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soo EXTRA ITdu me me gnomon, qui est la potnte du style , ou dans Ies grandes meridiennes employees par les Astronomes le centre du trou , qui donne te passage au rayon , continue jusqu' a la suriace dela sphhre celeste , y marque toujours un grand cercle , commel' axe de la tun et te d' un instrument des passages , quand il est bien perpendiculaire a l' aut re axe. Si la meridien ne passe parte sed du gnomon, doni la direction va au aetnith , ce grand cer cle passe par te meme ZEnith,& il est te vrai Meridien, lorsquela ligne me idienne a sa direction exacte, comme Tab. VII fig. fle cercle AZB, qui passe par te aenith L, & par les potnis A, B
erre urS pour mus les au tres jours de l'annes. On volt bien, quecet te determination se doli faire ici de la me me mani Ere , quopour les de ux dern thres erre urs de l' instrument des paSSage S. s 6. Potiriant on trou vera dans cet opuscule aussi quelque difference dans la mani Ere de ni re cet te recherche, 3c pour tirer les ior' mules correlatives 1 la solution de to uς te problemes y apparienant .ll s' agit de trouver dependam ment d 'une, ou de de ux erre urs du
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t' intersection G des de ux metridiennes la urate GH , & la fausse Gb. On a 1 la fin divi num. 2s to utes les denominations des va- leurs, qui enirent dans Ies formules , & toutes les formules tantpour a voir des vale urs subsidiatres, que des finales, qu 'on de volt determiner. Cette partie de ce numero est te fruit total de tou- te la recherche de cet opuscule , & elle pera servir seu te de soa
Des opuscules XIII, O XIV.s . O M a dans l'Opuscule XIII une me hode pour tirer laligne me ridienne dans un plan sciit horizontal , soli vertical , par trois potnis d'ombre quelconques, la hau leur du pote, & la dec-clinaison du soleii , avec tout te reste qui appartient aux quadranis solaires. Ordinat rement pour tirer la ligne me ridienne dansun plan horizontal on se fert de de ux potnis d' Ombre egalement Eloignes da pied du style : On trace in cercle autour de cepi ed, & on marque te pol ni de sa circonference dans tequel lapoin te de l' Ombre qui diminue avant te midi entre dans ce cercle , & te potnt dans tequel elle en sori aprhs midi par l'alonge' ment de la meme Ombre . On tire la mec ridien ne par te poliat dum ille u entre ces de ux . Pour cela it saut attendre ces momenis,ce qui est incommode, & me me it faudroit avoir hien determire: te centre de ce cercle , qui est cache: par l' Epaisse ur du si Ple . It y a dans cet opuscule une methode mur obtenir cet o et par trois psinis extremes de l' ombre quelconques , R Sans se
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l 'Opuscule la demonstration de tout cela par la comparat son dela fg. 2 avec la fig. I , en concevant dans celle-ci les potnis P,
T, & soni dessi ne es par des potnis. 63. Pour ce qui appartient a la deni necation des quadrants s latres it y a dans la fg. 3 la mani re de trouver Sur Ia ligne equinoctiale AEB tous les potnis des heu res communes de l' Europe a l'aide d'un cercle, qui a te rayon ET' ET dans la PSE prolongee , qui est la meme que dans la fig. et , & represente re quate ur, appliquet sur te meme plan horizontal : on y volt les
lunes horaires tire es par te pole P & par ces potnis, ta ligne dei' heure VI e tant parali Ele a requinoctiale. Dans la fig. il y a
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des ineation de cet te courbe par des potnis. 61. Dans la fig. s il y a la construction trὲs-simple pour trou- ver P arc demi-diurne dans les de ux tropiques , ce qui Sert pour combiner tes heures Italiennes, qui marquent te coucher du soleti a 23 et , avec les communes. A' i'aide de Ia meme figureon trouve la declinaison du soleti qui donne l' are diurne de i s& 9 heures justes , ce qui seri pour tracer certaines hyperboles, qui donnent un moyen facile pour determiner les lignes des heu res Italiennes. A' la fig. , Sc 6 d y a te moyen de transporter toutes les det terminations precedentes du plan horizontal 1 un
de pour faire plus exactement la delineation des lignes horaires en trouvant par la Trigonometrie les aZi muttis , Sc les distances au ZEnith mur chaque heure, ce qui re ad beaucoup plus facile Scplus ex ad te la desineation en grand sur un mur. on ne pe ut qu'
rallatique: cet te machine est trδs-connue: elle a beauco up d lassinite avec l' instrument des passages, me me celutini n' est qu' uncas particulier de celle-la . Pour mi eux comprendre ce qui appar
doti e tre place para ement a l' axe du monde , qui est celui del' equa te ur : Ie second doti Et re perpendiculaire a un plan qui passe par l' axe de Ia lunet te, Sc par une ligne droite paralleseau premier axe . Ce second tourne autour du premier , Sc avectui tourne aussi un index , qui dans un cercle perpendiculaire aume me premier , Sc divise en heures indique les disterenis cercles horaires, dans les plans desqueis la tune ite a Son mouvement autour de ce second axe avec un auire index , qui marque les declinat sons des astres qui se trouvent dans l' axe de la tune ite me-
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me , tandis que te premier index marque les differences des a
scensions droites, determinees par te me me cercle , qui donne les heu res en donnant Is degres pour chaqu' heure . Quand ce premier index marque l' heure dii midi , l' instrument dextent unvrai instrument des passages , l' axe de la lunet te tournant alors dans te plan du Meridien autour d' un axe horizontal . 6 . Commune ment on n' employe cette machine , que pour sui-vre un astre dans te cercle parallhle de son mouvement diurne rce qui tui a donne: son nom . On l' emplOFe aussi pour trou vermeme pendant te jour un astre , doni on sati l' ascension droite , & la declinaison , ou pour parcourir une tande circulaire delasphhre ce leste termine e par deux cercles parallEles a P equa leur, soli en cherchant s' il n' y a quelque cliose de nouueau , commeune nouvelle comhte , ou pour rencontrer quelque fixe, qui doli arri ver au meme cham p de la lunette avec une planhte, ou comὶ tepour les comparer . Ces usages n' exigent pas une position exacte des axes . Mais ici il s' agit d' avoir une me thode pour s' assurer de cet te position de manthre 1 pou voir employer cette machine ala determination imme diate des aeclinaisons , & ascensions droites par des observations falles dans un cercle horaire a une heure quel- conque , comme on tes determine a leur passage par te Meridienpar te quart de cercle murat, & par l' instrument des passages. 63. on commence par la position du premier axe , & on ypropose trois methodes pour cet objet . SOuvent On employe a-vec cet instrument une esphce de micromhtre a rhombe , qui est
sons par la distance d' un de ces angies a l' astre dans un arcperpendiculaire au parallite dec rit par son mouvement diurne . Sile premier axe est bien place , cet angle doli dans te mouvement
te de P equaleur, & en salsant plus leurs observations d' une me- me fixe a des intervalles de temps quelconques , cet te distancea cet angle doli aussi se trouver toujours la meme . Si On y trOu
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66. Dans la premi Ere metthode on employe deux distances US,V'S' d' une me me fixe au meme angle du rhombe dans deux deces positions en V , & V': & par la difference de ces deux distances on trouve les deux quantites cherchees ' mais on y sup- pose exacte la mesure des an gles en A dE termines dans te cercle susdit divisE en heures pour en tirer la difference de l'angle VAU donnee par cet index a l ' angle VPV' donne par te temps ecoulec entre les deux observations , ce qui exige l' exactitude de cetis te mes ure, qu'on ne peut pas avoir par les divisions de ce cercle, qui ordina trement n' est pas assea grand . La seconde metthode , sans avo ir besoin de la mesure exacte des an gles en A , employedans la fig. a trois de ces distances VS, V'S', V'S', & obtient lasolution du probleme par un calcul de plus leurs triangles sphecri inques : la troisthme pour eviter la resolution de ces triangles applique aux disterences de ces trois distances , qui soni petites , les formules di flerenti elles de Trigonometrie, qui soni te sujet dei' opuscule XU. On mei ici ces formules au num. II sans demonstration, qu' on a aprhs dans cet te pi Ece justificative . On entire de de ux mani Eres differentes les formules pour les valeuraeherchees, & au VI ii y a l' exemple numerique appliquε ades valeuta reelles tirees des observations falles avec cet te machine. 67. Dans te mouvement de la tune ite autour du second axe onpe ut avoir les memes erreuta, que pour te quart de cercle mural , 8c pour l' instrument des passages. On fati cet te recherchel la fig. , R il y a aussi de la disterence dans te procede, quoique l' objet soli te me me, & des rEflexions in te essantes fur les methodes, & fur les resultats, it y a la mani Ere de corriger les erre urs de la machine , ou de se ire u ne table de celles, qui enderivent dans les lieux observe pour en tenir compte dans les observations falles avec une machine de cet te esphce fixee dans
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me, parcequ' il contient une the orie generale, avec des mate.
de problemes, Sur-tout en Astronomi e . on consid re dans legelements d' Astronomi e les cas , dans tesqueis deux de ces termes restent constants, A alota tous les quatre autres ont aussides changemenis, c' est- -dire des differences : on a don nec tessermutes pour la salson des differentes de ces quatre . Cela n' apas toute la gEneralitet, puisqu' ii y a des cas , ou tout est chan-gε sans aucun terme constant, & d' ailleurs cela exige un grandnombre de formules pour les dissecrents binaires qu' on ut pren-dre pour constants, & pour tous les au tres disserenis binai res desquatre termes varie , qui repondent a chaque binaire de fixes . 6ρ. or j' at pris te probleme dans toute sa grande gecnetrali tecen considetrant tout variet , , cela non seulement ne m' a pasmultipliet te nombre des formules ; mais tes a re duites a quatre Seules , qui rεpondent a quatre combinai sons de quatre d' entre
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hinaison avec un coefficient trὲs-simple . I.OrSqu' on a la varia tion de trois termes, 3c on cherche celle d' un quatrihme , ondoit bien tro uver ces quatre termes dans une de ces quatre e- quations : dans laquelle ii ny y aura autre Valeur inconnue , quela disterence , qu' on cherche. Si dans te probleme on a un, oudeux termes constants; it suffit d' en Dire la di flere nce o, Sc te reste de l' equation de trois termes dans te premier cas, de de ux seu is dans te second donne la valeur cherchee : ainst on voltque tous les cas de deux termes constants , d' un se ut constant ,
de to ut change , se trouvent ren fermes dans ces seules quatre e- quations .
7o. On fait usage dans queiqu' un des opuscules prectae nisd' a uires petites equations apparte nantes a la liaison des petita complements de deux cotες d' un triangle spherique peu disterenis de ρo', & de leurs angi es opposes. on tes a de termine es aussi , R de mont reces dans ce meme opuscule, pour y avoir leto tal de cet te th rie. i. on a dans le f. II tout te fruit de cet te recherche sans Ies demonstrations, qui viennent aprhs : on y volt les si x den minations des cotes , R des angi es, les quatre combinai sons, tesqua tres Quations apparte nantes aux triangles spheriques pOur cha- cune la sienne , les memes appliquees aux triangles plans. Tout cela est sui vi par cet te aut re esp ce de formules pour ces supplements. Ce paragraphe est un extrait de mul ce qui seri pour lapratique dans toute cet te theorie.
72. Dans les de ux para graphes sui vanis on a la demonstrationdes quatre equations de la premi Ere esphce applique es a la Trigonometrie sphόrique : cette de monstration est devenue tr)s-simpleen pre parant tout pour les de ux premseres par une constructionsynthetique , qui rend presque toujours les recherches & les demonstrations heaucoup plus simples. Dans Ies trois , qui Viennent aprὶs, it y a une demonstration hien disserente des ces de ux prem seres equations beaucoup plus compliquee , mais qui peut in teures Ser par plus leurs tours de calcul, qu' On y trouve . Dans Ie
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rantir , ce qui am Ene dans le g. X la determination de Ia liai sondes petits complements avec Ia seconde espEce d' equations, parceque une des occasions, dans tesquelles les formules de la premi Ereesphce peuvent deveni r erronees, est quand te colet Ourangle variable est trop peu Eloigne de ρo': it y a du danger aussi dans tescas, ou quelqu'angle s' approche trop du Eero ou de Ieto': celafait examiner ces cas dans te para graphes XI & XII . on examine dans Ie premier de ces de ux celui , ou it y a un se ut an-gle de cet te espEce . A' cet te occasion on tombe Sur une demonstration bien exacte, & potiriant bien simple de ce thetor me eclementatre de Ia Trigonome trie sphecrique , ou tandis que dans laplane la somme des trois angies est toujOurs egale a de ux angi esdroiis , dans la sphe rique elle en est toujOurs plus grande : Iememe procedet, qui a donne: d' abota une demonstration de ceprem ier theorδme, dans les triangles d'un angle petit , qu'on ya generali se aprEs , amhne par sa continuation a un aut re aussi Elementatre , que l' excEs des trois angies d'un triangle sphe rique fur les deux droiis est egat a son aire , si l'on prend pouria valeur de cet excEs celle de lyarc du cercle qui te mesure dansun grand cercle de Ia meme sphhre en Disant son rayon m I. La demonstration de ce beau theco rhme qu'on trOuve aille urs ti-rece des calculs les plus sublimes & compliquus , est reduite icia une trδs-grande simplicite. It y en a une aut re dans ce me me opuscule . on trou vera quelque chose de pareit dans des pi hces de quelqu' un, auquel j' avois communique: ma mani re simple de demonStrer ce theorEme mais on verra vi sement que c' est amoi, par ma manthre d'employer cet te esphce de quantites, &par tout l' ensemble de ce qui se trouve dans ce me me opuscule. La demonstration est devenue si simple parta maniEre d'employer dans