장음표시 사용
311쪽
Tertio tandem idem in numeris licebit concludere, tam hic
lineae nines accipiant m habentes rationem, quam habet nim
merus ad numenim , tu propositione decima nona libri septimi Tuclidis , idem demonstretiri in numeris, quod propositione decima sexta libri sexta, quam hic citauimus, ostenditur in lineis
Luci, DATI duabus lineis flaccipia turpriora qua cumque Iars, ct serioris aeque multiplex aces prior suae partis quod si ex prioris parte in multiplicem po sterioris , aequale es ei quod
sit ex priore in seriorem . Idemque demon-srabitur sprioris accipiatur multiplex, o po- serioris eadem pars, quae es prima suae multiplicis tune enim quod si ex priore in seriorem, aequale es et , quod si e multiplici prioris in partem Uerioris. Atque hoc idem
In prioris datae A medietas C. secunda νdatae B, sit multiplex dupla D. Dico quod fit ex C, in D, aequale esse ei, quod fit exin, in B. Quoniam A, de , ponuntur aeque multiplices ipsa-nim CB, erit , ad C , sicut D, ad B. . Quare quod ex C, secunda in D, tertiam fit, aequale erit fit in n. Quod erat primo demonstrandum Accipiantur rursus data C, D itque A aeque multiplex ipsius C, verbi gratia , dupla, sicut di, est pars ipsus in nempe subdupla. Quare cum iterum quattuor lineae sint propo monales, demonstra bitur, ut prius, quod fit ex C, in D, aequale esse ei, quod fit ex , in B, vel ex B, in , quod idem est. Idemque in numeris licebit probare, cum praedictae lineae accipiantur eae, quae inter seliabent rationalem proportionem , ideoque ad lunc demonstrationem reuocari possit propositio decima nona libri septim Euclidis, ut etiam in praecedenti propositione obseruauimus. Et licet in propositione soli in facta fuerit mentio proportionis multiplicis vel submultiplicis dein instratio tamen locum habet in quacumque alia proportione : satis enim est, ut sit eadem proportio AG ad C, quae , ad B, v ea quae dicta sunt in propositione, vere concludantur. ei, quod exin,
a multiplicationem JHIat, in ratione nume paecipitur cui accidit, superscia s Celselidus, nempe quod ex nius vel ptarium altiplicatione resultet.
HE AE E M'. III. PROPOSITIO III.
V O triangula aequalia erunt, quorum alterum eandem et aequalem basim habens cum alia quo tertio, duplam habet eiusdem altitudinem altertim vero quadruplam habet altitudinem,
basim, vel eandem cum semisse basis eiusdem te, iij, vel eidem femissi aequalem
tribus triangulis ADB , AFE , ACB, quorum primum habeat eandem basim cum tertio AB, altitudinem vero AD, duplam altitudinis terti A Q. Secundum vero triangulum AFE, altitudinem habeat AD quadruplam altitudini tertij. AC; basim vero AF,semissem basis terti A B. 1-co triangula ADB, AFF, est inter se aequalia. Quoniam enimpi opositae sulit duae lineae AB AED, estque ipsus AB, semissisAE, ipsius AD, dupla recta AP erit, inuod ex AB, in AD , aequale ei, quod fit ex AE , semisse prioris, in AF, posterioris
duplam sed quod fit ex AB, in AD ' est duplum trianguli ADB,ucat quod
fit ex E in AP est dii plum trianguli AFE: eadem ergo erit ratio sub- C multiplicium, nempe aequalitatis. Quod erat de
Porro hoc ipsum etiam immediate ex ipsis triangulis potest colligi. Cum enim rectae AB, AF, diuisae sint bifariam in E D, erunt in priori figura triangula ADB, AFE, dupla eiusdem trianguli ADC, S in posteriore figura triangula ADB, AFE , dupla triangulo nim aequalium De AdE consequenter ipsa inter se erunt aequalia.
I qiuitur numquodque ex duobus triangulis praedictis AD , AFE , duplum est terti ACB aequale ei parallelogrammo, quod fit ex AB, basi in C , altitudinem.
In SCHOLIUM. O i unet, quod binis superioribus theors Viatis de lineis demonstrauimm ct inim 1ia meris quoque demonstrari posse notaui
mrex; in superficiebus etiam cum in lineas ductintur, Ut flant corpora, demons Irari facile poterit PCanas Drtessi latur, cubus B, cuius latos L st, Verbigratia, numerus ternarius , ite
seipsim et novenarius numerus ς nempe basis
ducatur in ternarium nre1 rum, quaris ponitur altitudo AD , erit Iottis cubus AB,et i intisptem suod Titur ad
prim theorema spe Auris AF,complectens, Cerbi gratia, duas te tias paytes basis AC, rimirum C multiplescetur in t tam astitudine, AD , hoc LL,mo. prodibit solidum , AG , Τ nempe desae tertiae partes selidi AB atque o tantundem ij et,s AH, a. atiae idelicet tertiae par res altila oris AD, durantur in totam bas quae eL ς his uim nouem faciunt 3 nempe solidum AI,
hJronde quod facile demons abitur esse aequale solido AG eimi cum triusque bas AGAM O altitudines AH, KG,
in inter se aequales . Atque idem omnino probabi Dir de secundo theoremate , cum huius probationis rario is eo potissimum cons Iere ideatur, quὰd super Aciatis numerus , immo ct ipse superscies , quod ad
stimis alti itidinum demons Iraui, Sertim etiam L in quacumque alia Ue tripta eiqna ripia, e quacumque alia proportione si accipiantur permutatae, C dictum es , bases, altitudines trianXuiorum , quoniam in Cniuersum de omni proportione demon iratasunt, quae
propostione secunda proposuimus.
1 III. IIII. AREA uitis libet circuli aequalis es ei, quod fr
ex tota circumferentia in quartam partem diametri,υe ex femicircumferentia in femidiametrum ; et ex diametro in quartam partem circumferentiae circuli.
triangulo rectangulo ABC, basis BC, sit ae qualis circuli alicuius circumferentiae in latus Alm eiu sidem circuli semidiametro, ita ut iuxta
Archimedis demonstrationem triangulum AR C, aequale sit areae eiusdem circuli, extensiaque tota diametro BD, compleaturre angulum BL , sumptaque BE quarta diametri parte , ducatur exi, re a ER, ipsi Adi, parallela eritque R parallelogram mum BF, triangulo supradicto, hoc es , areae circuli aequale.
312쪽
PARSi. DE POND ET MENSUR. LIB. I. CAP. IIII. 29;
logrammum eo uale est parallelograi ramo F, ex consequenti areae circuli quod erat secundo demonstrandum. Tandem si accipiarur BI, quarta pars circumstrenti e compleaturque parallelogiam iniima , contentum sub tota diame troami sub cuarix arte circumsepentiae BI, idem αrallelograminum ΒΚ, equale erit 'arallelogrammo BF, emper consequens areae circuli. Quod erat vita In demonstran dum.
SV pa R FUC IES cuiuslibet 'hiserae aequalis es ei, quo fit ex tota diametro in totam circumferentiam maximi tu eadem s haera circuli.
in meadem figura sit DB,diameter sphaerae BC,maximi in eadem circuli circumferentia, cui quidem circulo aequa Ie est parallelogrammur is
BF. Atque huius quidem parallesogramines quadruplum est parallelograna Inum L, quoniam rutrum qii parall. graminum inter easdcm parallela BD, C, const ituitur, estque basis ID, quadrupla basis BE, ut patet ex coinstructione superioris propositionis . Quare chm Archimedes demonstret, etiam stipei ficiem cuiuilibet sphaerae quadruplam esse circuli, qui in ea maximus habetur erit rectangulum BL, aequale superficiei sphaerae fit autem re tangulum B L ex diametro BD in circumferentiam BC ergo inperficies cuiuslibet sphaerae acu Quod erat demonstrandum.
THEO REM A VI. PROPOSITIO VI. CVIV SQ BET phaerae foliaeum aequale es
ei , quod si ex area circuli maximi tacta in duas tertias partes diametri siue ex diametro ducta in duas tertias partes praediciae areae circuli maximici sti ex semidiametroducta in tertiam partem superscie Phaerae,
hoc es, in quattuor tertias partes areae circu
li in sphaera maYimi siue ex dimidia D
persci maximi circuli in quattuor tertias paries diametri, flue tandem e dupla diametro in tertiam partemsuperficiei circuli ma
tur complecti duas tertias partis basis Art. ere ta superiacie HS, parallela ipsi BE, vel CD, utique solidum S, contentum sub duabus ter iij basis AR . hoc est, superliciei circuli maximi,&diametro comnlectetur duas tertias partes solidi Aa essed solidiim AE, fili to: tensum sesquialterim soliditatis sphaerae: ergo solidum AS, est aequale soliditati sphaerae. Quod erat se
Quod ad tertitam propositionis partem spectat, illud in pri mis supponendum est, pro eodem accipiendum esses, tertiasin patremi perfic: et sphaerae, atque auattuor te a partes superficiei circuli in sphaera marii ni Cum enim ς vitupra notati mus, Archimedes demonstret, sul,erficiem phaerae quadruplam esse superficiei circuli in sphaera maximi, si quattuor superficies circuli diuida situr in tres partes, singulis obueniet una, 'na tertia pars, hoc est , quattuor tertiae partes unius. His ergo sic statutis i exit,lma demonstratis manifestum est, idern fieri ex diametro AC, in superficiem ΑΚ, duas tertias partes circuli, quod fit ex imidiametro AT in duplum ipsius ΑΚ, hoc est, in supelliciem AN, quae quattuor tertias partes continet circuli in bhaera maximi fit ergo solidum L, aequale sphaerae. E: hoc erat tertio demons VP dum. Quarta vero pars praecedentis quas conuersa est . Demonstratum enim est, quod datis duabus quai uitatibus AK, AC, quod fit ex hac in illam impe solidum AS, aequale esse tum ei quoZ fit ex AM , dupla ipsius AK hoc est, ex quattuor terti j spartibus circuli, in T, seniissem ipsius ACci taxm otiam ex DO,s misse ipsius Alt in Al duplaem ipsius AF nempe solidum A Quod erat quarto demonstrandi 'm Τa didem demonstitit imi etiam est, s quod datis duabus quantitatibus AK, duabus tertij supersici ei circuli, te AC, diametro quod fit ex una ducta ita alteram , nempe solidum AS, aequale est dei quod fit ex V semisse ipsi iis fit perficiei X, in AY, duplam ipsius diametri AC, nempe solidum AZ . Quod erat viti- Dio demonstrandum.
di modo, dimetiendi Ib testim jihaerae. N 6 ,' ficile potuiset , iuxta G in N,IOrem , quem nos triori bres eius tu tibus tenui mus. At ne diutius quam par ut, ni Zu ninor mur satis me scisse ingeniosi, Mathemati is duxi, si a demons tr an . rent, hic tantummodo indicarem. Nihilon maliuae praesens theorema proponit , Nam
quinque para et speda L, AG AS AZ quae sub er cui maximis e siciei R., ct iametri AC Oarijs partibus ac nit plicii res continentur, a qualia inuicem mor mitis huius propositionis usi sum odia ultio piarem haerae cuidam aequale, retiqua quoque eidem I aera aequana esseo tendetur. rebi med. b. I. de , haera, et
rimath I parallelepipcdum AE, habens basim Ait Naa- imo alicuius sphaerae circulo aequalem , ita ut AB sit circumsere intiae circuli aeqtralis . AD quartae parti circumiseret: tiae' Alii tudo vero parallelepipedi sit A eiusdem sphaerae diameter . Dico primum , hoc parallelepipedum esse sesquialterum dictae sphaerae , quoniam est aequale cylindro, habenti basim circulo maximo eiusdem siphaerae aequalem alti
de hoc enim demonstra tum ab A chimede est, este sesquial terum sphae t rae. Esim autem paralle- leni pedum
praedicto culindro aequale manis stum est quoniam triusque basis eidem circulo in spha ra maximo aequalis est altitudo ve-r,eadem diameter Iain vero si AF, ponatur diras tertias partes auferre diametri AC, Sc per F, ducatur superficies FG, basi parallela a erunt duo parallelepipeda AG, E, eandem basimi bentia in ratione altitudinuma quare AG duas tertias partes habebit totius AE. Erit igitur AG, ipsi sphaerae aequale quoniam , tam ii sius A G, quam sphaerae est sesquialterum. Fit autemAG, ex are: dxim circuli, hoc est, ex AR, ducta in AF, duas tertias partes diametit . ergo sphaera aequalis est c. Quod erat primo demonstrandum. Secunda pi positionis ars, quae est velut prioris conuersiaias manifesta esto ex IV pia demonstrati : atque con sinuli argumento , facile demonstrabitur. Nam si basis Ara intelli et
VII. VII. HEMII WH AE R IVM cuiuslibetJbacrae aequale es et , quod fiex area circuli maximi, dulcta in te)tiam partem diametri, siue ex diametro ducta in tertiam partem circiali maximi siue eae dimidia stipe, sole circuli maximi in duas tertias partes diametri; me ex femidiametro iacta in duas tertias partes circuli maximi, hoc es, in sextam partem superficiei Dbaerae.
t X demonstratis superiore theoremate ficile, qUaeti' hoc proponuntur, demonstrantur iram dira bist i- - 1it ostensum, ulla eram aequalem esse ei, quod fit ex area circuli maximi in duas tertia partes diametri, utique hemisphaerium aequale erit ei, quod fit ex eodein circulo in unam tertiam partem diametri, quod si ostendo. Sit AB, parallelepipedum simile,&aequale parat epipedo AG praecedentis figurae, quod erit sphaerae aequale , eiusque basis AD, erit circulo in sphaera maximo ae-cualis, Et Ata eius altit cinerit duabus terti j pamtibus diametri aequalis: diuidaturi ue AC, bifariam in , ducaturque EF, superficies basi parallela fientque duo parallelepiped AF, C, inter se a-qualia climemna sint super eadem basi EF, erunt inter se si cui altitudines AE, E quae positae sunt aequales. Quapropter imo Lucccte erit Α
313쪽
. erit AF, solidum . quod fit ex arca circuli AD, in tertiam partem Adiametri AE , herni sphaerio aequale. Quod erat de moniti andum. Qua ratione reliquae omnes uitis propositionis partes demonstrabimtur. Idemque ipsum in numeris demonstrabitur, iuxta ea quae in lineis demonstrat Euesides in numeris i uius datas enim duobus numeris, quorum alter secetur in opartes, quod ex uno in alterum fit, aequale est ei, quod ex insecto in o innes alterius partes fit.
Bbeis bacrae mapnitudo, facile possit in
LM J R. duas , tres , ei quot bet aliaspartes ditii es, it IE ai; sui tamen se non raro poterit , emeta ta tialibet ratione tertiam Ue aliam quam it ΤΠ partem habere , etiam si totius phae rae magnitudo non haberet os . id quod ficile prae Zari poterit. Nam area mamimi circuit, ct diametriduae tertiaepartes tamquam duo numeri accipiantiar eorumque alter in tostpartes diuidat tir, in quo esset diuidenda phaera, quod ex insecto in omnes alteritis partes , aequa e est toti uph. terae quod erys t ex in
ferit in nam e ptares partes diuisi si iuga pars fuit
Uua , Verbigratia , ex tribus, erit productas numerus Una pars tertia 6baeraeis ero Derunt duae ex tribus, pro taeentur quoque dtiae partes tertiae phaeras, QSemper en im producitur tatis pars, uel tales parte spha rae, quales ut illae, quas numertis insectas inuisipi
oat, o tot quot fuerint maItiplicatae. quincta
VIII. VIII. E AT E M es proportio quadrati circumferentiae circuli in sphaera maximi ad persciem Aphaerae, quae circumferentiae circuli maximiis diametrum. Item eadem es proportio quadrati diametri circuli maximi adsupersciemsthaerae , quae diametri ad circumferentiam.
CVIVS in siphaera maximus sit ABC, eiusque
diametro C , aequalis D E circumferentiae vero eiusdem aequalis sit EF, super utraque
NL αὶ describantur quadrata FG m H, perfici α α turque figuratri, eritque a tam rectangulum
FH, quam D G, si perficiei sphaerae aequale . r Cum ergo parallelogramina FG, m G, atque M et D G, Vci I habeant easdem altitudines, erunt inter se sicut bases.
CVT S diametri, cuiuslibet phaepae ad foliadum eiusdem sphaerae es, Ut tripla diameter ad semicircumferentiam cinctili in sphaera maximi vel ut sextupla diameter ad totam
eiusdem circuli circumferentiam.
IT AD, semidiameter, semicircumserentia, erit rectangulum AP, areae carculi aequale. Et si ex eadem AC, sitimantur duae tertiae Ap. cum sit ut AC ad AF, ita reflangultim sub A . AC ad rectangulum sub AD, E, erit, quemadmodum A, ipsius Ε, ita rectangulum, sub AC, AD, hoc est, area circuli , sesquialterum rectangit i sub AE, AD, ac proinde rectangulum sub AE AD,
Continebit duas tertias rei tanguli
sub AC, AD, hoc est areae circuli maximi. Quare parallelepipedum DS, basim habens rectangulum sub AE, AD, ahitudinem DM , vel AF, diametro circuli aequalem , erit aequale soliditasi sphaerae ex secunda parte sexti theorematis huius. Intelligatur quoque super diametrum AB descriptus cubus AH . Dico elim ad soliditatem sphaerae , hoc est , ad parallelepipedum D , habere proportionem , quam habet tripla diameter AB, hoc est A Τ, ad AC semicircumferentiam. Nam perficiatur iroque rectangulum DT, contentum sit semidiametro D, SI AT , tripla diametro . Quoniam igitur L T continet duas tertias ipsius AT, MAE, duas tertias ipsius AC; erit e dem proportio AT,ad AC quae LV ad AE. Deinde quoniam cubus AH Wparallelepipedum S, eandem habent altitudinem diametrum sphaerae, erit, cubus ad parallelepipedum ut balis Ga v AK, ad basim A a Sed basi AK aequale est LU, rectangulum; chni decimitam basis AK, quina LV, sit duplum rectanguli DL ergo cubus Euclid. AH, ad parallelepipedum S, erit, LU, ad RQ ioceli, ut basis LT, ad basim AE cum dicta rectangula eandem habeant altitudinem sed ut L T ad AE, ita ostendimus esse AT, ad AC: Ergo ut tripla diameter ad semicircumferentiam Duel etiam ut sextupla diameter ad totam circumferentiam ut erit diu bus diametri ad is, soliditatem sphaerae. Quod erat demonstrandum . ci Eucha.
Quare erit FG , quadratum circumferentiae EF, ad D G, superficiem sphaerae: ut EF, circumserentia ad DE, diametrui circuli in sphaera maximi. Item Η, qtradratum diametri ad F Η, superficiem sphaerae , ut DE, diameter ad EF, i e prima
circumferentiam. Quod erat demostrandum
SCHOLIUM. IN G Deile demon trabitur prima et itima pars propogitionis quartae bnius
circulum nempe in pharea maximum a qualem esse ei, quodsi ex quarta parte di metri in totam ci cum ercutiam, ei ex quarta cis umferentiae parte in totam diametrum. Chmenim ostensum sit tam rectan ulum P quam , DG aequale esses persciet phaerae, ac propterea qua druplum circuti in sphaera maximi . quarta Tors pars rectan ulis , contineatur jubin , diametro,c, quarta parte circumferentiae EF, maniferita erit primaproposit onis pars uuarta item pars rectanguli D. , continetti tib circumferentia EG, se quarta parte diametri Di. Ex quo manifes Iumsit, quod Atimo erat demonstrandum.
Y hac demonstratione sequitur etiam , ut duplum diametri adcitias tertias partes circumferentiae, ita esse cubum diametri ad soliditatem sphaerae ostendimus enim dictam proportionem esse , quam habet La ad A E
hactenus demonstratorum. vero,ne in hu, quae adpraxim diriguntur , circa b oremata sanitim modo versemur, exemplis manifes ta facere δε- eur, quae ex his ibeorematis ad dimen fo-nem circtiti atqtie L haerae se esse potuertarat. Accipiamm autem numeros ipsos Archimedis, Ut cuiui acinora, ct magis in promptu ut, quae propo nemus exempta . Si ergo circuli aricuius diameter sit .
Ir Imferentia vero a aream eam circuli se inues ligabimus.
PILI Peumferentiacia. ducatur in sie uiris quartam partem diametri, id es I, in Q. Geiri. quod e Nim indeflt, nempe 3I . area es eiscuti si Dei des itisatu, semicircumferentia, nimirum . insemidiametram, id erit in idem numerus a P. t colligetur . , , , Ac tandei diameter, hoc es ducatur in quar 38 33 'tam partem circumferentiae, id es I, in He .prodibit suppropostae mi merus 3S- quodHpra demon Iratum eri huius.
314쪽
PARS II DE POND. ET MENSUR. LIB. I. CAP. IIII. 193
SVP DR FIGIE M Uero totam Jbaeram am bientem si inti e ligabimus sit Elam ter 'baerae . eritque iuxta demonstrata area, maximi in sphaera circuli 33-c. Si e Io hic ni merus per si multiplicetur, dabitur Jhaerae supersicies II a , insidiametrum Iobaerae . in circumferentiam
P'R MVM ducatur area maximi in ea circuli 3S F. in duas tertias partes diametri; nempe in pro ductus enim nia:nerus 17 Ἀ- erit Ptiditas L baerae.1 Uursum si diameter . ducatur in duas tertias par te areae maximi circuli a ID. producetur eadem fidi ias pha rae 79 Y D inde si semidiameter catur in tertiam partem peresciet Obaerae si . iterumprodibit soliditas I phaerae 79 T. Quarto Aduratur dimidia superscies eirtuti maxi mi I in quattuor tertias partes diametri, nempe in ad biι inuenietiar diaeta phaerae soIidi fas Ir uin IH multiplicetur dupla diameter, nimirumr . tu tertiam partem supersici ei circuli maximi, nempe in res summa multiplicationis nempe Irin .exbibebitrorsum θbaerae liditatem, Ulpa et ex theoremalepror' aeime demons irato. POLIrem ex theoremate non eadem Iiditas L aera inti ni in quoque beneficio regulae trium, duplisi Uia. Sive enim at si tria iiiij; la tameter vi clicet Ut ar ad dimidiata tam circumferentiam id Li, ad . sive es lupia diameter a ad totam circia erentiam a ita eubus diametri, qui L , 3 3 ad alitid semper numerus quarto loco inuentus erit Irpam nempe is, qui debet un
PRI MU M si aream irculi maximi ,- eas in tortiam partem diametri, id eri , in a - - produces h mii Phaerium 89l. Deinde si tertiam partem areae circuit maximi ducas in totam diametrum . inuenies idem hemisphae
Tertio, dimidiam supersiolem circuli maximi 9 ducas in duas tertias partes diametri, id L ,in ' ite-Dum habebis desederatam hemis Ebaerystiditatem Syl. uari tandem ac Dimo, si Das tertias partes cimeuti maximi, as P ducas insemidiametrum 3 F. pr hendes eandem setiditatem hemis Mery t . iuxta ei, quaesunt demon Irata theoremat septimo.
POR R. tertiam partem phaerae se inuenies Insebon iuxta ea, quae eadem propostione stipemtis nobi undi opo . Liensi primum turde duas tertias partes diametri, II nimirum 1 tres partes deinde tertiam eiusmodi partem, quae eritis ducas in aream circuli maximi '' 33 P. Productus enim numertis dabit tertiam partem soliditatisseu capacitatis Phaerae, nempe siq-.
ssit aequale diametro sphaerae in numeris datae. Vsus VI. HI ae tiale diametro propostae ph terae atque adeosiexbnuento cubo extrahatur,ad x cubica Haeta regulas in Arithmeticis traditas, radix incient in erabitpartes diametri in palmis, si soliditas Lyba rae nota fuit in palmis cubicis vel in qua uis alia mensura, in qua Llhaera data fuit. Hoc modo . si forte propos ta L baera eri
palmorum cubi ortim, Os, . Utque Ut r. ad ar et IC aa ad O a. ita di Ius numerus L baerae os ad aliud inuenietur quarto D 9 in citi a trium cubus1 8. O radix istas abicit erant palmi a res ponden te duodecimpalmis di m et 'ipropositae L aerae.
I M vir ex Vs, quae hastinus attulimus, duplex se ori endit iis quamcumque datam phaeram, hemia, phaerium,ati circulum e cautilandi, vel examina di Nam si datae Iobaerae diameter in septem partes diuidatur, omnia, qtiae his exemplis of ien sint, datae Lybae basile poteriant accommodaristae diametern tast, aut eam non vetis in septenas partes diuidere, ex quacumqtie alia 'baerae dimen ne cogniti, aliam quamcΠmque , immo imuescitias inuestigare poteris, iuxta Arithmetice sodemnem regulam, quam trium vocant Dalrs enim tribras quantitatibus notis , quar tam inti ligat, ad quam tertia eandem habeat ratio nem , quamprima ad secundam. Exempli causa quaero quantas circumferent: eius circuli, cuius diameter Hipa morum duodecim . Quoniam igit tir is adem e P a P pus proportis diametri ad circumferentiam in quibuscum lib. F. pro que circulis, erit procia dubio etiam diameter a ad os II. yuam circunferentiam Ut diameter superiis assumpta ad circiamferentiam a quantam inuenisse Arcti medem obseruataimus a propterea si at Deo. ad ea ita a ad aliud; inuenietur numeris 3 pro eircumferentia circuit propositi. Eodem modo, Aoniampropostrone nona demonstra tum erit , cubam diametri cuiusuis L haerae ad solidit tem haerae habere eandemproportionem, quam habet tripta diameter ad imidiam circumferentiam; L qtie senudum circhimedem dimidia arcumferentia II. diame ponatur . Si sat υ ar. υidehe ': Ubtriplum diametri . ad . ita ubi sepestitis '' sumptae Lametricia nempe cubus I IS. adesitiri quar tu numerus pro ortionata per reTutim trium inuen-- , videticet, os . erit capacita. eius phaerae, cuius diameter Lipartitim ra hoc Hi, phaera ilia erilsaia morum cubicorum os .s diameter Hatuatur, esse duodecim palmorum in ita de reliquis traditis regulis. Hactenus dixisse iis reor de orotiti ac phaerae dimen sone, cum ea dixerim, quae sacra mensura inueri gantibus fui se potuerunt atque ideo interceptum disputationis tam retexemus, de se inearum proporaetionalium in uiuersum sequenti capite no adaprae libantes potius quampertractantes.
FIAT e . ad a1. Oe Ut aa. ad . ita soliditas itisuis phaerae in numeris datae ad aliud uuartus 99. huius enim numerus proportionalis erit tubus, cuius latus Tom. 3. Apparatu 1.
315쪽
inuendia, quae maxime hominibviotitia fis e putantur, quaeque non sitis dignis honoribi aut praemi=s cumulata fuisse conque ritur Vitruviud, nonnuba quasi e multis selerita exemplaproponit, quae omni bonore a Iaude digna iudicanda non dubitati it Sunt autem eae Platonis inuentum de agro quadrato consimili Aura duplicando liba lorae norma ex orthogonistrigoni deformatione Areb; medis it dintim ins ita propemodum Pertia
excogitatam, quomodo portio ar entiatiro trita in
inte ro opere deprehendi discernique possit ac tandem Architae Tarentini, iratosthenis Cyrenaei, quae supra retulimus proponit inuenti suae qtiidem omnia eo poti Mim Je Iare identur, Ut cui numerorum ab se rithmetieis, inearum ab Euclide in elementis lita etiam superficierum edi corporum ratio, di- Ni , ct compositio cognosi,djudicari lepost suae, instat apropemodum commoda Ceipublicae parere poterit; nos' raeque bule de mensum disputationi non , Otilis modo sed di necessaria iudicabitur . Decet enim Plato lib. poli augmentum secundum Ut Platonis verbis sta
i. de Re tertium capere Vocatistitem tertium a mentum profunditatem seu secundum ocauerat Iatitudinem , primism Cery mitudinem. Et quidem ea omnia, quae a Vitruvio stat ne proponuntDer linearum proportionalium etsi facile comprehenduntur superscies enim Unica inuenta media proportionali Mentur compo nuntur, aut diuiduntur, corpora bini : quom am fmpescies duplicata laterum ratione bi nuttio conferuntur corpora vero triplicata. Ex ij vero ea tam
tummodo sitae huic o Prae disputationi se esse iudicaui, adsequentes propostiones reduxi.
CVIVI datae planae figurae aequale quadratum describere.
primis datum si parallelagrariarnum rectangulum cinueniaturque inter eius basim de altitudinem una cilia proportionalis; nam quod iu- per ea fiet quadratum , aequale erit dato parallelogrammo. Quod rectangulum non sit, datum par Illelograin mum, accipiatur illi aequale rectangulum parallelogrammum fiat ut in priore casu Vel quod idem est ducatur a quouis ansulorurn parallelogrammi ad basim perpendicularis in inter siciam perpendicularem bal una inueniatur media prioportionalis eius enim quadratum aequale erit dato parallelogrammo Si vero circulo alicui inueniendum sit aequale quadratu in fiat ipsi circulo iuxta demonstrata aequales parallelogrammula rectangulum, atque inter eius inaequalia latera inueniatur media, cuius quadratum aequale erit inuento parallelograinnao, ac propterea dat cim euio. Quod si alia quaevis figura proponatur, cui sit inueniendum aequale quadratum fiat prilis di Aa figurae aequale parallelogrammum, teliqua fiant, ut in luperioribus casibus.
D AT A cuiuis planae figurae similem planam Auram sub qua uis data ratione maiorem vel
HI A si in primis rectilinea figura quaecumque Α, cui oporteat similem similiterque postam re-ostilineam figuram describere, in ea quidem ratione, quam habet recta B, ad rectam C. Sumpto igitur quovis latere figurae propositae, verbi gratia, DE, inueniatur ad recta B, C, MDE, quarta proportionalis . Rursum inueniaturi inter DE, F, inedia proportionalis GH, si per
quam describatur 4eeti linea figura Κ, similis similiterque posita ipsi A. Dico ipsam esse figuram rectilineam quaesitam . Climen ima reclinea DE, GH, MF, sint continue proportionales, erit dis recta DT ad F, sic rectilineas oen rara, ad ficturam Κ sed ut DE, adi, ita per constructionem est B, ad C ergo figures A ad K, erit ut linea B ad C,quod est propositum rideoque si recta B, maior fuerit quam G,erit4 figuram, maior quini Κ,& si minor, minor, si aequalis,aequalis . trod erat primo demonstrandum . Si vero data plana figura sit circulus,quoniam circuli sese inuicem habent,s scute illorum diametris descripta quadrata, iccirco eodem modo circulos datos augebimus aut ni in uenatis, quo ipse diametrorum quadrata, iuxta demorali rata. Quod si data figura sit circuli sector vel sectio , circulus compla bitur, cin data ratione augebitur, eademque erit omnino ratio circulorum, atque eorundeIn sintilium partium . Vt auiatem constituantur se tiones diu sectores similes , necesse est ut ad circulorum centra anguli constituantur aequales.
1 II. III. D ATIS quotlibet piam guris, aequale quadratum vel circulum aequalem omnibus simul δε- scribere
datae planae figurae non fuerint quadrata acciti piantur latera quadratorum ipsis figuris aequa a Prima ilium vel ipsi latera quadratorum, aut diametri uius. circulorum , verbi gratia, AB, BC , CD , fiatque rediangulum triangulum ABC,& ad AC quae angulo recto opponitur , erigatur perpendicularis CD,iungaturque DA,ex qua si fiat quadratum, ipsum aequale erit datis tribus quadratis rectarunt AB,BC, D. Nam quadratum AD,ae ualet est quadratis ex CD, MCΑ; sed quadratum ex CA , a quale est quadratis ex AB S BC Ergo quadratum ex AD , aequale erit datis tribus quadratis. Quod erat demonItrandum . Quod s dat sint tres circuli, quorum diametrisnt rectae AR, BC, CD , eadem ratione ostendetur, circuli m , cuius diameter si AD , aequalem, est circulis, quorum diametri essent AB, BC, CD.
316쪽
SCHOLIUM. DATIS quotlibet figuris planis, atque Una alia, prioribus maiori, maiori minores omnes auferre reliquumque in quadratum vel in circulum
conuertere. I latus quadrati vel diameter circuli,datis omnibus minoribus figuris aequalis, resta AB,& linea C, sit latus quadrati vel diameter circuli naaiori figurae aequalisci super AB, erigatur indefinita perpendicularis AD, A centro B, interuallo BD, ipsi C, aequali circumducatur arcus D, secans perpendicularena in D. Dico rectam AD, esse latus quadrati vel diametrum circuli aequalis residuo, siue quod idem est, quadratum 'di, datis omnibus minoribus figuris ae
quale, una cum quadrato rectae .
AD , aequales esse quadrato ipsius BD. Quod erat faciendum . Idem -- omnino in circulis ostendetur, si q-rum diametri assumantur, quod in quadratas, assumptis lateribus, ostensum est.
D A TVM cylindrum in paraPelepipedum eiusdem altitudinis conuertere,o datum paralyelepipedum in cylindrum.
sit culindrus ABC , in parallelepipedum eiusdem altitudinis conii ertendus , fata basi circular DC aequale quadratum Ere, erectisque ad angulos rectos planis , fiat parallelepipedum DF, habens eandem altitudinem cum dato cylindro EF, eritque critod ex BC, circulo fit in altitudinem BA, aequale ei, quod fit ex quadrato ED, circulo aequali in altitudinem EF, quae ipsi AB, est aequalis. Quod si datum sit parallelepipedum D, cui oporteat culindrum aequalem in aequali altitudine constituere, fiet' primo circulus BC, ipsi ali D, aequalis . Deindα erigetur cylindrus in eadem altitudine, habebiturque intentum.
quatis cubus nam iuxta praecedens pro- Iema detur in aequale para Dispa pedum,' per praesens problemapoterit araiaeopia pedo dari aequalis cubus isti aequa is quoque erit dato cylindro.
DATO para Pelepipedo , aequalem cubum
ARALLgis p IPEDv datum sit ABCD , cuius alii-tudo CD, latitudo sita, longitudo AB , iam oportet ipsi AD parallelepipedo, aequalem cubum constituere. Ipsius igitur AC, basis, latus tetragonicum inueniatur, δ hoc est, linea recta, cuius quadratum aequale sit bas AC, quae quidem linea recta sit , atque per aliquod praemissiorum problematum inter rectas E, d CD, binae proportionales mediae inueniantur F, . Aio quod cubus ipsius rectae lineae F, aequalis sit dato parallelepipedo A . C m nim parallelepipedum AD , aequales si parallelepipedo, cuius basis est quadratum e recta ;&altitudo CD, eadem scilicet cum altitudine CD, parallelepipedi AD, cuius basis ponitur planum ABC , cui constitutum est aequale quadratum recta E, eidemque parallelepipedo sub quadrata basi rectae E S sub altitudine CD, d sit aequalis cubus ex reetas, cuius videlicet basis est quadratum ex recta , propterea quod ut basis rei, ex F, nempe quadratum rectae F, ad quadratum ex E , ita sit' recta D, nempe altitudo parallelepipedi praedicti ad F, altitudinem cubi ex rectas, quae quidem proportio est reciprocabasibus Maltitudinibu , erunt quoque inter se aequales cubus ex recta F. parallelepipedum AD. Dato igitur parallelepipedo, α Uod erat acieiidum.
D To solido simile Aolidum in data ratione maia
Ο VI sit solidum simile dato si lido A , ad quod, datum A se habeat, ut B ad C . I sius igitur solidi A , lateri cuipiam, ae
t qualis astu matur recta linea D,&vt B, ad a, sic fiat D ad m, atque inter D. , duae rectae inueniantur Mediae proportionales F,G, atque superrecta linea ipsis,aequali, colastituaturi solidum H, simile U- militer positum solido A dato Et quia, si quattuor rectae lineae proportionales ierint, sicut prima ad quartam, sic est , quod exprima solidum,ad id quod ex secunda, simile similiterque positum Igitur soliduni A ad solidum H, est ut D ad F; haec autem posita fuit, datam, ad Q. Dato igitur solido x, sub data ratione constitutum est simile solidum H. Quod erat propositum. Cap. I. huius pr9
SCHOLIVM PRIMUM. UOD si lindro oporteret si milem FfἈ-
s irrum in data ratione maiorem se mino
bmion tituere, id etiamfacile posset pra tari, si itixta praecedens problema , ipsi
s: in tin ro aequale con tituatur solidum, quod iuxta praesens augeatur e minuatur; eiqiae rursum us confiituatur aequatis certὰ diametro bas dati Iindri aeeipiatur aequalis recta, Verbi gratia, D, inuentaturq&e,Utprius,rectari ea enim erit diameter basis Flindri, quem oportet confiituere qui quidem uno demum d eritpriori simi s si ei tribuatur di sinit. altitudo , ad quam et titudo dati Iindri eandem habeat a . Unde proportionem, quam diameter bases cylindri dati ad dia cimi Eucl.
UOD Ubueram in data ratione opor eat augere e mintiere, eadem prorsus ratione procedetur , eo tantis excepto, quod pro Latere dati jo di, accipi et tur diameter L hae P.
VIII VIII. SV B ara altitudine paraPelepipedum dato
Laetrvo data sit recta linea A, datusque cubis B, P sub altitudine A, excitandum sit parallelepipedum
cta linea aequalis ni laterum ubi B, defiat ut A ad C, sic C, ad D, attaque inter C, D, rectas i sis ne a b media proportio A. CEDia alis sit . Dico itaque parallelepipedum, cuius basis aequa lis sit quadrato ipsius E , atque altitudo aequalis ipsis, ae V ιro quale esse dato cubo . Cum enim per construatonem re rectae a Prop. II. lib. 6. Eucl. se pero. prop. V. I
317쪽
lib. M.Lucili rectae lineae C E,D, sint continue proportio lipsius C, ad ipsius E, quadratum erit ut C ad D, sicuti ad C, ex constructione naindue est in , ad C, sic , adi, hoc est, ut quadratum, seu basis cubim, ad quadratum ex E , quod volurnus esis basim parallelepipedi construendi ita erit recta A, quae debet e se altitudo eiusdem parallelepipedi ad C , altitudinem cubici hoc est bases cum altitudinibus erunt reciprocae. Quare parallelepipedum d habens basim aequalem quadrato , altitudinem aequalem datae recta A, aequale erit dato cubo B, quod oportui estic ret . nales, quadratum a sphaerae. Fiat enim parallelepipedum G, cuius quadrat basis aequalis sit quadrato ipsius B, hoc est, areae circuli maximi a proposita sphaeras habeat-
que altitudinem ipsi C, aequalem , nempe duabus tertiis partibus diametri eiusdem datae sphaerae eritque, solidum G , ipsi LBDEC sphaerae aequale, eidem
Ar para Pelepipedo non cubico,sub data altiaturine, aequale dare parastelepipedum.
vis parallelepipedum sit A, dataque altitudo recta linea B, tecta linea C, sit aequalis alii tudini dati parallelepipedi Α, rectaeque lineae re, quadratum, si aequale basi parallelepipedi atque uti, ad C, sciat D, ad E in atque interm media proportionalis it F. Aio parallelepipedum habens altitudinem aequalem ipsi B, datae rediae lineae , basim ver aequalem quadrato rectae lineae F est e aequale dato parallelepipedo A.
E, erit, quadratum ipsius D, ad ipsius F, quadratum, sicuti, ad E, d vel ut , ad C . t tiadratum ipsust per constructionem est aequale basi parallele-Bc DF pipedi igitur parallelepipedum habens altitudinem aequalem rectae lineae Ba basim autem ipsius , quadrato aequalem aequale existi dato A parallelepipedo, quia altitudines basibus sunt mutuae. Ergo dato parallelepipedo datum est aequale parallelepipedum, quod oportebat constituere.
D A O para Pelepipedo,ad datum planum rectia lineum, aequale excitare paraPelepipedum.
ARA LEI EPIνEDux datum sit A, datumque rectilineum B, sitque superi, rectilineum erigendum parallelepipedum aequale dato A. Inueniantur duae uecta C,D, quarum quadrata sint aequare stilua eo λ basi parallelepipedi A; ' ipsis C,D, proportionalis fiat tertia , S altitulini paralleleni pedi A aequalis sit F. Et vi C,ad m, sic a P ad G. Aio parallelepipedum habens pro basi rectilineum B, alii tudinem autem G , aequale a P ED essedato parallelepipe-do M. Quia enim tres rectae lineae C, D, E, sunt ex livpothesi continue proportionales erit e sicut quadratum ipsius C, ad ipsius D, quadratu ni ita ad E seu F, ad G. Est au
quadratum ipsius C, aequale rectilineo B, quadratum ipsus D, aequale basi parallelepipedio, atque , recta linea aequalis aditudini parallelepipedi A. Igitur parallelepipedum habens basim B, Maltitudinem aequalem ipsim , aequale est dato parallelepipedo x. Ergo dato parallelepipedes , ad datum planum rectilineum B , excitatum est aequale parallelepipedum, quod oportuit efficere.
A TA E phaerae aequalem cubum consituere.
datae sphaerae sit A,circa quam cim cuius in data sphaera maximus describatur, eique inueniatur aequale quadratum, cuius latus sit B accipiaturque linea C, duae tertiae partes ipsius diametri A,atque inter B,C,duae inueni Zntur' mediae continue proportionales D, E, atque super D describatur cubus F, quem dico aequalem esse datae
Coroliar. que probandus est cubus , aequalis id quod fiet in hunc moedum. Quoniam quattuor linea B,D,E,C, si1nt continue proportionales, erit quadratum ipsius B, nempe basi solidi G,ad quam γον Ἀο.dratium ipsus D nempe basim cubia, sicut Β, ad E . Est V em sexti Eti L permutando, sicuti,ad E,ita D altitudo cubi , ast C, altitudi I , nem solidi G. Habent ergo solida G, g F, bases cum altitudini γ bus recipi ocas;&iccirco c sunt inter se aequalia. Quod erat mi uc .
XII. DATO cubo aequalemflbaeram inuenire.
ris dati cubi sit A, 8 intelligatur sphaera B, cuius diameter sit aequalis lateri , eique inue
aequalis cubus, cuius latus sim, fatis Expra sicut C latus cubi ad diametrum ipsius sphaerZe edenti. B, hoc est, ad A, ita ipsum latus A, dati cubi ad
. Dico sphaeram circa diametrum in descriptam, aequale ineste cubo dato A. Intelligantur enim quattuor lineae proportionales, C, prima ad secundamin, ut diameter B, hoc est, A, tertia ad D quartam, iuxta constructionem: eruntque ipsis insistentia similia solida cubica etiam proportionalia. At sphaera ad sphaeram x abet eandem rationem, quam cubus iuper diametrum primae sphaerae adcubumis per diametrum secundae :quoniam demonstratum est ab Euclide, sphaeras inter se esse in triplicata ratione diametrorum, qua etiam rationes habet L cubus ad cubum.
Ergo scut cubus inper , ad cubum super A , descriptum; ita sphaeram, ad sphaeram, quae superi, describeretur: sermu e 33. δε tando fit cubus super C, ad sphaeram di, ita cubus super A , ad imi Eucl. sphaeram super D descriptam. Sed cubus super C , positus est otiin aequalis sphaerae , ergo&cubus A, erit aequalis sphaerae D. quod erat faciendum. C
D ATI S quotcumque cubis vel phaeris, num cubum, et unam Iphaeram idis omnibus aequalem inuenire. I dati cubi aequales inter se sint, vel duo vel plures, facile in unum cubum coagmentabuntur, si duae quaevis lineae accipiantur, quarum una altiteram toties contineat, quot in cubi sis ignati,
ac mox cubus unus inueniatur qui habeat ad a x s unum ex dati cam rationem, quam maior linea tisnaram habet ad minorem; cubus enim eiusmodi inuentus aequalis erit iti, omnibus datis. Atque eadem ratione sphaera unica inuenie- Ἀω6ho tur, datis quotlibet sphaeris inter se aequalibus,aequalis . Quod si inaequales sint dati cubi e fiant eis totidem parallelepipeda ' ' rectangula aequalia super totidem aequalibus basibus quadratis . cmpr Nam si super alia basi quadrata dictis basibus aequali fiat paralle IO. huiuLlepipedum, cuius altitudo sit composta ex omnibus altitudinibus illorum parat telepipedorum , constructum erit parallelepipedum omnibus illis aequale, eo quod tantundem fiat ex illa tota alii tudine in suam basim, quantum ex singulis eius partibus in eandem basim, vel in alias bases ipsi aequales . Si igitur huic eidem parallelepipedes fiat aequalis cubus, is erit quoque ae chuius. qualis omnibus cubi datis simul sumptis si vero inaequales sphaerae datae sint, easque libeat in unam sphaeram colligere fiant illis sphaeris aequales cubi, deinceps procedatur viii superiori casu praecepimus , habebiturque cubus illis omnibus sphaeris aequalis atque adeo sta is in sphaeram conuertatur, fra hu habebitur phaera omnibus sphaeris datis aequalis , hoc est, M. sphaera, quam inuenire fuit propositum. Ir .huius.
318쪽
PARS II DE POND. ET MENSUR. LIB. I. CAP. U.
M A IO RI cubo detracto minori, residuum
bo exprimere , idemqtie in solidis rectangultas
IA in primis ut AC, latus maioris cubi ad DF, latus minoris, ita DF, ad tertiam lineam , dc tertia G, ad quartam , ex CA, altitudine maioris cubi auferatur CI, ipsim quartae aequalis: ducaturque superficies IK basibus cubi parallela, auferetque ex cubo AB , solidum Cc, dato cubo DE aequale, quod sic ostendo Quoniam quattuor lineae AC, DF, G,H, sunt positae continue proportionakes, erit quadratum primae AC, hoc est, basis
cundae DF, hoc est, ad basim cubi DE,ut prima AC,
ad tertiam G. Es autem sex aequo, ut AC ad G cita D ad H . Ergo DF, altitudo cubi DF, ad H, altitudinem parallelepipedi Κ, habet eandem proportionem,quam basis CB ad basim EF: sunt ergo inter se aequalia cubus DE, parallelepipedum CΚ. Quod
erat prim demonstrandum. Quod si residuum AK, per sextam huius in cubum conuertatur, habebitur intentum . Non aliter procedendum erit in solidis rectangulis . In idem enim recidit praxis praediista & demonstrata, si loco cuborum AB, DE sumantur quaecumque rectangula
solida immo si id quod proponitur, perficiendum foret in sphaeris vel cylindris, id fiet eodem paene modo, dummodo sphaerae prius cylindri dati, ad solida rectangula reducantur, re postea inuenta sollida residua denuo in sphaeras vel cylindros
nit tir, maior, cum iam supra mons ratumst, qua ratione pluribu eiusmodi solidis num detur aequale manifes tum erit, ibi bic Ultra praeripiendum esse, sed ea potius repetenda st obseruandi, quae desingulis praeceptasunt.
DAT A quavis aquae quantitate, cubum inuenire, qui eius sit capax.
O e problema praecipuum est in hac materia , quam deinceps.tractaturi sumus , utpote quod viam nobis aperit expeditissimam ad quascumque veterum mensuras exacte tum inueniendas, tum examinandas . Nam ut suis locis apparebit, eius beneficio antiquum Romanorum pedem in medium proferemus, eoque posito, tum alias mensuras Latinas aeque a Graecas atque Hebraeas, tum vel maxime verant
cubiti facri quantitatem suis partibus omnibus dabimus expres-Hoc vero loco id efficiemus, ut quoniam ad inueniendum pedem Romanum certa quaedam aquae quantitas cubo includenda est, nihil hic eorum desiderari queat, quae ad accuratam eiusmodi ioblematis solutionem spectare videantur . Principio igitur hoc statuendum est, tunc aquaeia quantitatem dari, quando vel ipsa aqua quocumque in vase, licet illud non expleat, datur vel quando va sine aqua vel etiani pondus dumtaxat aquae prO- ponitur. Quamuis enim in posterioribus
duobus casibus aqua ipsi non exhibeatur, nihilominus vase dato vel pondere, per impletionem vasis dati, vel libratione aquae iuxta pondus piae scriptum , aqua habebitur, quam dare oportebat. Data igitur in hunc modum quavis aqua , fiat primo vas aliquod AB cuius inane, serinam habeat parallelepipedi rectanguli, lasis AC, sit quadrata , angulique , quos cum basi faciunt latera sint quoad fieri poterit, inter se aequales , seu quod idem est recti ex eis, quos solidos vocant, Ipsumque vasa Propo sit.
saltem tantae si capacitatis, ut dubium non sit, ii in in eo aqua proposita contineri possit qua in re sensus iudicium sufficiet, rudis quaedam artificis aestimatio. Deinde vas eiusmodi parallelepipedum super aliqua basi rana sic statuatur, ut basis eius AC, exactissime sit ad libellam exaequata, nisi feste etiam orificium vasis ea diligentia sit elaboratum , ut basi AC , penitus ae- quid istet: tunc enim satis erit idque sortassis fiet commodi iis si ipsium orificium ad libellam constituatur . Utro vero modo si tua tum sit parallelepipedum, non fuerit fortassis ab re etiam per ipsam aquam experiri, si vas ita sit positum, ut oportet praesertim quando basis AC, mediocrem quantitatem excedit tunc enim, si per aliquem canalem vel fistulam subtilem, vel alio quouis modo infusa in medium basis aqua omni ex parte aequaliter diffluit, signum erit debit esse constitutum parallelepipedum; sin minus, aut defectus aliquis per libellam inuectus est, vel ipsa parallelepipedi basis omni ex parte aequa non est. Vbi etiam illud est aduertendum , t aqua ritiae ad librationem vasis vasi infunditur , pars sit eius,quae ad cubum reducenda est vel certe si aqua immissa alia fuit a data, haec per spongiam aliquam prius exhauriatur, quam eidem vasi aqua proposita infundatur. Quod vero ad materiam vasis spectat, ea commodius alibi explicabitur, ubi mensurae ipse antiquae fusilis explicabuntur, quantitatesque singularum definientur . Nunc problema propositum expediamus quod superitis in uniuersum ostensium est, id hoc loco breuiter aquae accommodemus . Itaque vase in hunc modum praeparato , infundatur ei aqua vel data , vel quae ex dato vase aut pondere fuit inuenta , ibi penitus conquieuit, notetur diligenter eius altitudo AE eique seorsim accipiaturaequalis recta Ha resta vero G sit aequalis lateri balis AC, Minter G,H, inueniantur' duae mediae cubus enim, cuius latus est I secunda quattuor proportionalium , si prima ponatur G, aequalis erit palallelepipedo AF, atque adeo idem cubus ex recta I set praecise capiet quam A . Cum enim quattuor reetae G,
I, Κ, Η, sint continue proportionales, erit quadratum ex re la
G, hoc est, basis AC, parallelepipedi AF,ad quadratum ex I, nempe ad basim cubi rectaea,v G,ad K. Vt autem G,ad Κ, ita est permutando recta I altitudo cubi ex I ad rectanam nempe ad AE, altitudinem parallelepipedi F. Quare cum bases parallelepipedi AF, isti bi exa, sint cum eorum altitudinibus I, Η, reciprocae, erit i cubus exa, aequalis parallelepipedo AF, seu aquae propositae AF atque adeo idem cubus I, erit capax aquae AF, id quod eiscere hoc problemate voluimus. Ceterum insequentibus duobus problematis aliam industriam proferemus , qua beneficio ponderum ex uno aliquo cubo aquae, quamcumque liam quantitatem aquae cubo sibi adaequato includemus.
2ς IXI MVS in hac demon Iratione, cu bum ex I, datam aquam capere fatis prae
'ci ζ,propterea quod si rem iuxta trutinam MVS Geometricam expendere elim cubu ex
se I aequalis quidem sit henitus parabiae
pipedo P, t ex demons ratione patet i , tamen quantitati quae non omnino aequalis es foed aliquanto
minor. Superscies enim aquae nou. I reuera ptina ,
qualis es supersicies EF latu parat lepipedi AP,sed
est aliquantulum eurua nempe haerica, cultis centrume centrum totius niuersi Utprobatur ab Archimede inibro de js, quae ebuntur in aqua, letque explicariabo alijs in tractat de sphaera . Neque tamen propte e lauio rea praxis tradita vitiosa putanda est, ctim hic tautam cap. r. aquae copiam cubo non mensuremus , in qua periculum pha ramst sensibiliter a ero discedendi sed tantam, Ut eius; perscies etirua pro plana sine errore sumi possit meterum cum difflcio sit quantitatem ei modi praescribere,
in qua esse possit ista differentia notabilis, ct in qua nu o
modo aduerti queat,ne omnem hane di ficultatem ne lexisse ideamur, disserentiam tuam, notabilis it nec ne , in hunefortassis modum non male ob geris. Notata dia ligenter, Utpraediximus, altitudine aquae AE,Uel CF,
in lateribus paralielepipedi me eiusdem supersici ei aquae diritantiam , ab Di ei eiusdem paraliel pipedi AB , quam is itura esse ides, rectam ' Deinde applicanda erit ad angulos ori cistoppositos regula quaepiam, ita ex loco eiusdem medio interpraedi Io angulos
demittenda erit benescio perpendiculi, et alio quouis artificii, altera regula priori perpendicularis , donec aquae superficiem leuiter attingat segmentum enim huius demissae regulae, inter priorem regulam, D'persciem aquae contentum , erit dis iantia curvitatis
aquae, plana superscie oris sparadelepipedi baec enim di Dantia saequalis deprehendatur ipse BP, nutaeγit differentia notabitis inter agnam ct paraden pipe
dum AP at minus inueniatur aequatis , aliq&id certὰ erroris committeretur,si in eonLirtij iione ubi oco datas
319쪽
aquae par. Pelepipedum AP, acciperetur eiusmodi erὰ
erroris disserentia , t btractione minoris ex maiore , penitus innotesiceret. uod eiusmodidit entia alicui mo- DL afortassis ideatur, nimiumqtie laboriosa, i d Diem obseruasse non sideatur laboriosum, Ut in constructione paradelepipedi AB,quoad eri poterit, coarriretur basis AC, quod latitudini basis detraritum est, aterum res tituatur sublimitati: Sic enim , quantumuis etiam magna fuerit aquae quantita , imperceptibilis semper erit error, qui ex curua quae superscirposset obrepere: immo exerit minis perceptibilis eiusmodi error, quὼ aquae quantitas maior et sublimior exstiterit. Nami religiosius eum Geometris loqui elimus , quo in Ue AB, quaesuperscies a centro Andi fieri remotior, id quod se, aliam atque aliam aquae superfusonem
flet; eo superficies aquae ad si persciem planam accedet
magis in conseqtienter error, qui Da minori quantitate fuit eximus, in maiori erit paene nubus
N eadem a propstione Eud quoque obiter obfer Iandum Li, non esse absolute necessarium,st bas paradelepipedi AB, sit quadrata, cum possit esse quaecumque alia
rectangula, vel non rectangula, aut etiam
circularis, modo Intera reliqua ba si di ad angulos eritos in Liant. Nam, eiusmodi Cas iterum aqua data iu- fundatur 9 altittido eiusdem in aliquo laterum obferianetur per ea,quae o ten sunt proposiitionesexta, ctibus inuenietur aequalis di solido, quod aqua impleuit. Cur autem in problemate quadratam potius bas vinconstruendo praescripserimus, quam alterius generis,
id ideo salesum Li, quod post bas quadrata paxis st
e editior , t quiuis facile iudicauerit, qui hanc pra xim parti tilarem, cum in niuersali propositonesextabuius trad O, conferre oluerit.
'T ITER etiam hoc loco monendus mihi Meritor sidetur, praecept mn hoc de re cenda quavis aquae quantitate ad ubtim iaequalem , concienire quibuscumque alijs
non solum tig oribus, stetiam frugibus,
ct a Viribtis aridis, quae Uas mensurari consueuere, inmodo id diligenter ob eruetur, Utpos qua ruges, aut res Laesecae a commissa uerint, eariamsuper-
scies quoad fleri poterit, complanetur , fas es ei
tur aeqnidi ians reliqua enim eodem modo δε habent, Ct de aqua diritum eri . Immo eaedemine, es, eae ct aridae, eariamque messurae ac Sasa, cuiuscumque generis freerint, beneficio agriae certitis In Ibtim permutabunditi, se Uidelicet menstrae in aqtia impleantur,
quae pori ea ualiquod parali lepipedum in hanc fumpraeparatum, quale eLiparazelepide m AB, trans suu datur: e certes mensurae illae aqtiam continere ne queant, loco aquae assumatur milium, napi, et aliud genus leguminis, quod granula habeat perexigua hac enim ratione mensurae cuiuscumque, etiam rigurae maxime irregrataris capacitatem, otibo aeque capaci di- metiri licebit . Semper tamen praxim , quaeper aquamst, ceteris praetuleris ea enim ita se fas insinuat, in illam eius partem a Iam relinquat, id quod legumianibus non conceditur, quae se multa tum imperiunt, tum a Vese fateribus accommodare nonpossunt.
SVPTEM meta Porum, medis item,aqu.1ratque olei, nec non frumenti, O hordei, cum Palaesinitum etiam Romani , pondera est magnitudines
VPERIORE problemate ea proposuimus, quae in definiendis mensuris plurimian habent Diomenti nunc quoniam idipsum fieri poste aduertimus per metallorum pondera, si ea nobis plane reddistur cognita, vel certe quoniam ea, quae beneficio quae mi per inuenta sunt, per pondera tum metallorum, tum mellis, aquae, Molei non ina e examinantur visium est hoc problema superiori adit gere, rres praedictas trutinae ibij cere, eaque pondera tandem inuenta in medium proferre quibus semel prolatis, quis non videt, quantum varijs hominum usibus commodi sit accessurum Militia certe sine cognitione ponderum metallorum in praecipua sui parte manca sit, est. necesse . ea est: quae circa iaculandos globos versatur , quorum magnitudini nisi debitum pondus res pondeat, aut ponderi magnitudo,&virisque accommodetur to nienti bellici, ut vocant, metallica fistula, frustra laborat, qui inmittendis globis id se et secturum sperat, quod desiderat. Quam vero expedite ex globo unius librae ferri, aut plumbi, atque ex eius diametro semel inuenta diameter inueniatur globi du rum, trium, aut quattuor librarum,&c aut si sorte diameter detur cuiusuis globi, qua industria pondus iussiem debite enun- cietur , manifestum erit exsequenti problemate , in quo dictas diametros ex pondere cuiusuis metalli, quod hic eruere con bimur, seorsim depingemus, 'ua arte inuentae sint, aperiemus . Sed e quispiam minus ad rem nostram haec facere arbitretur, is intelligat, me diu multumque in solutione huius problematis elaborasse, eam potissim im ob causam, quod viderem vix aliter explicari posse locum illum Ezechielis , quo praecipitur , librationem mensiurarum aequam esse debere iuxta cuiusque inensuram. Vnde id mihi omnino faciendum esse , existimaui , ut primum diligenter singulorum metallorum pondera, una cum mellis, aquae , olei ponderibus exquirerem, eaque demum inter se conferrem, linc denique,quam conuenientiam inter se habeant mensurae ac pondera , di)udic rem quorum hoc postremum suo loco exsequemur,reliqua duo, hoc 34 sequenti problemate expediemus Huius vero problematis solutio,quasi conuersa videtur esse praecedentisci ibi enim datam aquae quantitatem, vel eiusdem pondere dato , ad cubicam serviam quantum ponderet, quam te egi que ad sinitis formae aliam quantitatem,proportionem habeat, nus: luc co- demonstrare instituimus. Ut ergo a metallis exordiremur, a tra datam xima quadam diligentia cubos ex singulis sex solidis metallis fie de astarari curauimus, nimirum ex auro, argento plumbo, cupro, ferres, stam quam- stanno, omnesque aequales habuimus S Inter se, S singulas eo libet aquae rundem bases aequales cuidam quadrato. Fieri namque curaui vel alterius musae ream laminam non valde subtilem, quae in sui medio rei sinati, habuit quadratum foramen aequis lateribus cingulis; in quod qua dicitum foramen inducebantur singulae singulorum cuborum superficies, atque ad eiusmodi normam paulatim an gulorum rectitudo S laterum paritas simul exigebatur. Atque huiusmodi quidem cubos adhibuimus ad pondera omnia, quae subiiciemus examinanda At quoniam liquid quoque simul conferre animus erat, quae non alia ratione possunt efformari, tiam si inani vase includan tur, eam formam habente, quam liquidis inducere volumus,
ideo, vas quoddam ex laminis aerei affabre elaboratis, inane, se cubicum, fingi praecepimus , cuius latus prioris siet duplum, Euccquadrata basis, quadrupla cubus stuplus 4 Hunc vero cu b 33.Und bum, quoniam eius saepe mentio facienda est, distinetionis gra eim Eucl. tia libuit Paratu incubum appellares cuius quidem latus instrum Insea in inento infra apponendo expressiam habetur aer j btilis Neque ero temere, ait sine rationabili causa aliam solidis, aliam vero liquidis rebus adlubuimus cubi magnitudinem: V
nam quia assidua experientia experti fueramus , non oportere esse magna pondera, in quibus minimae differentiaraim partes sunt percipiendae idebuerunt metalla , quae grauiora sunt, mi nori forma conflari a contra, oleum, aqua, S mel, maiori debuerunt fieri, quo facili lis eorundem liquorum ei testus percipi possent. Ea vero, ut deinceps laboriosam erroribusque obia xiam proportionum supputationem vitaremus, duplicata laterum ratione auximus, in qua , ut vidimus . laterum , superficierum, ac corporum nota est proportio , eaque ogillicis supputationibus aptissima. Et quamuis hac in re operae tantum posuerimus, plurium videlicet etiam annorum inuestigationem ac di fideremus plerumque tam immensi laboris onera posse sus cinere, nisi accessisset studium ac opera sollertissimi Mathematici Patris Christophori Gri emberger, publici in hoc nostro Romano Guia nasio Professoris tamen quoniam non quantum labori si sollicitudinis in his nostris lucubrationibus posuerimus ostentare cupimus sed quam maxime, quamque breuissime prodeste per piamus , ideo alias atque alias tabulas, varias operationes longiores alias, alias difficiliores vias , qua ingressi sumus , silentio praetermittente , rem totam quasi in compendium quoddam breuissime atque dilucide redigentes, proponemus atque adeo metalla etiam ipsa solida, quae sub minori forma examinata a nobis fiunt ad similem , atque rerum liquidarum formae aequalem redegimus id quod multiplicatis per o tonarium nu-1nerum inuentis numeris faetum ess atque adeo si eosdem,quos no proponimus numeros, per eundem octonarium quis diuidat, eos ipsos numeros habebit, quos nos adinvenimus ac saforsan ipse eadem experiri velit, an eandem vel diuersam, qu mnos rationem consequatur, dijudicare poterit.
His igitur quasi praeiacitis fundamentis , quod ad unciam speetat, haberi curauimus exactissimam, eamque prim im a sollerti aurifice in Hispania, iuxta eius regionis pondera exigi mandauimus, Romamque deinde ad uestam,hic ab aurificibus,ali)sque artificibus cum suis ponderibus conferri fecimus,& ab omnibus aequa esse probata est haec uncia, communi unciae, Romana que nostrae aetatis. Hanc igitur unciam minimae bilancis iudicio,
320쪽
PARS II. DE POND ET MENSUR. LIB. s. CAP. .
eio, qua aurei nummi expenduntur, in sequentes diuisiones jam titis uinus; sere omnia pondera biluncis eiusdem examini subiecimus. Et v minima quae uis ponderis differentia dijudicari ac notari facile posset, vinciae pondus tamdiu in duas aequas parte su liuisimus, quamdiu ad minimas quodammodo partes ventum e siet, quaeque vix in minima ac iusta bilance ponderarent. Devenimus enim octaua subdiuisione adinciae partes ἡucentesimas quinquagesiinas sextas Atque huiusmodi pondera adhibuimus metallis atque alijsyebus examinandis verum non uno simplici exanii ne contenti fuimus, sed multiplici,&ex duobus ac pluribus composito . Prilis enim singula metalla ponderauimus singulorum pondera seorsum notauimus , deinde bina postmodum terna , ac tandem alia cum alijs in ibi lance perpendimus singulorum examinum pondera ordine notata, logistica supputatione composuimus,subtraximus ab inuicem, alia atque alia ratione contulimus , ac numeros tandem,omnibus bene perpensis, quos tibi paulo inserius proponemus, collegimus. Neque tamen adhuc his nostris accuratis examinationibus fidendum omnino esse rati sumus, dubitantes nimirum, ne his nostris breuioribus ponderibus aliqua vel minima subrepere posset erroris particula, quae in minimis licet per cipi nulla ratione posset i ea tamen faepius in maioribus ponderibus repetita errorem pareret opinione maiorem ideo huic etiam incommodo,quatenus datum fuit, obviare conati sumus nam scriptores plures perlegimus,de rerum ponderibus pertractantes, R in densissima opinionum silua viam offendi-nuis ait dissicilem, quae quid grauissimi atque antiquissimi
scriptores conliante de hac re sensissent, nobis demonstraret ;eam postea suis loci patefaciemus interim tamen hoc ii praesenti praetermittendum non est, quod iuxta praedictorum scriptorum probatissimas sententias , iterum metallorum , atque aliarum rerum pondera examinavimus, collata nimirum
cius , quam illi tradunt, mensurae proportione, ad nostri cubirationem , ponderis ad pondus id quod haud dissicile fuit hixta inserius afferenda. Atque in aqua primum , quae reliquarum sere omnium retum naturalium haberi potes quasi prima mensura, utpote in qua mini in reperiantur momento Erum discrimi ira, minimum, vel potitis nec latum quidem n- suem a recto deviasse comperimus, ita ut huius confirmati nis artumento in spem erigamur non modicam, fore itali quando. restam directionis viam tenuisse credamur , qui ita parum a veritatis scopo , tam a longe viso aberrauimus. In metallis vero, in quibus examinandis nullum ad inuenire tuimuς impeditissimae viae, quem sequeremur, ducem, ita ratione ac discursu nos comparauimus , ut quam minimum ab inuento ponderum numero discederemus tamen certum aliquod librarum pondus alicui mensurae tribueremus. Illud vero quod vel addidimus, vel subtraximus, facile ex quavis 1 ne talli vel alteratione vel permixtione addi vel minui posset. Ab hac tamen mutati ponderis licentia aurum excipimus, in quo exactissime, quod semel ac semper prodijt, retinuimus, qu certo certius inseritis probare possemus, cubum auri ad quantitatem palmi Hebraeorum efformatum, iustum Hebraeorum talentum semper pendi Te . In argento vivo, quod intra li- , quorum, quod praediximus, vas appendimus, experti etiam imus, num Vitruviano illi testimonio pondere responderet; a tirmat enim quattuor argenti viui sextarios centum libras pendere, atque inuenimus respondere Uerum in hoc etiam nonnihil est annotandum iam si exacte nimis argentum vivumvintra vasis orificium includere conarem ut ita ut i h l ex eo emineret, deessent sorte ad exactum Vitruvii pondus aliquot ex illis particulis at vero itantisper in orbem duci permitteretur, exactam quidem Vitruvi rationem exhibebat. Cuius rei duplicem licuit suspicari coniecturam altera est, Vitruvium purioris a genti vivi pondus examinasse altera vero, ipsum quoque Vitruvium ita vasa repleuisse, sicut S nos; atque huic magis adhaerescimus tum quia argentum vitium multiplex examinauimus,ac tandem sublimatum expendimus, quo purius adhiberetur . tamen valde parum aut fiere nillil in pondere retenti viui
discriminis adinvenimus tum vel maxime, quoniam vix aut nulla ratione vas magnum,qilale fuit sextariorum irattuor, plenum haberetur, quin in vasis medio in cumulum cresceret a gemum vivum. Neque vero nos ipsi eiusmodi cumuli differentiam comperissemus, nisi exacte nimis illam vitare cupientes vas illud inane cubicum, quod ex laminis aereis compe eram iis,
undequaque conclusissemus , quattuor tantummodo Imissi insuperiori parte minoribus foraminibus, per quae liquor immi teretur, Z inclusus aer excluderetur atque ea ratione plenum argento vivo vas illud appendimus prius , sicut aquam appenderamus qualiquanto minus adinventinus arcenti vivi pondus, eo quod praescribitur a Vitruvio sublata vero lamin illa superiore , plenoque vase , exactissime pondus respondit . Qi11 omma sigillatim , infinitis propemodun alijs praetermi sis, notare decreui, ne a quoquani falsitatis umquam arguamur, si quae tanta sollicitudine quaesita, S tanta difficultate inuenta a nobis fiunt, leuiori cuidam examini compererit forsan non respondere. Aut ne quod est hominium ingenium facillime ac leuiter inuenta quis putet, quae breuissime, facilique meth do liberaliter simul proponuntur.
Duplicis item metalli ratio exhibenda fuit, eius inquam, quod orichalcum dicitur , atque pernuxti aeris cuius conficiendis campanis e tormentarijs fistulis requens est usiis. Atque 'iusdue cubos reliquis pares fecimus, diligentere pendimus, ncque in ullo propemodum i cupro dit serre in Comperimus. Ex quo etia in coniecimus, orichalcum colore tantummodo immutato, in nullo a cupri substantia disterre.
quamuis aeris colorem Cadmia in aureum mutari scribat Agri A frie Liba Ola; tamen longe aliteri sese videtur Plinius, ex quo ea se sumps Te profitetur is enim sic seribit Pit ae y3 4 lapide aeso F--JU se, quem vocant Cadmiam. Haec ille Ueram quidquid de colo
ri immutatione sit, id nos, quod experientia edo dii fuimus,libere profitebimur; Cupro stannum admixtum colorem in aureum Is CV- mutat , duritiem ferme in saxeam pondus fere nihil. Illud etiam obseruauimus, orichalcum ex antiqui numismatis in cubuni ali)s similem con statum,pondere reliquis aequalesiisse, colore magis rufiim. Quapropter S haec omnia composita νmetalla ad simplicis n.at: iram reuocanda duxi reliqua eris, quae ad metalla examinanda spectant , breui deinceps per se quar. De Dumento tamen 'ordeo dicendum prius aliquid videbatur, qu perfecta disciplinae huius ratio haberetur atquoniam in tam paruo vase, quale erat Paratus cubus, vix , aut ne vix quidem aptari posse grana videbatitur, quae iustam aliis quam ponderis rationem exhiberent, ideo numeros hos omnes ex proportione illorum rimati su naus, quos vel probatissimi scriptores, memoriae prodiderunt, vel in magnis vasis , ponderibus experti sumus. Et quot iam long diuersa ratio labenda et ponderis frumenti, aut hordei Patiellinae regionis , atque Romanae, ideo utriusque seorsum ponderis rationem exhibendam duxi.
I raemittenda igitur sui sequentibus disputationibus, ipsius
unciae eiusque partium ratio uniuersa. Quapropter unciae partes, ad quas reuocanda sunt omnia pondera, ua simul in sequentem tabulam redegimus, ut in prima numerorum serie transuersa, facile quis videat, quot ex eiusmodi partibus contineat uncia ; in secunda quot partes contineat semuncia, in tertia quot unciae quarta, sic de reliquis Prima vero numero iumcolumna eas indicat unciae partes , quibus nos in ponderibus utebamurci neque enirn alias adhibuimus non tamen apropterea miretur quisquam , si aliquibus ex metallorum numeris quincitas harum partium partes viderit apposita ex illa namque , quam paulo superili dixi ponderum cum scriptoruin sententiJ collatione aliquot quinctae harum mini inarum partium partes prodiere, quas nullo pondere, nulla lance deprehendere potuissemus. Quoniam ver eiusmodi
quinctae partes si praetermitterentur,errorem in numeris inducerent, qui suspensum saltem eorum indagatorem tenerent,naonendum horum duximus lectorem . de aliis etiam secundae columnae numeris certiorem eundem facere oportuit, nos praedictos primae columnae numeros decuplaste, ut omnes, quo vocant, fractos numeros vitaremus reliquas praeterea subiecimus unciae partes , qud hae sint ab omnibus scriptoribus receptissimae, nos de eis infra fusili suo loco
Assignatis nunc igitur unciae eiusque segmentorum partibus, nihil iam superest , nisi ut omnia simul metallorum atque aliarum rerum, quas expendimus, pondera in unam summam re dac sta proponamus cillis enim diuisionibus , a plurium partium collectionibus, quibus singula pondera expendimus, supersedendum duximus atque aliis quamplurimis operationibus, quibus huiusmodi tannaam collegimus. Sequenti nam que tabula omnibus ingeniosis viris satisfecisse putaui, in quae unico aspectu intuebitur lector, quot ex supra numeratis unciae partibus penderit Paratus cubus auri , quotve cubus argenti,4 sic de reliquis.