장음표시 사용
291쪽
s DIAMETER semicirculi diuidatur in quo
uis partes, continue proportionales, communem
habentes terminam cum diametro, quaesit maxima partium proportisnalium atque a reliquis Ortim terminis excitentur perpendiculares , quarum quae ex termino diametri erigitur, es culum tangat, reliquae eundem fecent rectae quae ex termino communi diametri applicantur ad Passectiones circumferentiae si producantur inque ad tangentem, ipsae erunt continue proportionales cum applicatis, quemadmodum isidiae, quae intercipiuntur inter eundem com munem terminum, perpendicularem eductam ex termino partis minimae.
PT in eadem figura,diameter DA,cum suis parti-Js bus DF, DK DP, continue proportionalis, ins , tangat semicirculum in λ; reliquae vero perpendiculares eductae ex terminis F, Κ, P, eundems mcent in punctis B, C, M , ad quae ex termino D, communi, applicentur rediae DB, C, D M, quae protractae secent tangentem A , in G, S perpendicularem vero PM, in M, N, T. Dico tum rectas DS, D DG tum rectas DN, DT, DP, esse continue proportionales cura applicatis A, DB, C, D M . Si enim praeter Tectas AB, AC , intelli Cpatur quoque ducta AM, ipsae in triangulis s
lares ad bases DS, in D G, eo quod anguli
ABD A CD, AMD, semicirculo into recti, ac proinde eadem recta DA . erit media proportionalis , tam inter rectas DS,DM, quam inter rectasi a C; nec non lateriectas DG, DB. Sed inter quattuor lineas D , D DC.DM , maxima es DS, dum in imam est enim ς S, maior, quam quia in triangulo QS,opponitur obtuso angulo in DC, maior, quam ut patet ex demora luatis, dis inter quattuor FG, DB, C, maxima Mest D inmini ima DC. Ergo eadem eiit propoletio DS. ad D quae DC, ad D M in eadem D a ad G quae DB ad DC. Est autem DB, ad DC, eadem, quae DC, ad D M, vel DA, ad DB, eo quM applicatae A, B, C, D , sint i continue proportion tes: ergo etiam DS, ad D eadem erit, quae ad D G. Et quoniam etiam DG, ad DA, est ut DR ad DB, ut praediximus; eruiat omnino septem lineae, DS, in DG DA, DB, DC, D M, continue proportionales immo reliquae tres DN, DT, DP, cum ei sidem in continua erunt proportione Propterea quod propter parallelas As PN, proportio D ad DN, MN ad DT, DT ad DP, eadem sit, g quae S, ad D Lex D inad D G, ωDG, ad A quam monstrauimus esse continuam.
QVD D si sol im habeatur ratio trium partium DP, DK,
DP, adhuc tamen interceptae inter purictum D, perpendicu lares FO,PM, erunt continue proportionales cum applicatis
h Corollaγ DB, DC,DM . Clim enim' ex eo, quod DF,DK, DP, sint cona grauius tinue proportionales sitque DC ad DN, tam , ad DN, LILburas hoc es , UDO, ad Dcwvt DB ad DC, ita DC, ad DL. DE, ad DB, MN ad DT, erunt omnino rectae DO, DE DB, DC, D , DN, T continue proportionales, cita de reliquis, si plures fuissent partes diainetri continue proportionales.st a sexti Eucli.
SI LX uno terminorum diametri erigatur tam gens femicirculum, atque ad eam ex altero termino applicentur quotcumque lineae continuὰ proportionales cum diametro; harum segmenta contenta inter communem terminum, ct circumferentiam, erunt in continua cum illis proportione se si ex puncto circumferentiae , iussus eam scat maxima applicatarum , cadat perpendicularis in diametrum ea secabit reti- quas applicatos, eruntque segmenta earundem intercepta inter communem terminum iam tri, o ductam perpendicularem in eadem continua proportione, ita ut minima Gegmentum diametri inter communem terminum, dictam perpendicularem
catae ad tangentem AS, continue proportionales cum diametro DA secantes circumferentiam ia
m, C,B, de ex , cadat perpendicularis P, secans diametrum in P,8 applicatas in N, T. Dico omnes decem lineas DS, in D G, DA, DB,D DM, DN, DT, DP, continue proportionales esse. Nam rursus ut in praecedente propositione, erunt rectae AB, AC, AN, si forent du ctae, perpendiculares ad rectas S, D DG, ac proinde AD, imedia proportionalis inter applicatas, inter earum segmenta ext Huc intra semicirculum, .consequenter b eadem erit proportio b Lemm. . DS, ad D inquae D ad D ,&Din ad D G, quae DB ad DC cap. I. bu sed DS,D DG sunt continue proportionales ergo DB,DC, ius. DM . Sed etiam DG ad A, est, ut DA, ad DB ergo etiam Α, cum ei derer continuabit eandem proportionem, quemadmodum S rectae V, DN, DT, DP, quae propter parallelas AS, PM , sunt in eadem proportione cum applicatis ad tangentem. Qii offerat demonstrandum.
SI ex reliqui punctis circumferentiae , in quibus eam secant reliquae ad tangentem applicatae , demittantur aliae perpendiculares in diametrum illae secabunt diametrum in par te continue proportionales. Siquidem hi demonuratum II. lavius. est etiam segmenta applicatarum , quae sunt intra semicirculum esse continue proportionalia.
EODEM etiam sere modo demonstrabitur, rectas D , DC DN, esse continue proportionales, cum segmentis, DM, DN,DT, si rectae DO, DE DB, applicatae ad perpendicularem FO, continue ponantur proportionales. Nam vivo, ad DE,
ita erit D , ad DN, hoc est, ' DC ad UM , ut DE , a d M. Cela. DB. vel DN, ad DT, ita DC, ad L, hoc est, DB ad DC A sexti EueL proinde dictae restae O, DE, DB, C, M, DN, DT, erunt 'si bum
SI DIAMETER semicirculi diuidatur in quo
uis partes continue proportionales, communem habentes terminum diametri, quae sit maxima partium proportionalium, atque a reliquis e rum terminis excitentur ad diametrum perpen diculares, quarum quae ex altero tepminodia
metri,semicirculum tangat, reliqua ecent a termino communi ad istas fectiones applicem tu rectae, eaedemque producantur usque ad
tangentem una aeque earumsecabitur a reliquis perpendicularibus in proportionem contianuam partium diametri is quarumlibet dua rum proximarum segmenta intercepta inter
292쪽
iterum essent DO, DR, M, continue proportionales, t&DE, C, DN, QDC, media proportionalis inter DR, M tergo DE, media proportionalis inter D , DR reliqua enim facile quiuis ex propositione huc afferet ad demonstrandum.
communem terminum diametri, singulas perpendiculare , erunt alternatim continue proportionales in ratione rectarum ad circumferentiam applicatarum o item binae quaelibet non proxImae inter quas scilicet altera intercedit, habebunt eas partes aequales, quae con-
sinentur inter communem terminum diame
tri, O duas quaslibet perpendiculares proxiama denique segmenta applicatarum in
ter communem terminum , ct perpendiculares erunt quoque ordine continue proportionales.
sint in eadem figura continue proporti nates A, , DX, DP, sitque ducta tangens S, cum pei pendicularibus FB XC PM, Mad puncha B, C, , applicatae sint DB, DC, D 34,4 protrastae usque ad tangentem AS,adiunetas in Quibus politis, matri stum est eas secari proportionaliter in ratione continua partium diametri DA, a perpendicularibus B, C, PM, eo quod omnes sibi inuicem sint parallelae, ut patet, hoc est, DS,DO DR itemque in DE, DC, D , nec non DG, DB, DL, DT, esse continue proportionales, in ratione, quae est inter partes diametri DA, DF, DK, DP. Dico insuper segmenta duarum DS, D qtiae sunt duae proximae , itemque segmenta Q. G, nec non segmenta duarum I G, DA, esse alternatim continue proportionalia, ita ut sit eadem proportio, verbi gratia, D G, unius ad alteram DA, quae huius eiusdem DA, adsogmentum alterius DB, rursum huius sediment DB, ad alterius segmentum DP, itemque DF ad DIU, DL ad DK, DI , ad DT, denique DF ad DP Nam primum,quoniam G,DB,DL, DT,siunt continue proportionales , quemadmodum MDA DF DX, P, estque proportio utrobique eadem,&DA, est media proportionalis inter DG, DB, erunt δε reliquae DF DK , mediae inter reliquas DB, DL, DT, hoc est,DG, A, B, DF, DL, DK, DT, erunt continue pro portionales quibus addenda est DP propterea qud DT ad DP, sic eadem, quae G ad DA . Deinde quoniamus DE, DC, D , sunt quoque continue proportionales , in ratione continu Cproportionalium G, B D , DT . estque DB , media proportionalis inter DE, DC erunt , reliquae G, DL, mediae proportionales inter reliquas illa scilicet inter D a DE, haec vero intes DC, DN. Atque adeo omnes D , DG DE, DB,DC,DL, DN, insuper T, continue proportionales erunt in ratione applicatarum DB,DC. Adhuc , quoniam etiam DC media estis inter DR,MM, reliqua segmenta utriusqueis, Din sint in eadem ratione continua eriant etiam omnia utrius que segmenta alternatim continue proportionalia proptereandem rationem praedi stam . Unde facile etiam concluditur te tia pars propositionis, nempe eas partes earundem linearum non proximarum est aequales, quae intercipiuntur inter communem terminum D, inter quastibet duas perpendiculares proximas , hoc est, partes A ME , rectarum DA, Q inter quas cadit mediam , aequales esse, illas scilicet, quae intercipiuntur inter perpendiculares AS, IB,& similiter reliquas partes DF DC, itemque Κ, DN, contentas inter reliquas perpendiculares, esse aequales quemadmodum, parte DU, DO, DB, DR, DL, DM , quae sunt partes rectarum DG DS. Nam verbi gratia, recta Din media elo proportionalis inter DS,DG, eadem D inest quoque ex proxime demonstratis media, inter eandem DS, inter Doci ergo G, DO, sunt aequales. Rursus quoniam AS, est paralle ipsi FO , erunt quemadmodum S, Din D . ita etiam DO, DE, DB, costinu proportionale . Sed DE, est insuper etiam media proportionalis inter DO DR, ob rationem praedi tam Dergo etiam DB M , erunt aequales . Eademque est ratio de reliquis Postremo dico etiam segmenta DF, DL, DN, applicatarum A, B, DC, quae scilicet intercipiuntur inter terminum D, perpendiculares B, C, PN, esse continue proportionales . Clim enim ex tertia parteia huius propositionis DF, DL, sint aequales ipsis DC, M, OC, D , DN, sint continue proportionales,ut monstratum est, erunt etiam DF, DL, DN, continue proportionales. Eodem modo erunt continue proportionales DG DE, DR,propterea ubd DE, DR sint aequales ipsis DA, DB, rectaeque DG DA, B, sint comtinue proportionales. Quod erat tandem demonstrand .
I C etiam, si tres tantum DF, DK,DRest en continue proportionales , essent segmenta rectarum DO DC, DB , abscissa a parpendicularibus M, PM continue proportionalia propter parallelas FO, KR, PN, nec non segmenta duarum proximarum DO DE, itemque ipfatum DF, DB, altematim continue essent
proportionalia denique segmenta DR, DB, itemque D M, DL, Occ essent aequalia, ut in propositione est dictum. Nam
Tom. 3. Apparatu SCHOLIV M. E TER V M hae omnia eodem modo
in demons Irabuntur, si Gei ad circti eren tia emisirculi, et ad tangentem applicata nerint ineae continue proportionales. Chm enim tune demissae perpendicu- res necessari etiam secent diametrum in partes continue proportionales, Ut os ensum LI patet demo Hrationem bi adductam etiam habere vim iniris po-
SI LURES semicirculis mutuo interius comtingantis a puncto contactus ducantur quotuis
rectae lineae, eae omnes pr.eteter unam, quae dia
ctos femicirculos potes tangere secabuntur ab eisdem semicirculis in ratione diametrorum.
V semicirculi ABD ILD, Κ TD, PhD, se mutuo tangant in puncto D sitque maximi semicirculi diameter DL, quae a necessario transibit per centrum reliquorum semicirculorum . Erigatur deinde ex pundio D, si per communem diametrum A , perpendicularis D , eo demquattuor semicirculos i contingens in puncto D. Dico si ex eodem puncto D ducantur quotui aliae lineae rectae, verbi gratia, DB, DC MN, eas
eandem habere proportionem, quam A ad DF DK, DP. Nectantur enim AB, FL,ΚT, Pli,quae omnes erunt inter se parallelae, eo quod anguli RD ABD, FLD,ΚTD, I D, in
semicirculis sint c recti . Atque iccirco latera DB, DR secta erunt i proportionaliter. Eadem ratione sectae erunt propostionaliter recta DA D. itemque DA, M ut patet, si intelligantur ductae AC, N,'g Pm itemque rectae AM , Fc KL,Pp. Quod erat demonstrandam. '
HINC patet, si diametri DA DF, DK, DP, sient continue proportionales , hoc est, segmenta diametri DA, intercepta inter punitum contactus D,& inter circumferentias semicirculorum essent continue proportionalia , etiam segmenta rectarum DB,DC,DM,&c intercepta inter idem punctum D,&inter ea Hem circumferentias semicirculorum, fore continues proportionalia.
Item si verbi gratia, applicatae DF, DL, D , essent continue proportionales Letiam DA, DB, DC , itemque Dc, DT, D , esse continue proportionales . Nam cum sit, vim , ad
293쪽
A i ero applicata ad tinctum sectionis circum-XXXVIII. fehentia cum fecunda perpendiculari se mu-XL . tu fee bis cum tertia rursus in circumferentia fecundi semicirculi , ct cum quarta perpendiculari in circumferentia semicirculi tertis,
SI IN emicirculo exin terminorum diametri ad circumferentiam applicentur rectae lineae atque ab eis etiam protractis si ita L
ium fuerito abscindantur partes ipsis applicatis proportionales; sique partibus, ct appli
catis idem terminus communis reliqui earundem partium termini erunt in circumferentiaialterius yemicirculi, qui priorem tangit in Potermino communi applicatarum , cuius diameter ad diametrum emicirculi propositi ha
bet proportionem, quam partes adicissae ad ap
plicatas.' X termino , applicentur in semicirculo figurae propositionis praecedentis verbi gratia , rectae DB,DC, M ex eisque abscindantur DL DN, Lipsis applicatis proportionales, ita ut DB ad DL,&DC ad DN, D M adis, sit propoletio eadem . Dico puncta L, N, C est in circumserentia semicirculi qui semicirculum ABCD, tangat in D. Nam ut DB ad D L, ita fiat DA, ad DF, nectanturque , AB, FI , quae cum
secent latera DA, DB Proportionaliter erunt in
ter se parallelae , cicci mco angulus FLD. erit ae
qualis angulo BD; quia hic est, rectus in senii circulo, erit&illere Cctus. Quare si circa diametrum A, describatur
semicirculus, is transibit per junctum L,idemque iemicirculus tanget 4emicirculum ABCD, in punc sto D. Eodem modo si ductae essent AC, FN, F , fiam illae duae , quam istae duae essent parallelae, efficerentque angulos rectos cum applicatis DC, M .consequenter semicirculus circa DF descriptus, quem ostendimus transire per L, transibit quoque per . . Quod si ex eisdem applicatis protractis abscissae fuissent rectae DG,DE, DR, ipsis policatis proportionales , atque ex diametro DA irotracta abscissa fuisset recta , ad quam ita se haberet D , ut DB ad DG vel DC ad DE vel DM ad Dit, circa totam illam lineam abscissam descriptus fuisset semicirculus, eadem prorsus demonstratione ostenderetur, illum semicirculum transire per puncta G, E, R, semicirculum D tangere, in punicto D. Quod erat demonstrandum. iri VAT Tvo semicirculi ABCD,FLD,ΚTD, phD,
habentes continue proportionales diametroS,in eadem figura , se mutuo tangant in D, sitque dia-
nieter maximi senii circuli, siue primi A quae G in transibit quoque per reliquorum centrae. Absci
dantur deinde ex eadem uametro DA, quot uis rectae DF, DK,DP, H, I DU, in eadem continua proportione diametrorum,& ex ei minis F, Κ, P, Η, , ,excitentur perpen diculares, secantes circumferentiam primi semicirculi in pumetis B, C, , , Y V ad quae applicentur ex communi termino D, rectae DB, C, D , DX, DY iZ. Dico eas se mutuo secare cum perpendicularibus praedictis in circumferenti j reliquorum semicirculorum: nempe recisam B, applicatam ad punctum sectionis primae perpendicularis FB se mutuo secare cum secunda perpendiculari C, in circumferentia secundi semici cui FLD, cum tertia perpendiculari PM, in periplieri terti j semicirculi. similiter applicatam DC cum tertia, quarta, quin ta perpendiculari se mutuo secare eodem ordine in ci cum rentia secundi, tertiit quarti semicirculi, cita de reliquis vet,quod idem est. Dico puricita L, N Ll, n, in quibus restae applicatae secant ordine perpendiculares, Κ C, PM, HX, ΙΥ,VZ, esse in circumferentia semicirculi LD. Cum enim partes abscissae DF Dc, DP , sint in continua proportione diametrorum, immo in hoc exemplo sunt ipsae mei diametri, quamuis ut demonstratio sit uniuersalis, sumendae stat loco quarumcumque aliarum partium abscisiarum ut DF ad DK, ita sito parallelas FB, C, applicata DB, adiutina segmentum L, ut DX, ad DP, ita DC, ad DN,eriant applicatae DB, C, sectae ita ratione diametrorum in puncti L, N, hoc est, in ratione , quam habet diameter DA, primi seini circuli ad diametrum se . micirculi secundi. Unde juneta L, N erunt in circumferen a so Uu tia illius secundi semicirculi. Eodem modo, quoniam rectae is ius. DΚ, DP, H, sint continue proportionales in ratione diametri semicirculi secundi, ad diametrum semicirculi terti), rectae DL, DN, DL applicatae sunt ad circumferentiam secundi semicirculi, liabentque ad suas partes DT,Dg,DL, eradem proportio- irem, quam Κ, ad DP, DP, ad DH , hoc est, quam diameter semicirculi secundi ad diametrum semicirculi tertij; erunt puncta T,il, in circumferentia eiusdem terti,semicirculi &ita dereliquis. Quod erat demonstrandum.
XLI. SI et V RE S emicirculi continue proportionales diametros habentes s mutu) tangant interitis atque a diametro maximi semicirculi flue primi abscindantur quot uis aliae rectae continue proportionales in eadem ratione diametrorum, ita ut punc Tum contactus sit terminus
communis partium abscissarum; in reliquis
terminis earundem partium abscissarum erigantur super maximam diametrum perpendicula res secantes circumferentiam prim emuirculi rectae quae ex puncto contactus flue communi termino partium applicanitir ad ista punctasectionum circumferentia ei mutuosecabimi cum
perpendictitaribus in circumferent ijs reliquorum semicirculorum hoc ordine applicata ad punctum sectionis primae perpendicularis, quae scilicet erecta es ex teγmino partis maximae
abscissae se mutu)fecabit cum fecunda perpem dictitari , seu proxima in circumferentia δε-cundi femicirculi , o cum perpendiculari terii in circumferentia tertij jemicirculi . Re-
UT AMU E chim hic demonstratui sit, semicirculos FLD, Κ TD, in i)sdem punctis secare applicatas B, C, M in quibus eas secant perpendiculares,patet ex hac propositione, in serri posse omnia illa , quae pertinent vel ad lineas proportionales, comprehensias inter dictas perpendiculare , vel quae attinent ad aequalitatem earundem linearum, omnia scilicet illa , quae has tenus conclusimus in superioribus propositionibus ex intersectionibus applicatarum cum perpendicularibus etiam productis, id quod etiam figura ipse satis aperte indicat, quam simillimam priori construximus,educendo dumtaxat hic plures perpendiculares, pluresque lineas ad circumferentiam applicando tum ut plura puncta in circumferen iij semicirculorum habe
rentur, tum ut exempla poneremus erectarum perpendicularium , tum ex terminis ipsaltim diametrorum , quales sunt FB,
XC, M, tum ex terminis aliarum partium proportionalium absciuarum , quales sunt perpendiculares , HX, ΙΥ, Z.
294쪽
SI IN semicircula recta quaepiam ab alterutro termino diametri ad circumferentiam applicata, secet perpendicularem quampiam super diametrum eductam sique segmentum eius interceptum inter terminum diametri dictam perpendicularem aequale segmento diametriinter eundem terminum, perpendicularem,quae in V m diametrum cadit puncto applicatae in circumferentia: eadem applicata eiusdemque segmentum inter terminiam diametri, priorem perpendicularem erunt duae mediae priportionales inter diametrum, O illud eius
segmentum, quod continetur inter eundem te minum Iametri, eandemque istam priorem perpendicularem.
PpLr Ar DC , in semicirculo ABCD, secet, verbi gratia, perpendicularem PM, in N, Litque segmentum eius N aequale segmento X contento inter eundem terminum D, interque perpendicularem C Κ, quae ex C, cadit in diametrum D A. Dico rectas M,
DK, medias esse iproportionales inter diamet Tum
segmentum eius DP, in Cterceptum inter eundem terminum D inter prio rem perpendicularem Nam spe declinam sextam huius erit , ut
DA , ad DC, ita a C ad D Κ, hoc est, ad DN, DN, ad DP, habet ean
propterea, quod triangulam Cc, DPN, sint similia, habentque latera proportionalia. Quod erat demonstrandum.
DΑ, DC, DK, DP, ut prima DA ad secundani DC, hoc est, ut secunda DC ad tertiam DK, tam Κ, tertia ad DP, quartam; it Vis naeti DK, ad DP, ita est' DC ad DN, erit quoque ut DC ad DK, ita A, IS DC ad DN, ac proinde Κ, DN, erunt aequales, utraque νtertia proportionalis fiat tuo rectarum proportionalium Dico secundo, si applicata tertia N ad perpendicularem P , producam ad circumferentiam, Verbi gratia, usque ad C, reetam DC, fore aequalem secundae. Nam cum sit ut tertia DN, ad quartam DP, ita primam , adiecima un, i DN, ad DP, ita Ἀε.huius, sit demissa perpendiculara DC ad DR& DA,a DC, erit,e ex Go- quoque ut A prima ad secundam, ita AD ad DC ac proinde oda exiiDC, erit quoque secunda Atque adeo DK, erit aequalis ipsi is DN, cum vi DA, ad DC, ita siti ad DK,&eadem DC, ad DN. Quod erat demonstrandum.
S diameter semicirculi sit maxima seu prima
quattuor rectarum continue proportionalium, rex eadem prope alterutrum terminorum eiusdem abscindatur linea quaedam aequalis quartae flue minimae, ex eiusque altero termino excitetur perpendicularis eadem perpendicularis auferet ex recta, quae ex eodem termino diametri
fuerit applicata ad circumferentiam aequalis fecundae, lineam aequalem tertiae. Et icissi si ex eodem termino diametri inlicetur ad dictam perpendicularem aequalis tertiae; eadem producta que ad circumferentiam erit aequalis δε- cundae. Semper vero tertia erit aequalis ibi segmento diametri, quod intercipitur inter terminum diametri. perpendicularem, quae in diametrum cadit puncto circumferentiae, ad quod es applicata fecunda, et in quo eandem ferat tertia , ad priorem perpendicularem a plicata.
IAMETER DA, sit in eadem figura maxima, siue prima quattuor proportionalium, quartam quarta sit DP. DC , applicata ad circumferentiam sit secunda. Dico rectam DN, quam ex secunda DC abscindit perpendicularis PN, esse tertram Sit enim DK, aequalis tertiae,& nectatur CK,quae erit perpendicularis ad diametrum ideoque parallela ipsi PM. Quoniam igitur inter quattuor lineas continue proportionales
SI VO femi circuli se mutuo interius contis-gant , atque a puncto contactus ad circumferentiam maioris applicetur recta aequalis dia metro minoris haec applicata, ct segmentum eius contentum intra semicirculum minorem, erunt duae mediae proportionales inter diam trum maioris, illud eius segmentum, quod comprehenditur inter punctum contactus, siue terminum Pius diametri, o inter perpendicularem in eandem diametrum demissam ex uncto, bi recta applicata occurrit circumferentiae minoris femicirculi.
figura proportionis quadragesimae praeceden-
tisse mutuo tangant semicirculi J CD, FLND, in puncto D, quod sit terminus diametrii , quoniam eadem DA, etiam transit per centrum a II. tertusemicirculi LN , erit DF, diameter semicir Eucti. culi FLND applicet utque ad circumferentiam maioris semicirculi rectae DF aequalis DC, secans minorem semicirculum in N,4 exm, demittatur in diametrum D A, pes pendicularis P. Dico DC,DN, esse duas medias proportionales inter diametrum D A. inter se ginentum eius DP. Intelligatur enim diti ha AC, eritque triangulum ADC aequi angulum triangulo D , propterea quod rigulus A CD, rectus, aequalis sit an
gulo recto PN, angulus ADC, sit communis undest, ea ext dem erit proportio AD, ad DC, qua D , ad DP 1 sed vi DA ad Eucli DC, hoc est, ut D Α, ad DF, ita est DF, siue DC , ad D ergo bo, is ut A,ad DC, ita erit DC, ad DN, DR ad DP. Quod erat de
- N,ita si durita DN aequalis diametrosemisirculi FND, demonnirabitur, eandem diam trum,seu applicatam DC, nec non segmentum N, esse duis medim inter A, DP Atiidem idemsmici cum FND, etiam rectam DC ineat ita, Ut in propostisne fuit suppostum .
XLIII. XLV. SI diameter semicirculis maxima, seu prima
quattuor rectartim continue proportionalium ct ex eadem prope alterutrum terminorum abscindatur aequalis quartae, siue minimae, ex ei que altero termino excitetur perpendicula ris ad diametrum, ad quam ex dicto termino diametri applicetur aequalis tertiae, vel quam intersecet recta applicata ad circumferentiam, aequali ecundae circulus priorem tangens interiis in praedicto termino diametri, habensque diametrum aequalem fecundae quattuor
proportionatium, transibit per illud punctum sectionis, vel applicationis rediae perpendicularis
295쪽
laris si e idem punctum fi ctionis , vel
applicationis describatur circulus, priorem taΠ- gens in dicto termino , eius diameter aequalis erit eidem fecundae quattuor linearum proportionalium.
eadem figura sit maxima sue prima irattuor litiearum continue proportionalium diameter DA, quarta, seu minima segmentum DP, ex rierecta fit perpendicularis PM , ad quam sit applicata DNaequalis tertia eritque iuxta demon- .hu fata tecta D hoc es ,recta DN, protracta sque ius . ad circumferentiam aequalis secundae , atque adeo punctum , erit quoqtie illud in quo DC aequalis secundae applicata ad ci cumserentiam secat perpendicularem PM, hoc est, idem pun- est viri N erit applicationis tertiae, Tectionis secundae. Dico si ex di metro abscindatur recta DF, aequalis secundae DC, circa eam describatur semicirculus qui quidem, semicirculum i necessario tanget in punceto D;eum transire per punctum N. Nam si ex puncto , in quo semicirculus descriptus circa diametrum DF, secat remm DC, intelligatur demissa perpendicularis, ea ex diametro auferet rectam DP, nempe quartam proportionalem atque adeo eadem perpendicularis coincidet cum perpendiculari PN,& consequenter utraque secabit semicircillum in eodem punistes , vel applic tionis rectae DN, vel sectionis rectae DC Constituatur xi iam ad punctum , super rectam DN, angulus DNr, aequalis angulo NDr, qui chm sit acutus, erit DNr,acutus, ac proinde Nr, concurret cum diametro A , in , eruntque 4D,rN, aequales . Quare si centro , interuallo D describatur circulus, is traias bit per punctum N, tangetque circulum ABCD, in D . Dico eius diametrvin DF, aequalem esse ipsi C. Cum g enim sit, ut DA ad DF,ita DC ad DN, per hypothesin ut DC, ad DN, ita DN, ad DP, eademque est ratio' DF,ad N; erit quoque ut DC, ad DN,1t DF ad eandem DN, consequenter DF,DC, erunt aequales. Quod erat demonstrandum.
V m s in semicirculo, erbi gratia , , ABC primo intelligatur ex quovis puncto P diametri D, erecta perpendicularis, Verbigratia,PM,9 expuncto D, ad eiusdem semicircuti circumferentiam intelIAgatur applicata recta DC, hac cum conditione, Et sumpta ex diametro D, recta Dr, aequali semissi pisus D etiam recta N, ducta ex puncto, ad punctum N, in quo inea a Brata DC, per endicularem PM, intersecat aequalis sis idem femissi rectae DC Deire demonsUrabis DC DN, esse dua medim proportionales inter D diametrum, inter DP, segmentum dia i ii terti metri, interceptum inter punctum D, 9 inter perpen Tu si di utarem M. Nam si centro , internalis D, et fici S .primi N,describatur semicirculus N F, nectanturque AC, Aueti FN erunt anguli CD, PND, in se=nicirculis re I CorolP.M. it,rectaeque A PN, parat lae; ac proinde' tria
sexti Euta gula ACU, PND, erunt simina, habebantque latera
circa aequases an uos proportionalia, hoe eLI, C AD, ad DC, ita Ai PD, ad D ; sed FD aequam si ipsDC, ὼ qu)d citraqtie PD, DC, si despia iij tas Ur; ergo Ct AD ad D ita erit C ad UN. cuia Sero in triangulo rectam uo FND, recta P, eL perpendicularis ad basem PD, m erit rectam x, media quoque proportionalis inter PD, DP, hoc erit, inter DC, P. Atque iccirco quattuor meae AD, DC, DN, DP, erunt eontiuue proportionales . Quod erat demon irandum. Corol. X.
SI VO femicirculi se mutuo interius tang.Πrt, in extremitate iametri, que diameter nit riori emissis diametri exterioris, is expuncto conta hus ducatur linea recta scans utriusque semicircidi peripheriam, atque expuncto inter fectionis cum semicirculo interior demittatur linea perpendicularis in diametrum, is denique ex puncto diametri, in quod cadit ducta perpendicularis,applicetur ad rectam priis duciam, linea aequali egmento diametri intercepto interpum ritum contactus, perpendicularem tota recta prius ducta ex puncto contactus siue ad per pheriam exterioris circuli is dupla eius quae ad eandem fuit applicata, constituunt duas medias inter diametrum exterioris semicirculi ct inter Pud segmentum lineae primo duritae , quod intercipitur inter punctum conta ius,
inter punctum, ad quod Osremo altera linea applicata fuit
IR CA diametrum ΑΒ, descriptus sit centro C, semicirculus ADB, de circa eius semissem IC, se micirculus bEC, qui priorem tanget in puncto B, ς' ex quo educatur recta BD, utcumque secans utriusque semicirculi peripherias in D, E,&ec punito E, demittatur in diametrum perpendicularis EF ipsique FB,applicetur ad BD, aequalis FG. Dico BD, Serestam ipsius BF duplam esse duas medias inter AB. BG, hoc est si ipsi B, vel FG, accipiatur aequalis Η, rectas AB, BD, BH, BG , esse
Ductis enim HD HG, HE, quoniam duo latera F, FE trianguli BFE , aequalia sunt lateribus F, FE, trianguli H FE M anguli comprehensi per constructionem a recti erit basis BE aequalis basi HE. Est autem ipsi BE, aequalis QED,e quod etiam BC,ponatur aequalis ipsi AC. Ergo tres rectae EB, ΕΗ, ED, aequales erunt, si centroi, interuallo FB vel ED, describeretur semicirculum, is transiret per punctum II. In triangulo igitur BHD, angulus BF D, cti esse possit in semicirculo, c relius erit. Eodemque modo rectus erit angulus HGB, in triangulo BGH, propterea quod tres recta FR, FG, FH, sint aequales. Vnde cum in triangulo rectangulo BHD, exangulo recto demissa sit perpendicularis HG. erit recta BH, media proportionalis inter BD, BG. Est autem etiam BD, media proportionalis inter AB, BH. Ergo quattuor lineae AB, BD, BH, BG, continue proportionales erunt. Quod erat demonstrandum.
296쪽
LINEIS PROPORTIONALIBUS.Caput III.
D VARVM linearum inaequalium datam Μο-
portionem Iterius continuare sum ad maiores ,rum ad minores terminos. A hoc ipsum problema Clauius alia seluat; idem tamen hoc loco proponere libuit, eo quis ex ijs, quae capite praecedenti multis ac
vatij propositionibus sunt demonstrata, nouam quandam praxim elicuerimus, qua medi te non solitan proportio data continuetur, ut ibi ad proximos terminos, sed simul eademque opera ad plurimos sequentes tum maiorectum minores extendatur
Sint igitur datae rectae DA,DB, quarum proportionem libeat
continuare tum ad maiores, tum ad minores terminos Circa maiorem DA, describatur semicirculus ABCD, in quo ex termino diameia tri D, applicetur minor data DB, eademque Producatur, donec erectam ex puncto A, perpendicularem AE , secet in Eunec non ex puncto B , in eandem diametrum D Ad emittatur perpendicularis P, iram arcus AG, ΕΗ, descripti centro D, interualli DA, DE,
secent in G, Η, per G, H, ex eodem punJto D,
producantur rectae, se cantes tangentem AE, in I, K,m circumferentiam in C, L. Ite-Tumque centro D, interuallis I, DK , describantur duo arcus IM, KN secantes perpendicularem FB in punctis , N per quae diaetae DN, DN, secent tangentem iis , P, circumserentiamin Dico DP, DO, DK, DI, DE,DA,DB,DC,DL,D DR, esse continue proportionaleς. Quoniam enim ut DP,ad DK, ita est DK, hoc est, D N ad DH, vel ad DF, propter similitudine n triangulorum DPΚ DNH, 4t DK, ad DE, hoc est,ad DH, ita D H, ad DB, erunt quoque in eadem ratione cum restis DP, DK,DE continue proportionales DB, DL, DR. Eodemque modo erunt continue proportionales DO,DI, DA, DC, Q, 'uidem in eadem ratione cum prioribus. Cuni enim DF, DC, sint aequales, propterea quod eadem DB, sit, media proportionalis inter A DF, inter DG DC, quarum A, G, ponuntur ae
qualesci sintque praeterea triangula DAE, FB, aequiangula, erit eadem proportio DE, ad DB, qua DA ad DF, hoc est, ad DC. Quare ciun DP, DK,DE,DB, DL, DR stat continiae proportionales o similiter DO, DI DA , DC, Q in quoque in eadem
ratione continue proportionales, sicque i DA,media proportio natis inter DE,DB,erunt & reliquae inter reliquas mediae pro portionales , atque adeo Onanes undecim rectae DP,DO,DK, DI, DE,DA, DB,DC,DL, DR, DR, erunt continue proportionales. Aliter, instituendo operationem in quocumque semicirculo,
in quo applicari possit alterutra datarum. In enim propositae rectae maior, minor DC d semicirculus sit ABCD , cuius diameter primo sit maior, quam data DB . Applicetur in eodem semicirculo ex altero terminorum diametri, verbi gratia,ex D utraque data DB,DC idemissisque in diametium perpendicul ribus F, S producatur minor a plicatarum DC, usque ad perpendicularem FB, in G, centro D , interuallis DB, G, describantur duo arcus, secantes reliquam perpendicularem SC,in V,nectanturque D DU,secantes perpendicularem FB, in N,M, circumferentiam ina, inDico rursiis D M DIJ, D G, DB, DC, DI Dinesi continue proportionales . Nam ut prius erunt DN, D D D continue proportionalescii similiter DH,DB,DL Est enum ut DG, ad DB, ita DB, hoc est, DT ad DC,&DC, ad DL: ergo et am ut D ad D ita erit DB,ad DL Ouare cum sint quattuor rectae DN, in D DO SI aliae tres DIJ, DB, DL, contriaue proportionales, Min eadem ratione; sitque DB , media proportionalis inter Din DC. ut ostendimus; erunt quoque
reliquae eodem Oidine ascend ndoci descendendo mediae Pr A portionales inter reli quas SI consequenter omnes septem rectas praedietae erunt continue proportionales . Quibus illico aliae quattuor adi; cerentur, si centro D, per punctam, , alij duo a cus describerentur, secantes perpendicularem C de per puncta
sectionum ex D, educerentur rectae, c.
Sint secundo datae recta DG maior, minor DB , quarum saltem minor DB,possit applicari in semicirculo ABCD. Demis i a perpendiculari BF, applicetur ad eam maior data DG, secanucircumferentiam in &ex C, cadat perpendicularis CS. Et rursus centro interuallis DR, G, describantur duo arcus secantes perpendicularem SC in T,U, per T,V, ex D ei)ciantur duae rectae secantes perpendicularem FB, invi M, circumserentiam in L,in Eruntque ut prilis, continue proportionales se
si his igitur patet, quid agendum sit, si duabus dat stertia sit adiungenda pro pomonalis . Nam si in semicirculo ABCD, descripto circa maiorem datis, nempe circa AD, applicetur minor data DB,4 ex Α, termino eiusdem maiori erigatur perpendicularis AE secans produm minorem DB in Ε, erit recta Dii, tertia proportionalis, maior . Si vero ex puncto B, nempe ex termino minoris datae DB, demittatur in diametrum perpendicularis BF, ea abscindet ex eadem diametro, hoc est, ex maiori data rectam DF, tertiam proportionalem minorem ad easdem datas AD, B . Demonstratum enim est in hac propositione, si dicta rar: is adhibeatur, quattuor restas DE, DA, DB, F, fore continue proportionales . Immo tertia linea proportionalis adi; cietur duabus rediis datis , etiam si semici culus, ita quo minorem diximus esse applicandam, non sici scriptus circa maiorem datam . Satis enim est, si utraque data applicetur utcumque in quovis alio semicirculo , quales , verbi gratia, sunt DB, C. Demisiis enim in diametrum D A, perpendicularibus BA, S, ex terminis B, C, rectarum applicatarum ipsae abscindent ex elide in applicatis tertiam proportionalem tum maiorem, tum minorem perpendicularis quidem BP protracta ex protracsta minorem Doe, maiorem tertiani proportio I . a natem DG perpendicularis vero S, ex maiori DB, tertiam pro seundi portionalem minore DX ut demonstratum est butus.
Ea quibus rursum colligitur, hoc problemate haberi poste
omnes illos terminos impares, in proportione duarum reclarum data, qui continentur in tabula, quam scholio secundo lammatis octaui capite primo huius descripsimus. Omnes enim numeri illic expressi sunt denominatores alicuius termini terti ad duos te minos vel datos vel inuentos,ut manifestum erit ex compositione eiusdem tabulae. Nam denominator,veridi gratia 3 qui in dicta tabula in suprema serie transuersa reperitur in tertia cellula,denominat tertium terminum , qui seselicet est tertius proporti natis ad duos datos. Numerus Uero c. in quarta cellula conte tus , denominat quin istum ferminum, qui est tertius iterum proportionalis ad primum ritum, tertium proxime inuentum. Et ita de reliquis numeri s sequentibus ua eadem series atque adeo de omnibus4 singulis numeris cuiusque alterius seriei Datis enim primo re secundo termino , quos denominant numeri primae secundae cellulae cuiusuis seriei; reliqui numeri in reliquis cellulis versus dextram sunt denominatores eorum termi-
norum , qui eodem ordine sunt terti proportionales ad primos datos , vel ad primum alium proxime inuentum. Illud tameti reperitur diuersitatis inter primam seriem, reliquas , quod in prima primus secundus terminus semper dentur in reliquis
297쪽
vero teminus se idae cellulae debeat prius hoc problema A e per conuinrationem scilicet proportioni datae, inuisi , quam reliqui eiusdem seriei termini haberi possint. Nam in tertia, verbi gratia, series, ubi secundus denominator est, an , tequam haberi pollini reliqui termini eiusdem seriei, necesse
est, ut ex duobus terminis datis prid continuetur proportio usque ad terminum quartum nisi sorte idem quartus termibnus detur sine secundo: tunc enim non esset opus eluisiodi con
X OT 'IS lineis rectis continue proportionalibus datis, totidem alias, una dempta, tum maiores, tum minores a Lycere.
N eadem figura datae sint tres rectae DF DX,
te DY, continu proportionales, quibus adiungen-
da sint duae aliae minores maiores Circa maximam illarum DF, describatur semici citus XV, ad quem ex puncto D applicentur reliquae duae minores DX DY, atque ex pullicto P, eri a tur perpendicularis ad diametrum DF, secans DX, DY, protractas uita, sitemque expuncto Y, demittatur in eandem diametrum perpendicularis, secans DX DF, in Za. Dico DG DB , esse duas maiores, wD Z,
Da duas minores, easdemque continue pro portionales cum tribus datis. Nam si praeterea ex puncto , demittatur perpendicularis S, runt segmenta diametri DF, S, a continue proportionalia , consequenter etiam productae DY, DX usque ad
tangentem FB , in G, B, nempe rectae DG, DB, nec non segmenta C rum DT, Da intercepta inter perpendicularem
Ya erunt continue proportionalia cum applicatis DF,DX, Υ. Neque vero necesse est, ut semper circa maximam DF,descrIbatur semicirculus, in quo reliquae duae applicentur; sed satis es, si tres rectae datae applicentur ex eodem termino diametri ad circumserentiam cuiuscumque semicirculi, quales sunt in eadem figura, verbi gratia, tres rectae DC, DL, in applicatae ad circumferentiam semicirculi ABCD ductae enim perpendiculares CS, in secabunt easdem datas, auferentque rectas V, DT, itemque De Db, in continua cum illis proportione,ut patet ex demorali ratis euademque est ratio de pluribus datis, dummodo ut dictum est, ad circumferentiam alicuius semicirculi ex altero termino diametri applicentur, atque a puncto applicationis maximae, minimae perpendiculares duca' tu in dian retrum hae enim secabunt applicatas, eisdemque dij- cient tot alias tum maiores tum minores, una dempta quot fuere data Aliter Λ rursum in semicirculo F XYD diameter DP, continuὰ proportio, alis cum applicatis X,DY. Ex maxima earum, nempe ex DF, ab indatur DS, aequalis minimae DY. ex na1nima DY, protracta inlatur DC aequalis maximae DF Deinde circa DS, describatur semicirculus secans DX, DY, in Z,b: itemque alius per punctum C tangens semicirculum FXYD,m D, qualis est semicirculus ΑΗ D, quem iamiam describere co- Lebimus. Hic enim secabit pro tractas X, DF, J A , adiungetique tribus datis do a maiore, D. Pr1or VerOMb' ex
DX, DY, Z Db, continue proportionales. Eadem tio de pluribus datis, si illae dicto modo applicentur in i culo neque est necesse, ut maxima illarum sit diameter de semicirculi ; sed poterunt omnes datae applicari inin D. semicirculo, quales, verbi gratia, sunt DX, DT, D e , applicarae in semicirculos si enim minimae illarum D e sumatur ex maxima DX, aequalis D Z, ex minimam e protracta absci
datur DL, aequalis maximae DX, atque per puncta Z L, describantur alij semicirculi secantes datas,abscindentur ut prius,dsiae
maiores,di duae minores continia proportionales cum ijsdem
datis, ut patet , cum in omnibus eadem sit demonstratio. Ceterum senucirculos praedictos ita licebit describere. Sit enim describendus semicirculus per punctum Verbi gratia, G,
qui semicirculum FXYD, tangat in puncis D. Diuisa recta G, T in tri bifariam in g, erigatur ex g, perpendicularis is secans lametrum DA, in f, eritque i iunctas , aequalis ipsim,ac proinde centro interuallos D descriptus circulus transibit per , tam 'itagetque semicirculum FXΥD, in D .
D VARVM linearum inaequestum proportione data, quemcumque eius terminum praescriptum
o v x , per primum problema investigari
Possit, quicumque terminus cuiusuis propomonis datae, continuando eandem proportioncm, ad illum usque terminum, se secundum pro-blima quaeuis proportio non sitae compenalo extendatur quia tamen per hoc secundum problema non semper cerib terminus propositus attingitur, nusion
ser medii termini prius designentur, se primum problema termini saltem remotiores non nisi eum longissima praxi haberi Queimi, visium est superioribus duobus problematis duo alia: adiungere, in eisque modum praescribere, quo terivinus quaeli
tus compendiaria via attingatur.
Prior ictitur modus similis est illi, quo per praecepta Aritn-
meticae invenitur vltimus quiuis terminus cuiusuis progresMO-nis Geometricae, cuius primus terminus datur una cum En minatore rationis, perquam illa progreditur. intenim datae
duae recta A, B, sitque inuestigandus terminus, Verbi gratia. ABCn Es G Η
vigesimus septimus in prono tione, quam habet', primata
tabula , quam scholio se tua olemmatis octaui constrinamus, numerus 7 isque primo in supremi serie .si ibi non reperiatur, quaeratur in secunda ,
vel deinceps in tertia, quartam c. sed quia in nulla illarum reperitur, sumatur statiliter distu
rendo per singulas series, nulΠ
qualis est numerus Q in teri P a
serie loco quincto Quo innento continuetur per primum pro blema liuius capitis r oportio , ad B, usque ad quartu141er minum eo quod indicta te tia secundus minae rus est Cest, duabus rectis A, B, adiaciantur aliae duae GD, Contiaue proportionales cum datis A, B Etrursiis ut A, ad D, ita fiat D, ad aliam E quae erit septima a prima', iuxta prat edictam tabulam AEquidem tertius numerus in tem serie est au tem iterum fiat, ut A ad ri, tam , adi, eriti, terminus is donique si fiat vim , adi, ita F, ad aliam G, haec erit per eandem
tabulam terminus is qui cum a quaesito ternimo Q. Gille femmi duobus terminis, habebit omnino G , ad terminum quaesi Primi a tum eandem proportionem, quam prima A ad tertiam . cum iu utrobique una dumtaxat cadat media Proportionali S. r '
si fiat vi Α, ad C, ita G, ad aliam H, inuenietur' Crini iuS 7 phim buta
qui quaeritur . . . . .. ius. Simili omnino ratione procedendum erit m inuest gatione quorumcumque aliorum termitiorum,illud dumtaxat obseruanado, ut quando prima extensio proportionis ad aliquot terminos, qualis ili exemplo fuit extensio usque ad quartum terminum , non sum cit, ut per eam ex inuento ultimo termino in eliciatur terminus quaestus Η, tunc vel extendatur proportio A ad B , ad plures terminosa altem ad eum,qtii possit lata facere problematimo posito, vel cert proportio A , ad in extendatur post term1-:aum G, toties, donec attingatur terminus Η, vel saltem inueniatur terminus eidem ita propinquus, ut per illiin ex termini primae extensionis attingi possit terminus quaesitus, id quod facile quiuis collegerit ex dicti S. .
Obseruandum praeterea est, quando terminiis ara tabula I uentus remotior est termino quaesito, tunc ab eodem illo termino remotiore per extensionem proportionis inuento retro zdendum se versus terminu 1 quaesitum. Si enim 111 superior exemplo inueniendus fuisset tot terminii et .sed terminu Si er-hi et ratia, qui minor est termino is qDem supra Inuenimus, idem terininus 1 . inuenietur, si fieret ut terminus secundus , ad primum A, nempe retrocedendo, ita terani laus inllentuSadalium, hic enim erit terntinus14. quidem tantum illa a s. quantum A, a B.
liter sine praedicta tabula Sint terum datae recta A, B, ete1' turdue, Verbi gratia, terminus 63. Principio eadem pro-
298쪽
portiora, ad B, extendatur ad aliquot terminos, verbi gratia , ad A, B, C, Ea Fa quod illico fiet per problema praecedens deinde fiat, A,primus
teriminus ad F sextum, ita F, ad alium,l l . q. II. I. I. Sr 3. 31. inuentusque erit teria A. B.C.D. E. F. G. H. I a M. minus undecimus G. quo in uento iterum fiat ut A ad G, ita G, ad alium H, qui erit terminus cr. Si autem item ira fiat, vim ad H, ita H, ad alium, is erit r. nempe terminus I: denique si fiat ut A,ad , ita I ad alium .habebitur terminus Mi nempe Κ, maior termino quaesito,minor vero eodemerita. Quorum licet uterque seruire possit ad inuestigandum terminum 6 p. quia tamen alter illorum nempe i. minus di fert ab eodem termino D quam differatu .eum insequenti appropinquatione conuenit assumere . Inter terminos ergo ha i nus inuentos quaerantur duo, qui tantum inter se distent, quantum distatis , aba . nempe qui distent 1 . terminis intermediis; tot enim cadunt medi inter 6 3. 81 cum differentia sit 18 vel si nulli eiusmodi sint in uenti,quaerantur duo, qui inter se distent, vel paulo Ilicibus vel paucioribus terminis quam 17 quales quidem sunt duo ter inini, H, I scilicet 2 i. inter quos cadunt i q. med 1J, eo quod a I.&η r. inter se differant numero o. Quare si fiat vi I,ad H, nempe ut i terminus ad terminum i ita terminus , I. ad alium, inuentus erit terminus L i. L, qui tantum distat a termino 31 quantum terminus H, a termino I, chira inter utrosque idem numerus terminorum interijciatur, propter
eandem proportionem H, ad , et ad T. Conseratur iam idem terminus L,cum termino 63, 3 quoniam inter se tantum distant, quantum termini A,C, si fiat ut A ad C, ita L,ad alium, inuentus erit tandem terminus 6 r. ,quem quaerere proposuimus, 'ia metiam inuenire potuissemus hac alia via. Inuentis terminis H, I fiat, H,ada,ita ,ad alium terminum, qui ex e demonstiatis, erit terminus 6 I. a primo A, nempe te minus L. Nam cum differentia inter i. M talicio erit te minusa, vigesimus primus a terminos, ac proinde si diu addatur ad i. procreabitur numerus 1 a quo subtrasta unitate , ,1nanebi 6 r. denominator termini inuenti L, a quo clim terminus quaesitus , sit tertius , si fiat ut A, primus ad C, tertium, ita L, ad alium , is erit terminus 63. M , quaesitus . Posset quidem idem terminus adhuc mustis ali)s, ut ita dicam saltibus inuestigari, sed hos insinuasse sufficiet, ne in re aperta prolixiores simus, quam par est.
E N DE M terminum proportionis desideratum compendiosius reperire.
Os τε stro ver modus , quem hoc posteriori problemate prosequemur, nouus est facilis, e que terminus quaesitus certo semper attingitur. In eo enim non sollim traditur ratio inueniendi terminos intermedios qui necessarii sunt ad in sueniendum extremum; sed praeterea docetur Pradiis Geometrica, qua idem illi termini compendiosissime adit timi ura usque terminum, qui quaeritur, extendantur. Et quidem quod ad terminos necessarios nutalligandos attinet, i inuenien tu breuissim per pauci Dsi1441 subdiuisiones denominatoris vltimi terminiquae siti, iuxta sequentem regulam. Denominator Vlti in i te nini qui quaeritur, diuidatur continuo bifariam, usque dum peruenietur ad binarium lac dumtaxat obseruatione adhibitata ut quiando numerus diuidendus est impar, priunquam fiat dii iis , addatur unitas quando vero est par, prius ad ij ciatur binarius; semis ibus enim huiusinodi eo ordine quo sunt inuenta una
cum denominatore ultimi termini seorsim citati , habebuntur denominatores omnium terminorum , qui necessari sunt ad ultimum terminum eorundem.
Exemplo id quod praecipitur, fiet manifestius. Sit igitur rursus inueniendiis terminus 3 in continua proportione rectae AD , ad restam DB , sitque verbi gratia, AD , maio1 quam DB. Principio descripto seorsim numero 6 . ei, quod impar existat,
addo . deinde numerum diuido bifariam semissem S. scribo infra C Ad haec eidem semissi, eo quod sit par ad ij ci 1. semissem aggregati quae est r. sula: cribo priori semissi a. Et
quoniam 1 . t tarn est numerus impar, iterum
ad IJcio unum producito ni maeroris diuiso bifariam , inuentam tres inissem'. repono sub ir iterumque ad nouem adi st
cio . t fiant o. o. diuido bifari am, vili 2 betam seni insem s.
quam scribo infra, eique addita rursum unitate , diuisoque inumero 6 bifariam noto inititor infra . inuentam semissem . . cui postremo subijcio a se millem numeri . qui fit ex additione
vinitatis ad ternarium iuxta tradita praecepta Atque ita praeter terminum 63 qili quaeritur, reperti sunt quattuor denominat reSAllattuor terntinorum, qui nec est: ij sunt ad inuestigationem postremi reliqua vero semissis 1. est denominator ecundi ter minii , qui datur unde iii volet habere omines omnino CT-mlnos tum datos tum necessarios , una crina termino quaesito in eadem tabellula expresbs, cincta semissem, .adscribet insuper unitatem ea enim denominabit primum terminum datum. AD. Iam vero quod attinet ad praxim qua ex hisce terminis annotata eruitii ultimus , ea instituetur in hunc modum non incommode. Circa primum terminum datum AD , nempe circa maiorem e datis describatur circulus ABDC,in eoque applicetur ex puniato D, minor data DII, quae seriai et ad inueniendo Som a r. artine telmi nos pares, per superiorem subdiuisionem inuentos, aut qual1s est terminus 3 1. Prima vero AD, exhibebit omnes reliquos, quotquot scilicet ex eadem diuisione prodierint impares, quales sunt l. s. 9. 17. una cum postremo is qui quaeritur . Et qil idem tertius terminus, qui est primus ex in uestigandis, ex primo ex secundo inuenietur, iuxta praedicta in de inittendo b Corollar. scilicet, ex puiusto in iam trum AD . per Dendicii laren maci BE. haec enim auferet ex DA, reetam DE, tertiam Propor di, odio Vibutionalem ad duas datas AD, DB. Perpendictitaris autem facile demittetur, si arcui AB. si imatur aequalis AC, vel cer- te arc t BD, aequalis arcus DC , chim ex hoc sequatur, etiam relio uos AB, AC , ex semicirculis ABD, CD, aequ22 S re M. Du ta enim recta C, erit necessario perpendicularis ad di metruna D. Si enim iungatur recta DC, erunt duo latera
BD DE , trianguli I aeqnalia duobus lateribus CD ME trianguli CDE , eo quM i, sit commune DC DR , subtendant aequales arcus I D D. Quare cum inlii per anguli EDD, FDC, sint aequales, d erit in i)sdem triangulis etiam reliquus angulus D EB, aequalis reliqD angulo EC,&ouia sunt deinceps , erit' terque recta DE , perpendici laris ad dia metrum AD . Itaque ad duccndam eandem perpondiculare: OBE , immo ad demittendam quamcmnque aliam per 'gndicularem in diametrum A, ex ououis puncto semici criti ABD, satis erit Centro D , per pui: tum II vel per aliud plani tum propoli Io prim. tum describere arcum BC, qui reliquum semicirculum ACD,se Eucti. cet in alio puncto C. iiii cta enim BC , iit ut modo demonstrauimus, perpendicularis ad diametrum AD. Quia vero tunc cuin arcus BD, parum differt a semicirculo, descrinius arcus BC, centro D, interuallo D , nimis oblique secat semicirculum ACD, operaepretium sue illinc arcum BC, non describere expuncto D, sed ex alio circi: ico: ncto prcipera, siue citra, siue ultra ipsit: in vicumque a fiumpit::ra, vel etiam ex ipso puniato A; sic enim eiusmodi obliqua hctio iurabitur. Quando cro punctum semicirculi ABD, ex quo demittenda est perpendiculari , 3ropi quius fuerit puncto D , tunc sine errore poterit adhiberi praxis praedicta, ita ut arcus describendus tunc describatur centro D.
Porro inuento hac ratione tertio termicto DF ex eo inuenietur
quincius, siue secundus terminus ex investigandis , via non pror sus dissimili a priori neque enim hic aliud quaeritur quam te tius terminus proporticinalis ad datum primum ei inum AD, S ad tertium inuentum D terminus enim eiusmodi tertio loco Droportionalis ad praeciic o necessari A erit te mitinus quin
Gas i primo iuxta dc monstrata Unde ut idem terminus quin f S. Lem eius reperiatur, applicanda erit in semicirculo ABD recta serim ha DF, aequalis ipsi DE , videlicet teletio termitio a a lentis inuento, itii ex puncto , in diametrum A, demittenda perpendiculari FH, quorum quidem virumque illico praestabitur si centro
D,interuallo DE, describatur arcus, secans utrimque circulurn in punistis F, G iam hac ratione anplicata F, erit aequalis tertio termino DE, quam tamen ducere non erit necesse , chim fatis sit inuenisse punctum F recta I LG, erit perpeindicularis ad diata metrum AD, ut modo de in onstrauimus &denique abscissa re ha DH ex eadem diametro AD, erit itertia proportionalis ad duas rectas AD DE, hoc est, i eadem H , erit quincta propor
tionalis sue quin tus terminus in ratione primae datae AD , aes secundam datam DB , quem secundo loco inuestigare opor VI L mmtebat. c. I. huius. Ex quo eodem proris modo reperientur terminus 9. T.
tertio 'uarto loco inuestigandi, Ma etiam ipsi triores duo sint impares. Si enim Pntro D, interuallo H, describatur a cus secans circulum utrimque in punctis I, K, ne laturque Κ, ea erit perpendicularis ad diam trum, abscindetque nonum terminiim DL. cuiu si iterum interuallo describatur alter arcus f cans rursus circulum in punctis , N,d rcatur que MN, abscindetur per eam ex diametro AD, decimus septinur terminus DO, ut patet ex dictis quod hac ratione semper inuente i Corogr. tu tertius terminus proportionalis tum ad primum datum, pro . ertytum ad stimo loco inuontum. Immo hac praxi si omne ter suius. mini inuestigandi una cum ultimo termino qui praeci P lia quae k imis, ritur, rent impares, inuenirentur illico singuli sine ulla inter rtiptione, 'uidem omnes in diametro, siue in primo terni in a dato AD, ducendo videlicet tum arcus , tum perpendiculares Gi praedictas. Quia vero in exemplo proposito terminus quiri holoco inuestigandus est par, nempe 3a iccirco ordolia tela fi l
299쪽
ius seruatus nonnihil interrumpitur. Quainuis enim praxi , qua
idem terminus α. est inquirendus , non diiserat a priori is i mena propria perpendiculari non abscin itur ex primo termino AD ut fuere abscissi priores termini impares, sed ex secundo termino DL , qualis est recta DR , quam abscindit recta Pinnuae et perpendicularis ad diametrum a AD , demissa ex puncto P, vel , ii qui blas circum se
rentiam secat arcu PO aidescriptus centro D, inter
uallo rectae O hoc est, interuallo termini 1 . in
mo loco inuenti, iuxta tradita hactenus prae Cpta .
Ita ut hinc manifeste appareat, inuentionem terminorum parium nulla
alia in re differre ab inuentione terminorum imparium , nisquod perpendiculares, quas a ducere oportet, ex diametro quidem, siue ex primo termino AD abscindant terminos impares, at ex secundo termino DB, auserant termino pares. Quod autem terminus DR, hoc modo inuentus sit a facile demonstra tu exi)s, quae scholio secundo lemmatis s. primi capitis annotauimus. mn enim eademi si proportio BD ad DP, hoc est, ad DO,quaeso, ad DR sitque DB, terminus secundus, terminus 1 . a primo termino AD , erit omnino idem terminus DO, decimus sextus a termino DB unde sim idem terminus DR sit tertius proportionalis ad duos BD,DO, is erit trigesimus primus ab eodem termino DB , eo quod bis is faciant 1. dempta nitate, remaneant 3 i ac proinde si huic distantiae , adi ciatur, nitas, eo quod terminus DB , uno tant in loco distet a primo A, erit omnino inuentus termi inu DR, trigesimus se cundus ab eodem primo termino AD . Hoc ipsum tamen aliter adhuc ex ipsa constructione demonstrari poterit in hunc modum Fadem enim perpendicularis P inquae ex secunda DB, abscindit restam DR, quam dicimus esse terminum az abscindit ex prima AD, rectam DX, quae 1 primo termino A, est' 33. Nam cum recta DX, si tertia proportionalis ad primum terminum AD, Dad 1 . terminum DO , nempe ad DP, quem ultimo inuenimus, erit d eadem X, terminus 33. primo termino Ain. Est autem n ut DB, ad DE, hoc cst, ut AD , primus terminus ad DB, secundum iit a DR ad DX, propterea quhd triangula rectangula BDE 'DX, ob communem angulum ad D , sint aequiangula. Ergo quemadmodum inter AD, DB, non cadit alius terminus proportionis AD, ad DB, ita nec inter DR, D , alter cadet terminus eiusdem proportionis AD , ad DB . atque iccirco ipsum termitatam DA,Imni ediate sequetur terminus D . Est autem Dae, ut ostendimus terminus ligesimus tertius ergo DR, erit terminus trigesimus secundu cum proxime antecedens, hoc est, recla DR, erit terminus , quem quin et loco inuestigare oportebat. Superest nunc, ut ex hoc tandem terminoel ciamus vltimuin terminum desidetatum, nempe sexagesianum tertium quem dico reperiri, si centro in interuallo DR quem proxime inuenimus, describatur arcus , secan circulum in pu inctis S T, puncta S,T, nectantur recta ST, secante diametrum AD, ad angulos rectos in puncto V. Abscisi enim recta DV ex primo termino AD, eo quod terminus quaestus sit 1 par erit ipse terminus sexagesimus tertius lia tenus optatus. Si enim iungatur insuper rectam , erit in , ad DS, siue ad DR, hoc est, vi primus terminus ad trigesimum secundum , ita idem terminus trigesimus secundus R, vel DS, ad D U sed per lenima octauum primi huius, tertius proportionalis ad primuin , ad trigesimum secundum terminum est terminus sexagesimus tertius, propterea quod numerus 63 remaneat, si ex duplo numeri a subtrahatur unitas. Igitur recta DV erit terminus se-χagesimus tertium, quem inuestigare oportebat. Eademque est ratio in uestigandi quoscumque alios cierminos, dummodo dili genter obseruetur , ut semper interuallo termini ultimo inuenti describatur arcus, secans circumferentiam circuli in duobus punctis 1 reeta enim nectens illa duo puncta, erit semper perpendicularis ad diametrum, siue ad primum terminum AD, auferetque ex eodem iiiidem primo termino AD, terminum proxi me sequentem, qui quaeritur, si idem terminus est impar . si autem inueniendus terminus est par, eum abscindet eadem perpendicularis ex secundo termino DB , ut patet exemplo,&de
Immo ex eadem demonstratione praxis hactenus traditae est mani sellum, cur in investigatione terminorum necessariorum ad ultimum per superiotem subdiuisionem termini propositi, unitatem quidem addere iusserimus, quando numerus, qui diuidendus est bifariam. est impar binarium vero , quando es par Cu:n enim in hac praxi ex quo uis termino dato vel inuento praeteriri Inum,inueniatur alius terminus tertius , qui a primo duplo remotiorem locum occupat, uno dempto, quam Occupauerat terminus datus, vel inuentus , vel certe alius terminus tertius inueruatur, qui ab eodem primo duplo remotiorem locum occupat, demptis duobus , quam idem terminus datus vel inuentus occupauerat, prout videlicet ille tertius terminus attenditur,vel in pruno termino AD, vel in secundo termino DB necesse omnino fuit ita dictam subdiuisionem initituere, ut eius.
modi euent termini per diuisionem inuenti ut ex eis, ex primo S secundo datis per distam praxi in peruenire postemus ad e tremum id quod per traditam regulam prorsus es ficietur . Nam addita,verbi gratia,unitate ad ultimum terminum sexagesimum tertium propositum , S uiuis numero producto 6 . per duo, inuenitur semissis triginta duo , nempe terminus eiu simodi ex quo per praxim traditam inueniri poscit ultimus tenninu sexagesimus tertius . Si enim ad primum terminum, ad trigesimum secundum inueniatur tertius proportionalis, is erit per g T. Corollemma octauum primi huius,terminus sexagesimus tertius , ab primae scindeturque ex primo termino AD , propterea quod terminus ire is hu- sexagesimus tertius sit impar. Applicata enim in semicirculo is, ABD, recta DS, quae sit aequalis termino trigesimo secundo, abscindet demisia ex puncto S in diametrun AD, perpendicularis SU, terminum sexagesimum tertium D V, ed quod DV, i, si ter hos se tia proportionalis ad AD , D . Eademque est ratio de quibus etindi apcumque alijs terminis imparibus Temper enim addita nitate , huius ed producto numero diuiso bifariam , quotiens exhibet terminum, ex quo dicto modo eliciatur terminus quaesitus . Quando Vero terminus quaestus est par, qualis hic et terminus triges-mus secundus, is nullo modo inuenietur per eius semistem sed cim, si quidem adhibenda sit praxis praemissa nam tertius te minus proportionalis ad primum Mad decimum sextum necessario est terminus trigesimus primus, si is intelligatur abscindi a perpendiculari ex primo termino AD , aut terminus trigesimus proxime praecedens, si idem intelligatur abscindi ex secundo termino DB, ut patet ex iupradiclis. Vnde alius omnino inqtii rendus est terminus intermedius, diuersus a semisse numeri paris propositi, ut ex illo S ex primo termino AD, deprehendatut terminus trigesimus secundus cis autem erit terminus decimus septimus, qui maior est unitate semisse numeri 1 hoc est is,qui est semissis numeri qui numerum 31 superat duabus unit tibus . Si enim ad primuin terminum AD Mad terminum deci . anum septimum inueniatur tertia proportionalis , icis ore ter 1 8. Lemmminus trigesimus tertius abscissus a linea perpendiculari ex pri primi cap. mo termino AD; si ver attendatur segmentum, quod eadem huius. perpendicularis abscinditiae secunda DB, ipsum erit ternamus trigesimus secundus, nempe terminus proxime antecedens te minum trigesimum tertium, ut videre fuit in superiori praxi. Non aliam ob causam addendus est binarius cuicumque alteri termino pari ima squam idem secetur bifariam sic enim semper habebitur in semisse alter terminus , ex quo propositus
Atque haec est ratio investigandi terminum quemcumque desideratum , etiam remotissimum, quando proportio exhibita est maioris inaequalitatis, qualis fuit proportio rectae AD, invioris ad minorem DB . Et licet ratio similis praescribi posset proterminis minoris inaequalitatis, ut pater ex dictis, ubi do C I. Corobcuimus, qua praxi tertia proportionalis adi; ciatur ad duas datas prImae thim maior tum minor quia tamen, dum remotior aliquis prop. tertiterminus inquiritur in proportione minoris inaequalitatis, fi butus. gurae pleni moue limium excrescunt siccii colibuit problema propositum solis proportionibus maioris inaequalitatis accommodare, quae contentae sunt semicirculo, vel circulo , qui circa maiorem terminum datum describitur illud hoc loco annotando, quo obseruato, possint ex praxi tradita etiam termini proportionis mitioris inaequalitatis deprehendi id quod fiet in hunc modum Termini proportionis minoris inaequalitatis conuertantur, ut fiat proportio maioris inaequalitatis i in hac proportione inquiratur per praecepta tradita ille terminus minor, qui sit eiusdem denominationis cum termino maiori quaesit . Si enim fiat ut hic terminus minor intrentus ad primum terminum, hoc est, ad maiorem terminum datum . ita Iecundus terminus, hoc est, minor datus ad alium, id quod fiet per duodecimam libri sexti Euclidisci producetur terminus ille maior proportionis minoris inaequalitatis, qui quaeritur Chlim enim tunc eademst proportio minoris termini inuenti, ad primum datum maiorem, quae secundi dati ad quartum, quem reperimus maiorem distabit utique hic idem terminus maior inuentus tot terminis a secundo dato , hoc est, a primo termino proportionis minoris inaequalitatis quantum dis a primus terminus, hoc est , maior datus a minore inuento, vel quantina distat hic minor inuentus ab eodem maiore dato. Atque haec distantia est ea, qua ponitur distare terminiis quaesitus a primo in proportione maioris inaequalitatis , ut patet ex praxi. Ergo sedistantia termini maioris inuenti erit ea, qua debet distare terminiis quaestus ab eodem termino minore dato hoc est terminus maior inuentus erit ille, qui quaeritur. Itaque si foret proposita proportio minoris inaequalitatis BD, minoris ad DA , maiorem , quaerereturque huius proportionis terminus v rbi gratia , iterum sexagesimus tertius , conuertenda est et primo proportio exhibita in proportionem maioris inaequalitatis, hoc est, maior terminus AD, habendus siet instar pi 1111, minor DB , instar secundi atque in hac proportione inuelligandus est et per superiores regulas terminu sexagesi Iaius tertius , minor, nempe V hoc enim inuento, sit rumsum fiat ut V, ad DA, ita DB, ad alium, is respectu termini DB, erit sexagesimus tertius , quemadmodum i , respectu V, vel V, respectu DA, est sexagesimus tertius. Atque adeo hac praxi inuentus erit in proportione Di ad DA, terminus sexagesimus tertius, quem inuestigare erat propositum
300쪽
positum Eademque est ratio de alijs. Duarum igitur linea Arum inaequalium proportione data c. quod erat faciendum.
PSI ero in cons tructione huius probis malis praeceperimns, Ut inser data Gnempe recta DB, applicaretur ad circum-M , frentiam circuli, quem circa maiorem
datam AD, describendum esse diximus,
id tamen non ab lute necessarium poterit enim , problema absenti In quocumque etiam si circulo maiori, in quo Straque data applicari possit, Ut ide, eeri in hae altera figura, bi primum ad circumferen itam cirrtiti A BD, applicauimus , exemp*gratia , data DA, DB, quarum traque minor eri diametro CD, ac deinde in ratione quam babet maior AD, ad minorem Des , tune ligauimus terminum trige mtim sectindum Do modo superiit descripto. Nam , p, im/eonfecimus tabedam bic appositam terminorum G, qui faciunt ad laventionem Ultimi termini , per con tintiam diu onem Ultimi termini trige mi secundi quaesti, C in principio huius problematis mon imus. Deinde ex primo D secundo termino dato inueni nustertium termintimis, qui imus ex te, minis
necessari, per subdiuisionem inuentis, describendo si
Boet centro D, inter tiabo fecundi termini DB,arcum AP, cendo rectam CP, quae iuxta demonstra ta eL perpendicu ris ad diametrum CD, aufersti ' ex prima data D,rectam DE, tertiam proportionatim ad data rectasA D. Bu chm nousecus etieniat, quam
in fiserior Aura , in qua perpendicularis B EC,
demi a ex termino secundae in diametrum AD 4b- tulerat ex eadem diametro, quae ibi eadem erat cum prima data, tertiam proportionalemmi. Ad haec centro interua Eo tertiae proportionalis .E, de seri nius secundum arcu FE , quem tamen in tegre non expressimus , quὰ eo opus non habeamus, Ct nec reditam PG , quae nectit duo undita F, G in quibus diritus arcus scat circulum ADC; satis enimen applicare regulam ad pun ia inuenta F, G, atque in prima AD , notare pune fumi, in quo eandem AD regula interscat. Nam recta DH, hoc modo exprima AD, absissa,erit tertia proportionalis ad primam AD, O ad inuentam DP, hoc est, eadem recta DH, erit qui esus terminus in ratione rectae AD , ad rectam DB, quem quidem fecundo loco inue istare oportebat. Ex quo eodem modo inuentus en terminudisnud DL, hoc deni ne terminus triges mus secundus O,qui timsit par, ideo perrectam MN abscissetis est ex seeundo termino DB, ct non ex primo AD, ex qua eadem redita MN as cindit termintim trigesin m tertium D R. Manifes iam igitur L , iuueniri posse quemcum que terminum propositum, etiam si maior data non sit diameter circuli, sed traque applicata si in qnocum
que alio circulo, dummodo praχis tradita adhibeatur: nimirum, arcus, Ut dictum L , describantur,is eorum benescio perpendiculares ducantu in diametrum G, saltem occulta, hae enim auferent ex maiori data . terminos impares, ex minori terminos pares, eos via delicet, qui ad alterum terminum quaestum eruendum
D VARVI datis rectis lineis mediam proportio
nalem ad uenire. At C et propositio decima tertia sexti Euclidis,
quam nos ex Js, quae superiori capite biit demonstrata, duplici alia via solvemus; quarum prior est haec. Sint datae rectae AB, BC, circa maiorem AB, describatur semicirculus, in eoque applicetur minor data C. Deinde centro B in teruallo maioris A, describatur arcus, secans protrae tam minorem BC, in D, eodem centro, interuallo autem minoris BC describatur alter a cus secans maiorem AB, in E , nisii idem arcus me rit prilis descriptus, tunc scilicet, quando applicata fuit recta C. Si enim ducatur recta DE secans circumferentiam semicirculi in P, nectaturque BF, erit recta P, media proportionalis inter datas AB, BC: ed quod diicta DE, sit perpendicularis ad diametrum AB, ac proinde a adem sit proportio AB, siaue in ad DP, quae BD ad BC, siue ad DE si vero altera via inter duas datas mediam proportionalem inuenire libuerit sc erit progrediendum . Duae datae , quales, verbi gratia sunt rectae BC , BG, applicentur in quo uis semicirculo, verbi gratia, ex termino , ad puncta G, G. Et quoniam haec applicatio ii desicribendo arcus centro B interuallis rectarum datarum , i)dem arcus producantur aliquanto viterius, ut vicissim secent applicatas, hoc est, arcus descriptus interuallo maioris BC , secet protractam minorem BG , in I, arcus descriptus interuallo minoris BG, secet maiorem datam in H. Duc a enim Ibi si esset producta esset, perpendicularis ad diametrum, ac proinde recta BK dusta ad punctum Κ, in quo circumferentiam secat recta I H, erit media proportionalis inter datas BC, BG. 32.huius.
Tom. 3. Apparatus. SCHOLIUM. O VISU ET , is modus etiam hos modo proponi. Descripto semicirculo cim
camaiorem datam B, auferatur ex ea dem BE aequalis minori datae atqu exi, erigatur super eandem maiorem
perpendictitaris P ecans emicirculum in F ducta enim recta BF, esset media proportionalis inter datas, demons Irauimus. Vertim melior L modus a nobis traditus, iam idem colligat, quod simul doceat, qtia ratione ducenda st in perpendicularis.
NTE duas rectas datas , quotlibet terminos medios impares interponere ex se, qui denomia nantiar numeris , qui sunt unitate minores terminis eius progressio=us duplae, quae albinario procedit
ROGREssion E proportionis duplae, cuius in propositione fit menti, una cum numeris proxime minoribus hic expressam vides.
Dico igitur tot medios terminos inueniri poste inter quascumque duas rectas datas, quot sunt unitates in quolibet numerorum imparium hic descriptorum, nempe unum, tres, septem, quindecim, c. ita ut i)dem numeri sint instar delionii nato um C minorum inuetuendorum. Et quidem, ni in terminum medium