장음표시 사용
31쪽
2o T O M V s IV. ipso mobili bene tenso , & adducto ad primum contactum cum
filo fixo. 8. Porro filum mobile motu suo circa punctum immobile, in quo perpetuo contingit filum fixum , describit utique planum quoddam . Id quidem esset accuratissime planum , si utrumque filum haberet directionem prorsus rectilineam : utrumque habebit curraturam exiguam inductam a suo pondere ; sed ea curvatura fiet in plano quodam verticali , in quo cum jaceat vel accurate , vel
satis proxime illud ipsum punctum immobile C , descriptio plani
cujusdam nihil inde ad sensum turbari potest. 9. Hoc pacto habebatur pro omnibus punctis limbi, ad quae filum mobile fuerat adductum , distantia a plano quodam , cujus plani habebatur etiam distantia a centro illa ipsa , quae determinata fuerat, determinando num. 5ὶ distantiam fili mobilis a lamina centrali . Si haec dematur a reliquis , habebuntur distantiae
eorundem punctorum ab alio plano transeunte per centrum , qui
bus datis invenietur facile singulorum distantia a plano alio , quod concipiatur transiens per centrum , & extrema puneta limbi. Con Siderentur tria plana : primum sit illud , quod describit filum mobile : secundum aliud ipsi parallelum transiens per centrum quadrantis : tertium illud aliud transiens per ipsum centrum , A bina extrema limbi . Ad primum pertinent distantiae punctorum
limbi exhibitae a cuneo micrometrico per immediatam obServati O-nem : ad secundum distantiae ipsae curtatae per substra Stionem ejus, quam filum mobile habet a lamina centrali. Quaeremus distantias a tertio, quae haberi possunt pro erroribus plani quadrantis, Si enim id esset planum , transiret per centrum, & per omnia pun Ela limbi , adeoque etiam per illa extrema , quo ca*u ea: di Stantiae punctorum reliquorum ab eo tertio plano nullae haberentur.
ro. Si distantia fili mobilis a plano laminae centri fuerit T- qualis distantiae ipsius ab utroque extremo limbi ; illud ip um secundum planum erit idem , ac tertium quaesitam , & inventio errorum Omnium erit expeditiSSima. Ablata ab omnibus reliquis istantiis distantia pertinente ad centrum , remanebit Zero pro punctis limbi primo , & ultimo : si pro reliquis omnibus remaneat itidem Diuili sed by Corale
32쪽
opus CULUM II. 2Iitidem rero ; erunt omnia in illo plano eodem : quod si pro puncto quopiam remaneat numerus positivus , ibi limbus erit cavus :si remaneat numerus Megativus , e contrario limbus ibi erit con-Vexus ς quia in priore casu distantia ab illo plano parallelo erit major, in secundo minor, quam esse deberet ad hoc , ut ea puncta jacerent in eodem plano cum illis tribus. II. AEqualitas distantiarum fili mobilis a centro, & binis extremis limbi nunquam sanh habebitur casu . Obtinebitur utique, si alligato altero capite fili fixi in D, alterum caput in E admo-Veatur puncto L, vel ab ipso removeatur juxta num. s vel manu
libera , vel ope cursoris RQ figurae s , donec deprehendatur distantia fili mobilis a limbo in A , & B eadem : tum cylindrus
insertus centro C protrahatur , vel retrahatur , donec & ibi distantia fili mobilis a plano centri deprehendatur aequalis distantiae ipsius ab alterutro extremo limbi , qua aequalitate habita , habebitur simul etiam aequalis distantia ab altero. Ia. Uerum ea positio fili fixi , & cylindruli centralis obtineri non potest, nisi per iteratam, Sc molestam attentationem , etiam ubi thabeatur ipse cursor figurae s . Hinc ego quidem sine eo cur-SOre , R sine ulla attentatione alligabam filum fixum binis normis ferreis simplicibus IH D , KLE bene tensum , Sed temere , cavendo tantummodo, ne filum ipsum nimis distaret a plano limbi, vel nimis esset ipsi proximum , & cylindrulum temere protrudebam in C , ita tamen, ut filum mobile advolutum acui nec distaret a plano laminae centralis plus crassitudine maxima cunei micrometrici , nec minus minima : id ipsum cavebam itidem in collocatione fili fixi, nimirum ne uspiam filum mobile deberet distare alimbo plus maxima crassitudine , vel minus minima cunei ipsius. Determinatis hoc pacto distantiis a plano primo, nimirum ab eo, quod filum mobile describebat, ac redue is ad distantias a plano Secundo ipsi parallelo transeunte per centrum Ope subtractionis distantiae pertinentis ad ipsum centrum juxta num. 9, determina bam hujus secundi positionem respectu illius tertii transeuntis per ipsum centrum , & bina extrema , ac distantias ab eodem tertio sequenti methodo.
33쪽
trum , aCb planum illud secundum parallelum plano descripto a filo mobili , Aa, Bb distantiae punctorum A, B ab ipso indicatara cuneo micrometrico, sed imminutae per subtractionem snum. ρ distantiae fili mobilis a centro, Od sit distantia pertinens ad quodvis aliud punctum O limbi, cujus puncti oporteat determinare distantiam OD a plano tertio ejusdem numeri 9 transeunte per puncta A, C, B. Concipiantur rectae BA, ba, quae productae sibi invicem occurrant in E , & erit ECF intersectio planorum ACB,κb secundi, & tertii, cum nimirum puncta E , C jaceant in uir que . Ea recta determinatur , determinato puncto E , quod habetur , factis Bb - Aa : Aa :: BA : RE . Uerum positio ejus rectae determinatur facilius, si concipiatur AK ipsi parallela terminata ad radium CB. Patet enim, sore BC : Cc :: BE : EA re Bb: Aa , quae ratio cum detur ob datas Bb, Aa, & detur radius CB , dabitur CK tangens anguli CAK ACE, cujus mensura est arcus AL productio arcus BR usque ad ipsam rectam quaesitam CE . Porro ipsa CK habebitur ducendo Aa in radium , ÷ndo per Bb : addendo autem arcui huic constanti AL arcum quemvis AD, invenitur quivis arcus LD, ut & , addito quadrante AB , arcus L B . I . Concipiantur jam per rectas Aa, Dd, Bb plana AHa, DId , BGb perpendicularia rectae EF : erunt anguli ad H, I, Gaequales inter se, metientes nimirum inclinationem planorum ACB,aCb . Quare erit ut BG , vel AH ad DI , ita Bb , vel Aa ad Dd , qui valor sacile invenietur ob datas BG , AH , DI sinus arcuum inventorum L B , LA , LD , & quidem ducendo constantem valorem -- , vel in quemvis sinum DI . Dempta Observata od ab inventa DI , habebitur quaesita distantia OD. I s. Sine calculo trigonometrico , Sc sinuum usu res hoc pacto facilius expedietur per constructionem . Centro C sfig. τ), radio quovis satis est etiam radius pollicum triumὶ fiat arcus circuli ADB , in quo assumatur arcus Ad graduum 5o centro A radio AC , quo arcu secto bifariam habebitur punctum go', & gradi-hus Disiligod by COOste
34쪽
ΟPusCULUM II. 23hus 3o translatis in QB habebitur quadrans AB : facile fiet subdivisio in gradus denos , & qui nos , quae, ut & integer quadrans AB , habebitur facilius immediate ex circino proportionis: neque
enim est hic necessaria exactitudo : sufficit determinatio non nimium abludens a vera. Aptetur jam radius AC inter rectas partium aequalium ejusdem circini ad numerum respondentem particulis distantiae puncti B , nimirum particulis Bb figurae o , & ex eodem circino capiatur in fig. 7 CΚ respondens numero particularum ejusdem figurae s : ducatur AK , tum per C recta ECF ipsi parallela : capiatur circino communi distantia BG puncti B ab eadem recta, quae facile habetur, applicata ad B altera cuspide cim cini ejusdem, & eo diducto, donec altera cuspis radat ipsam EG,
ac ea transferatur inter lineas partium aequalium ejusdem circini proportionis aperti ita, ut ipsa aptetur numero illi eidem partium
Bb figurae 6 , cui prius aptabatur AC. Debebit in fig. 7 distantia AH puncti A ab eadem , respondere numero earumdem paristium aequalium , qui habebatur in fig. 6 in A , ut etiam quaevis distantia DI capta in fig. 7 ab eadem recta, & translata in ipsum circulum proportionis exhibebit numerum quaesitum particularum Dd fig. 6.16. Ratio constructionis est manifesta : patet enim , fore infig. BC ad CK, ut est in fig. 6 Bb ad Aa, tum in fig. 7 BC ad
DI, ut in sig. 6 Bb ad Dd, ut oportebat. Verum melius erit pro punctis A, B assumere non Zero e& 9o', sed puncta extrema lim-hi , qui solet excurrere aliquot gradibus ultra utrumque limitem :sic habebitur status totius limbi respectu plani tranSeuntis per centrum , & puncta ipsius extrema . Sed pro calculo oportebit invenire in fig. 6 angulum CAΚ ex dato angulo ACL , & lateribus AC, CK assumptis tot particularum , quot sunt distantiae Aa, Bb. Ipsi erit aequalis alternus LCA , cujus mensurae LA addendus erit arcus ab A ad 2ero ad habendum arcum ab L ad Zero, cui semper addendus erit numerus pertinens ad punctum D , qui exhibet arcum a Zero ad ipsum D, ut habeatur LD , & Dd per ejus sinum DI. II. Ex omnibus Dd ablatis omnibus Od inventis num. r 3 ha-
35쪽
24 , T O M U S IV. bebuntur omnes OD, nimirum omnes errores plani limbi , qui sunt distantiae punctorum o a plano ACB , in quo debebant esse . Si divisio nondum sit facta , & errores sint exigui , ac lamina limbi satis crassa, & prominens ultra illud planum I possent abradi a limbo ubique tot particulae , quot exhibet error ibidem inventus, & limbus totus erit reductus ad idem planum transiens per centrum , & bina extrema : verum si divisiones jam sint factae , oportet inire rationem aliquam , qua limbi ipsius partes per exiguum motum ipsi impressum deveniant ad planum aliquod transiens per centrum .i8. In ingentibus quadrantibus, ut in eo, in cujus planum inquirebam, qui radium habebat pedum sex, habetur saepe compages regularum metallicarum, quae procurrunt usque ad locum limbi,& ibi Sustinent mensulas quasdam : eae excipiunt limbum sibi astixum per cochleas . Ibi non possunt partes limbi propelli versus compagem ipsam, sed possunt educi extrorsum interpositis lamellis metallicis inter mensulas, & ipsum limbum. Si inveniatur in superficie exteriore limbi cavitas ita, ut punctum o jaceat introrsum versus compagem citra D,& sit m major, quam Dd, nimirum distantia Donegativa; tum lamellae possunt interseri in singulis punctis ejus cavitatis , quae si fiant crassitudinis aequalis errori invento , adducent ea puncta ad planum ACB . Sed si inveniatur convexitas , ut ego inveni in eo quadrante, qui licet constructus Parisiis a Cani veto , prominebat in medio plus quam per unam lineam, ut patebit in exemplo proponendo infra , tum debent removeri amensulis extrema omnia , Sc arcus intermedii ita , ut deveniatur ad aliquod planum transiens per C . Si removeatur ubique a mensulis per distantias Od curtatas juxta num. 9 , adducentur ad planum Secundum parallelum plano primo descripto a filo mobili , quo casu inutilis esset omnis illa errorum determinatio facta per
calculum , vel constructionem . Sed eae remotiones possent evadere multo majores , quam necesse sit, quod accidit sere semper, praeterquam quod , si filum mobile nimis distet a plano centri , reductio per subtractionem posset relinquere distantias a secundo plano negativas , punctis limbi aliquibus extantibus etiam ultra
36쪽
tra secundum planum. Quaerendum igitur, quantum ubique removeri debeat a mensulis limbus ita. ut reducatur ad planum quoddam transiens per centrum cum ea conditione, ut remotio maxima evadat minima earum , quae cum reliquis conditionibus haberi possint.
Iς. Ad id praestandum concipiatur in fig. 8 planum ACB idem, quod in fig. 6 : sit autem limbus erroneus AOUB protuberans ultra illud planum . Facile percipitur, ad habendam correctionem debere converti planum ACB circa rectam EF parallelam chordae AB, donec ita deveniat ad planum novum nCb , ut radat alicubi in Ulimbum ipsum AVB convexum , quin ultra ipium procurrat , &quin relinquat punctum ullum limbi ejusdem ultra se ipsum : ita enim patet, lare limbi remotionem in punctis extremis A,& B utrobique eandem : si convertendo circa aliam quampiam rectam ipsa evaderet minor in altero extremo ; deberet evadere in altero major quam prius. Oportebit autem removere limbum in quovis
suo puncto Ο ita, ut deveniat ad id planum in o. Concipiantur per AOUB plana AHa, DIO,P V, BGb perpendicularia ad rectam EF , assumpto pro V puncto ex inventis remotissimo a plano ACB : erit ut PQ ad DI, ita PV ad Do , unde ablata parte DO, relinquetur Oo pro motu ejus partis limbi . Eo. Porro facile habebuntur PQ, DI per tabulas sinuum. Si enim arcus BA occurrat rectae EF in L; innotescet arcus A L mensura anguli ACL , qui cum debeat esse aequalis alterno CAB , Rangulus C AB ad basim trianguli isoscelii sit complementum dimidii anguli ACB , erit complementum dimidii arcus AB . Si huic arcui constanti addantur arcus AP, AD; habebuntur arcus LP,LD, quorum sinus sunt PQ, DI. Satis autem erit & hic valorem con-
stantem multiplicare per omnes DI ad habendas omnes Do, quibus inventis, habebuntur omnes Oo , ac eodem pacto inveniuntur etiam remotiones Aa, Bb respondentes ipsis punctis extremis. 2I. Res per constructionem facile expedietur . Applicata P ad numeros circini proportionum respondentcs numero particularum PV , quaerendi erunt ibi numeri, quibus aptetur DI , R ii exhibebunt numeros Do, ut per Se patet. Tom. IV. D 22. POS-
37쪽
16 T O M u s IV. 22. Posset autem accidere , ut alicubi inveniretur Do minor, quam DO: fieri enim potest, ut angulus, quem DI continet cum recta, quae concipiatur ab I ducta ad Ο ea concipi debet, licet vitandae confusionis causa non exprimatur in schemate) , sit alicubi major , quam P V , licet Do sit ubique minor , quam PU; quod quidem potest accidere ob distantiam Di minorem , quam Pa in ratione adhuc minore , quam sit ratio DO ad PU . Angulus D Io , qui est aequalis angulo PQU , esset minor angulo DIO , adeoque Do minor quam DO , & valor ob negativus . In eo casu id punctum assumendum esset pro U . Nimirum initio assumi possunt plures errores Do circa maximum , 8c divisis singulis per suas distantias DI a recta EF seligendus erit pro I'V is error , qui exhibebit quotum omnium maximum : ibi enim planum aCb ita continget curvam limbi erronei AVB , ut nullum ejus punctum relinquat ultra se , quae erat conditio problematis . Verum is quotus maximus habebitur cum angulo maximo ibi prope locum , in quo error ipse sit maximus : idcirco proposui , ut is adhibeatur pro PU ; quae positio si fuerit salsa ; invenietur salsi tax ipsa ob valorem quempiam obvenientem cum Signo negativo pro oo , & facile restitui poterit calculus, & obtineri , id , quod ad solutionem problematis requirebatur. 23. Superest, ut methodum illustrem exemplo. Id habebitur in sequenti tabella, pro qua adhibui constructionem graphicam , non calculum trigonometricum ).
Si quis sorte error superest vel calculi, vel scriptionis, is non nocebit. Errores nocent in formulis applicandis ad alios casust hic satis est perspicere rationem ordinandi calculum in casu simili, si quis occurrat . Adhuc spero, non multos errores hic deprehensum iri in hisce calculis numericis, quorum multos revocavi ad trutinam etiam paullo ante impressionem. 2 . Pri-
38쪽
opus CULUM II. 2724. Prima columna in hac tabella exhibet numeros , quibus designatur ordo eorum, quae continentur in reliquis. Secunda per ii, teram C indicat centrum , sub qua habetur e regione numeri a columnae primae distantia observata fili mobilis ab ipso centro , reliquae e regione numeri I habent punctum limbi expressum per numerum graduum , pro quo puncto acceptae sunt distantia: : eae incipiunt ab arcu - 5 , cum quadrans, de quo agebatur , haberet 6 gradus citra Zero , tum per s,o,s, IO procedunt uSque ad 98 , quod erat ibi alterum extremum . E regione numeri a columnae I habetur distantia determinata per cuneum micrometricum pro quovis ex ipsis . E regione 3 habetur idem imminutus per subtractionem illius distantiae centri I , quae habetur incolumna secunda: sic in tertia habetur 68 Io9 r, in quar
ta 66 Io7- 4r, & ita porro. E regione 4 habetur distantia pundiorum plani secundi a plano tertio, nimirum valor rectae odfigurae 6 inventus methodo numeri is . Idcirco in tertia , & po- Strema columna repetitur quarto loco idem numerus, qui habebatur tertio , quia nimirum planum tertium transit per puncta A , B , ad quae pertinent illae columnae , Secundum autem per a, b, adeoque abeunte D in A, vel B, abit Dd in Ra, vel Bb . E regione s habetur differentia praecedentium binorum numerorum , Sive valor Dd , nimirum error quaesitus. Hinc necessario in columna tertia , & postrema habetur o , quia nimirum abeunte Iain A , vel B , evanescit DO, at in columna quarta est To- σύ , in quinta i7 m 79 - 62 , & ita porro . E regione 6
habetur valor lineae Do figurae 8 inventus methodo numeri et o ,& 2r . E regione numeri 7 habetur differentia praecedentium binorum , sive valor lineae oo , nimirum elevatio limbi in eo loco necessaria ad hoc , ut is reducatur totus ad planum aCb . Hinc in columna tertia, & postrema debet obvenire hic postremus numerus aequalis praecedenti , quia nimirum abeunte D in A , vel B , abit Oo in Aa, vel Bb . Hic numerus postremus columnae cujusvis exhibet crassitudinem lamellae interserendae ad hoc, ut Omnia limbi puncta abeant in locum sibi debitum . 23. Porro pro fig. 6 est e regione numeri 3 in columna tertia
39쪽
84 pertinens ad 98'. Hinc si libeat adhibere calculum trigonometricum ; ratio laterum AC, Cc in triangulo ACc est 8 ad 68 sive a I ad II , angulus autem ACB 98 - - 6 a m Io ex quibus innotescit angulus C AK m ACL , sive arcus AL m33'. 18', cui si addatur 6', habebitur arcus ab L ad Zero mgρ'I8': ipsi est addendus numerus graduum pertinens ad D, ut habeatur arcus LD. Sic erit L B m 39'. 18' - - 98 m I 37'. I 8'. Dividendo Bb m 8 per ejus sinum o, 6782 , habebitur numerus constans 123,9, per quem multiplicandus erit sinus cujusvis alterius L D , ut habeatur distantia quaesita a secundo plano ponenda in quavis columna e regione numeri columnae primae. Pro gra dibus co arcus LD evadit ρ9'. 18', cujus arcus sinuS o, 9869, adeoque distantia quaesita 121 : ea per unicam unitatem differt ab inventa per constructionem ira , quae occurrit quarto loco incolumna habente in vertice clo ; ad quam praeci Sionem ne observatio quidem immediata pertingit, & quae nullius est momenti in hac perquisitione, in qua, ut patebit in serius , error ς particularum vix inducit errorem unius Secundi . 26. Pro constructione ipsa aperto circino proportionis ita , ut radius CB sfig. aptetur numeris S lineae utriusque partium aequalium , ex ea apertura. assumantur partes 58 pro CK s ) :
tum ducta AK, & ipsi parallela EF, applicetur distantia perpendicularis BG ad ipsos numeros 84 , & distantiae DI translatae in 'eam aperturam exhibebunt numeros particularum quaesitos.*7. Iam vero pro figura 8 cum sit ACB m 6' - - 98'm Io ', erit summa angulorum C AB , CBA eius supplementum m 76: hujus dimidio C AB cum sit aequalis angulus alternus ACL , erit hic 38', cui si addatur 6, habebitur ψ ' pro arcu ab L ad Zero . Porro error maximus e regione numeri 6 occurrit in columna I 6 pertinente ad gradus ues , ubi habetur ii 2. Assumpta ea Pro puncto P, erit LP m 4 ' - - ss 99 cujus Sinus O, 9877. Divi SO per hunc ita, obtinetur ii 3, 4. Sed quoniam columna prinxi me
40쪽
Σime sequens, quae pertinet ad 6o . adeoque habet arcum ab Lm Io ', & sinum o , 9693, habet errorem m , qui divisus per
ipsum sinum exhibet valorem II ,s majorem priore I 23, adhibendum esset potius hoc punctum pro P , nisi in sequenti columna haberentur numeri, qui quotum adhuc tantillo majorem exhiberent. Ibi arcus evadit io9 cujus sinus o , 9 ss : per ipSum dividendo errorem Io 9 obtinetur quotus IIs, 3. Hic jam est ma-Σimus , nam sequens columna pertinens ad 7o jam habet erro-ἔem Io I multo minorem cum arcu II ', per cujus Sinum O,9I3ssi dividatur ille error , obvenit quotus IIo, 6 minor priore, &primo intuitu constat, reliquos fore adhuc minores. Hinc pro puncto P assumi debet 6s & quotus ei respondens II 3,3 adhibendus erit pro numero constanti multiplicando per sinum arcuum terminatorum ab L ad reliqua puncta pro eruendis numeris , qui respondent in quavis columna numero 6 columnae primae. Pro primo puncto habetur - 6'. adeoque ejus arcus μ' - 6' - 38',
Sc ejus sinus o, 6 Is 7 ductus in II ,3 exhibet 7o, , pro quo ibi
in columna tertia constructio exhibet 7 I. 28. Calculus exhibet valores magis exactos , sed constructio cum circulo etiam exiguo ita proximos , ut cum ipsa sit multo expeditior, praeserenda omnino Videatur . Vix unquam , Si mediocris in ea adhibeatur diligentia , occurret error duarum particularum , qui quidem adhibito circulo paulo majore evaneSceret etiam ipse . Porro radius pedum 6 continet earum particularum
6oocio . Pro radio partium Ioooooo arcus unius minuti est 29 I.
Factis ut Icooooo ad 6ooco ita χρ I ad quartum , prodeunt particula: I7, s. Porro ibi agitur de appulsu ad meridianum aestimando a tempore, ubi si astrum sit in aequatore, uni minuto arcus respondent 4 secunda temporis , adeoque ibi requiritur error particularum 4, 4 ad committendum errorem unius secundi in tem pore. In fixis polo propioribus plura secunda temporis respondent uni minuto circuli maximi . Non habebuntur secunda IT, , ni Si prope distantiam a polo graduum I 3 , adeoque error unius particulae relictus in plano quadrantis producet in tempore appulsus erro rem minorem uno secundo in omnibus astris habentibus distantiam