장음표시 사용
321쪽
PARATVSCVBUM AD EXAMINANDA PONDERA,
cuius latus est in instrumento recta A O,
Huius vero tabulaevissc est obseruandus Primi Tm legatur titulu Pendit paratus cubus ad examinanda pondera , cuius latu est in instrumento rectari , unciae partes ducentesimas quinquagesimas sextas, bis mille septingenta septuaginta quinoue libra nullam integram id partes tantummodo librae, quas sic licet nominare Dirongcntas viginti quinque millesimas vigesimis quartas uncias decem, si insuper ducentas quin decim ducentesimas quinquagesima sextasimilis partis similiterque de alijs locis omnibus ac numeris iudicabis . At si non totam tabulam perlegere velles, sed tantummodo, exempli gratia, cognoscere, quot drachmas praedictus cx cu pro cubius pendistet, in requia illa vel numerorum series, cui ad sinistram vox ex cu- pro radscripta est, quaeres numerum in columna drachmarum descriptum,i inuenies praedictum clibum pendisse drachmas quadraginta duas una cum septem octuagesimis drachmae partibus. Plures ali possent adhiberi huius tabulae sus, quos breuitatis studiosi, lectoris industriae retinnuimus. Vnum tantummodo praeterire non debuimus, tum ubilis sit scitu iucundissimus tum vel maxime, quod nostris his pervestigationibus sit necessarius . Est autem eiusmodi Cum primum quis metalla omni res alias quascumque Xaminand .rs intelligit, mox in lunum ei occurret,&cognoscere cupiet, quanam propo tione argentum, verbi gratia, ab auro superetur, aut a plumbo, aut ab ipso argento serrum vincatur,aut cuprum. Et hoc quidem duplici ratione posset inquiri. Prima: assumpta aequali viriusque metalli magiritudine , quanto haec ab illa praeponderet: secunda, sagnato aequali utriusque pondere, qua magnitudine hoc ab illo superetur. Quae quamuis longe diuersia se inui, cem videantur, ut reuera sunt tamen quod ad probleniatis solutionem spectat, pari ratione respondendum est. Nam si nos statuamus, aequali assumpta argenti vivi, Manni quantitate, duplo plus ponderare argentum vivum, necessaria illation mox colliges, duplam stanni quantitatem pondere aequalem esse
subduplae argenti viui eadem est enim utrobique magnitudinis argenti mi ad stanni magnitudinem proportio , quae ponderis stanni ad pondus subduplae quantitatis argenti viui . Ut ergo ad rem propius accedamus, chim seorsum singularum rerum ponderes quae aequali cubi quantitate commensurata sunt, explicentur ijdem ponderum numeri, eorum corpormn proportionem, iram dixi, indicabunt. Eius rei aptissimum exemplum esse poterit, quod paulo superius assumpsi de argento vivo sanno in prima enim numerorum columnae regione argenti vivi hic timerus scriptus est Σ e regione vero stanni hic alie 111 o. quocirca si illum , utpote maiorem, per minorem hunc diuiseris, in quotiente quod aiunt inuenies 1 proptereaque affirmabis, argentum vivum stanni est duplum . Atque simili prorsus ratione aliarum quarumcumque rerum, quas binas contuleris, rationem facile adinvenies. Ver im quoniam eiusmodi diuisio e difficilis est, 'uae propter numeros, quos fractos vocant, non cuiuis es peruia ideo ut hac quoque molestia S labore ei torem liberarem, tabulam sequentem apposui, in qua statim apparere potetit, quam habeant inter se proportionem praedi et corporan hoc est, quoties maius ex illis quodlibet ex minoribus contineat. Cuius usus intelliges, si legas, hoc ordine. Proportio quam habet cubus aut quaevis alia quantitas , auri , argenti tui, plumbi , argenti c. ad aequalem cubum vel quantitatem ex hordeo Romano , o deo Palaestinae frumento Romano, oleo aqua,vel vino melle, stanno de c. Si igitur quaeras, quam proportionem habeat cubus ar renti ad cubum olei, argentum qii aeres in superiore linea,&ola una in dextra columita tabulae , atque ubi lineae utrimque procedentes sibi mutuo occilinunt, inuenies numerum undecim cum quinque nonis partibus , ex quo intelliges, cubum, verbi gratia, unius palmi argenti, pondere aequalem esse undecim paribus cubi olei una cum quinqrre nonis partibus unius cubi olei atque idem in reliquis omnibus obseruabis.
Hordeo Romano Horate Palaest. Frumeus Rom. Aqua vel vino Frumen Palae L
Stanno Ferro Cuprct Argento plumbo Arrent vivos e
N UMERI QUORUM INGULI MAIORES IN
omnes ut minores diuit, dant praedicta proportiones: suntque aequales omnino numeris ponderis praedictarum rerum in superiore tabula propositis
322쪽
PARS II DE POND. ET MENSUM LIB. I. CAP. U.
e his tandem proposito problemati sitisfecisse videbi At Uimur, c im duo illa. quae nuestiganda proponebantur, ac ni rati Lisines metallorum mellis, vini olei, Dum senti hordei Palaestim ac Romani inuestiganda. mutuo conserenda specitaritia, satis explicata sint. Quod vero reliquum est demetallorum atque aliarum rerum pondere ac magnitudine , men iurarit m inuestigationi conducens, reliquis problematis quam breui: lime explicabimus Uertim quo ea facili lis percipi possint aliquot scholia praemittere decreui, quae quasi problematum lemmata aut assumptiolae sint.
V probari princspia, qtiae axiomata orantiar, sue communes animi consens ones ea enim is , primis,n explicata fuerint, qua inditum eritati uiamjn o Hendunt; Hisque mox animus errore tit deceptione non impeditur, quor naturali motuspropen onea entitur . Huiusmodi eri , quod initio proponimus eandem nimirum esse proportionempartiumponderis ali- euius ubi ad totumpondus, quae eri totidem magnitudinis itissem cubi partium ad totam cubi magnitudi nem demtis rubum, verbigratia, auri nam Unciam pendentis, Unciamque diuidere elimus in partes ducente a quinqua es ad sextra, magnitu dinemque dati cubi aurei dia famintedigamus , in totidem tibi a magnitudinis partes facile itidicabitur eandem omnino rationem esse ponderis nius Onciae auri adpartes ponderis ducenta quinquaginta sex, quae quantitatis ubi aurei adpartes cubicas eiusdem ducenta quinquagintas . suis enim non facile componat, ct ad idem reuocetpondus es magnitudinem , cism singulos exii is magnitudinis cubos , in quos totum cibum diu mus, nam ducenten mam quinqua Oresimam sextam Unciae partem ponderare cognoscat ' Maneat ergo mum ae labiis, eandem esse rationem ponderis adpartesponderis, quae cubicae magnitudinis ad totidem cubicra magnitudinis partes.
SCHOLIUM SECUNDUM. et Ni maxime sunt ea, quaepra cedenti cholio ropanimus plures enim s sus maximiqueponderis bui posunt a fferre di putationi. Namque facile quis posset ponderis, atque rarithmetices henes
omnia exseqtii, qtiae adsequentia hediantproble nimirum cibum inuenire, babentem pondus in . dati ponderis quiresta ratione, ue etiam magnitudine Iatus emis nius Unciae duarum , aut plurium , nee non nius librae, duarum , tritim aut quarumcumque; unius item talenti, aut plurium ex auro, argento ferro, aut alio g ouis et algi, aqua item, mone, oleo, aut
qua uis reiquid aut fidi, cuivi pondussi notum, scidimum erit inuenire. N im, Uncia e libra , notae, I ibrae , dividantur in uastumque partes ei que partium numeri, a cubae esset, assumatur,adiae deinde datum pondus in miles partes diuidatur, ae
eius extisabatur radix ex huius nuticis proportione ad priorem radicem, ea omniapoterunt raetiari, quae enitiis prae ianda proponerentur. Sed quonaam res es Iaboris plena, quaeque totum exigit hominem, ni erit
in perscrutandi numeris a pitis aberrare ideo operae- pretium mesa iurum exin imaui s Iaborum non ro-Dumfructus, si quisent etiam in bac parte, proponerem: raproptere quentes apposui tabula , quae reistiamini esse possint, ct exemplo. In earum prima intimeri conimentur illi, quos insuperioris problematis tabuta descripsimus, esseque diximuspartium Unciae, qua Paratuscubus tum ex auro, tum ex albimeta Pisae rebus iquidis, pariterque fidisponderaret Hoss,e smiliter numeros tamquam cubicos accepimus , atque eorum radices sugulis appossimus non eosdem num ros tamquam Iiditatis phaerariam numeros ac cepimus in iuxta praescriptam desuperformam earum ob serarum cubos, earum raelices ac L haerarum dia metros inuenimus , atque apposuimus . Guoniam Uero Grehimedes circuti quadraturam e tantummodo per Aio, Ut demon Daret proportionem dia-
metri ad Ircumferentiam, minorem esse ea, quam habet numerus 7 ad numerum a a maiorem ero ea quam habet numerus r. adnumerum et ar ideo tua es Diis
in I cndies iuniores rarathematici, numeros a os excogitarunt, habentes proportionem mediam inter Praduas , atque adeo magis proxim im erae quoΠiam nondum qui Iam eram adinvenit diametri ad ci eum ferentIam rationem . Ideo non Itim itixta Archimedis proportionem quam in prohismatis praece dentis capitis in exemptam adduximus ipsaeras ubis unius aut plurium Unciarum aequales , earumque dia metros adinvenimus; erism etiam lux a utim pos Bu Bu . in lib. teon1 atque rete , qui eos hactenses moti exactos de qua . tradideriant. tDenta, Uerolabra cnbi Unius notae duarum, Viet.iulib. sic et que ad duodecim continentur, a deinceps dua canonis r m , trium, ac re ρ rum ordine librarum siue triangulo a centum ginti uinque, quae Hebraeorum com- -- punt trientum, Ut is cis Limdemus. Praedidit que numeris acceptis , ac si cubici essentinon nim ne reuera 'orum radices cubicae ei Zione sinae is resondent, nec non Iphaerarum diametri Hariam Urrot bucarum fias deinceps explicabimtis.
pependit Paratus cubus ex11ngulis instalaribptis rebus plenus,una cum ipsius unciae, Ii orae, ac talenti similibus partibus. Quibus adiectae sunt eorundem
numerorum cubicae radices nec non cubi diametro lumcum diametris sphaerarum, quae eisdem cubis aequales
Quae omnia iam iuYta Archimedis, lim iuxta
exactiorem aliorum proportionem computata sunt.
compositio. Notandum in eo; stione tam huius qua equemtis abuta eL , qu3dissem numeros proponimus radiciserabicae, aut diametri Phaerae, non eos proponimus tamquam Ueros ac certos, qui biesque nihil aut desit aut sepe'sit ad lateris et diametri quantitatem δεdυeris tantummodo magis propinquos. Nam chm Utrique numeri nimirum tam radices cuborum;quam diametrisphaerarum sextractis radicibtis numerorum, quiprae- eis. ubi non sunt, inueniantur, nudipossum dari, meri, qui praecise eorum ni radices; quin eINeris sint maiores e minores. Atque trauius tioque differentiae aliquo modo ratio haberetur, maioribus inisenum duo puncta adiecimtis, minoribtis num Atque haec incomperto maniferi aqtiesunt albesosperitis rei quis
323쪽
in dolo riuo resimo minus certa uincent, quo non dira cisas habeamus Horum radices . Verum quam
uis ron omnibus ex aequo fati eri Ut di
in modi bomines monendo omnem Eam dilberentiam decimam unius partis partem uexce aer . Ex uisit, odi in minoribus radicum fractionibu3nu
meratori addatur Unitas, iam ut maiores, si alim;
Iibus malarum radicum numeratori tufactionum
austriitur nita , a Gem minores . Quaproprer nuda ratione Ottiertini ita modi numeri erra propinquiores h :beri, quin multo maiores seren raditones, quod legenti mirrus foret Ume, quam nobuopcrosum ae Avum.
HUIUS ero tabula primus osum fuit erit,
quem cuborum aterapraeseserunt, nimirumst que admodumsuperiore problemate opstu numerasponderis meladorum primum mox oecurrit meta rum an ter se, D tam hys rebusproportio te etiam hoc Dropro portio later inueniatur, Cuius rei exemplumproponam. Videmus enim in tabula aequales cubos argenti Diui, meliis decuplam habere rationem ponderas . E D u sero radicibus,comperiemin eamproportionem niareribtu esse eandem , quae en numeri tredecim cum
quattuor centesm ad sex cu ex ente v. uapro A nt 8 si fiant duo abi, mellis alter, alter Venti tu , I O Litu huius si tredecim cum quattuor enses M, ictitis ero ex unifex centesmis, erunt lique aequa espondere id quod in omn)bus lys obseruare Dei
EyT9 alius portu undus bullia tabulae Usus, nimirum inuenire latus eius ubi, qui Unum ducentesimam quinquagesimam sextam Unciae partem penda, id Pilsu diuisone lateris Paraticubi an olpa si tibi zmertis ordicis continet Gn:tates,factia consequeris Namsi attentius perpendatur, qui at, quando tali uis numeri eubici radix extrahitur , inuenietur nihil livid in uiri, quam quoties contineat latus alicubi latus eius parui ubi, qui toties contineatur maximo, quot nitates babet datusistimerus ubreus. Di in in auro, verbi gratia, inuenta radix quattuordecim eum quinque centesimis io primum praeitat, ns- mirum quod si alus tibi aurei in totidem partes diui-d 8 Intu, ex iis partibus cubus toties ontinebatur in maximo ubi, quo uni nitates in dato aureo cubo, hoc LI, bis mille septingenta Atuaginta quinque atto iidem partes notae pendebatparatus auri cubus ergo quilibet ex dictis cubis nam quaesitam nera partem pendet quod erat demons randum.
324쪽
PARDII DE POND. ET MENSUR. LIAM CAP. . os
PARTES CONTINENS UNCIAE ET EARUM,
QUAE CONTINENTUR IN LIBRA, NEC NON LIBRARUM,
quae continentur in Hebraeorum talento cum partium earundem radicibus cubicus atque insuper diametrorum cubos baerarum diametros. yybaerarum, inquam, quae totidem uncias vel libras penderent.
ΗVI S ero tabui u e iura manifeLI. erit tam possitio posito enim nius notae uulnero ducentarum quinquagintaseae .irtium, is additur sibi, stanti na Unctae, quibussi addas eundem flent tres , ct scosum ad duodenarium, qui complet Abram ique ter :llium septuaginta dirarum partium quem uu 1ner si idem addis,h.rhebis dum libras sitertim in uento duarum librarum numero eundem nius librae ad assenti, est sc deinceps inque ad talenti nu merum qua ratione qui elici posset hane fisul in vite ius adplis, ne plures libra seu talenta extende re. Quod quis esiet queraictamque storsum librarum Tom. 3. Apparatu S. aut talentorum sue etiam notarum numerum ab re, id in nost facile in eniet, erusnodi Wiarunta numerum per ducentas quinquagintaiexpartes multi plicet. At libria sim aut talenta, prius exqtiiret, quot Unciae in eiusmodi libris aut agentis continean tur in Ulis baudsecus procedet, quam in nc' diximus. insulis ero ex his numeris tabulae ex aduerso respondent radices cubicae, eris quamproximae deiu- de tibi diametrorum earum L aerarum, quae praediariti, ubi aequales essent huiusnodi enim cibos primum oportuit num re gnam diametros, Ct in propositione nona praecedenti eapitis ori endimus . Hos et ero numeros tabulae adiecimus ad sum sigesimae secunda que/:tis propositionis ac taenaee extractas Ud borum
325쪽
horum Ninerorum radices adiecimi s quas aequales A
se diametris I bacraruin ea suppost One sit mani e
itim id iam inlin Aonisgratia, edi it magis essent
per picuae bulisnodi radices , diametros P baerarum tantummodo appellare decrevimus.
cundus. In ea enim primum apparet, quot Unciarintimerentur in libra, quot librae in talento. At hoc, inquis, 'er-nustatum et i efateor sed numquid propterea scribendum nou erit Z immo ero maxime, cum copio uim ιθὰ nobis inferiit disputandumst,de numero librarum a Ienti, o eius tari opondere L Lict alius etiam fusionitafrequens, qui os tendit, quot pa tus Onciae conti Bneat quaelibet Unciartim ibri, quotque contineanti gula talenta, ae librae, Verbi gratia , tertia, decima , nonagesima, c. Sed hae omnia leuiora sunt; ikud magni momenti, quod ex lateri ictiborumpoten excerpi proportio , nam habeat cubus , Unam Enciam pendens, ad cubum dum pendentem, idque in . Ateribo. Si enim notauero ubi nius notae radicem,
sese cum triginta quinque centesimi duarum serὼ esse octi inde mox eoAlam, dato quolibet cubo, eis iue Latere diuiso in partes Aio, e qualibet Parum rursum in Beem partes sex partibus o fatiis accipiam tu sex in ex nius octauae decimis tres icti semis clantundem enim valent decimae tres semis, ac triginta
quinque cente a P atque ex bis partibus flat infidem materiae cubus nus , qui erit tiges prioris tam pondere qisam magnitudine 'tibduplus eademque ratione reliqtiorum omnium proportiones inuenistare fa eiiepoteris.
IAM vero exponemvici quanam potissimum causa
Utramqtie praecedentem tabulam apposuerimus ea enime i, tiaram benescio inuenire quispossit, in auro, argento Uiuo,plumbo, argento, ac reliquis, quantitatem lateris, cuius tibis pendat nam unciam , aut nam i se am, dura, tres, aut reliqua inque ad talentum. Id quod hae ratione praes tari poterit. Sit, erbigratia quaerendum Latm cubi aurei, libram nam pendentis, i in priori tabifla notetur radix Paraticubi aurei, quae erit, quatuordecim diuidatur deinde latu Paratiotibi tu partes quatuordecim, atque earum Gna diuidatur in partes decem, sposset, in centum. Notetur deinde in secunda tabula Iatu Univi librae, quod L qua tuordecim, cum quinque decimis atque ex partibvi de cimis quartis Paraticubi accipiantur quatuordecim ,
cIur quinque decimis, siti quod idem addatur iri Iaderi, iura Cnius decima quartaepartis, ct Pudri illam, cubi Unius fibrae. Cui rei ratio in pro nupta eL . Nam cum diuiso latere Parati ubi aurei in partes A. rtuordecim, ostensam sit, quamlibet ex ibis partibus latus esse cubiciet rei, qui Gnam mi m partem Uuoiaependeret si ex dis addantur totidem quot defiant
numero cubi tire ad complendum numeram Unam Iibrae , iique totum iEudpartium aggre eatum uernam ibbr.impenderet . at hoc idemprae; iatrar,si radix cubi aurei a geattir ueIminuatur iuxta radicem utimeri nius
Bbrae ergo hac ratione habebitur latvi nivi librae. uod ero idem hac atque da ratione praeri et tir, se offendo Cubus a tiri pendit ducentesima quinquagesimas sextas Unciae partes bis miri septingenta epitia-ginta quinque in fibra sunt ex eisdempartibus terninisse tua inta duae si ergo ab hoc numero ille auferatur perstin ducentae nona linias tem, quae ad derentia minori ntimero, fleret ne dubio terque aequalis; nunc e 1 3 extrarita triusque radix indicatim merum, qui bis inse intistiplicatus reddit numerum, cuius e radix e go idem omninosi Paddantur bis missi busseptingentis septuaginta qtiinqtie ducentae nagintaseptem, ac radici quattiordecim addant tir quinque decimae, et medietas nitis decimae quartae, quod idem prorsus importat.
quae OG demon irata sunt, i d quoquesit manifestum, quo cire teritor euperet. Primum quidpraeniitumst, etim in tabula praecedenti eos numeros apposueri mus, qui ex numeri uius Unciae, in Iibrae Cnius Ue plurium Unciarum numerum murtiplicationes tint deinde quanam ratione eundem librae n&me rum pro omnibus rebus apponamus. Nam quod ad priamam ciem nota duodecies contineatur in Libra se in
quinque libris sexagies , numerus, qui in tabuia appon tur e regione uius librae, is Ll, qui ex namero pamtium notae duodecies multiplicato remitat, scut numerus quinque librarum is D, qui sit ex muhiptiem
tione numeri partiti Unciae in exaginta Amerum
quinque librarum ne ij respondentem, si desii u-lis. ωιod adsecundum ero pectat, chm in totidempa te diuisa intedigatur auri nota atqueplumbi, ident omnino numerus adhibendi adplumbi partes computandas atqtie ad auri, o tantum ab Eo diL ans, quod id qui uioris metari partes computat mole iores in a partes , qui vero grauiores, idem mole minores ostendit
326쪽
PAR II DE POND. ET MENSUR. LIB. 1. CAP. U. o
DROBLEMA XVII. PROPOSITIO XVII
LATUS. cubi libram nam pendentis ex auro, argento uiuo , plumbo , argento , ceterisque metallis nec non similem cubum mellis, frumenti Palaesinae , quae vel vini dolet , vel aliarum rerum , quae in superioribus tabulis examinata iunt , unica simul operatione reperire. IQUID ATVR in primis linea quaecumque
AB in partes quindecim, ex illis quaelibet in decem, ita ut tota diui intelligatur in pariescentum quinquaginta ; ponaturque linea CD, habere ex eis quatuordecim cum quinque decimis, quo nimirum partes habet latus unius librae in secunda abilla scholi secundi praecedentis super CD, describatur semicirculus CED . notentur deinde in tabula prima eiu dem scholi partes unciae, quas pendebat Paratus- cubus in singulis rebus appliceturque primi in semicirculo lineam si , quae habeat ex partibus diuisae lineae Ai , quatuo decim, quo nimirum assignantur radici cubi aurei parique ratione applicetur eidem micirculo linea CF, habens partes tredecim cum una decima , quot assignantur radici cubi argenti viui sic linea G, partium duodecim latus plumbi linea CH, partium undecim cum quinque decimis latus ubi argenti, linea CI, partium undecim latus cubi cupri, linea C Κ, partium decem cum sex decimis latus cubi ferri, linea CL , partium decem cum quattuor decuriis latus cubi stanni, linea CM, partium sex cum dimidia decima latus cubi mellis, haec nimirum dimidia decima accipienda erit pro se illis centesimis, quae in tabula notantur abi j cienda enim est illa pars centes ma, hoc est, decimae decima, quoniam vix notari potest in his parui lineis. At qui exactius operari vellet, maiores acciperet lineas, quarum quaelibet pars in centenas diuidi posset, atque adeo centesimarum quoque partium rationem haberet: haec enim quae nos proponimus , exempla tantummodo ha beri volumus. IAM vero e reliqua latera applicentur similiter semici culo , linea CN, nimirum latus cubi frumenti Palaem nae,pa tium quinque cum tribus decimis, dimidia ; linea CO latus cubi aquae, vel vini, partium quinque, e tribus decimis aliquanto minui linea CP, latus cubi olei pamum quinque curretvna decima, Maliquanto ampliusci linea in latus cubi fru-1nenti Romani quattuor partium cum octo decimis,& aliquanto amplius Linea in latus cubi hordei Palaestinae partium quattuor cum septemdecimis aliquanto inlis linea S, latus hordei Romani partium quattuor cum quattuordecimis ac di midia. Quibus sic positis, ponatur linea CT, aequalis lateri Parati cubi lineae nimirum in instrumento ΔΘ, erigaturque ex ea linea 14,eidem perpendicularis, intersecans liti eam CE in V, lineam CF in X,lineam G, in Y, lineam CH, in Z,lineam I, in a,lineam CK in b, lineam CL,ini, lineam CV,in d lineam N,in e protractam lineam CO, in f, lineam protractam CP, in V, protractam Cinina , protractam CR, in i, protractam S in . Dico abscisias CV, CX CY, c. esse latera unius librae in singulis re bus, quas ponderauimus. Nam si ducatur DE , duo triangula DEC, NTC, sunt utique similia, utpote rectangula, langu- Ium ad C, communem habentia. Sunt igitur eorum latera proportionalia, nimirum vi CE , ad CD, ita CT ad CV sed CE, posita est, habens ad CD, eam proportionem, qu1m latus ponderis cubi auri ad unius librae latust ij dem partibus Dergo CT, latus Parati cubi aurei habet ad lineam CV eam proportionem,quam latus ponderis Parati cubi ad latus pondens unius librae. Si ergo fiat cubus aureus lineae CV, is pendet libram unam quod erat demonstrandum . Idemque omnino in reliquis singulis rebus demonstrabituri erit namque linea CX la tus librae argenti vivi, linea CY, latus librae plumbi, CZ, argenti, a cupri, b, ferri, Cc, stanni, d, mellis,Ce,frumenti Palaestinae, Laquae vel vini, g, olei, h, frumenti Romani, G, hordei Palaestinae, Cl, hordei Romani quod erat a dem demonstrandum.
ADEM prorsus licti methodo Latera
inueniri poterunt duarum, trium , aut
plurium librarum sue alterius cuiusuis . ponderis, aut in tabula no Ira notati, aut setis, ct in qualibet re sue ex V , quae a nobis exammata sunt, sue in quibuslbet Itys. Nam in primis spondus exquiratur ex notatis in tabula tinea CD, ponetur tot partes habere diuisae ABG quot in ta bula notantiarpro radice quaesti ponderissetquesemi Tom. 3. Apparatu S. circulus, reliqua prout inprobismate suod si numerus notatus minime fuisset in tabula,Ῥerbi gratias quis Uetae habere praedes forti metal rum Iatera ibrae Unius cum septem,min , is in unam summam codiget ex tabuli numerum partitim nius Abrae so par Dum Unciarumseptem a quis tiIcoHeriti ei ciunt So. indeque radicem cubicam educet, quae eri septemdecim, lineamque GD, primis ponet partium rectae AB eptemdecim. ducto semicirculo, in reliquis, pro cedet sicut in problemate suocis aliartim rea Ampondus exquiras, aut ea liquid uni t balsamum aut selida aequae fas aliquo contineripossunt, ruges tunc
enimprius oporteret sibi comparare a cubiciam exactis simum, quas nos habuimus, eidemque aequale, Pu Gque bas amo, et eIana re, quam examinare cupit,plenum, Husa ncia in totidem partes, a nos divismus, ap-
pendere . otio se res solida esset, quae posset in cubum Usormari Ut lapis e formanda esset in aequalem nostro
cubam, atqtie appendenda, notandusque numeruspartium Unciae qua appenderat, elusiue numeri radix effet, cubro extrahenda , or in retiqui , t praesicri pium LI proced adum IIIud ver notandum idetur, non esse omnino necessaritim no ira Uti Unciae partitione, aut cubi magnitudine e cuique enim tib rum LI , quibus olet harparte ti. Quod se rectam Uiam tenere, ct ab ea n qnaqtiam secedere exa ptat, is diligent is animaduertat, quae sequenti m- tantur scholio.
ACILE M omnino iam ac meth dum Hendimussuperiore holio, quo mediante, quicumquefacilepoterit latus ubi adinve- lirebion nius tant Immodo libra sed qua-- umeumqued cuiusuisponderis, nec tan'thm in auro , argento tuo, atque In alijs rebus, quae a
nobis examinatae sunt; vertim etiam in quibusvis alijs rebus, quaain quirique Abi examinandas proponeret Sed quoniam facile posset a recto, quem in problemate
tenuimus, catae aberrare, is ea omnia, quae a nobis
ob eruatasunt, di ipse obseruaret ideo duo haeepotis
mtim notanda, ct obseruanda duxi. PrImum, oportere
partes quaesiti ponderis iures esse partibus cui cumque rei, cuius pondus quaeritur scut partes lateris δε- brae assumpta fuerunt, quae quinario excedrint partes ponderis auri, quod excedit reliqua omnia pondera . . Id quod propterea necessarium et i, quia minores dia metro lineae bou poditnt applicari, maiores minimὰ . Secundo aduertendum, qud praedic D problemate , eiusque figura, ac demons iratione nicam tantum ponderis genus , idelibet Iibram in s mutis rebus imuenire docuimus nam qui ei et duas libras, aut Libra partem aliquam iutienire , is alia; guram iuxta problematis iussa riturus esset . suae ero eadem possint praef. aris ura, insequentibus manife labuntur.
LATVS tibi nciam unam endentis ex auro, E argento uiuo , plumbo, argento , atque alijs rebus periori problemate propostis,facili method in eadem Aura adinvenire.
PPLICETUR eiusdem figurae semicirculo CED, linea Cm, quae sit partium diuisae lineae AB ex,
cum triginta Ouinque centesimis , hoc est, cum tribus decimis &semi quo nimirum partes h bet radix unius unciae in praemissa tabula Et 1 puncto T, ducatur recta Tn perpendicularis adductam Cm, quae sine dubio parallela esset rectae Dira, si duceretur. Quapropter triangula CDm, Tn, similia erunt, e rumque latera proportionalia, nimirum CT ad Cn, eandem habebit rationem, quam CD, adrum Posita est autem redia CD, habens ad rectam in eam proportionem, quam latus unius librae ad latins unius unciae. Ergo recta CT, latus nimirum Parati cubi habet ad rectam n eam proportionem, quam latus unius librae adlatus unius unciae. Quibus stantibus, ponatur CO, aequalis ipsi Cn. erigatur perpendicularis p secans lineas Omnes, quae latera sunt unius librae, tum in metallis,
327쪽
tum in alias rebus e latus hordei Romani CSi secetur in p. Dico linea Cp, esse latus unius unciae hordei Romani, quod si ostendo Goniam in triangulo CTl git icta est redhaop, basi Tl parallela secabit latera in partes eiusdem rationis, nimi- 'rum sicut Ct ad CT, ita Cp, ad Co permutando Ca, ad Cp, ut CT, ad Co, ex quo fit ut Ct ad C p .habeat eandem rationem, quam latus unius librae adlatus unius unciae
nea CI, quae ostensa esti latus esse unius librae hordei Romani, praeced. ad linea Cp, habebit eandem proportionem, quam latus,niuS librae ad latus unius unciae si fiat ergo cubus linea Cp, capacis erit unius unciae hordei Romani, quod erat demonstrandum. Id quod in singulis aliis lineis in figura assignatis demonstrari eadem ratione poterit.
ONSIMILI operatione tiarum , aut 'tarium Unciarum Iatera inueniri pos: sunt, si loco applicatae rectarim, quae partes habet lateris nitis notae, alia applicarentur , habentes partes ateris
INTER 'haeras tibis aequales eadem es propomtio diametri ad diametrum , quae lateris adlatus, nec non diametri ad latus eadem es proportio, quae diametri ad latus, Ur e conuerso.
EQUID deesse videatur huic disputationi, agen dum etiam nonnihil fuit de diametris , S sphaerici is corporum , quae examinare intendimus. Cuius omnis disputationis hoc theorema, quasi quoddam fundamentum est ac primum principium . Sit igitur sphaera A cubo C aequalis, sphaeram, cubo D . Dico primum eandem esse rationem diametri sphaerae Α, ad diametrum sphaera B, quae lateris cubi C, adlatus ubi D quoniam ea indem et proportio , ad C,
quae , ad D, nimirum aequalitatis , erit etiam permutando A ad B, eadem quae C,ad D. Harum autem ---- proportionum in sphaeris
in cubi autem est laterum triplicataci ergo sicut bene demonstrauit Clauius, erit eadem subtripla diametrorum ac laterum , sicut eadem est tripla corporum eadem igitur erit proportio diametri siphaerae A , ad diametrum sphaerae B, quae lateris cubi C, ad latus cubim , quod erat primo demonstrandum. Ex eoque immediate sequitur secundum: permutando enim eadem erit proportio diametri Α, ad latus C, quae diametrii, ad latus D. Hinc etiam conuertendo manifestum fit quoque tertium, nitrum lateris Q, ad diametrum A, eandem esse proportionem , quae est lateris D , ad diametrum B.
XIX. XX. DIAMET RV Mupha γae Parato cubo aequalis; nec non diametro, phaerarum libralibus cubis aequalium, eadem problematis decimi septimi figura adinvenire.
PPLICE TVR in primis Ene CT, latus Parati cubi in priori semicirculo in q, extendaturque indefinita C q notetur deinde in tabula ponderum diameter sphaerae unius librae , quae est septemdecim cum quinque deciniis , ex eisquα media pars sumatur circino, cuius fixo pedest tuto in linea CD , alter mobilis ponatur in C, Si circumducatur arcus C rc secans extensam C q, is . Dico lineam Cr, sese diametrum sphaerae Parato cubo aequalis. Nam cum lin C r, secta sita duobus semicirculis sese tangentibus in C, diuisa quoque erit 3 in eadem ratione diametrorum in diameter CD, posita est partium lateris cubi libralis, diameter vero semici
culi Crs posita est partium diametri sphaerae etiam libralis: n ergo linea C q, ad lineam r. habebit eandem rationem, quam D p litus eiit,i ad diametru in sphaerae, eidem cubo aequali S. quod G ti primo demonstrandum. Ponatur praeterea linea Ct, aequalis lineae, Cr, erigatur per
jecu=rdi c. futtis pendiculari sis, eaque abscinde Eneam CE in is, Mi reliquis lineis CF, G, CH, CI, CK, CL, M, CN, O abscindet diametro sphaerarum libralium earum rerum, quarum sunt indictis lineis latera cubica . Quod si e ostendo. Quoniam in tria: gulo tu ,duc a est linea TV,basi ti,narallela, ea abscindet latera proportionalia; S permutando erit Ci, ad CV, vescit, ad CT, sed Qt ostensa est habere ad CT, proportionem diametri sphaerae ad latus cubi aequalis: erat autem ostensia, CV, latus aurei, ex prae cubi libralis ergo Cu, est diameter aureae sphaerae libralis,quod ced prop. erat secundo demonstrandum. Atque eadem ratione in singulis 17. huius alijs lineis demonstrari poterit, abscissas a perpendiculari cadusque commune punctum C, esse diametros sphaerarum libralium, quod exquirebatur.
XXI. DIA METRO S shaera, um,ncialium in I n-gulis rebus in hac eademsigura inuenire.
ICV librali ii in sphaerarum diametros ad inueni estis iniis, sic etiam uncialium inuenire poterimus , si
ex ad inuento planisto , ducatur recta dis, quae sit parallela ipsan cum enim in triangulo dis C,dueta sit recta Tn basi is, parallela,ea utique diuidet latera in partes proportionales , eritque permum tardo Cs, ad Cia,ut Ct,ad T sed Ct, ostens est habere ad CT, a Props. proportionem diametri sphaerae ad latus cubiUbi aeuualis ergo praeced.Cs, ad an habebit' proportionem diametri sphaerae ad latus cubi sibi aequalis. Ponatur igitur Cy, aequalis ipsi Cs, erigatur iis, que perpendicularis et secans lineam Cri , in g, Malias pariter abscindet in eadem proportione, nimirum habebit CZ,a Cp, tus unciae hordei Romani eandem proportionem, quam diameter sphaerae ad latus cubi sibi aequalisci cumque C , ostensa latus cubi incialis,erit CZ,diameter sphaerae eiusdem pondeti .
XXI. XXII. LAT VI cubivncialis, aut cuiusuis alterius ponderis absque uda radicum extractione, similia terque diametrum diaerae eiusdem ponderis in
problemata hactenus exposuimus, quae exinuentis,numerorum beneficio, radicibus, diametris , alia quoque , quae huic possent conducere disputationi, inuenire docerent . Et quamuis iaΑ1ithmeticis vel mediocriter versatis ea videatur S exactissimai facillima via; alijs tamen, qui quamplurimi sunt, quibus non ita in prGmptu est numerorum vis S exercitatio, fatis faciendun videbatur . immo vero tam D hi, quam illis ostendenda fuit facilii expedita via quam nobis aperit 1ediarum proportionalium potissimus usus, nimirum vi ex ipsis numeris primis,tamquam cubicis,acceptis,absque extractione radicum ea omnia habeantur , quae hactenus radicum beneficio ostensa sunt. Sit igitur in primis inueniendum latus cubicum unius unciae aquae: cum unciam in partes diuidamus ducentesimas quinquagesimas sextas, is numerus tamquam primus cubus notandus est. Secundus vero erit centum quadraginta octo, quot nimirum ex illis unciae partibus pendebat Paratus aquae eubus. Ponatur deinde quaecumque linea AB, partium ducentarum quinquaginta se X, ex urbus habeat linea BC, centum quadraginta octo, erectaque perpendiculari CD, inuenian tur inter duas AB, BC, duae mediae proportionales E,
sunt quattuor lineae proportionales BC, BD, BE, BA,erit U-bus primae BC, adcubui secun ae BD,ut prima BC,ad quartam BA, nimirum vi centum quadraginta octo adducenta quinqtraginta sex. Fiat tandem BF, aequalis lateri Parati cubi aquae, erect aper
pendicularis FG, abscindat lineam BG, quam dico esse latus cubivncialis aquae. Quoniam F, ad BG, habet eandem propo tionem, quam BC, ad BD, habebit cubus datus rectae BF ad cubum rectae BG, proportionem , quam centum quadraginta odito ad ducenta quinquaginta sex, nimirum quam habebant inuentae partes ponderis aquae ad partes unius unciae. Ex quo fit It cubus recta BG, aqua plenus unam unciam pendat quod erat demons randum. Atque eadem ratione possent quorumlibet alio nam ponderum latera inueniri, si pro numero partium unius unciae in linea AB, signato numerus partium eiusmodi ponderis signaretur,
328쪽
PAR II DE POND. ET MENSUR. LIB. I. CAP. . op
in reliquis eodem modo procederetur. Quod si diameter siphae IIrae via iuvinciae aquae , verbi gratia, inueniendus esset, primo inuenire oporteret cubum diametri sphaerae, qui quidem cubus , ut in propositione nona praecedentis capitis , eiusque usu traditur, facillime inuenitur , multiplicato nimirum dato cubo centum quadraginta octo In viginti unum , diuisoque producto deinde per numerum undecim is enim numerus , qui in quotiente, quem vocant, prodibit, quadringenta octoginta octo cum o sto undecimis assignandus esset primi ni in linea AB. In linea veris BC, ducentae quinquaginta se ex illis; cumque inuentae fuerint inter eas BD, BE, duae mediae , ponetur in recta aBA, linea aequalis inuento lateri cubico nius unciae , nempe rectae BG. Erecta namque perpendicularis ex termino positae lineae abscindet ex BE, lineam, quae erit diameter sphaerae unius unciae aquae. Nam tunc cubus lineae Bl , adcubum linea BG, haberet eam proportionem, quam ducentae quinquaginta sex partes ad partes quadringenta quadraginta octo cum octo via decimis nimirum eam proportionem , quam habet cubus unius unciae aquae , ad cubum diametri sphaerae unius p riter unciae aquae sed linea BF, posita est latus cubi unius vinciae aquae: ergo linea BG, erit latus ubi diametri siphaerae nius unciae aquae . Atque his eisdem rationibus inuenire posses latera S diametros cuborum sphaerarum libralium aut aliorum quorumcumque ponderum . quod erat demonstrandum
XXII. XXIII. I NSTIV M UNT V M conscere ad augenda minuendave corpora aptissimum.
latus cubi auri aliarumve rerum, talentum unum pendentis, ad latus Parati cubi.
diameter siphaerae aureae aliarum Vere rum, talentum pendentis, ad latus Parati cubi . Tubulu
huius Io. ELICITER mihi euenisse existimo, quod lon- eiorem hanc Mathematicam disputationem utilistimo possim ac felicissimo fine concludere. Exponam siquidem instrumentum quoddam constructiona facile,operatione facillimum cuius utilitates, commoda experietur grata posteritas. Quae omnia quoniam pro dignitate pertractare non licuit, nec percensere libuit. Illud veris augendorum, minueniadorumve in data ratione corporum Instrumentum compellare decreui, in quo celeberrimum illud problema quod initio huius disputationis proposui, quodque doctis simorum omnium aetatum hominum auctoritate ac votis prosequutum cubi duplic tio vocabatur mox ac sine ulla difficultate soluitur ex quo non minus facilem deinceps futuram Mathematicis existimo, corporum, solidarumve figurarum additionem, subtracstionem vel multiplicationem, quam hactentis superficierum, Linearum, aut iumerorum fuerat. Eius primum fabrica explicanda est, quae quamuis uniuersalis sit,&ad omnes possit proportiones , omniumque corporum ma itudines aptari tamen nostri inlli tuti ratio ire uitatis studium nos hortabatur, ut illud ad sacras potissimum mensuras examinandas accommodaremus . instrumentum vero ne interpositum sua magnitudine problemata impediret, ad huius capitis calcem reponimus Primi in igitur constituendus est semicirculus ACB. omnis namque haec nostra disputatio ad semicirculum reduci posse videtur sed quia plures alii semicirculi pluresque lineae in eodem ducendae sunt insitumento , etiamsi cuiuscumque magnitudinis posset assumi praedictus semicuculus tamen ne postmodum hic assumptus impedimento esse ac confusioni, eiusmodi libuit assumere semicirculum , qui postea in ex aininandis cuborum lateribus , atque sphaerarum diametris usui esse posisit illumque aptissimum , utpote magis exactum re iudicaui, qui omnium esset maximus . Vt igitur illum collatione facta discernere . atque quam magnus esse debeat, statuere possem sequentes duas tabulas apposui, in quibus ex i)si quae superiore potissim im tabula logistica supputatione adinventa sunt radicibus cubicis ac diametris sphaerarum Parati cubi in singulis rebus una colutatis cum radice cubica ac diamet o sphaerae unius talenti proportionem adinvenimus, quam latus cubicum , aut diameter sphaerae in singulis rebus haberet ad latus Parati cubi Exemplis propositis earum fabrica erit omnibus perspeeta ac cognita. Nam clim in praediista tabula radix cubica Parati cubi aurei sit assignata partium 1 atque earundem partium radix talenti sit 1 -- si hic numerus per illum diuidatur, dabit In quotiente quinarium numerum cum tali fractione, quae ad centesimas partes redacta hunc efficiat numerum m. qui in tabula primae adscriptus est auro . qua etiam ratione aliarum omitium rerum ad inuenti sunt in eadem tabula numeri. Pro secunda vero tabula in eadem praecedenti notetur numerus diametri sphaerae unius talenti, nimirum ori . cubicum seu radix Parati cubi hordei Romani Chuius enim primum indigemus iartium et M. atque hic quidem numerus indicat, in quo partes intelligatur diuisum latus Parati cubi hordei Romani Quapropter si per hunc numerum diuidatur ille alter diametri sphaerae talenti hordei, atque diuisionis fractus numerus ad centesimas partes reducatur , hunc numeriam dabit
xoph . quem hordeo adscripsimus in secunda sequenti tabula, atque sic alias dei nceps. Tom. 3. Apparatus.
Hoc igitur primum ipso primo aspectu cognoscitur , diametrum sphaerae hordei Romani maximam esse omnium linearum, quae in his tabulis describuntur, utpote quae latus contineat Parati cubi vigesies cum una viginti centesimis eiusdem D partibus. Ut ergo propius ad instrumenti fabricam accedamus, latus Parati cubi lamina aerea , qua in maxime traberi potuit plana atque expolita, describi fecimus, fuitque resta ΔΘ , eamque incentum partes divisimus, atque lineam deinde AB, accepi mus, quae vigesies dicaam contineret ΔΘ, atque insuper unam diviginti centesimas eiusdem partes, quam nimirum lineam AB, esse propterea diximus diametrum sphaerae hordei Romani talentum Hebraeorum pendentis. Igitur super recta AB, d catur primum semicirculus ACB, in quo describatur prima proportionatrix ADB, diameter autem circuli AB, diuidatur in tot partes, in quo partes libuerit datum cubum multiplicare vel subdiuidere nobis modo erit usui diuisa diameter in partes centum viginti quinque, quae numeris adscriptis notantur, Ut in ipso apparet instrumento ex singuli eriguntur perpendi culares, secantes proportionatricem S ex altero diametri terminora, ducuntur in definitae rectae per puncta, in quibus perpendiculares ductae secant proportionatricem quae rectae a puncto A, ductae numeris quoque senu circulo appositis notantur, ut ratio , quam quaelibet ducta linea habet ad diametrum , ex ipsis numeris distinguatur. Neque vero omnibus lineis numeros adiecimus , nam vel in maximo instrumento confusionem parerent tot numeri sed singulis tantum quinis lineis media namque, quattuor facile quiuis computabit. Et quia omnis huius initiumenti usus ex huiusmodi lineariani semicirculo applicatarum diligenti situ maxime pendet, quo earum quaelibet iuxta diametri diuisae partes examinari possit, sequentem quoque tabulam adiecimus, in quacubus diametri AB, incentum viginti quinque partes diuisae, accipitur nimirum 19 3IΣs atque eiusmodi cubus diuiditur in partes centum viginti quinque, atque cubum unius librae is 613. Hunc nu-nierum si duplices , efficies cubum duarum librarum 1 α sci. si triplicaueris,cubum inuenies trium i sic reliquos usque ad finem tabulae ; ex quibus numeris radices cubicae extractae dant unius libra latus partium diametri viginti quinque praecise: duarum librarum desiic reliquas, ut in tabula videre est.
329쪽
quam cubi applicatarum senaicirculo linearum habeant ad cubum diametri nec non quam ipsae applicatae habeant ad diametrum ipsam incentum viginti quinque partes diuisam, qua rima IIngulae sub diuisae rursus in denas partes intelligantur. SCHOLIVM PRIMUM. I ias igitur ratione duplici si possunt applicatae lineae comprobari, num exaZiὰ si constitutae, ni tum ex proportionatricis cum perpendicularib d communi sectione; MI tim)tiam ex Angitudine uiuacuiusque applicatae, num re pondeat numeropartium diametri, Dahae tabula eidem lineae assignato.
SCHOLIVM SECUNDUM 'na LVOD spraedictae lineae a termino duetae bene confiitutae ni dabunt n-I uia dum medias proportionales inter tam diametrum, im partem, quae
intercipitur interptinctum A, idam perpendictitarem, quae eidem rectae occurrit in proportionatrice. Exemplis haec erunt manifesta. Ex un-m, sexagesimae tiariae diuisionis erigitur perpendiculariso D secansproportionatricem in pundii D, seri, tinfestim proportionatricis ducitur recta ADC, secans circumferentiam semicirculi in C. Vtique δε- monstratum recta AC, D, medias propor aprop. Iotionales esse inter duas ABG uapropter cubm terti huprioris ABG ad ubumsecundae AC, habebit eandem , ius. rationem , quam prima ABG ad quartam e nimiarum quam numervi centum viginti quinque habet ad sexaginta quattuor. Cumque idem de omnibus arise, tineis suae asemicirctilo CB secantur probari possit, perf*icuum eri , ea omnes tinea latera esse cuborem, ad quae cubm diametri eam habeat rationem , quam in in Irumento indicant eidemsemicircus adseri pii numeri. His igitur e eon Pitutis,aptissimum habebis in trumentum , quo mediante idem prors in cubis praeflare possis ac phaeris, quod in addendu, subtrahendis , multiplicandis, aut diuidendis numeris a tineu, idixi, prae lare lebad.
SCHOLIVN TERTIUM. TA N DV M hie etiam est , pri quam ad os in Irtimenti eniamin, Iattuor Nn pol simum ne bis inter omnes praedictas
reperiri, quae numeri integris praecise re-Lpondent, nimirum primam, octavam, ragesima eptimam, exagesimam quartam,inter quaso diametrum, diuisae in partes centum Siginti qumque,binae reperiuntur mediae proportionales, inteXrtim earundem partium numerum continentes sunt autem praedicta quattuor continue proportionalesiae.
I igiturponatur tota diameter latus cubiaetim centum iginti qumqtie librarum , erit latus nitis librae partium diametri praecise Estinti quinque, quod Hos en do. Ex eo qu9 In qua timor lineae continue proportionales, primaque habeat partes 21. O erieundatas ct tertia I ct quarta . t ut quam propostionem habetprima Ias ad quartam . eandem habeatetibus primae ad cubtim secundae: nimirum eam , , quam habent cubi et sphaerae librarum centum ut
UIN C sequitur, cubum latus habentem duplum lateris cubi unius librae, nimirum partium diametri si esse ostuplum prioris mam quicumque cubus latus habuerit , bis continens la tus alterius eius Orico tuplus unitatis enim cubus est unitas, binarii
330쪽
PARS I. DE POND ET MENfVR. . LIB. I. CAP. U.
binari octonarius, quod ipsa binari bina in seipsum multipli Acatio demonstrat. Quapropter quam laabet rationem numerus prima Ial. ad 8. numerum quartae, eandem habet cubus primae lineae a S ad cubum secundae G. Atque eadem ratione demonstrari poterit, triplum primae 5 esse latus cubi viginti septem librarum, 'e cubum quadrupla Ioci. esse latus cubi sexaginta quattuor librarum , cum uterove sit numerus , cubus hic quaternari, ille ternarij, sicut numerus 8. et cubus binari j.
LLV D etiam notandum erit, quὰd cum, infab ira inri rumentio Densumsit, lineas semicirculo applicata esse ordine secunda
cxgata ternis contIntie proportionatibus d maxima incipiendo tertia vero in eisdem ineis proportionatrice auferri sis Ut quattuor istae ineae tertiae proportionales, nimirum suo a in So. praecise dent pandes proportionatricis in quattuor idissecundis asso. Ioo.
I in tantismpraediciarum octo mearum longitudo demonstrat tir Ut idimus, Sella timetiam earum tus ad semicircu- Θ tam applicatio. TVamsi post to circini pedes o in puncto A, mobilis extendattir siue ad quinetiae perpendicularis terminum in diame tro, cireumducatur arcus is a que dubio ab indet quartam, tertiam cundam ct primam perpendicula res in ptmesis,per quaesa prιucto A, ducauturreritae sysque ad semicirculum ACB, erunt conriti tuta quattuor tineae o o. s. o. as id quod cita demonstrari poterit. Cam linea AG ecans quartam perpendicularem in puncto, miris utam in puncto C, eon nituit desit, languia mi a s ducta intestigatur recta BC, nimirum BG, , λω; nam o rectanga sunt, ct angulum babent, qui ad , commianem quapropter erunt eorum latera proportionalia, nimirum AB,ad AC, seu Aλ, ad A sa, sed Α, ad Ambabet ex cons tructio ne proportionem, quam quinque ad quattuor ergo AB, quae Lipartitim centum in
demon irandum id quod in alijs tribus lineis demon-Liraris militer poterit. A que oo ipsum o Iendi alia
tota diameter diuisa intelligitur in quinque partes
quarum nam prima linea as ex quattuor praedirilis contiuet secundabo. continet duas, tertia IF tres, quarta ros quattuor , cum quiabus tota diameter coni litur ι triangtila re languia, Ut pote, quae in semicirculo sed hoe idem es it linea quinque partium cum quattuor illis praedictis perpendictitaribus: ergo connii tui trianguli et similia.
SCHOLIUM SEPTIMUM U0 si uidis iis videretur, longiores linea exacte oci ptis per propinquiora
astu cffa quartae, tertiae, ae se daeperpendicularis,facile is posset similiapun- Aa artandem inearum in pluribus alijs perpendicularibus inuenire. Nam, quicumque numerus partium diametri accipiatur, qui se quinarν
multiplex, atquesuper eodem centro A , arcus circaram diaetiti, ad interualtam multiplicis numeri partium . assumpti, is in perpendicutaribus, quae a termino diame
tri , se inuicem totpartibus diritant, quot nita te iant in multipBoi quinari assumpto, abi uncta
pro praedictis quattuor lineis ducendis. Jam si, Uerbi gratis,accipiat Ar denarius gninaris plus, ct iuxta , decempartitam diametri Ion itudinem circumducatur arcus , is insecundaperpendicta ari abscindet ineam astu quarta lineam so insexta seneam in octava I neam centum, ex is quam sisti fide demons rata a nolid. sunt. Atque ide=n testim de alia qtiauis multiplicatione tib ueprop. demon Darifaci poteL . a. F
PROBLEMA XXIII. PROPOSITIO XXIIII.
DA TIS quotlibet lineis inaequalibus ron habentibus continuam proportionem, alias atque alias interponere, ita ut inter omnes continua sit proportio et si continua esse non possit, ad continuas citra datam quamlibet accedere quantitatem.
problemate inltrumenti tabrica demonstrabitur. Datis namque AB, DC, tD, BE, B S, quinque lineis inaequalibus , ut praesemu , descriptO- que super niaxima AB, semicirculo AC SB, eidem rix applicentur S reliquae. R centro B, interuallo quartae BF describatur arcus EF, ex eodemque centro B describatur arcus G secans protractam E in G, iungaturque GF, secans circumferentiam in N, restam BC, in I, quae nimirum GF, erito perpendicularis ad diametrum. Iungatur desiae HS,&ex centro B describatur arcus I Κ, secans Vrop. I . rectam B H, ina, ducaturque super eodem centro B arcus HM, c. a. huIus. occurrens protracta BK in iungaturque L secans circumferentiam in N, ducaturque BN, quae extensa secet arcum H M, ita P,i ex eodem centro ducatur arcus O secans rectam B H ino, iungatur OP quae si occurrat circumferentiae in puncto D ibi sitiendum ; sin miniis , ulterius eadem ratione procedendum, donec perpendicularis ducta occurrat puncto D vel citra datam differentiain eidem sit proxima id enim fiet nece .sario iuxta supra b demonstiata. bProp. q. c. Quod si perpendicularis OP, transeat per putidium , facile de 3 huius monurabitur, continuatam fui illa pro potitiae in inter duas BC, cum uis ΒΚ Primum enim examinandum est, quot lint interpositae me si holus diae inter BC, BK, iuxta supra demonstrata nam cum ΒΗ, si i media inter BC, BI, hoc est, ΒΚ, rursumque inter BH, DL, VI. media BN, inter BH, BN, si media BD erunt hac triplici ope prΥ y ter' ratione in uniuersum interpositi inter BC, Κ, termini numero fi huius. septem, eritque BD, quinctus, computando a maximo. IK cun- Atque ut tandem ad extremas continuetur pi oportio ducatur di huius. arcus Ηἰ secans rectam BG, in Q . iungaturque QR ad pun- cstum nimirum R, in quo arcus EF secat rectam BH, quae si ociscurrat circumferentiae in puniato Κ, habetur intentum; sin minus, ulterii esset progrediendum . Et quoniam inter AD, ΒΚ, sunt interpositi duo termini si totidem interponantur inter ΒΚ, ΒΓ, totidemque inter BA, BC, erunt omnes termini interpositi inter BA, BE, computatisque extremis omnes erunt . e quibus quartus erit BC, nonus BD,decimusquini tus BF Totidem autem terminos interponendos esse inter BA, B O quot inter BI BF , vel BE, patet quoniam ΒΗ est melia tam inter BC,BI, quam inter A BF quare cum pare numero positae sint ii e Co, by qneae inter BC, ΒΗ, S inter Bu, BI, pares quoque interponen- dae erunt inter reliquas BA,BC a II ip. Vel g. I x c. ursium ut continuetur ad quinctam proportio ex centro B, describatur arcus SV secans secundam BC, in V,&ex eodem