장음표시 사용
301쪽
internoni posse inter duas rectas datas , constat tum ex decima tertia propositione libri sexti Euclidis, tum ex propositione pro- cime praecedente. Tres autem interponi posse vel septem , vel qui idecim, ex eo manifeste deducitur, quod per eandem propositionem praemissam non sollim inter duas datas unus me cius terminus interponi pos it; sed etiam tum inter utramque
rectam datam,& medium terminum uentum tum 1 ter quoslibet inuentos, singulos medios interi)cere liceat. Hunc enim fit, ut quando inter primum medium inuentum; itemque inter eundem medium tertium , siue ultimum terminum im
mos, tres omnino termini ita constituti mempe medius Ilem in interpositus duo ali inter eundem medium,
extremos interiecti . Si vero inter eosdem terminos tum inuentos tum datos, qui iam in uniuersum sunt quinque , alij do idem numerus terminorum sit unus, ex numeris imparibus, quos progressio hic adducta exhibet . Ex qua progressione racile etiam determinabitur , quot vicibus iteranda sit
praxis interpositionis unius termini med ij, ut tandem numerus terminorum propositus habeatur, si videlicet diligenter a tendatur, quotum locum occupet in progressitone dicta denominator terminorum plopositorum. Nam quotum locum occupat eiusmodi denominator, toties iteranda erit praxis unius termini naedij. Nam ut tres termini medi interponantur inter duas rectas datas bis repetenda erit praxis dicta, eo quod denominator trium terminorum propositorum occupet secundum locum in progressione teraninorum possibilium. Item ut inter easdem rectas datas intrudantur quindecim , necesse erit eandem praxim repetere quater, propterea quod denomi-
intrudantur medi , hi cum prioribus tribus constituunt ni merum septem terminorum intermediorum . Nam inter qui imque terminos quattuor omnino cadunt termini medi; nempe tot, quot sunt termini propositi uno mintis, quemadmodum etiam inter tres terminos duos incidisse medios paulo ante aduertimus Positis enim ordine quinque terminis, cadet inter primum Tecundum primae ex quattuor, quos interponi posse diximus tum uater secundum tertium cadet secundus, inter tertium ver, quartum tertius i denique inter quartum quinctum quartus , ion: eqirenter inter quinque terminos, si acti singuli interponantur , quattuor erunt in uniuersum, qui interponuntur, dehicum tribus prilis inter eosdem terminos positis , septem terminos constituent . Non aliter deprehendemus octo fore terminos, qui inter septem proxime inuentos,
de extremos interponi possint. Atque adeo si unam in summam hi cum illis colligantur , quindecim esse terminos, qui hac ratione fuerint consti tuti inter datos,&c semper enim ultra , terminos interpositos , si singuli inter ij ciantur inter inuentos datos , tot cadent alij, quot fuerei ius interpositi , uno insuper adiecto . Nam uno interposito , ali duo inter jciuntur; tribus vero interpositis, ali quattuor, septem interpositis, octo alij. Vnde etiam aperte colligitur , denominatores eiuς modi terminorum interpositorum debere esse numeros impares siquidem irimus qui interponitii ab impare denon1inatur, scilicet ab unitate . sim enim uno interposito in te poni possint ali duo mempe tot quot ante, uno adiecto , si hic numerus 1 qui est par, addatur impari , nempe nitati , componetur numerus impar qui denominabit terminos, qui secunda praxi, inter duas rectas datas interponi possunt. Deinde quoniam interpositis tribus terminis per secui tam praxim interponuntur ali 1 quattuor per praxim tertiam, nempe iterum tot quot fuere prius interpositi uno insuper adiecto , si hic numerus 4 qui iterum est par, eo quod fiat ex impari
3.&ex unitate, addatur ad 3 denominatorem mediorum proxime inuentorum erit productus numerus, . hoc est, denominator terminorum ultimo interpositorum iterum impari, ita dereliquis. Quod autem hi denominatores sint illi timeri impares , qui sunt minores proxime terminis proportionis duplae, quae a binario incipit, hinc et manifestum . Idem namque est dupli
care numerum aliquem , is producto demere nitatem, quod duplicare eundem numerum , dempta prilis nitate,&producto numero iterum ad ij cere unitatem. Idem enim, ve bi gratia numerus ternarius inuenitur , si, verbi gratia, bin rius duplicetur,&ex duplo nempe ex quaternario subtrahatur unitas, vel si duplicetur unitas Io eis, numerus proxime minor binario, proludio scilicet binario, addatur unitas Vi de cum denominator unius termini medi; qui primo omnium interponitur inter duas rectas datas , sit ni lac nempe nume rus proxime minor primo termino progressionis duplae , , quam ponimus incipere a binario, erit omnino numerus ter narius , hoc est, denominator terminorum, qui secundo inter ij-ciuntur , quique duplus est denominatoris proximi , conti nens inlaper unitatem , aequalis secundo termino , progres 1ionis dupla , nempe quaternari , sublata prius ex eodem secundo termino unitate . Item numerus . qui denominat tenminos medios, qui tertio interponuntur, quique continet bis denominatorem terminorum proxime interiectorum, ini Per Unitatem, aequalis erit tertio terruiri eiusdem progressionis duplae , nempe numero . sublata unitate . Ea denaque est ratio de reliquis denominatoribus mediorum termino rum, qui consequenter interponi possunt inter duas recta
Itaque ut problema propositum soluatur, satis est eam tenere praxian, qua inter duas datas rectas unus terminus medius interponitur. Namsidem problema superius adhibeatur, hoc est , primo inter duas recta imponatur unus terminus medius tum interea dem datas, medium te Lunum inuenti alij, c. immissus tandem crit inter easdem rectas datas is numerus terminorum, quem immittere oportebat: dumm
his patet, quamuis iaceometrica per
propo tiones supra citatas quamplurimi T poss/it interponi termini medi interdua
recta datas plurimos tamen em ac insiniato , qui per continuam immissionem nius termini medij infer datosis inuentos nequaqtiam haberi queant. Ctim enim per interpositionem continuam Unius medi termini tam isterponatur risistimerus terminorum mediorum, qui denominatur a numeris
imparibus , in superlari progressione expresis, quiUe exprimeretur, si eadem progresso in infinitum extenderetur, Ut manifestum est ex discursu praemisso p
tet, hae ia non lotam Eum numerum terminorum mediorum denomana tortim d numero pari sed nequci denominatores a quamplurimis numeris imparibus in terponi posse . Immo non miniss facile erit, inire rationem terminorum , qui interponi nequeunt, qud terminorum, quos interponi posse bactenus of tendimus. Numerum enim eiusmodi ter minorum impossibitium
eadem ipsa series pro re Sonis terminorum possibilium
commouHrat. Unitas enim, quae en primus temninus dictae progressionis , oriendit num numertim termino
rum e se impossibilem inter num terminum . ct tres,
qui nipos biles, nempe dum numerum terminorum, qui denominatur 2 binario, qui ef numerus medius imie intimo tria in progressione numeroram naturari. Ternarius erὰ qui L secundus terminus eiusdem pro gressionis tenninorum possibilium, mons ira tres esse numeros terminorum impossibilium inter tres te; minos septem terminos, qui possunt interponi, eos scilicet, qui denominantur 2 tribus numeris , qui cadunt inter qui quidem sunt tres tantum, ideri et . F. Cfepte rarius enim quartum occupat locum iternario cism eam iuxta superiorem regulam continere debeat bis, ct in perinitatem a prionde tres necessario cadent alij numeri inter 3. nempe tot quolsent Uni tates in secundo termi ro progressionis dictae. Itaque per immissonem continuam nius terminione istia
ratione interponentur aut quattuor termini 1nedst, aut quinque, auisem, sed neque odito, et nouem, vel decem, Celindecim, e duodecim, e tredecim, e quatuor decim termini medist inter datas intrudentur, Θ quod
septem i ii numeri cadant inter . Is hoc Li, inter tertim quarti terminum eiusdem progressionis terminortim possibilium c.
302쪽
PARS II DE POND ET MENSUR. LIB. I. CAP. III. 183
I D E M terminos medios numero impares duabus rectis datis immittere praxi peculiari.
Iur iterum datae duae rectae AB, BC,&ci catotam AB, descriptus sit semicirculus ADB, centroque , interuallo BA, arcus G huius enim arcus beneficio,&semicirculi ADB , ii mittentur inter duas datas AB, BC, quotuis mediae numero impares ex eis, quae denominantur a numeris imparibus progressionis, quam propositione praecedente instituimus . Sint enim , exempli gratia, inueniendi quindecim termini me di inter datas Aa , BG qu niam igitur hic numerus s. est quartus terminus in supe Briori progressione , primo omnium inter duas datas, interque maiorem a datam, proximam inuentam, quater interponetur unus terminus medius
in hunc modum. Ex C, super rectam AB, crigatur perpendicularis, secans semicirculum in pune o D; quam perpendicularem sic facile eduxeris: anplicata in eodem semicirculo re-eta G, aequali ipsi BC,
producas eandem f, VLque ad arcum ΑG, in et Iuncta enim Cg, erito perpendicularis ad rectam AB; eademque secabit seini circulum in puncto D ad quod ducta recta ex puncto R, nempe re et BD , erit tum ex aliis propositionibus , tum ex praxi problematis quincti hu- ius, media propoitionalis inter datas AB, BC. Eodem modo si recta BD producatur, Vsque ad arctimin G, in G, eidemque BD, aequalis sumatur BE, erit ducta EG perpendicularis ad diametrum AB, eademque in semicirculo ADB, affignabit punctum F, ad quod ducta recta F, erit media proportionalis inter datam AB, inuentam proxime BD, vel BF. Sumpta vero lueΗ, aequalii ps BF, TD, protracta usque ad arcum AG , in Κ, secabit ducta recta X, quae rursum est perpendicularis ad AB, semicirculum in puncto I, recta BI,etit media inter AB, B H, vel BF. Postremo producta I in N, de sumpta L, aequali ipsi I, iunctaque
LN secante semicirculum in erit recta B M, quarto loco inuenta, media proportionalis inter eandem datam , inter proxime inuentam L, vel BI. Atque has quattuor lineas BD, R F, B AEM , inuenisse sat est , una cum tribus perpendicularibus D,EF, HI ex his enim inuenientur omnes reliquae, quae cum quattuor inuentis numerum quindecim terminorum medio inim continue proportionalium constituent, quos inuestigare proposuimus. Si autem plures inferendi orent, necesse esset plures alios terminos medios immittere inter datam AB, ae minum proxime inuentum, donec videlicet tot essent inuenti inedi; quot locis distat a primo die terminus progressionis propositionis praecedentis, qui denominat seu numerat terminos, quos iubemur interponere,ut initio huius propositionis mo
Sic igitur reliquos terminos per inuentos interponemus Centro B per punctum O, in quo ultimo inuenta BN , secat perpendicularem proximam HI, describatur arcus P, siccans circumferentiam semicirculi in P nectaturque Bri se puncta QRS, in quibus sequentem perpendicularem secant tres rectae M DI BP describantur tres alis arcus sierantes semicirculum in si V,X, nectanturque LX BV, BL quae reliquam perpendicul rem CD, una cum prius diastis BF DP, DI BM, secent in punctis Y,Z,a b, d, e . Dico quindecim rectas L M, BI, BP, BF BX BV, BT,LD,BYJlZ,Ba, b,B Bd, B essi medias oro pomonales inter datas AB, BC. Nam primo ut BA,ad B , ita est b M ad L,hoc est, ad BI, D
ut BM,ad BI, ita est BI, ad Lo,hoc est,ad BP cd quod L M, HI,
sint perpendiculares ad diametrum AB. Igitur quattuor restae BA, B V, III,BP,erunt continue proportionales. Deinde quoniam
ut B M ad BL, siue ad BI, ita est I ad BO, S ut BM , ad BD, ita est BO ad AH, erit quoque t M ad BI, vel BI ad BO, talo, vel BP, ad ΒΗ, hoc est, ad BD. Vnde recta BF, est quincta proportionalis ad quattuor praedictas. Quod autem quattuor proxime sequentes, nempe v, BU aT, BD, hoc est, quattuor rectari RS, BR RQ, BF cum iisdem quinque sint continue proportionales , facile hoc loco vel ex eo demonstrabitur,
rectangula comprehensa, stib AB, IJE; N B, BQ IB,BR; DP, RS snt aequalia eidem quadrato DF, atque adeo inter se aequalia Hinc enim sequitur and m esse proportionem AB, ad BN, B ad BDi itemque R , ad BI, AER,ada nec non IB, ad P. BS, ad BR , atque adeo PB, ad BP, BF ad BS. Sunt
autem BA,BM, BI, BP,BF, continue proportionalec eroo reliquae BF BS AER, BOU BE, hoc est , omnes nouem rectae , ΒΑ, BM, PI, P, BF, Bb, BR , BQ BE continue erunt proportiona Tom. 3. Appara us.les. Quare cum eandena ob causam etiam reistae BY,BZ, Ba,Bb, Ac, Bd Be BC, sint continue proportionales in eadem ratione cum praedictis , erim omnino omnes quindecim rectae per traditam praxim interpositae mediae proportionales inter datas AB, BC. Quod erat faciendum.
EX priore parte huius problematis patet, qua ratione inueniatur terminus maximus e minimus , eorum terminorum
imparium, qui iuxta propositionem sextam , inter duas datas interponi pol sunt. Nam ex eo, quod , verbi gratia , numerus I f. denominator videlicet quindecim terminorum, est quartus terminus progrestionis numerorum imparium, quam dicta propositione sexta descripsimus, collegimus per quattuor terminos, quorum primus sit medius inter datas seeundus medius inter maiorem data mi inuentam, tertius inter eandem maiorem datam,& proxime inuentam, quartus denique sit medius rursum inter maiorem datam, ultimo inuentam, inueniri terminum maximum inminimum quindecim terminorum propositorum,nempe terminum B ,4 terminum B e, quorum ille, proximus est maiori datae AB, hic proximus minori datae BC; primo enim inuenta est recta BD media inter datas AB, BC, secundo inuenta est recta P, media inter AB, BD . tertio recta BI, media inter ΑΒ, ΒΚ, denique quarto inuenta est rect a BM, media inter AB, BI. Eadem est ratio de alijs , dummodo tot mediae dicto modo inueniantur , quot locis distat denominator terminorum imparium datus, a primo termino inclusiue , supra-dietae progrestionis numerorum imparium
I duas rectas datas propositum termianum medium inuenire, dummodo is sit unus exterminis imparibus propositione sexta denomi
opos r tum sexta, tum praecedente docuimus, quotui terminos medios interponere
inter duas redias datas ex Js , qui denominantur a numeris imparibus, qui sunt proxime minores terminis proportionis duplae a binario incipi e tisci nunc unam vel alteram viam aperiemus,quae quilibet iusimodi terminorum liaberi possit sine inuentione Oiamnium reliquorum. Prior modus est hic Sint datae duae rectae AB, BC, ut in praecedente propositione, cuius figura hic repetatur fitque inuestigandus , verbi gratia, terminus BX,qui est unus ex quindecini terminis , qui omnes interponi postriat inter duas datas , ut vidi mus in eadem propositione. Tunc autem dicitur aliquis terminus propositus, quando nota est eius distantia ab extremis maxiano scilicet & minimo, ac proinde ut terminus X, dicatur esse propositus, necesse est, videtur eius distantia a terminis BM, Briqui sunt extremi quindecim terminorum. Si ergo terminus quaesitus idemque propositus x, quinetus 1 termino maximo B M inclusue, consequenter undecimus a minimo termi-ia Be, etiam inclusue vel decimus exclusiue idem igitur
terminus X, erit terminus sextus a maximo terminorum datorum, nempe ab AB Eum ergo deprehendemus in hunc modum . Per corollarium propositionis praecedentis inueniatur terminus maximus quindecim terminorum , nempe rectam M. Deinde per propositionem quartam inueniatur ter minus sextus a primo termino AIJ,in proportione rectae datae AB, ad inuciatam rectam LM ia enim ratione inuenta erit recta X terminus quinetus is recta BM, quae est primus S maximus quindecim terminorum, ut patet ex utraque propositione modo citata. Posterior modiis ita se habet. Sit rursus inueniendus ex quindecim terminis, qui interponi possunt inter datas AB, BC , te
minus quinctus LX, . maximo inclusiue hoc est , terminus sextus a maiori data L. Per quinetum problema huius, inueniatur inter datas AB, BC, medius terminus proportionalis BD, qui minor erit termino quaesito, eo quod sit nonus a maiori data AB. Unde inueniendus terminus X, erit inter AB, BD. Inueniatur ergo iterum alius terminus medius inter AB BD, nempe BF, qui chim sit quinctus a primo A , is erit maior quaesito V, ac proinde V, cadet inter F, BD, inter quas tertio inueniatur media proportionalis BV , hoc eli, terminus septimus a primo AB , qui clim iterum sit minor quam DF, qui erat tetaninus quincitus, erit quaesitus terminus X, medius B propor-
303쪽
proportionalis inter BF,BU eo qu5d sit sextus a primo AB ΡΟ- sta igitur media proportionali inter BF,BV, inuentus erit terminus X.
Non aliter inuenietur quicumque reliquorum terminoriim, etiam ex quocumque alio numero terminorum proposito,dummodo diligenter observetur, quotus sit quilibet terminorum mediorum per problema quinctum interpositorum a prima,eaque maiori, vel etiam minore data . Semper enim per eiusmodi immissionem mediorum deuenietur ad terminum quaesitum,
chmis unus sit ex omnibus 'rai per continuam interpositionem haberi possunt, ut vidimus in sexto problemate.
A VA RV rectis datis , ad duas rectas inter
easdem datas medias ita Geometrice utrimque
appropinquare, ut tandem disserentia mino itquauis disserentia proposita.
maiori data verbi gratia, AB, abscindatur BC,
aequalis minori datae .circa totam AB, describatur semicirculus , quem erecta perpendicularis GD, ex puncto, , super diametriim AB, secet in puncto D nectaturque BD , centroque , interuallo BD , describatur arcus DC, secans diametrirna AB, in E , eodenaque centro B describatur alter arcus AF, interuallo totius B M secans protractam BD , in F,&pundia E, F nectantur recta EF, quae arcum semici euti secabit in puncto G, a quo ad punctum B ducatur recta a BG, secans CD, in H, de per H , describatur centro B arcus HI, SI rursum ex I, per Κ, in quo arcus DF, secat rectam BG, protrahatur Ic, donec arcum semicirculi secet in , a quo iterum ad punctum B ducatur LB, secans CD, in S per M L, Centro B describantur arcus N, LO, quorum ille diametrii in B, in N, hic vero
rectam BG, secet in O,ductaque per N, O , rectae NO, quae arcum semicirculi secet in P, iungatur redha P. Dico i in hunc modum ad arcum semicirculi aliae semper aliae rediae applicentur quales in proposito exemplo sunt rectae BD, BG, BL, BP, a continuo magis magisque appropinquare ad eam, quae secunda foret e duabus medi)s, quae cadunt inter duas recta datas AB, AC; sicut altrrnatim minores sint maioresve eadem secunda, minus tandem utraque ab eadem in erat quacumque differentia proposita. Primo enim, quoniam rectam D, est perpendicularis ad diametrum B erat a recta BD, media proportionalis inter extremas AB, BC. hoc est , ut AB , ad BD , ita erit BD , ad BC; est autem BF aequalis ipsi AB δε ita, aequalis ipsi BD ergo ut F, ad BD, ita erit BE , ad BC, SP consequenter EF, CD, erunt parallelae. Et qui Cm est perpendicularis ad diametrum AB , erit quoque EF, ad eandem perpendicularis: reeta BG, erit media proportionalis inter Rur sum quoniam d est ut BG, ad BD, sue ad DK, ita BD , ad H, hoc est,ita, ad BI, erunt quoque EG I , parallelae . Et quia EG, est perpendicularis ad diametrum AD, erat quoque KL, ad eandem perpendicularis , atque adeo re et a BD, erit media proportionalis inter Boe BD, cum stat eadem proportio G ad B L, quae BL, ad Κ Postremo erit quoque Noe, parallela ipsi Ic, e quλd eadem sit proportio BO ad LX , hoc est BL , ad DK, quae BM , ad Bbin, siue quae R , ad BI, SI consequenter, cum Ita, si perpendicularis ad AB erit quoque P , ad AB, perpendicularis, atque adeo P, erit media proportionalis inter BG , BL . Non aliter demonstrabitur, quascumque alias, quae di et modo fueritat interpositae , medias ore inter duas proxime interpositas . Nam quemadmodum LG, media est inter AB, dc BD primo interpositam , i , media inter BD, BG , primo S secundo interpositas, S BP media inter BG, BL secundo Se tertio loco interpo- stas, ita ea, quae consequenter interponeretur, estet media inter BL SP, S c. Neque aliud per traditam praxim hic quaeritur, nisi ut dicto ordine continuo aliae atque aliae lineae mediae inter datas S inuentas interi)ciantur. Atque iccirco, qui easdem medias quibuscumque ali)s modis interprisuerit, semper idem problema confecerit, uti etiam videre est in hac eadem figura ubi tres medias G, BP, BL, etiam eo modo immisimus , quem problemate quincto exposuimus. Nam ut inter AB, BD, inter-l oneremus mediant RG centro D, interuallis BD, BA, descripsimus arcus DE, AF, secantes recta BA , BD , in E , F. per E, A P, duximus rectam EF , ad cuius intersectionem cum arcu semicirculi ducta recta G, exhibet mediam inter A B, BD, ut demonstratum est in quinet problemate praedicto . Adducendam vero rectam a , mediam inter BD, BG descripti sunt arcus I , Giniunctaque resta in quae arcum semicirculi secat in L. Et denique descriptis arcubus LO, R, qui quidem idem et cum G ductaque R inuenturi est in arcu eiu dem semicirculi punis tum P, pro recta BP.
Iam vero quamlibet harum linearum continuo appropinquare ad eam quae esset secunda, sinter B, BC, interpositae so-rent duae mediae , sic demonstrabitur. Cum enim lineae hic interpositae sint eo ordine interpositae , qui proponitur lemmate decimo , erunt per idem lemma BG SP, maiores, BD BL minores illa secunda duarum mediarum proportionalium,&BP, inter maiores posteritis inuenta erit minor ipsa BG , quae fuit inuenta priris re ista vero BL , quae inter minores fuit posterior erit maior priorem . Deinde per lemma decimum quartum ibi iterunt inquiritur similis interpositio mediarum , tan- dem deuenietur ad aliquam , quae quidem maior sit, quam se- cunda illa duatum mediarum proportionalium, quae desideratur , sed quae miluis ab eadem differat, quacumque differentia proposita: id quod etiam colligitur ex corollario lemmatis decimi quincti, ex quo etian minores similiter appropinquare doceri potest. Nam clim etiam in hoc lemmate decimo quincto requiratur talis immistio mediarum proportionalium, qua lis hic praecipitur, per eiusdem lemmatis corollarium necessario deuenietur ad aliquas duas , quae aequaliter distent ab extremis, quod attinet ad ordinem , quo fuerunt interpositae , quales sunt BG, BD, itemque P BL; quaeve tandena mincis inter se differant quacumque differentia proposita. Et quoniam semper ex duabus eiusmodi medi; altera est maior illa secunda duarum mediarum , quae quaeritur, S altera an inor, iuX-ta demonstrata, i, patet, tramque ab illa secunda duarum mediarum multo nainus diri erres, quam ipsae inter se , atque adeo multo minus disserre ab eadem secunda, quavis disterentia proposita. Itaque ut hac arte eliciatur maior duarum Daediarum pro 2 portionalium , quae cadunt inter datas AB, BC, interponenda erunt inter easdem data continuo aliae atque aliae mediae proportionales ordine hic praescripto, donec deueniatur ad aliquaesduas, quarum altera sit maior, altera minor ea, quae quaeritur, quales sunt, quae ab extremis aequaliter distant, ut stupra monuimus, quae inter se vix amplius differant quaelibet enim eiusmodi linearuni sumi poterit pro illa duarum mediarum proportionalium , quae quaeritur Uel certe inter easdem duas ultimo inuentas adhuc interponatur una media proportionalis , vel etiam media utcumque : ipsi enim similiter sensibiliter a vera di ferre non poterit immo fieri poterit, ut hac ratione , licet cassi, inueniatur per interpositum utcumque ipsa vera, quae quaeritur, dummodo haec interposita non sit media proportionalis inter duas proximas , vel maior eadem media proportionali. Nam tunc adhuc certi essemus , an maiorem est
AP 'Ro P IN EVA TI ad minorem duarum
34M eadem opera accedemus quoque ad minorem duarum proportionalium . tum enim maior duarum mediarum proportionalium applicata ad circumferentiam semicirculi ADB, ex pune to B, necessario cadat intra BD, B P, eadem qu que cadet inter BM, B , quae sunt partes ipsaruni BL BP. Et quia segmentum eiuCdem maioris duarum mediarum applicatae ad circumferentiam, interceptum inter Unctum B L pei pendicularem in a aequale est minori duarum mediarum proportionali it m eadem minor proportionalium cadet quoque inter rectas: M, B, quae eandem habent proportionem cum BP, BL . Clim enim AER, ad BP , eandem habeat proportionem , quam BP ad L, S proportio M , ad BS, dem sit quae BR ad BP habebit quoque BM,ad BS, eandem proportionem, quani BP, ad BL S ideo cum B M a S, sint minores ipsis BP, BL mimis inter se different, quam inter se differant BP, BL . Sed aliqua DP,BL, miniis inter se disset en quacumque differentia proposita ergo BM TS, inter se consequenter a minore duarum proportionali una quaesit , multo in his different quacumque magnitudine proposita.
SCHOLIUM PRIMUM. Rara i sba appropinquatione non conten ti, curiosus scire .esimus, quo eiu e-
di medidis interpostis deueniatur tandem
ad aliquam tum maiorem tam inserem νh quae a Nera, eaque maiore duarum me
diarum proportionatim minis differat hae et i ta disserentia determinatὰ proposita, id coligimus haeratione . Sit propola disserentiam, citra quam opo
teat appropinquare a maiorem duarum mediarum propor B Lemma
304쪽
PARS II DE POND. ET MENSUR. LIB. I. CAR III 18s
proportionalium, quae cadunt inter duas AB, BD. Interponantur primo saltem duae mediae BD, BG m in ba propositiane praecipitur: sic enim citius per timemus ad scopum propositum Sumptaque regia VA, quae aequatis sit, fae GK , nempe differentia inter BG,B conferatur proposita diffrentiam, cu/ndifferentia UX, quae si minor deprehendatur quamm,
iam per primam interpsitionem duarum, Ie Iarum , BD, BG, decientum erit ad duas tineas, quae minus in
ter se di rant differentiam, atque adeo quartim umiae etiam a maiore duarum mediarum proportionalium m :ntes disrant eadem di erentia T. Si eryT, deprehendatur esse a quatis ibi VX, tunc satis erit ultra duas BG, BD, inter ouere alias duas BP, BL . Hae enim Am minus interse dii erant,quam BD, BG,minisset iam interse disserent disserentia T. Ad haec et mino fuerit quam V X, inue, standam erit in primis, quoties T continea r in V X, O numero ibi addenda erit insuper nitas, fortem, in UX, non contineatur ra eis 8. Et hos deos et, istamus, quanamparte aliquo in ipsus VX,maior e ei aequalis disserentia assignata T. Ponamus erὼ exempli gratia , disserentiami, elesse aequalem sextaeparti ipsius VX, Se certe esse malo rem, ita trifumpta quinquies, sciat ab UA sumpta Uero sexies eandem excedat. Confirmatur deinde progresse proportionis duplae, incipientis ab Unitate, Ut I. a. s. S. 6. 32. - Dctu/nvides, ct intesteisdem terminos quae ratur is, qui en proxime maior denominatore impartis
aliquota rectae VX, quae deprehensa Li se minor elaequalis istis T qualis ima patito ante politus sit denominator, qui denominat partem extam di rentiae V X sumendu erit ex terminis progres onis sp EO
terminus quartus S. eo quodsi proxime maior denomia natores. Die igitur. UItra duas media BG, BD, interponantur in per tribus aris icibus binae aliae, idelicet in numero proxime minore eo patimero , qui in
progressione dupla denominat Acam termini excerpti, nempe in propost exemplo Deum terminici deueniri ad duas lineas, quae inter se minitidisserant diserentia T. Namsi recta V X, intelligatur subdiuisa continuo hisa riam, donec deueniatur ad partem denominatam ci numero X. quem ex progressone dupla desum Musi id qtiod siet, VX, ter diuidatur bifariam, primo in tum recta Vriina, denique UZ,in a, erit recta Va, pars oriiaua totius VX, infrina partesexta eiusdem, atque adeo minor differentia T. Vnde tim per terpo- tionem duarum mediarum inter LG, BD, taxia regu- Iam supra in ac propositione traditam auferatur ex disserentia, quae est inter EG, TD, hoc est, ex disseren tia UX, plus quam dimidium, erit id di erentia minor
quam UT, hoc erit, quam semissis ipsius VX.
Deinde si secundi ii aliae immittantur mediae, ea ex priori disserentia iterum auferent ptas qua αmssem, atque adeo minis interse dimerentsemisse ipsius VT, hoc est, eorum disierentio minor erit, quam UZ, quae en pars quarto totius VX. Et denique reliquis duabus tertio loco immi sis, quae iterum ex prior H rentia plus auferunt semisse, detientam erit adcitias fi
neas, alteram maiorem, alteram minorem, quae miniis
interse disserent semisse ipsius CZ, hoc eri , ministrecta
Va, quae eri pars octaua totius VX atque adeo eaedem Iineae tum inter se, tum inter eam, quae tiabus medininter duas datas maior foret, minus di erent di creu
ita data Theam hae minor sit deprehensa parte octaua disserentiae X. ita de reliquis. SCHOLIUM SECUNDUM. his quae a Tenus sunt adata, manife-He confiat, solutionem probismatis unia uersem in eo errari, Ut inter duas datas interponantur ciamptarimae mediae , quae tum per praxim communem Eucliadis, tum per alias peculiares a nobissis, is aditas. te datas immitti, knt. Et licet hae in parte ibi Inoui adduxisse iideamur; ipsa tamen determinatio termino rum mediorum,inutiliumque ab Utilibussegregatiowmnino noua esse idetur, Ut nihil dicam depraxi, qtias cibi miratione eosdem terminos, quipropriὰ ad soluti Tom. 3. Appara uS. A mn problematis faciunt, utienis do utanus. Accedit, quo ina eademque opera mul exhibeamus itim malo rem tum minorem ea, quae quaeritur, , quidem ita exarite,Ut tandem inter eas ieram, di renti. t m nor quavis di erent a proposita, imitando bac in parte Archimedem , qui miti ciboria dimensionem circumferentiae circuli in partibus diametri, adeoque ad quadraturam, quae eadem cum duabus medijs in sede morari, eademque obscuritate obuolui idetur, nobis viam aperuit . Iam vero Ut adhuc manis litis appareat; quinam irit Pi termini medie, ni si proprie ad eam appropinqtiationem faciunt, qua hic ad alteram duarum mediartim proportionatium magis emper,
magi que accedimus, Lotiit in hoos eundo sobos sequentem tabulam componere, in qua contineantur deu minatores et modi terminorum medio m , hoc erit, qui explicent, quotus qui que t ex diuers numero mediorum, qui per continnam interpositionem nitis medidi inter duos terminos datos Geometrice interponi posunt, iuxta ea , quae propostione sextat ius capitis conscrip Amus Ilii enim composuimus tabulam, quae continetntimerum terminorum mediorum, qui Geometr ce in erdata rectas interponi queunt suases etiam iisnt numeri huius tabulae, qui in se premo lateresunt descripti: sunt enim singuli proae me mirores Angulis terminis proportionis duplae incipientis a binario, el quod idem erit, quilibet poriterior proxime Ii maior duplopraecedentis , incipiendo ab nitate Itaqtie, Ut sim tabulae hie propostae explicemud,
primu ntimerus furem lateris, nempe Unitas, denomiana eum terminum , qui inter dua dat ad primo interpo nitit . Secundus deinde timerus nempe 3 de minat eos terminos, qui cundo interponentur, hoc et i, utim C rus hic I admonet, tres fore in niuersum terminos me dios si iterum interprimum is medium, itemqNe inter medium 9 Iterum extremum terminum datum sin guli me j interjciantur. Ad haec tertius timertas I.
docet septem fore terminos medios , si inter proxime imnentosin extremos Inguli ari medij tertia operatione immittantur, cita de reliquis, meris eiusde et re mi ordinis, utpropostione exi. praedicta fiusis expli
ν umeri deinde antiqui, qui suntprae i in latere seni tro, dicunt ordinem mediorum temni norum, qui in hac propositione inter dati redia, interponuntur, ita et HI signis et primum terminum immissetim qitit lis insuperio i Aura es termini BD sequens eryntime rus II, Ausce secrandum terminum, nem e rectam BG, ct ita de reliquis Pinam seqttentes duinta neri III, VIII in ny antponteriores duos terminos medios B BP. Pol irem reliqui numeri intra aream tabulae descripti innuunt, quotus sit quiuis terminoriam interposi
tormn ex quovis numero terminortim, quos numeri
in fronte tabulae posti denominant. Et enim verbi gratia, BD, si terminis medim ct sit Haris, a dens inter extremos terminos AB, BC, idem tamen terminus BD, poteri acquirere alia atque alim de nominationes , re pectia aliorum terminorum, qui in ter ea ei ured immultipliciter interponipsisnt Nam si verbi gratia, inter duas reditas AB , BC, intes rigantur tres termini me iij, erit rerita BD , Tum ex
305쪽
Unicus, qui prim fuit interpostus. Si er inter eliserim magnitudines inredigantur interposti tres termini me- dij, booeL , praeter terminum C, alij duo medij, alter inter A, C qualis eL terminus retiquus inter GB, erit idem terminus Coecundus excidis tribus. Si autem ursim inter hos tres extremos ali ponantur medis, hoc inter extremos interponantur jeptem termini, chm terminus C, inter idos septem medium occupet Aoum, hoc e I, Utrimqtie tres habeat terminos ex ibi eptem, ipse erit quartus , hoc erit, denominabitur a numero . qtii Li daptas numerici a quo idem terminus denominabatur es secundus, tribus terminis prius interiectis. Praetere. is inter siem terminos extre mos, septem medios praedictos ali medij coliocentur, hoc fit, in niuersum termani quindecim , erit terminus C, ex eorum numero oritatius , eo subimedium inter eos cunu occvet; hoc erit, idem terminus C denominabi- tur itincta numero X. qui dupli syrii proximi denominatoris praecedenti M. O ita deinceps reliqui denominatores sequentes in secunda ibi tabuia praeconstructae Muti dupli erunt singulorum praecedentium , tumet propter rationem adduciam, tum quod interpes ti Uno, Gelpluribus medijs inter A C, rustim inter suu sati medi interponantur, numerus interpositorum semper si aequatis numero terminortim prius interpo storum plus no . Ac proinde , insuper addatur termi
nus G, qui ei cister interatios extremos A, C quive in ter prius interpo tos non erat numeratus erit numerus termInorum pos Ieritis interpostorum inter , , nacum numero prius interpos ortim , Unaqtie cum te mino C. ptas terminorum priis interpostorum cum eodem termino C.
Rursus quoniam terminus secundus , medius H inter A, C idem terminus D , erit primus Θ tribus me- dijs, qui interponi possunt inter A, B asproinde in ta bula subo. prema seriei ct e regione numeri antia Ita ne eae hae tabula Pico cossigitur, sordine in hoc II, pq ita eL nitrae reliqui erὼ numeris nentes problemate praesicripto inter duas data quottiis med iterum sunt dupli , ni uti si gusorum antecedentium, termini interponantur quo tu quiuis eortim ex eo idque demon iratur, Ut prius . Nam cum D, t medius numero mediorum , qui interponi possunt inter easdem terminus inter , 9 C, hoe VI, primus ex irrhus termidata, Ut ex praedictispatet. Composito Uerb eisdem is, qui cadunt inter A, B, rursum intersingulo im tabulae facilis si poteritque a quouis sine magno a mittantur singuli, erit procuIdubio idem terminus D, bore extendi umeri enim supremi ordine pro re secundus ex terminis septem tunc interpositis, eὴ quὼddi turper proportionem duplam addita vitate, ita , inter A, O D, ex eisdem istis septem terminis ea tin Ct primo termino posto .secundVs termintis It 3. ter cras. Et rursum interseptem is Ios terminos, ct extre-lius sit duplus fecundi natum nitate, hoc eri , . e. mos aristini ponantur, hoc ata octo, qui cum pri In se unda deinde serie hoc est, numeri e gione I ribus faciant terminos quindecim, cadent inter A, O progrediuntur per eandom proportionem viam syne , tres ex idis terminis qHindecim aeproinde terminus adieritione nitatis, incipiendo rumum ab unitati . D, erit termintis quartus, hoc LI, plus denominato- In tertia Uer se reliquis feriebus Ircet earundem nu ris praecedentis , nempe duplus binar ij. Si autem inter meri similiter progrediantur in proportione risu ; hos tres terminos , qui cadunt inter , D, interque ter non tamen primus earum numeruo ponitur sub primo mi uos , D, aly me j interjciantur,ctim interpost intnumero supremae eripi sed promouentur svnti Uno aequales numero priis interpositis plus Uno, scunc Ioco iterius, Ut idere ui in tabula neque in singulis Ditis interpositis connumeretur terminus D , erunt primns numerus L Unitas, sed perpotu crescunt hae feritis interpositi numero aequales ritis interpo tis Iege Primus numerus tertiae seriei hoc Li, e re ione na cum termino D, atque adeo tunditi simul erunt . II, et Iumim, poniturquesub I .supremaeferiei uuar pli priis interpositorum Una cum eodem termino D. tae autem seriei primus numerus , quive cosecatu sub Atque haec es t rati, quare etiam tertiae ferte numeri 7s remae seriei eL 3. hoc erit , numerus duplus eius, progrediantur in dupla proportione immo Amitis eri qui fuit primus in feri praecedente in i cum nitate. ratio etiam reliquarum . In quin ia vero feri e regione IIII, ct sub is supre suod autem inberi quarta primus numerus debeat ni ordinis primus numerrtis eri s. hoc erit, iterum m ess 3.s deducitur Chm enim D sit medius inter , plus eius, qui fuit primus in serie proxime anteceden C, hoc e I terminussecundus ex tribus, qui cadunt in ti,sed dempta nitate. Ad haec primus numeria extae ter A, B rumum inter singulos, ct extremos A, B,in seriei fi duplus numeri primi serie quinritae, auditus tedigantur positis grati, tiata erit terminus E,medius in per nitate, videlicet numerus 11 9 huius inter DC erit omnino idem terminus E, tertio Ioco, plus sequens numeras as dempta nitate: ct ita de missus, tertius interseptem; λqubd ex ibi eptem nus eliquis semper enim numerus sequens et i duplus prae etiam tantis cadat inter , D, hoc erit, inter , cti, cedentis , afternatim addita e dempta nitate, Ut pa cadant duo termini excidisseptem, quoruminus enim, itiit in exemplis addis iis apparebitque manifes itus in proximus ipsi E. Et quoniam , rursum inter singu- sequenti di ursu. Sint enim Gae magnitudines A, E los septem, ct extremos interponantur alij numerussitque A,maior inter eas interyciat tirprimὼ primus interpositorum cumpriis interpositis componit denomi terminus rara diu G, ct inter A, C ecundus terminus natorem Is praeter duos terminos dictos, qui cadunt medius id rursum inter , , tertius terminus me inter A, E cad Halij tres ,hoc erit, Cno amplius larius interpo sitis addatur terminus E erit his numertis loco minorum aegrialis numero terminorum pos Perises intem 6 postorum atque adeo omnes terminis ulconL ittient
numerum duplumpriorum terminorum, connumerandius Erct interi, D, terminus quartus P, interqtie do eum eisdem terminum B, hoc terminus E erit E, F quine lais terminus G, nec non inter F, G extus sextus terminiι ex quindecim dis interpositis inter terminias medius H, c terminit igitur erit id , extremos A, B.
prius fuerit sutilaris. Si Nerῖ intere dem dura re Aa AB, AC, in te stantvrpositiseptem termini medi , erit term rata D, exfeptem illis terminus quartus. Et sinterpositi termini fuissent quindecim, idem terminus BD, esset octae M o inter et r. ver terminos is esset
terminus decim extis e. t idere L in tabuia :nam e re tonea, qui diximMAgni care primum temminum AD, d scripti sunt hi ni meri . a. . S. Ιε ς c. ydemque sub numeris r. 3.7. ita, superiores numeri determinesnt timerum terminorum interposiso rum, Se otiis numerum terminorum, qui Geometricὸ interponipossunt; inferiores ero numeri indicent, quo iussit e quolibet numero terminorumsuprascriptorum terminus primi, inter dum datvi immissius. Eodem modo primi nismervi , ne ea qui ponit Ar e regione II, sub numeros signisecat se tendum termIuum BG, inter tres terminos, qui inter data possunt con Hi tui es primum seqtiens erὼ iumerus a qui cadi ubnumero . offendit eundem secundum terminum . ex septem terminis fore sectandum c.
306쪽
Vbi etiam vides , quemadmodram primus numeruia tertiae seriei nempe . plus erit minit Unitate numeri primi cunda eriei cita primum numerum quartae seriei,duplum esse m meri primi, riei tertiae, continereque insuper vitatem Vertim boo ipsum si etiam Iicebit costigere. Quoniam terminus pr)mus G eL δε- cIndus e tribus, i, terminusserundo interpostus es I militer nus ex Pis tribus, e que C proximus emitis A erit omnino idem termines D primus e tribus Deinde quoniam idem terminus D, eris secundus ex se ptem terminis, ct terminiasin, tertio ioco inte=po tus Hi ex eisdem septem terminis nus; idemqueproximus ipsi D, ersus terminiim Γ, erit idem terminus B, te tius exseptem. Item quoniam E. L sextus ex quin seim, O terminus F, quarto immissus L quoque Unus ex bis quindecim υ E proximus ersus A , idem ter minus P, erit quinctus, hoe eLI minor nitate duplo prioris termini , qui fuerat tertius inter septem, O consequenter sextus inter quindecim , ct ita de re Iiquis. Ex eadem porro tabulafacile quoque addisces, quotus sit quilibet terminorum, qui ad minorem duarum pr9portionalium appropinquant quais in ura huius propostionis offendimus esse rectas BD, B H, EM, BS,
quarum BD, AM, sunt maiores secundi artim me diarum proportionalium retiquae sero duae Blf, BS, minores . Nam per decima mixtam propostionems eundi huius recta D, quae es media proportionalis inter datas AB, AC, ef quoqae media proportionalis tam inter BG, H, quam inter LL, B M interque RP, BS; ae proinde quantum dis Iant BG, BL AP, a media BD, tantum dis Iabunt in quovis numero mediarum proportionalium os ibitium reditae AH, EM, AS, ab eadem media BD. Guare iam in tabula in primis habeatur, quotast media BD, in quovis numero media rum proportionaritim, mitiis quota sint ex eo dem numero mediae proportionales LG, BL BP. Si numerus es em BG, BL BP debitus subtrahatur ex numero debito ips BD, retinquentur dii tantiae earundem mediarum proportionalium a media proportionati BD, atque deos ne diri antiae adstolantur ad numerum ipse BD, debitum, dico exsurgent numeri debiti medijs proportion.rribus H, M, S, hoc ui, qui dicant, quota es t hae mediae in quonis numero mediartim proportionarium, quae reditis datis Uta Geometrica immitti possunt. Verbi gratii, re iam G, hoc est, septin mmediam reperio in tabula esse primum terminum ex tribus medijs a Uerireritam BD, primam mediam, esse ex eodem numero trium proportionalimn secundum. Et quoniam niameruit RG debitus , nempe nitas sublatus ex numero ipsi AD congruente, nempe ex binario, rei nquit Gnrtatem Anum es terminum BG, nico tantinia termino dis lare itermino No cum G te minus H, tantiandem di Iet a BD, quantum BG sdiaiantia I addatur ad a. procreabitur timerus 3 istis Bis debitus, bo Hi sui pronunciet rectam PSH , esse tertium terminum ex tribus, qui inter AB, SC, immit tipossunt. Si ero numerus a qui dicit eundem terminum EG, esse secundum terminum ex septem medi=s, subtrahatur ex numero M. Mi dicit terminum AD , esse ex eisdem septem terminis meos quaritim, relinqui tu diri antia termini AG G termino Ti, dupla , hae die rentia addita ad M. cons ciet numerum 6 qtii debetur termino B H. Si enim inter dua data interie ritae essentseptem mediae, terminus AH, esset sextus. suem etiam numerum ex eadem tabula ficies fortasse citiis hoc modo Inuento numero, qui debet tir verbi gratia, termino BG, rejectu cuiuscumque numeri terminorum, Ut, verbi gratia, numero a res perita septem
terminstrum mediorum, et feratur ex . nempe ex numero terminorum , nita , hoc erit, numerias, nitate
minor, numero, qui debetur ipsis; relinquetur enim numerus ε qui debetur AH, Utpritis.
TSI a xis in hoc nonoproh male tradi ta itast breuis, ac commoda, Lea contenti Fjusimus quia tamen nonnumquam ctrita etiam arieta placet, eam hoc loco in nuasse fortas non licebit. Primo itaque sim poterit beneficio tabulae proximae cons Irtinae
problemapropositum hoc modo Indicta tabula stib δε- quo numero mediorum terminorum , qui in suprema serie describuntur, arci pratur numerus de qui es priamus in sequiali eri , ti, Gerbigratii, numeru a L. qui se citur numero O. supremae seriei que numerus primae seriei septimae , quae prae xum babet numerum antiqtium V I. Deinde per ea quae probo-B rate octauo sunt demon Irata, inter dum data inue matur terminus vi si primus ex 63 terminis, qui inter easdem data interponi possunt hae enim ratione habebitur quidam terminus, qui tanto erit secunda e duabus medidis, nempe maiori propinquiser, quanto nu
merus terminorum, cuius num termInum determina
tum per problemate Duum inuenimus , fuerit maior. Nam si loco terminiistesimi primi ex numero sexaginta trium terminorum accepissemus in tabula praecedente terminum octuagesimi in uinctum, ex numero terminorum 233 per eiusmodi terminum inuentum multo magis accessissemus ad Pam e duabus mediys, quam inue istare erit ammus Vtrum Cer terminus hae ratione inuentus maior sit, et minor ista secunda duarum mediarum proportionalium, ipsi numeri numerum acceptum, espraecedentes eIibbsequentes in ea dem tabula Pico Viniunt nam se terminus acceptus in tabuia maior erit nitate duplo primi numeri seriei praecedentis , terminus acceptus, per octautim pro blema, deinceps erutus erit minor secunda desartim me diarum proportionarium si ero idem terminus acceptus fuerit minor nitate duplo numeri primi seriei praecedentis, inuenietur per problema octauiam rect L maior e , quam inuen stare oportet. Afio modo poterit variari hoc nonum problema per ea , quae o tensa sunt problemate quinois, Ubi interdum data docuimus mediam proportionalem interpon re tum beneficio semicirenti, tum beneficio cuiuscumque segmenti irotiti, cuius diameter non sit minor maior data A proinde tim in statione huius problematis nihil aliud requiratur, quam Ut inter dum data 3, ' in uentas, immittantur aliae atque atiae mediae se id stas beneficio segmenti alicuius circuli 9 non beneflcio se D micircuit, confectum erit problema propositi m iacili quantutam auersa ab ea , quam praemon trauimus,
nempe ab ea, qua beneficio semicirculi , oblema absia
POLIremo omnibus illis modi alis et problematiproposito,quibus inter duas datas immitti pote i na media proportionalis. Nam si eiusmodi praxi saepius adbibeatur, Ut in hac propositione monuimus, factum erit quod proponitur.
L TR A Μaxes hactenus traditas e iu- sinuatas Libetio loco pos tremo adiuvere arati aliam, qua ijdem termrni, qt ibtis ad
duas medias inter duas datas continuo ap-
propinquatur, Iibsrius fortasse , quam ante, propinquetur. Nam
chm per praxim tradi tum simit inueniatur, tum maior tim minor ea quae quaeritur eri ix poteri , qtiincidico incidatamus in confusionem Ii nearum sibi inuicent nimiis appropi quam lium . Si ero alterutra tantis inueniatur, hoc HI, vel maior,vel minor, fortas confuso ista aliquo modo itabiti P. Sic πνrem exsequemur Trincipio inueniaturprima medi. , inter duas datas; deinde altera media inter primam mediam
307쪽
mediam 1 ruentam, maiorem datam tum tertia me Adia into fecundam mediamin minorem re iam datam; pos te et media qua ta inter mediam proxim inuentam, jo est, inter tertiam mediam ct iterum inter mar rem datam. Et hac repenta reperiatur deinceps quin
Lia me ira, tum inter quartam inuentam , tum interminorem atque hoc modo procedatur donec libuerit.
Serve enim per eiusmodi medim magis magisque a pro pinqGabitur ad dura mediata de eratas di dare qui
dem, quae sunt mediae inter medim in enim, ct maiorem datam, omnes erunt maiores secunda quattuor innearum proportiona um lyprimastonatur,naior data. Iisae ero, quae sunt mediae inter easdem media inuem tuis, seminorem datam , omnes ei In maiores da, quae inter ea dem quattuor ineas proportionales esset tertia. At vero se inuendia prima media inter datas,fecunda , media inter Volatur inter eandem primam mediam, is minorem data=m G deinde intersecundam mediam imuentam, maiorem datam alia reperiatur media te tia; rursim media quarta inter mediam tertiam proxime inuentam, inter minorem datam, sc ue procedatur Iterii stomnes idae mediae inuentae appropinquabunt ad duas medias, quae quaeruntur; erunt' ΨRe omnes minores eisdem duabus medis Pae qui dein, quae sunt mediae inter aliquam mediamin minorem datam, minores erunt tertia quatinor proportiona
num si quarta proportionatis fatuatur minor data; reliquae erὴ, quae sunt mediae inter medias inuentas
maiorem datam, erunt minoresse tinda earundenta quattuor inearum proportionalium.
Ceteriam mediae re tae proportionales, quae hic de derant tir, commodi simὸ
hiema quinctum tenes iacio scilicet emicirculi Cel cuiusuis alterias se
menti tum per decet mam tertiam propositionen
sexti libriisti Iidis, toidere es in apposita,
gura . In ea enim datae fiant rectae ABG maior, minorBtacon tituentes angulum regitum adpun Zum A. Deinde ex recta CB, protracta Nersus B sumpta HBD aequalis ipsi AB , circa totam CD, desit plus L simicircuIus 2EC secans protra iam AB, Cersus B, in V, atque se inuenta eL inter datas Haesi AS, BC, boc Hi, inter DB, BC, prima media propor-ς tionas BE. Deinde circa E, deseriptus e I alter se Dmicirculus AF , secans BD, in F, ct per bun semicirculum reperta eL recta BP media proportionalis 'nter
AB, maiorem datam, inter AE, primam mediam
prii s inuentam. Ad hae emicirculus defcriptus circa CF dedit res iam B mediam proportionalem inter BP, proxime inuentam inter minorem BC δε-nique micirculus AH secans BD, in , exhibuit, desam AH mediam proportionalem inter maiorem da tam AB inter BG, mediam proportionalem tertio
Et quoniam in hoc exemplo pos Linuentam Bi, pr xime inuenta eL BP, media inter BD a inter maiorem datam AB dico rectas LE, BG, maiores esse tertia quattuor proportionalium, quarumprima eLLA', quarta BC, itemque BF BH, maiores esse secunda earundem quattuor proportionalium, tam in quam Ei ias esse maiores, Ut semper po terius inuentae magis nisi ue accedant ad Ueras, atque adeo per hanc pra-xim deueniri tandem posse ad aliquas, quae minus differant 2 desderatis, nempe fecundari tertia quattuor
proporticualium, siue a duabus medνs inter datas AB, BC qua timque linea proposita suod ad priorem pamtem attinet, ea ex ipsa coni trudesione: positione mediariam Inuent et mfatis manifes ii Nam tim BE, is baeti sit media inter extremas DB, AC, eadem quoque erit Eti si media inter duas medias, quae inter Urim DB, C, a diante ac proinde nator erit, quὰm si tertia quattuor proportionalium si prima ponatur esse maior refcta B, O di iam erit siquidem itinc re H BE,eLI icinior, ximae, qzam ilia tertia proportionalis. Redita e TF, quae est intient ecundo inter EL, maior Euclidatam B erit maior standa tiattuor proportiori Iitim Iidem etiam ipsa eLI Cicinior maximae, Isam set secunda quattuor proportionalium. Nam secunda
qua tuo proportionalium est media inter maximam tertiam quatitio; proportionatium at vero BF, Limedia inter eandem B, maximam, inter EF, quae etiam insa maior en , quam ita tertia, quati Aorpropomtionalitim, Utproxime o Hendimita
. Sic etiam, quoniam re fa BG, erit media inter BC, inter BF quae L maior quam secunda quattuor pr9portionalium, eadem rectata erit icinior maximae DB, quam si tertia quatitior proportionalitam, quae eLi media inter eandem BC, inter secundam qua tuor proportionalium Et quia eadem erit ratio de quibuscumque alijs , quae hoc modo inueniuntur, patet omne ore maiores secunda tertia gnattuor lineartim continue proportionatium. Altera erὼ pars ex eo is citur maniferi a quod ineae mediae hoc ordine inuentae
stat eaede=n cum idis, quae per superiorem praxim huius problematis sane inuentae. Nam re Ia BE, hic in Nenta eadem e i cum BD, Inperioris si tirae, dummodo in traque figura datae AB, AC, ut aequales hoc enim posseo Otraque AE AD ,sunt mediae proportionales inter datasse en emque modo erit redita BP , hic inuenta eadem etim BG , istic inuenta, cum traque sit media interprimam me iam re maiorem .etram. RQ
diam ero AG huius urae aequalem esse redita BM, idius Aura quae idelicet est prim inuenta maior ea, qua foret stertia quattuor proportionalium si uter AB, BG, inam: a essent duae mediae proportionales rite; nque rectam H, huius ponterioris Aurae aequalem esse ipsBP, prioris si urae, nempe ei,stiae inuenta es secundo loco maior ea, quae est secunda qua tuor proportionalium, tunc demum o i u 3n erit, in eadem Aura priori ori endatur, rectam quidem LM, mediam e se proportionalem inter BG EC, hoc erit, inter EF, B po Ierioris urae ct AP, esse mediam inter AB L M, boo eri , inter AB, BG, ei dem po ierioris Aurae, si Hemm aequales erunt triusque Agurae tum rectae BM,TG, tum reditae AP, B H, c. Hoc autem os tendemtis hac ratione. Et quidem recta L,
cuius mentum L AM, ducta erit ho modo . Ex B per descriptisunt arcus HI, DK, quarum hic dia netrum A,secat in I; de me, Prectam BG , in ic, Duel et u IKL, quam demons Irauimus esse perpendiacularem ad diamet um AB, exbibtile in circumferentia semicircuripti Iumet ipsamque adeo rectam me diamproportionagem inter LG, D . Idem quoquepun-Lium L, e ibidem docuimus inuenire . Centro B, inter
eandemsecuerat perpendicularis IKL immo quia QIL,babenis mentum omnitin KL, con litisent nam
eandem reditam meam id quod tamen etiam tibi fuit demons Iratum. Simili fere ratione uecta eL recta , BP, media proportionans inter B BL . Nam descriaptis arcubus MN, LO centro A interuassis IM, BL, ducta eL perpendicularis O, et eodem centro B , interuassis L L, BG descripti sunt arcu LO GI ,secantes reZL BG BL Cons,'ri , unditaque eLi refcta O R, quae in circumferentia exhibet idem punditum P, quod in eadem determinat perpendicu rismo, eo quὴd mcta redita AP, adpune tum intersectionis, Stroque modo inuentum si media proportionalis inter IL, BG Me perpendiculari NI , paralyela es re ta Derit ea e .sextidem proportio BR , hoc est, AG ad BN hoc eri , ad Eneti. BM, quae L M, ad BC , ac pr in de B M, erit media proportionatis inter EC . Item quoniain P, υ di itim erit, e t perpendicularis ad diametrum AB erit BP, media proportionalis inter B EN, hoc do . Gen , BM, atque ad O AM,BP, huius priorisfigura eundii erunt aequales re iis T ΒΗ, of teriori gurae Cisu itis. igitur eademst ratio de quibuycumque idis, qua in
υtraque Aura continus inueniri possimi; iamque sι-
peritis demo intratumst, BG, BP, maiores secunda quattuor proportionatam semper magis ad eandem se
cundam accedere, di tandem miniss ab eadem differre
quacumque linea proposita idemque verumst deis
308쪽
E ID, M, e . quae maiores sunt tertia quattuor proportionalium, patet etiam ho pos eriori modo , per
continuam inuentionem mediarum proportionalium
appropinquari ad easdem quaestus, atque ita appropinquari , t tandem dimerentia si minor quavis di erentia proposta. Immo eadem erit ratio etiam de ibis meos suas diximus inueniri minores eisdem duabus me dij quaesitis, si aliter ins ituatur operatio, Ut priu-cipio huius boris quarti monuimuι.
LINE AM quandam curuam describere, cuius benescio inter quascumque duas rectas datas
duae mediae immittantur. Vocetur autem pro portionatrix prima.
V AB, assumpta utcumque secetur bifariam in C , tum circa totam AN, tum circa eius semissem BC describantur semicirculi ADB, EB, qui sese minia tangant in puncto B , ex quo ad
circumferentiam maioris semicirculi applicentur quamplurimae lineae rectae , quarum una est recta BD, secans semicirculum interiorem mi , in qua , uti in reliquis, reperietur punctum lineae proportionatricis hoc modo. Ipsi BE, segmento applicatae BD, abscindam ex diametro AB aequalis BF S centro F, interuallo eiusdem BE, vel BF describatur arcus secans eandem applicatam BD in G, punctum enim G, erit in proportionatri ce , hoc est, in linea cumua, quam describere volu
mum integram describemus, si similiter in reliquis rediis applicatis singulae puncta reperiantur in singulis Sc denique puniata extrema A, B, cum illis punctis continuentur linea quadam curua uni rini, quae nulli biangulos efficiat, eo scilicet modo, quo per puncta , certa ratione inuenta linea quadratrix a Clauio , ela linea conchoideos a Nicomedes, nec non sectiones conicae abali; delineari consueuere. Et talis est in praesenti figura , linea AGR, cuius haec erit proprietas praecipua, quod ducta quavis linea recta ex B,adcircumferentiam ADB,proportionatricem secanteitcumque hoc est, siue in aliquo punctorum Geometrice inuentorum , siue in ali; punctis intermedijs , quae licet similiter descripta non sint, pro similiter tamen descriptis habentur si semissi ipsius applicatae ex diametro abscindatur aequalis , initio facto a puncto B, ex eius extremo ad punctum inter ectionis cum proportionatrice ducatur altera recta, haec duo a aequalis sit semissi eiusdem initio applicatae si patet ex eiusdem lineae descriptione. A que hoc modo quodlibet punctum proportionatricis examinari
poterit, num recte sit inuentum nec ne
His praemissis sint primum datae AB, ΒΗ, inter quas ponendae sint duae mediae. Ex puncto H, erigatur perpendicularis HG secans proportionatricem in G, ec exi, per G ei; ciatur recta BD, usque ad circumferentiam semicirculi in D. Dico rectas BD BG, esse duas medias inter AB, B H. Cum enim in semi-eirculo ADII, ex puncto bin, erecta sit perpendicularis HG, ex ptincto B, ducta BD, secans perpendicularem, , in G, scit sumpta F, aequali ipsi BE , quae est semissis applicatae BD, aequalis si ipsi FG , ut patet ex proprietate proportionatricis prae dicta, erunt BD,BG,duae mediae proportionales inter AB,BH. Sint deinde datae duae rectae BI, Bc, quarum maior BI, non sit
aequalis ipsi AB, sed vel minor vel maior . Applicata igitur data recta BI, una cum B , ad rectam AR ad punctum, in quocumque angulo ABI, nectatur AI, per Κ, ipsi AI. agatur parallela H, secans AB, in H. eritque triangulum ABI simile
: uui. triangulo HBK proportio AB,ad BH, eadem quaeri , ad ΒΚ Ad haec ex puncto H, educatur perpendicularis HG, secans pro portionatricem in G, ducta BGD, abscindantur ex AB, rectae BL m, aequales ipsis BD, BG, quae ex praecedenti demonstra tione sunt mediae inter AB, RH,&denique per , , ducantur LN O , parallelae ipsi AI, secantes BI, in N, . Rectae enim BN BO, erunt duae mediae inter BI, B Nam propter parallelas A I LN, MO, ΗΚ. erit recta BI, secta in N, O, , in eandem prciportionem cum rediam x sed recta BA, secta est in quattuor
lineas continue proportionales BA, BL BM SH ergo i I, erit secta in quattuor lineas proportionales BI,BN BO, BK. Quare' lineam curuam descripsimus,&eius beneficio interquata cumque rectas datas, duas medias immisimus. Quod erat fa
AF descriptio proportionatricis, Seire tepartis eiusdem, Itirimum etiamseruiet problemati praecedenti, ne idelicet in
appropinquatione ad dum medim nimium haerere cogamur. Si enim insigura priori dictiprobismatis inter dum AP, BL quartim traque non admodum di eri a secunda duarum mediarum proportionatium, eritque altera maior, aftera minor eadem, interponeretur altera mediaproportionalis, tum in hac tum in praedictis duabus P, BL per ei, quae in hoc problemate praescripsimus, inueniantur puncta proportionatricis, eademque intienta linea quadam cumua, congruenter nectantur ei etiam arcus circuli per eadem puncta describantur meque enim eiusnodi arcus
sensebiliter dimerent ab id segmentoproportionatricu I
An a ita curua secabit perpendicularem CD, in eoptin-rito per quod incedit directa educta ex puncto B, quae inte dura data. AB, BC, exhibet dum mediis.
ALIM M lineam curuam, nempe scindam proportionatricem describere, eiusque benescio inter quascumque duas rectas, datas duas medias
quam Olmque rectam AB, centro C, describatur semicirculus DB circa eius semisissem BC, alter semicirculus BEC, priorem tangens in puncto T. Deinde ex puncto B ducantur ad periphetiam semicirculi ADB, quotcumque rectae. quomodocumque, dummodo sint sparsae per totum semicirculum: in omnibus enim illis lineis reperientur puncta proportionatricis secundae hoc modo . Expuncto E, in quo semicirculum BEC, secat recta verbi gratia , BD , quae est una ex lineis pra dictis, demittatur in i metrum AB, perpendicularis EF ipsique in applicetur ad eandem in aequalis FG , hoc est, centro F interuallo FB, describatur arcus secans BD , in G; punctum enim G, erit in
proporticinatrice. Eadem ratione inuenientur in om-
D nibus reliquis lineis singula puncta, quibus debite coniunetis . inter se, cum punctis extremis A , ut in superiore proportionatrice monuimus, descripta erit tandem secunda proportionatrix , nempe linea curua AGB. Eius ver,proprietas haec erit, ut ducta quacumque linea ex punc' o B, verbi gratia , recta BD, proportionatricem secans in puncto , si ex puncto F in quo recta BD, secta fuerit bifariam , demittatur perpendicularis EF , in diametrum AB recha FR, FG, sint aequales. Hac linea de scripta, inuenientur inter quascumque duas rectas propositas duae mediae proportionales in hunc modum . Nam primo sit data recta AB.maior, Minori datae ex puncto B, applicata sit ad proportionatricem aequalis recta BG, eademque producatur usque ad peripheriam semicirculi in D , de ex puncto D , in diametruni AR , demittatur perpendicularis D Η. Dico BD, BH iste duas medias proportionales inter datas AB, BG . Diuisa enim in bifariamin E, de ex E, demissa perpendiculari EF, erit recta FG aequalisis rectae BF ex proprietate huius secundae proportionatricis. Est autem ipsius BF duplam H propterea quod DH EF, sint pares a a. sexti telae , tecta BD, ponatur secta bifariam in E. Igitur BD, ratioti. ΒΗ, erunt duae mediae proportionales inter AB, BG, sic de nati)s, quando maior data aequalis est diametro, siue basi propor
tionatricis AB. una iam Quando ver maior data, maior est vel minor, quam AB, μέ qualis est recta I, minor data sit quaecumque verbi gratia, recta BK, diuidenda erat in prinus AB ina, ita ut proportio AB, ad B L, si eadem quae BI, ad Κ, quod fiet, si ductae AI, agatur parallela KL. Nam si inter AB, BL, ut proxime est dictum, inueniantur duae mediae M, H, S ex ductis N, O, parallelis ipsi AI, recta BI, secetur similiter in N,O, erunt quemadmodum BA, BM, H, L, ita etiam BI, BN BO, ΒΚ, quattuor lineac continue proportionales.
309쪽
OTEST hae se unda proportionatrix est Dibo ali modo deferibi sine semici Ut ut BEC, ductu ex ptincto R, plurimis
rectis i prius , inueniemus in qualibet selarum Cerbi gratia, tu recta D, punctum proportionatricisho modo. Demis perpendicu Iari Des, duratur icissim ex H, in BD, perpendicu- Iaris HG. Punctum enim G, erit in proportionatrice
Nam ditiis ΓΗ, bifariam in P, A BD, bifariam in E ct demi a perpendiculari P recta P erit nec fari aequalis ipsis B, PH,eὰ quὰd angulus re- a Schol. Hus HG necessario sis insemicirculo descripto circa propo I. diametrum B H.
terti, Eucl. Immo quantumuis non cons aret, pΠncta proportio natricis hoe modo inuenta cum prius inuentis coinciderei Anea tamenper eiusmodi putrecta descripta non immerit θdicereturproportionatrix, Aquὰ emper exbibeat duas medias inter diametrum AB ct inter quamcumqtie aliam Iineam minorem ' suemadmodum enim ex inuentione puncti G,m recta BD, sequitur,quattuor Iineas AB, BD, ΓΗ, G, esse continue proportionales ita etiam iri tim prorsus sequitur ex alijs punctis ualijs lineis intientis unod autem hoc sequat tir, patet. I 6.bu Nam propter perpendicitiarem H, rectae AB, BD, ius ΒΗ, sunt continue proportionales . Et quia in trian Coroz I gulo rectangulo BHD, ex angulo recto , demissa eslas xii Euel in basim perpendictitaris HG, etiam BD, H, BG, sunt continue proportionales ac proinde omnes quatitior AB, BD, ΓΗ, BG, erunt continue proportionales.
IN C rursum aecedit compendium problemati nono. Si enimper dictum probo ma nonum inueniantur duae aliquae Iineae, quae aliquantulum accedant ad se cundam quattuor proportionalium, pos
ta maxima AB, minima L, quales infigura huius propo Dionis sunt recta BP, BQ interque das interi
elatur media proportionalis denrqtie nomibus tribus per praecepta hi iusproblematis inueniantur tria tincta proportionatricis S, T V, linea curua Celetiam arcus circuli descriptus per tria puncta S, U,T, secabit arcum circuli LG, descript tm centro B inter ita Io datae IL, minimae, in punctio G, O, ducta BGD, demissaque exi perpendiculari H, inuentae erunt, iuxta demons rata in hac propositione, duae ineae TD, B H, quae sunt duae mediae inter datas AT, AL, oeo Linter AB, BG.
INT E R duas reritas datas, duas medias beneficio instrumenti inuenire.
Uc ex aere, aut quavis ali materia solida norma ABDC, quam accurati Di me constructa, it Movilinea BD, sit recta, iterque angulus ABC, DBC , sit rectus junctumque exacto respon- deat angulo recto DBC, factumque erit instrumentum , duabus medi; inueniendis non commodum, cuius omnem formam vides in figura. eius vero usus est huiusmodi. Sint datae duae rectae EF, EG,& circa maiorem EF,descriptus sit semicirculus EHF, quem perpendicularis GH , secet ni ocentroi interuallo EH, describatur arcus HI. Et rursum ex I,
PCor P. erigatur perpendicularis IK, eritque ΕΗ , vel EI, minor quidem quam secunda ex quattuor proportionalibus, incipiendo a maio-
ri. At reet ΕΚ, si duceretur, esset maior, quam eadem secunda , ut Mi et ex ijs, quae supra demonstrata sunt erit igitur ut secunda ex quat tuo proportionalibus, si
applicetur ex puncto E ad peripheriam semicirculi EI F, necessari,cadat ad aliquod punctum quod est inter puncta Η, Κ . Quae applicatio ut per instrumentum fiat, describantur pricis centro D, utcumque aliquot arcus secantes diametrum EF, S arcum HK in pundiis inter punctis etiaque descriptis, vi videre est in figura, applicetur punctum instrumentit, nempe angulus rectus, perpendiculari GH,& latus BA, protendatur per punctum , idemque angulus B, sursum moueatur vel deorsum per restam GH,donec regula AD, quae interim semper protenditur per punctum Ε, secet circumserentiam EHF,&altera regula BC, secet diametrum EF, iis in punctis , in quibus eandem circumserentiam diametrum secat unus aliquis arcuum ab initio descriptorum vel certe verisimile sit, ita sensus iudicet, si per alterum illorum punctorum centro T, describatur arcus, eum transiturum esse per reliquum punctum: tali enim in situ si instrumentum consistat, inuentae erunt duae mediae Inter data. Ponamus enim centro T, per punctum L. in quo regula EC, secat diametrum , descriptum arcum tr.ansire per unca unam, iri quo circumferentiam secat regula A D. Dico redias EM EB, esse duas medias inter EF, EG Ducta enim F, erunt MI, BL, parallelae, ac proin es triangula EMF,E BL similia. Est autem triangulo EBL, simile quoque triangulum E BG, Acti Eucyob perpendicularem BG, quae in basim EL,cadit ex angulo recto e .sexti EBL igitur onmia tria triangula erunt similia. Quare eadem Eucli., erit proportio EF, ad EM, siue ad EL, e quod EL,EM, ponuntur aequales quae EL, ad EB, EB,ad EG Atque adeo inter duas da tas inuentae erunt duae mediae, quas inuenire erat propositum.
SCHOLIUM. OG in Irtimentum e ropterea mihi maxime probatur, qu)dj num ac solidum, plicissimumquesit, ct in quo nuta mouendabit eiusdem par idua nam nos
doctiit experientia, ins rumenta in quarum partes motiendae, aliter atqtie aseter aptanda unt,
exacta eri Gixposse, erea Te libus deseruire nuda ratione posse . In hoc Verb insUrumento non tantum eius fabricio examinatio citis , eris ipsa operatio haud di petris erit eam erὰ examinarefaci Pimtim erit. Nam
confiituto, G praediximias, inDrtimento, notanda in
D Agura tantummodo essent puncta M.L. 9 circinis xo pede in V, alter extendendus siue ad M, Ue L,
ct circumducendus circinus , probandumque num eum reliquo exacte concordet hoc enim intiento, ting tur recta ΕΜ, quae dum medias dabit,EM, LYT; υe-γὼ non ita exacte res Pondeat circinus , iterum apphcandum esset in Irumentum, diretigna peragenda, Ut prae fertur.
Iam erὰ huic toti optati mo, ct ingeniosissimo problemati em imponere decreui suo si luere omnino non potui certe tamen multo propius a cedere conatus
sum, quam hactenus, quod sciam, Pus . Iliud insuperni falior, prae liti di inter tritas idas, dis ciles tamensias, quibus antiquorum ali medi s quibusdam tiruis
tineis, alij mechanicis in trumentis dura medim perue-Higarunt, notias rationes adinvenerim, si non certiores, attamen expeditiores quaeque pluribus Usibus, minori temporis iaZiura , minimaque erroris stigvicione, qua scompendio esse possent. Eorum nonnussi in sequentibus proponentur, si tamen prius de eis titiis LPhaerae diamen, ne nonnun dixero.
310쪽
videbatur, o pori inuenta me dira proportionales, de artim su
Usus mediarum proportionalium in commensuratione, di propor non gurarum O, corporump9t,simum, satur, ne in XH9tis laboraremus , de Auris eorporibus agendum priusfuisset ni ea ct maiorem indaginem exposcerent, O Mathematicis peruulgata fuissent. Verum quoniam in Vs, quae maximam discuLtatem inuolutint,nos Da potissimum,er bitur si utatio, phaeram quippe non raro , circulum autem saepi
examinare oportebit ideo haec non pertractanda finsinuanda potius, quae apud Mathematicos latepertra-Eiata reperiantur; ct ea tantum explicanda me quibus haec nos ira de mensuris disputatio tare nuda ratione posset, quae facitioribus quibusdam demons irationibus con mabimus. Et quidem primit in circulo duo examinandasunt. Primis eri circumfrentiae longitudo; rineam nempe rectam uentroquae dati circuli circumferentiae aequatis sit. Iterum , 'fam aream, sue capacitatem circuti, aliqua communi quadrata mensura examinandam proponere ues mauis, quadratam pia nam supersciem dare, quae circuri areae aequatis .
Guod quam dis clost, tentantur non sapientis imodo utiq-rum criptorum; erhmo non rae aetatis non pientes tantum edi, aliorum quamplures. Namqt s ei ipsa ne Implicium terminorum apprehensio Iatuit, circuli quadratura si torsi, Si paene emblema' ta problematum loco ab eis extorserit; non tamenpropte rea in hodiernum diem, quo sciam, inuenta erit uuapropter nec defore credidissem, qui se impossibilem Mentu dicerent aut situ nis maniferii tentatum ab Ariri oleis audissent, qua aturam irruit sibilem qui
demesse, nondum tamen sitam suae quamuis ira snt tamen Mathematicorum omnium facile princeps
Archimedes tantum plendoris ac Iucisistite obsuris mae dis utationi fui ingeniosissimis demon Irationibus
attulit, Ut ea paene omnia, quae ad communes Reipu-bticae atque Mathematii ortim si exoptari possent, propemo una demons irata Gideantur. Ac Pud In primis demon Irat, quod ad areae dimensonem peritat, circulum quemcumque triangulo re Iangulo aequalem esse issi idelicet, titus attis alterum serum aquae rectum angulum ambiunt, si dicti circuli femidiamet, o alterum ei dem circuli circumferentia aequale sua quidem demons iratione eo deduxit totum di cu tatis pondus, Ut certa aliqua ratio excN taretur, qua tinea a igna daretur re ta, circuli circum serentiae aequalis petenim inuenta factissimum cuiuis erit re tangulum triangulum constituere, quod circulos aequale; acfacilius multa quadratum exhibere praedicto triangulo,atque adeo ipsi circulo aequale Quocirca tota quadrandi circuli di stillas in danda tinea recta, circumferentiae cirenti aequali consentit. In quo viam etiam facissimam in osseus L idem Archimedes, quam Utinam peregisset, nibi amplitis in ea re exoptari potuisset. Si enim tu iam rationem inuenisset, quam habet ad circumferentiam diameter, e contra ad dia metrum circumrierentia, quadrandi errovisscientia penitus comperta flet Vertim enim ero neqtie 'se Archimedes, neque ceterorum qui quam adperfectam eiuν odip vortionis cognitionem peruenire da ratione potuit in eo tamen laudandus non modice idetur quod quam maxime ad eiusmodi proportionem inueniendam Unus
ipse appropinquauerit: quidem S demons inauit titus
libet circuli circumferentiam suam diametrum ter con tinere, o insuper eius partem, quae minor L septima,
ct maior decem septuagenis primis. Quapropter tim tampa, nasi di erentia inter tramque proportionem,
eam Helicet, quae maior es t era , eam qnae minores I, 9 inter tramque eonLiituenda sit ipsa era proportio, quam circumfrentia habet ad suam diametrum, maniferitum L , quὰ inparum ab ea diri et, siue accipiatur maior siue minor harum proportionum. Nos erὐ qui non tam Mathematicum edocere, qtiam mensuro inu istare, a que o corpora ad eas spectantia, quae, O quanta fuerInt,
idam atque An et Zmam maximorum merauerornm supputationem adducere non curauimus, tissuperque utenos irae disputationi fecisse exi rimantes se iuxta breniorem da, ae fabiliorem triplam fe uiseptimamproportionem sequentium demones Irationetc. exempla pro poneremus, iuxta quorum etiam normam Perti Mathematio secebit idem ipsum exactioribus numeris com B probare. Iam Ceryυ ad rem propitis accedamus, initio Diu dis putationi aliqua assumamu oportet, quae fa cile demons Irarentur, ii circumferentiae ac diametri
nota esse roportio si litvrprimum.
DATO quolibet circulo lineam rem in constituere , eius circumferentiae aequalem . Nam si ducatur in eo circulo diameter , eaque in septem diuidatur partes , ex eisque in quavis linea recta assignentur duae, viginti eiusmodi linea duasi viginti e septenis diametri partibus continens , loco circumserentiae substituetur , quoniam ut dixi, minima quadam parte illam superat.
T qualibet linea recta circulum desciibere, cuiu circumserentia praedictae rectae rit aequalis . Vel quod idem est, data circumserentia circuli eius diametrum totum circulum constituere . Si enim data recta in partes diuidatur duas viginti, ex eisque septenae accipiantur, ea erit diameter circuli, eaque inuenta facile circulus ipse, qui quaeritur, describetur
DATI duabus lineis, quod eae priori in quamlibet
poserioris multiplicemst, aequale est ei, quod si
ex poseriori in consimilem prioris estiplicem. Atque pari ratione , quod ex priori in quamlibet poterioris partem, vel in quaslibet ei dem partessi, aequale est ei, quod posteriori in con milem partem, vel consimiles partes prioris ret. Atque hoc ipsum de quibuscumque duobus
ATI rectis A, B, 8 earismaeque multiplicibus C, D. Dico prim tim , id quod ex A , prima, in D,
multiplicem secundae fit, aequa Ale esse ei, quod ex II, secunda, in C, multiplicem primae tit quoniam C, ad A, es sicut D ad B; erunt quattuor rectae C, A, D, B, in eadem ratione. R Quare quod ex A, secunda in D tertiam fit, aequale et ei quod fit ex C, prima,ini, quartam. Quod erat primo demonstrandum Rursus sint data C, D , earumque similes partes , verbi gratia, tertiae A, B, eruntque rursum in eadem ratione quattuor magnitudines C, A, D, B, consequente id , quod fit ex C, prima, in B, quartam' aequale erit ei, quod ex A secunda, fit in tertiam D. Atque hoc erat secundo demoniurandium.