum descripti a cus BR, L, centro D secantes applicatas in R, L. Dico rectamRI , protracham usque ad K perpendicularem esse ad eandem diametrum. Ex puncto enim R, intelligatur in diametrum smissa perpendicularis, secans circumferentiam in C, ducatum 46. huius. que recta DC, quae erit media proportionalictam inter rectas RD, DN, quam inter recta BD,DL,sumendo DL, pro ea,quae intercipitur inter punctum D, inter perpendicularem RΚJoc est, ut DR, ad C, vel DB, ad DC, ita erit DC ad D ad DL: ac proinde R Κ, perpendicularis abscindet ex DB, rectam DL,ac- qualem ipso in sed etiam recta RL,abscindet ex eadem DB, rectam B L, ipsi DM, aequalem ergo recta RL, coincidet cum recta Ri iccirco ad diametrum AD, perpendicularis existet. Eodem modo si ex puncto L, fuisse ducta ad diametrum perpendicularis L Κ, quae protracta secet circumferentiam in C,S DN, protractam in R, iunctaque uisi et DC,ea esset media proportionalis tam inter DL,DB, quam inter DM, DR, hoc est, ut DL ad D ta vel DM , ad DC, ita foret eadem DC ad DB, ad DR ac proinde DB,DR, aequales existerent; vel quod idern est,perpei dicularis KL, transiret per R, in quo re a m D M, secat arcu BR. Quod erat demonstrandum.
289쪽
SI I N emicircula ex alterutro terminorum diametri sine rectae applicentur, o, ex eodem ter mino duo arcus scribantur interuallo applica tarum, e cantes vicissit applicatas, rectaque ducatur, nectens pune a sectionum vel certe ex alterutro punctortim jectionis in diametrum d mittatur perpendicularis scans circumferentiam femi circuli recta quae ad illud punctum circumferentiae applicatur ex praedicto term no diametri, erit media proportionalis inter . plicatas. B
N eadem figura sint primo applicatae A, DC, centroqtiei, interuallo DA, MDC, descripti sint
arcus, secantes vicissita applicatas in I F, ieetaturque D vel ex D demittatur perpendicula- iis in diametrui: DA; vel denique ex F, ad eandem diametrum eligatur perpendicularis omnes enim istae lineae sinit una Meadem linea recta, ut constat ex praecedenti propositiones secabuntque circiam serentia ira in eodem puncto , verbi gratia, B. Dico undiam DB, eis mediam proportionalem inter DA, DC . Clim enim EF, sit perpendicularis, vel ex hypothesi, vel ex prae cedente propositione ,
vel ut DE , ad DB, ita , DB, ad C. Deinde sint applicatae rectae DB MM , descripti arcus ΒΗ , ML: ducta igitur a L . erit perpendicularis ad AD, coincidetque cum traque perpendicularium, quae deInitteretur ex v-trolibet punctorum R,L, meandem diametraemAD. Unde si ad punctum C , in quo per 'rndi viaris RLT, secat circumferentiam . ducatur DC ipsa erit, me ita proportionalis inter applicata DB,DM . Quod erat
THEO REM A XXX. PROPOSITI, XXXII.
SI IN semicirculo mono terminorum diametri, applicentur tres lineae continue pro ortionales greae ex puncto applicationis mediae in tametrum cadit perpendicularis, ab ndet ex maiori aequalem minori ct ex minori protracta rectam aequalem maiori.
IM primo in eadem figura ex termino D .applicatae tres rectaeo A im, DC, continue pri
ire vi , ad DB, ita a est DB ad DP sed ut DA , ad D, ita est ex twpothesi DR ad DC ergo ut DB ad DF ita erit eadem DB ad DC aequales igitur sunt DR, C. FG m modes, quoniam es hi vi Dc ad DB ita DB ad DE DC, ad DB ita extri thes DB ad D , erit quoque ut DB, ad DE; ita eadem Do ad Daci ac proinde etiam DA,DE,aequales erunt. 'od erat demonstrandum Sint secundo applicatae tres rei tae DB,DC,DM,con inue proportionales perpensicularis K, secet maximam DB,ina,&minimam protrastana in R . Dico DL, M, itemqDe DB DR es aequales: ἰ menim ob perpendicularem Cc, iterum sit ut DR ad DC, ita DC, ad DL, ex hypothesi, ut DR ad DC, ita 1 DC , ad DM iccirco DL DM , erunt aequales. Non aliter demonstrabuntur aequales esse DT, DR . Quod erat demon
SI IN emici calo ex altero terminorum diam tri applicentur uire rectae adcincti erentiam, O expunctis circumferentiae demissae perpendiculares vltra circumferentiam producantur,fecantes vicissim applicatas atque ex termino diametri, interuabo maioris applicatarum δε- scribatur arcus, secans perpendicularem emisesam ex termino minorii velsi eodem centro arcus describatur interna Po rectae interceptae inter praedictum terminum Eiciam perpendicularem, quife et circumferentiam Vinea quae ex eodem termino, per idam sectionem perpendicularis vel circumferentiae extenditur usque ad perpendicularem , demissam ex termino maioris applicatae, na cum minore applicatarum protracta inque ad eandem perpendicularem, supe ad et rectis applicatis duas alias maiores contianue proportionales . Et ex puncto intersectionis circumferentiae cum arcu proxime descripto demittatiar alia perpendicularis haec abscindet
ex mInore applicatarum rectam, quae cum ea,
quae intercipitur inter terminum diametri, dictam intersiectionem circumferentiae sub iatuit eisdem applicatis duas alias minores in eadem proportione continua applicatarum.
Pstro ATA sint telum in eadem figura in primis diameter DA, reeta DB, ductisque perpens dicularibus A a FR, siti per eadem diametro D, quae secent applicatas in punctis F,G, describatur
centro D uateruallo DA, arcus AE,occurrens per
pendiculari FR, in F, vel eodem centro D, in te uallo DF, describatur arcus FC, secans circumferentiam in C: recta enim quaeductasti erit exi, ad utrumlibet punctor uni E, C, necessi ario transibit per reliquum punctum , ut supra demonstratum est a Dico igitur, si D CI, MN, producantur a q hmvsque ad perpendicularem in G, rectas D in ius DG esse oratinue proportionales cum applicatis rex, DB itemque dusta rem ad diametrum perpendiculari, secante kectam DB, ni rei ta DC, DL, eisdem DA, B, similiter esse proportionales. Cum enim parallelae sint rectae A a1FE, erit eadem proportio DC ad DG, quae DE,ad DB; sed ut DE, ad DB,hoc est, D Aod L c ita est in triangulo rectangulo ADG, ex cuius angulo recto A, ad basimi , cadit perpendicularis AB, recta DG ad D A hoc est, G ad DE ergo etiam vim ad D G, ita erit DG ad DE , vel ad D , DA, ad DB . Quare rectae DQ. G, erunt continue proportionales cum re nisi , DB. Immo propter Eo, perpendiculares, i est quoque ut DE , hoc est, DA , ad DB , vel DB ad DC, ita DC ad DL ergo etiam DC, DL, cum eisdem DA, B, continue erunt proportionales sint secundo applicatae rectae DB, DC Mustaeque perpendiculares FB, C, secantes applicatas in F,L, centro D, interuallo DB,vel LI , dc scripti sint duo arcus BR LM, quorum ille perpendicularem KC, secet in R, hic ver o circumferentiam in M,&per , vel R, expunctato D, extendatur recta D RO, vsque ad perpendicularem FB . Et denique ex M , demittatur in diametrum perpendicularis P, secans minorem applicatam DC, in M. Dico ipsi DB, DC , in continua proportione adiectas esse duas DO, DE, maiores, duas minoies DM MN. Nam in primis rectas DR, M, este unam rectani lineam constat ex ς demonstratis. Deinde perpendiculares FO KR, PM, Verit, DO,
ad DE, ita DR ad DC sed ut DR , ad DC, hoc est, D , ad DC, ita est 4 DE , ad DB; cum DB , si media proportionalis inter DR,DC . Ergo viro ad DE, ita erit DE,ad DB, DR ad DC, hoc est,DR, ad DC. Est autem ut DR, ad DC , vel DB , ad DC, ita hi C, ad DL,vel M; DM, ad D . Sex igitur lineae DO,
DE, DI,DU, DN, DN, continue proportionales erunt. Quod erat demoni trandum .
290쪽
s DIAMETER circuli fecetur in quotuis
partes continue proportionales, communem habentes terminum cum diametro quae sit m xima partium proportionalium, atque a relia diis earum terminis excitentur perpendiculares ad diametrum secantes circti erentiam rectae quae M termino communi applicantur ad Pas fectiones circum xentiae , funt contiamur proportionales, eaedemque mediae inter diametrum, o singulas eius partes.
THEO REM A XXXIII. PROPOSITIO XXXV. 27 ISI IN semicirculo na cum diametro ab L
terutro terminorum diametri applicentur ad circumferentiam quotcumque ineae continui proportionales atque a punctis circumferentiae , ad quae fiant applicatae, cadant perpendiculares hae secabunt diametrum in pam te continue proportionale ipsaeque applica-Iae errant mediae inter diametrum I ingulas eius partes.
D , praecedentis sigurae sit continue proportionalis cum suis partibus DF,DΚ, DP, erectis que perpendicularibus B, C,' secantibus circumferentiam in B, C, M
applicentur a termino communii, rectae
DB, Dico eas continue esse proportionales, ac xnesias inter diametrum, singulas partes . hoc est mediam esse inter D A , DF DC, Ediam inter DA, D denique mediam esse inter DP . Quorum posterius constat ex δ supradictis siquidem diameter DA, secat perpendi utare FB AC TM , in F, D, P rectae DB DC, D applicatae sunt ex D , ad earundem terminos B, C, M, Quod facilius etiam constat ex corollario propositionis octauae libri sexti Euclidis. Prior ver pars ostenditur hoc modo . Quoniam enim DB est media proportionalis inter Din Di, ut praediximus, erit eadem proportio Dra, ad DB , quae DB ad DF . Sed DF, est aequalis ipsi DC, ebqub utraque sit media proportion lis inter Din, Κ, illa quidem ex hypothesi haec vero per praemonstrata ergo etiam D A ad DB , erit eadem proportio, quae Di ad Da. Deinde quoniam A DF, DK, DP, sunt quattuor lineae proportionales in retatam , media est proportionalis inter minimam DP, maximam Din, ut proxime ostendimus. erit eadem D quoque media proportionalis inter reliquas DK, DF . Sed recta DB, est etiam ipsa media proportionalis inter DI, DA tres rectae Da, DF, A sunt continue proportionales d ergo omnes quinque linea DA, DB, DR, M D , erunt continue proportio nates, hoc eu vi DA, ad DB, ita erit DB, ad DF, hoc est, ad DC, DC, ad D M. Posset hoc ipsum aliter demonstrari nulla habita praecedentiunt Lemmatum ratione . Ex hyp
thesi namque eadem est proportio DA, ad DF, quae I ad D ut DF , ad D ita est ob similitudinem triangulo rum FB, DKL, DB, ad DL erit igitur vim , ad DF, u DB , ad DL, permutando DA, ad DB, hoc est, sit D , ad DF , ita DF , ad DL . Cum igitur etiam rect DC, me Ddia sit inter easdem DB , DL, ipsa erit aequalis rectae DF,
eritque eadem proportio BD, ad DC, quae BD ad DF, hoc est, quae A, ad DB . Igitur tres restae D , DB , C, sunt co tinue proportionales. Deinde quoniam etiana tres rem DF, DK, DP, sunt continue proportionales, erit' ob parallelas B, KC PM, eadem proportio DB, ad DL, quae DC, ad DN, cum illa sit eadem, quae DF ad DK, haec eadem, quae Κ, ad DP. Permutando igitur erit DB, ad DC, etiam eadem, quae
DL, ad DN, sed ut DB , ad DC, ita est i DC, ad D ergo DL,
media est proportionalis inter DC, DN, sed etiam D .esta media proportionalis inter easdem Dergo DL MM , erunt aequales, ac proinde eadem proportio B, ad DC, quae DC ad DM. Quod erat demonstrandum.
Ea posteriore hac demonstratione patet, non solum quando partes diametri cum tota diametro sunt continue proportionales, sed etiam quando dumtaxat inter se sunt proportionales; applicatas ad circumserentiam , iuxta ea quae in propositionestatuuntur,esse continue proportionalesae eo enim sollim,quhd DF, Dic, DP, essent proportionales, ostendimus etiam applica- eas DB, C, DM esse continae proportionales.
6 Iemp. I. cap. I. ξα-ΡΡLI AT E DB, C, DN, in eadem figura sint cum diametro DA , continue proportionales, ex punetis B, C, , cadant perpendiculares F, CK, P. Dico etiam diametrum DA, cum suis partibus DF, DK, DP, continue
esse proportionales et applicatam DB, mediam esse inter D , DF in Do mediam inter DA, DK; i , mediam esse inter DA, DP quorum hoc constat iterum illud veris probatur lio modo. Recta BD , media est proportionalis inter DA,DC,ex hypothesi Meadem BD, media est inter AD &DF; ergo DF,&DC, sunt aequales. I ursus DC, eadem ratione est media proportionalis inter A, DK; ergo DF , quae est aequalis ipsi DC eiit media proportionalis inter DA ac proinde tres rectae DA DF, D , erunt continue proportionales. Praeterea, quia vim , ad DP, ita est DF ad DK vi proximo ostendimus, i DF, ad DB, hoc est, ut DC , ad DB, ita est D M, adici, hoc est, M , ad DF ergo ex aequalitate perturbata erit quoque DA, ad DB, ut D l, ad DK Sed DA, ad DB, est sicut DC, ad D M, ex hi pothesi , hoc est, sicut DT, ad D M ergo ut DF, ad DM , ita erit DM , ad c Quare cum vna eadem M , fit inedia proportionalis tum inter DF, DK, tum inter DA, DP, sitque D A, maxima, DP, minima erit φ quoque eadem proportio DA, ad DF, quae DK, ad DP sedi , ad DF est eadem, quae DF, ad DK, ut paulo antia ostensium est ergo quattuor lineae A, DF D , DP, continue sunt proportionales. Id quod etiani sine sexto lemmate probabitur, hoc modo . Qitoniam tres re istae DB, C, D M, ponuntur continue proportionales , Me puncto cadit perpendicularis I Κ, erit d DL, aequalis ipsi D . Et quia ut o a. Bu-DC, ad D I, ita est DN, ad D N erit quoque ut DC ad D M ius. hoc est, ut DB ad C, ita DL, ad DN,& permutando Vt 46.butuo. DB, ad DL, ita DC, ad D sed ob parallelas B, XC, PM, ut DB, ad DIU, ita est, DF ad DK; ut DC , ad DN, ita est DK, ad DP. Ergo etiam ut DF, ad DK, ita erit DL ad DP. Quod erat
SI ETIAM hae posterior demonstratio diligenti uetconsideretur, facile apparebit, quotcumque, utcumque ab uno termino diametri appilaatis continue proportion libus ad circumserentiam, si a punctis applicationis cadant perpendiculares in diametrum, partes diametri continue pro portionales sores neque enim haec posterior demonstratio pendet ex eo, quod applicatae sint continue proportionales cum