장음표시 사용
51쪽
3. Constat autem, in Trigonometria sphaerica mutari latera in angulos , & viceversa , si substituantur utrisque ipsorum supplementa . Porro desectus a quadrante in unci arcu , est excessus in Supplemento, adeoque ιυ, det, , abeunt in - ,--δε,- Θ:arcus autem ab , qui est proximus arcui AB , migrat in angulum , qui erit ejus supplementum , eritque sis. x ejusdem valoris
etiam poSt eam mutationem , at cos. κ migrabit in - cos. x Obcosinum suptementi alterius negativum respectu cosinus alterius. Quare erit drcos. x- is sin. x - dg , Sive a 'dρ - - δε cos. κ
q. Quod si triangulum aPd sit isosceles, & arcus secans bifariam angulum aPd occurrat basi ad in e , ubi eam secabit bifariam , & ad angulos accurate rectos; poterit aptari formula Se cunda triangulo Ped rectangulo ad e; in quo sit Pd F , Pdσm r, ut prius, sed basis sit de m x pro x , & angulus ad em ρ , qui cum sit rectus , erit dρ o , adeoque di cos. IX- osin. I x mo, sive dividendo per cos. x ,& ponendo tan . pro ' - , erit dr - tan. -x o : ea aequatio pertinebit ad triangulum isoscelium aPd, in quo combinatur complementum Ioteris utrius libet cum anguli utriuslibet complemento sunt enim aequalia): adeoque si ibi dicatur Pa m. Σ , Sc angulus ad a - qoppositus lateri Pd F; erit itidem det tau. κ o. S. Scholium . Ponemus tertium theorema primo loco, quod habebit locum in triangulo isoscelio, cujus latera ambo m n , ambo anguli m g : reliqua pro quovis triangulo , in quo latera F , n, anguli iis oppositi q, r, basis autem utrobique κ.
6. Ope horum theorematum connectitur pro triangulo isoscelio complementum utriuslibet lateris cum complemento anguli in I ,& pro quovis triangulo complementa binorum laterum cum complemento alterius anguli in Il , complementum utriusque anguli cum complemento alterius lateris in III. Eorum theorematum usus
52쪽
occurrit mihi egregius in verificatione positionis quadrantis muralis , ubi constet, ipsius limbum jacere totum in eodem plano: eadem habent eundem usum etiam pro verificatione positionis instrumenti , quod appellant gallice instrument des passages : quod
idcirco hic appellabimus instrumentum transituum: appellari etiam solet telescopium meridianum. Et haru quidem praecipua sunt eo in genere theoremata: habentur autem, & alia eodem spectantia, ut basim esse mensuram anguli sibi oppositi sine errore, qui pertingat ad magnitudinem exiguam ordinis primi , & plura simpli-/ciora , quae fluunt e theorematis II, & III, in quibus supponatur alterum latus quadrans, Vel alter angulus rectus: eorum deductionem hic omitto , cum in investigatione sequenti usum non
eardo occidentalis, A australis, B borealis, AZB dimidius meridianus, in quo Z etenith, P polus borealis : sint autem S,S', S
tria astra, quorum sint notae declinationes, adeoque & distantiae PS a polo : adveniant ipsa ad telescopii axem ita , ut innotescat differentia temporis inter appulsum ad ipsum telescopium , ac ampulsum ad meridianum , cujus momentum haberi potest per altitudines correspondentes , vel per collationem cum instrumento transituum jam verificato , vel etiam ex eorum ascensione recta bene cognita, & horologio exacto ad meridianam lineam, vel admotum fixae notae cujuspiam . Eae disterentiae conversae in partes
aequatoris exhibebunt angulos ZPS , ZPS', ZPS', qui anguli di
8. Quoniam ii errores erunt exigui, instrumento proxime coli cato in situ debito, poterunt pro SS', SS' assumi disterentiae a cuum PS', PS' a PS , si eae disserentiae non sint nimis exiguae eam conditionem requiri facile demonstrari potest , Sc anguli SPS', PSS', ac SPS', PSS' considerari, ut proportionales suis si- nubus , adeoque si nubus SS', PS', ac SS', PS'. ς. Porro erunt ipsa illa puncta S , S', M in quodam circulo sphaerae caelestis , qui erit maximus, si axis telescopii fuerit pedipendicularis axi conversionis: eo casu angulus sphaericus PM' erit Tom. IV. F m PSS Dissilired by GO Ie
53쪽
4: T o M u s IV. PSS': secus punctum ς jacebit extra arcum M' circuli ma. ximi , & illi anguli erunt inaequales. Io. Sit E polus circuli transeuntis per S , S', S', qui erit ino, si axis conversionis fuerit horizontalis, & perpendicularis lineae meridianae , ut deberet : secus demisso ED arcu perpendiculari ad horizontem, erit OD deviatio horizontalis ab eo situ perpendiculari , & DE inclinatio ejusdem axis respectu horizontis. II. Iam vero Satis patet, OP fore quadrantem , OPZ angulum rectunt ob polum meridiani situm in Ο, & anguli POB mensuram sore elevationem poli PB . Erunt autem arcus ES, ES', ES' inter se aequales, & proximi quadranti : hinc triangulis ESS', ESS' aptari poterit theorema I snum. s) habendo SS', SS' pro basi: & cum etiam EP debeat esse arcus quadranti proximus, poterit etiam triangulo ESP aptari utrumque e reliquis binis , habendo PS pro basi . Id fiet in solutione sequentis problematis,
quo ope earum trium observationum determinabuntur ii tres errores instrumenti , nimirum aberratio axis telescopii a positione perpendiculari ad axem conversionis, deviatio hujus axis a cardine occidentali, & deviatio ejusdem a positione horizontali. Ιχ. Problema. Per observationem trium fixarum appellentium ad axem telescopii quadrantis muralis, vel instrumenti transituum, determinare deviationem ejusdem axis a positione perpIndiculari ad axem conversionis , & axis conversionis a recta perpenuiculari ad lineam meridianam secundum horizontem, ac a plano horizoatis ipsius.
qui valor si dicatur m , erit pariter PSS' α m' ra
Hic valor est utique cognitus, sed appellatin x correlative ad valores for mularum numeri s , ut & valores et, F assumuntur relate ad easdem lam Ias , quae hic applicantur ad casum hujus figurae.
54쪽
Quare innotescent eorum angulorum valores m, m . qui si fuerint inaequales, patebit, haberi in positione instrumenti primum e tribus illis erroribus. I . Magnitudo ejus erroris facile invenietur ope theorematis Irerit enim d tan. x , d ' dΣ tan .:x' . Hinc ESS' 9o'- dg Vo' - dae tan-x, & pariter ESS' 9o' - det tan. x adeoque ESS' - ESς α - dΣtan. x - - det tan . x'. Porro itidem ESS' - ESS' M PSς - PSP m m - m'. Quare det - - - , qui Valor datur ob datos valores m,
i7. Habitis OF , EF, habebitur angulus EOF, cujus colan
- so . adeoque DEO complementum ipsius m 18,' - , .ive supplementum a q- b. 18. Iam vero ob angulos ad F, D reelos sunt OD , ED sinus , di cosinus anguli DEo, sive sin .sa - - b), Sc - cos. a -b ad radium Eo, ad quem EF o est sinus anguli EoF b: co inui praepositum est signum negativum , cum cOSinus Supple F a men Diuitiaco by Cooste
55쪽
Ist. SesoL I. Invento primo errore, reliqui duo inveniri possunt methodo alia simpliciore : eam hic evolvam , tum exhibebo aliam solutionem ejusdem problematis , quibus peractis proponam data , & quaesita cum serie formularum omnium erutarum ope methodi utriusque , ac demum adjiciam methodum , qua corrigi possint ii errores singuli , ubi deprehensi fuerint per Observationes institutas, & formulas applicatas observationibus ipsis. zo. Sit AOB idem horizon in fig. 3 , qui in i , AZB idem semimeridianus cum polo P , & zenith Z , eadem loca extremorum astrorum cum arcu SS' circuli descripti ab axe telescopii , R transeuntis per loca omnium trium astrorum , ac arcus idem ED perpendicularis horigonti. Patet, arcus ES, ES' productos ad meridianum in M, M' sore proxime perpendiculares arcubus PS, PS', quibus essent perpediculares accurate , si punctum Econgrueret cum Ο, & ii arcus cum ipso meridiano . Hinc erit ut sis. PSM m I , ad sin. SPM m sin .e - e , ita s/n. SP msin .c ad sin. SM , nimirum ad ipsum arcum SM - e sis .c , Scpariter erit S'M' m e in .c quo pacto errores angulares Ob- Semati reducuntur ad partes circuli maximi . Sit circulus maximus FNG parallelus circulo SS', qui itidem habebit polum in E. Occurrat is meridiano in N , ac arcubus SM , PM' in s , s' :erunt arcus Ss, ς,' aequales primo illi errori invento det, qui demendus erit ab erroribus SM,S'M' pertinentibus ad circulum non maximum descriptum ab axe telescopii obliquo respectu axis con- Versionis ad habendos errores pertinentes ad circulum maximum , qui describeretur ab eodem axe telescopii correcto ,& redacto ad directionem perpendicularem axi conversioniS . Dicantur n, Q ii ipsi valores, & secto bifariam arcu MM in Q, it N u : erit MM' quamproxime m s c - es, adeoque M semidisserentia arcuum NM,NM' m et c- Η ) , & u eorum semisumma . Facile autem perspicitur, sere
56쪽
ΟPusCULUM III. 4squamproxime sinus arcuum ipsorum sM, M'ad se invicem, uti sunt sinus sN,s'N ad se invicem , cum illorum sinus ad sinum anguli sNΜ sint, ut sinus sM, s M' ad sinum anguli NsM proxi
debet esse quadrans ob E polum circuli FNG , occurrat arcubus FG, B in HI ; erit & NH quadrans , adeoque NT BI mr mensura anguli EOD : tum H I mensura anguli HNI erit aequalis arcui OE ob EH , & OI quadrantes sunt enim O, E poli circulorum NB,NG), quae mensura facile invenitur: est enim ut sinus NM m sin. v - - c-P' ad sinum anguli MsNquamproxime recti I , ita sinus sM, sive ipse arcus sM mn ad sinum sNM , sive ad ipsum angulum , vel HNI oppositum ad verticem , nimirum ad ejus mensuram HI m OE -
siis. EOD m istu .r . Quamobrem datur uterque. 22. Scholium a. En aliam methodum solvendi totum problema , quae nullo indiget lemmate , sed pendet a solis notissimis Geometriae , & Trigonometriae principiis . Sit in fig. ut in IAOB semihorizon , AZB semimeridianus cum iisdem punctis S,S', P, Z , P, E , D , & cum productione arcuum ES usque ad meridianum in M , ut in fig. 3 , eruntque , ut num. 2o SM mestu .c , S'M' Psin. P, SVΜ' m ysin. y. Pol is M , M', M', quae omnia puneta distant ab O polo medidiani per quadrantem , sint arcus ΟI, ΟΙ', OI', qui ab arcubus ME abscindant quadrantes MI, MT,M'I', & posito primo errore itidem ,
57쪽
mensurae veris proximae erunt arcus M'M', quae es-Sent eorum mensurae accuratae, si puncta E, O congruerent.
23. Consideretur jam polygonum OIIT' ED, in qua anguli ΟΙΕΟΙ'E, Or'E, ODE sunt red hi , adeoque puncta Ι,I', Ι', D sunt in peripheria circuli habentis pro diametro OE . Hinc ea diameter ad quamvis e chordis II', II', IT' est, ut radius ad sinum sui anguli IEI', IEI', I 'EI', quem subtendunt ad peripheriam; cum nimi rum is sit dimidius ejus, quem eaedem chordae subtenderent ad centrum, Sc sinus dimidii anguli sit dimidia chorda totius, ut radius est dimidia diameter . Quare si fiat OE m t, ut in sig. 3 , erunt II' t siu. y - c), II' m trin. o H),IT' t sis. H-c' . In quadrilineo autem IIT'E inscripto in circulo est IrXEI' - I'I'XEIm II' X EI'. Quare fiet i sis. 9-P) X e' sin.c' - idet sin. 9-c' - -t sis. γ' - es) X e sis. c - ita sis. P- es) m lsin. 9 - Γ π
qui num. et o . Si autem semisummae so se Π) addatur semidifferentia ροφ - u , habebitur angulus ΕΙ'I oppositus laterin I8o' - u - et sc-ὐ) , cujus supplementum cum sit angulus Duilired by Corale
58쪽
dem. Hinc & errorum OD, ED secundi, ac tertii redeunt valores iidem ecos. ν , t Sin. r. 26. Scholium 3. Apponemus hla unico intuitu conspiciendos va-Iores datos , cum utroque s Ormularum Sy temate I in utroque invenitur prius seorsum valor primi erroris , tum valores reliqum rum simul ita , ut post inventum illum utra vis methodo liceat hos deinde determinare utravis ad libitum . UALORES DATI Altitudo poli cum suo complemento a IDi , tantiae astrorum a polo c, P e' Errores angulares obSerVati s num. ) ......... e, H DPRIMUM sYSTEMA Pro primo errore quaesito.
59쪽
- ran. Num. 18 a. Error secundus quaeSitus . . . . .
cundus icos .r : Error tertius is n. r.et . In hisce formulis valores c sunt positivi, si astrum jaceata polo ad austrum , negativi, si ad boream: valores e sunt positivi , si astrum appellat prius ad meridianum , quam ad instrumentum , negativi, si post. Si valor primi erroris obveniat pinsitivus ς axis telescopii productus ultra centrum deflectit a positione perpendiculari debita in orientem , si negativus in occidentem . Si valor secundi fuerit positivus, axis conversionis ex pa te orientali deflectit versus boream ; si valor tertii obvenerit positivus , idem ex eadem parte elevatur supra horizontem : si fuerint negativi , deflectit versus austrum , & deprimitur infra horizontem . 28. Satis patet, pro primo errore esse magis expeditam sor-
60쪽
mulam primi systematis : in ea enim singuli termini numeratoris m,m' constant tribus valoribus, Sc sunt duo, dum in formula
secundi numerator habet tres eodem modo compositos e ternis voloribus singulos: utrobique autem logarithmi aeque adhiberi possunt,& quidem sine partibus proportionalibus , cum in valoribus c, P,
iam aliquot prima , sine notabili errore quantitatum exiguarum , quae quaeruntur . Tantum ubi e togarithmis , qui obtinentur pro singulis terminis, quaeruntur ipsi termini, Oportet valores ipsorum assumere etiam cum altero, vel binis decimalibus, si ob nimis exiguam distantiam punctorum meridiani, ad quae appellunt astra,
differentia valorum denominatorem constituens obveniat nimis exigua, adeoque numeratorem nimis augeat . Sine ejusmodi attentione bina systemata iisdem datis innixa non exhibebunt eosdem errores. At in casu , in quo ii denominatores sint nimis exigui, valores determinati erunt minus accurati , cum error perquam exiguus in observatione secum trahat errorem nimis magnum in
valoribus quaesitis . Quare cavendum maxime , quae Observationes seligendae sint ad rem bene perficiendam . Pro denominatore satis erit ipsas tangentes, vel sinus assumere e tabulis, cum partium proportionalium nullus futurus sit usus , tum instituere divisionem numeratoris per denominatorem etiam sine togarithmis, cum paucae admodum notae in quoto sufficere debeant ob erroris exiguitatem. 29. Pro reliquis erroribus calculus erit brevior , si adhibeantur formulae secundi systematis, ubi singulae formulae, quae multiplicationem , & divisionem requirunt, sunt simplices unico constantes termino : nam summae & subtractiones pro nihilo habendae sunt bla facilitatem operationis . 3o. Scholium ψ. Pro corrigendis his erroribus plures methodi adhiberi possunt: considerabimus autem hic quadrantem tendentem verSus austrum , quem exhibent figurae, posito polo P ad partes oppositas appulsui fixarum respectu Eeni Ih Z , facile quae hic proponuntur transferri poterunt ad alterum , qui adhibeatur tendens ad boream . Primus error consistit in eo , quod illa, quae
in telescopiis dioptricis appellatur linea fiduciae , & tendit ab in-