장음표시 사용
51쪽
sed etiam sunt a proportionales G C, ΕΚ , CD t igitur ratio DC ad LC, duplicata est rationis ΕΚ ad Μ N, hoe est M N ad F I. sed ratio L C ad HC duplicata erat rationis MN ad FI, igitur ratio D Cad L C , eadem est cum ratione L C ad Ια. quocirca DC , L. C, H C, GC lineae sunt in continua proportione. Quod fuit demo
IIsdem positis; γu Dicoxationem AD ad ΑΕ, esse triplicatam eius, cuius ratio ALad AM est duplicata. Demonstratis
D. Atio AD ad AE , est triplieata b rationis AH ad A F. sed ratio AL u ad WLM est duplicata rationis AH ad Α F, igitur patet veritas propositionis.
Pter asymptotos ΑΒ, AC posita sit hyperbola DE F. deinde ponantit Eo,HΚ aequidistantes contingenti E G, ut sint in continua an logia FC, I H, E G. Dieo similiter F C, I H, E G, Κ H, D C eandem continuare rationem.
E G eontingit sectionem , & re EG sequi distae HK, quadrato Gria: luatur HIL , Q 'est IH ς toctangulum.vnde sunt in continua pri portione ΚH, EG, IH e sedis E Gad I H, ita ponitur esse IH ad F C,e go ΚΗ, ΕΗ, ΙΗ, FC sunt in continua analogia. & quia similiterquadrato maequatur rectangulum v FCD. manifestum est omnesquinque eamdem rationem
continuar e quod erat demonstrandum. ia A . . . . . I cI Iz ulari
EX A centro hyperbolae, ducta sit quaevis ADC, quam intersecent Bo, CE, asymptoto AF, aequidistantes. Dico rectangula B D G, C E H 'inter se esse aequalia. i
52쪽
Ponatur ex I recta IK aequidistans AF. quoniam tam BD, IK, GD, quam C RIΚ, IH sunt continus,ta GDB rectangulum aequatur quadia to IK, quam C EH rectangulum; patet ergo B D G, C E H rectangu-Ia esse inter se aeqdalia.
HYperbolam AC inter asympiptos E F, E B constitutam, contingat A si, positisq; B C, AG parallelis E p,ducatur C D aequi distans AB.
Dico rectangulo EG B aequale esse rectangulum EBD. QVoniam aequuti stant tam AG, CBiquam ΑΒ, CD, simili sint trian- γgisla AGB . CBD. quare ut AG ad ita GB ad BD r sed vi AGadu: B : ita quoque b est B E ad GE. igitur ut G B ad BD, ita est EB,' EG. vfide rectangula GR EG, de BDEB aequalia Mile. Quba fuit de
XCI. Dosita byperbola inter astmptotos A C, A D ponantur insuper ah I ptotis aequidistanteq B C, B D oecurrentes hyperbolae in F & E. Dico rectangulum BD E ad BCF rectangulum, eamdem rationem 'la here, quam quadratum BD ad BC quad tum.
Vcta diametro AB quq sectioni ὀ
incurrat in G. ponantur ex G puncto estuersectionis lineae GH, GI aequid istantes asymptotis : erit igitur quadrato HG aequale rectangulum e BDE , BCF rechangulum aeqitale quadrato I G: igitur rectangulum BD E est ad rectan-sulum BCF ut G H. quadratum ad qua- Latum 1 G, id est BD quadratum ad quadransui BC. Quod rat demonstrandum.
Π A ita carum . it Talae manifestum est tegam BC in P diuisam esse,quemadmodimi BD secta inaestin E. quadratum enim BC ad B D quadratum, in duplicata in ratione BCbnexad lineam B D: rectangulum vero BCs ad BDE rectangulum, rationem. ex rationς B C ad BD, ω cF ad DK igitur ratio e F ad DR est cum ratione BC ad BD.
53쪽
. quadrati, dimidio esse κω quale , uti de rectangulum H GC eontingentis in L. dimidio quadrati. Viruriectangulum AD K adHGC. rectangulum est, Vt quadratum B I ad B L quadratum.Quoel fuit demonstrandam.
quodam intra illam in pynantur DB, DC asymptotis aequidistantes, . currentes sectioni in ponetis E & F ex quibus ducantur E G, F G parallelae ijsdem asymptotis, acta denique D A quae occurrat sectioni iari, per H sint L M, IK parallela asymptotis. Dico lM parallelogrammum ad L Ic parali
logrammum, eam rationem continere we est
I ad Cro νroer ut DB ad DC , ita est DA ad DF. . , I hoe est sci ad GD igitur AC ad AB , est ut FG ad
---H GE; MAC ad GF , ut AB ad GR Igitur AGDi Zi sunt in directum,& IM, IK parallelogramma ad com-. k l. P munem diametrum IK , LM constituta sunt e unde si- 'R . milia sinit inter se, iamque in duplirataratione DIM' ' IE quia ver6 D v. B1,BE proportipnales sunt, ut m-ι- ----- ad Ita tarDB est ad B I : igiturpatallelogramma lac LR dupli eatam habent inter se rationem rem DB ad BI,id eit sunt ut D B ad B E.Quod erat demonstrati M.
54쪽
PRO Pos ITIO XCIV. Constituta sit hyperbo la ABC inter asymptotos D G, DFquibus
aequidistant xs ponantur quatuor lineae inter se proportionales, A G, H. I, CE. BF, ducanturque AH, BCDico figuram quadrilateram A G ipsi quadrilaterae BFE e,aequaleth
Demonstratis. DOnantur per H de B lineae H N,
AB L. xquidistantes asymptotis quae AG, CE lineis occurrant in
nales sunt igitur DI, D G, DRDR Igitur ve Dii rectangulum ad tectangulum D M, se DB rectangulum ad rectangulum DK, dc permutando rivi DH ad DB rectangulum , sic D Mad DKre- . ii nylum. aequalia autem sunt rectangula b D H. DB , igitur re rectangilla DM, . . DK aequalia sunt, adeoque de residua 1 M, FK. quia vero est ut GA ad G XI, sic EC ad E K, erit quoque ut G Mail ΜΑ, sic EK ad CR. sed ut G Mad MA, se GH rectangulum adrectata gulum ΑΗ, cuius dimidium est triangulum AM Hi Mis ΕΚ ad C Κ, sic EB rectangulum ad rectangulum CB, citius dimidium est triangulum CKB agitur ve H Grectangillum ad triangulum ΑΜΗ,sς EB res an-
ra, sunt inter Icaequalia. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XCV. Ponatur A BC hyperbola inter asyniptotos D E, D p. & ratio A E,
B H eadem eum ratione CF ad lΚ parallelarum asymptotis,iunctae autem A B, IC diuisae sint bifariam per diametros D L . D M. de ductae sint AN, CO, quae aequidistent asymptoas. iDico P& Q esse communes intersectiones rectarum NM BFI, DU&OC, IK, D M. t . Demonstratio. M i: in trant sibiNA, HB lineὰ m
rallelogramma H DN, APB, de iuncta DP, diametrum AB biseriams Leat in quare Α N, H B, D L linearum eommunis in ersectio est P i Eodem modri ostendetur mi via munem esse intersectionem linearum IK,DM,OCis quae fuerunt domonstranda Disj lp
55쪽
Asymptotis syperbolae ABC, aequi distantes, &inter se propgrtiae
nales ponantur lineae ΑΕ, GH, CF, HI: iunctis, ΑΒ, CH; ponatitur asymptotis parallelae AM, GL: rectarum vero MA, G B communis intellectio sit N, & Κ communis intersectio linearum CL,HI. Dico A N B, H Κ C, triangula esse inter se aequalia.. 2 monstratio. .
N εe Maequales undaequana qd que sunt triangula ΑΝ Β, ΗΚ C. Quod erat demonstrandum. δ
FL constitutam subtendat AC: ductis lineis Α Κ, C E qive asymptotis aequi distent.& inuicran declissem in L agatur per i diameter F B: l . et Dico FB proditorun rectam AC bifitiam
Demonstratis. AUT DA ad AC, id est EI ij Ee .se EF est ad
Anima est, iam enim b proportionales sint EL ΗΒ. F. , & Eir tectae atque- Vatut AD, linque AD, HREC in continua sunt analogia. Quod erat demonstrandum.
56쪽
ptoto A C aequi distent et iungantur. ΛD, AF, & DF. Dico triangulum ADF aequale esse figulae quadrilaterae D B G F. Demonstratio. t
Riangulum BD A' aequale est F G Atriangulo quia A dimidia tectangulorum D Α, Α F aequaliumὶ di igitur ablato communi triangulo AGI, residua sime aequaIlai stilicet F AI triangulum, quadrilatero B D GI. addita itaque communi figura D I Rerit D A F triangulum, aequale quadrilatero DB GF. Quod fuit demonstran
les & sinit lex,quarumptoti sint A B, B E; E D, E F:ponantur autem AK; L,L&1s , RQ proportionales inter se, &
sympto δ' euidam ' setalle lae. iunctisque ΚL , RS ac diuisis
bifariam per diametros B H, EG , occurrentes sectionibus in I & o. ducantur ΙΚ, IL, dc. O Q, O S. Dico triangulum ΚIL aequari Q o S triangulo. Demonseratio.
Ponamur IN, o P aequidistantes AK, QR. quoniam AK, L M,S F, QI, inaequalibus ac similibus hyperbolis, proportionales sunt:trapeat fi A K L M,b aequale est Q RF S trapezio. 8c quia continuae sunt pr portionales tam S F, η OP, QR, quam AK, NI, ML, adeoque sine priportionales ΑΚ, NI ipsis Q Rν aOP: igitur quadrilatera ΑΚ IN , QOPR a aequalia sunt inter se. 8e similiter trapezia IN ML , OP F S. ablatis igitur trapezijs AKIN, Ae INML aequalibus ipsis PR, O PFS , remanet triangulum NIL aequale residuo triangulo S. Quod fuit demonstrandum. Eee e
57쪽
SInt asymptoto AC aequi distantes Bo, GE, H F inter se in conti
Dico trapezia ADEG,& GEFH inter se esse aequalia. rc .
x monstrat eadem est cum 'Mius: in qua de quaruφr in turproportionalia A bus, quod in hac de tribus.
58쪽
Desigmentis hyperbolicis, conareris stomaim. ΡROP SITIO CII. DAtae hyperbolae terminatae, triangulum ma imum inscribere.
AC s qua diuisa bifariam in F, ponatur diameter DE , Occurrens sectioni in B,&iungamur AB, CB, dico triangulum ABC, ese maximum illorum,quq hypermbesai ABC inscribi possunt. ponatur per B contingens FB. sequi distabit illa rectae Α C t ducatur dein quaevis H. G , parallela B Roccurrcns sectioni in G. patet G punctum ρsse infla lineam FB , adeoque GH minorem BE. unde triangulum A GC minus est triangulo ABC t triangulum igitur ABC maximum est. datae igitur hyperbolae terminat2, Ece. Quod erat ficien
PROPOSITIO CIII. Iisdem positis:
Dico AB C trian ulum maius esse dimidio segmenti ABC. De miratio.
I ivntur ex A de C aedii distante, , E, occurrentes P B contingenti in P M..
quoniam igitur tam ABC triangulum, quam FE parallelogrammum,duplum est trianguli ΑΒΕ, aequalia tale parallelogrammum FE,de tri gulum ABC: unde FC parallelogramintim duplum est trianguli ABC : sed FC parallelo-- grammum maius est tegmento AAC, Eum ΓΚ contingens tota cadm extra sectioin udfir, 3 trianmi nitur Ah C: dimidium parallelogrimnii PC, malui quoque est vimidiρ segmtari AB C. Quod e at demonstrandum.
inseribeἡd trianisum uiuis segmento hyperbolico , quod 3ad maximum iri angulμin intςrapti , datam habeat rationem minoris inaequatitatis; c stituenta scilicet rea mas an GH, quae ad BE , datam rationem obtineat: Si ς'im d G deduc ait te erae AG CG trian M-ΑGC U ABC, ad Byce' bases sint fommune'. i. .
59쪽
H perbolam ABC, cuius centrum D, subtendat recta AC, diui bifariam a diapetro DE. iunctisque Λ B, CB, ac diuisis bifariam in F& G ; demittantur DF, D G, occurrentes sectioni in H dc i, iunga turque R H, H B, Bl, Ci. Dico triangula A HB, B l C, aequalia esse. Demonin alio.. POnanir ex Π ordinatim H L, ad diametrum hype A bolae DE. oecurrens sectioni in M, Se DG li in I: quoniam Α B, B C in F de G, diuisae sunt bifairim. F G aequi distabit A C, adeoque de ipsi HI cum H M, dc AC ordinatim positae sint ad diametrum D Et quia vero AC in E diuisa est bifariam, erit de vG in F, G deoque de ΗΜ in L histriam quoque diuisa. sed MEI in L, bissecta est.quia FG in N bissectae aequissime; sunt igitur aequales lineae 1 M. III, Et puncta M dc Ieadem: quare D F, D G diamet ri in H ω M , propor-- tionaliter iant diuisae. rursus cum D F N , D GN rria gula, item FBN,GBN aequalia sint , reliqua eti-D F B, D G B triangula intra se aequalia sunt. Vnde clim DF, DG in H de M, proportionalitur ii iit diuisae qualia quoque sunt triangula D HB, DI B, adeoque dereliqua FHRBMG: patet igitur de illorum dupla AHB, B M O triangula , interis aequari: Quod erat demonstrandum. L. . i
PROPOSITIO CU. SEcent hyperbolam ΑΒ si, duae parallelae Α D, BC, iunganturque AB, CD: Dico triangula maxima illis inscripsa, esse inter se aequalia.
EX centro E ducantur diametri Eri EG, diuidentes rectas AB, CD bita. O,..tiui Iim in F ω G, occurrentes layperbolin i ii iij in H dc I, dc iungantur AH, H B. CLucina . I D, erunt c t riangula maxima s egmc., i tu i m AH B, C ID iii scripta. ducta dein, o diamino E quae bifulam partiaturrit naisui. ctam An senatur. FG erit illa parati tela lineae A D, cdm A B, D C in F dc G, P. .diuisae sint bifariam, constitutaeque sine inter parallelas A D, BC. ex H igitii ila
ostemaburi .ut in priore propositione φ
i effectioni I adeoque FG, HI 2ι proportionaliter esse diuisas Iu ictis stitiaequi distent, εe in L, M,N bifariam sint diuisis, aequalia sunt triangula FB N. N CG, item NEB,NEC: unde de reliqua FEB, ECG triangula quoque sunt aequaliai
60쪽
aequalia i quia vero Er, Eo in H de Iproportionaliter sint diuisie, erunt&FHB, C IGι adeoque de illorum dupla A H B, C ID triangula inter se aequalia. Quod
Sine AB, AC asympibi, hyperbolae DEG, posuaque ad diametrum AB ordinatim DP P ducantur DE, E G. Q Dico ligine niac rivi a Die, GI E aequari.
Diuisis L D, GE bifariam in N & O, ponantur diametri AIN, Aso, iunganturque DIE, GILE: erupi igitpri DLE, GLE triangula a maxima, don-Σ' ter se baequalia, maioraque dimidijs ς segmentorum quibus inscribuntur. simili-bio,. . rex si residuis utrimque segmen s t ians ala inscribantur ma a, ostedditur trian-
Lin quae omatio insiλευε minoi minioque minio uiuitiari possit, ut in lata ex DI E segmento maiora sint dimi si segmentorum a quibus alisma mu',κκmalia ablatis ei me tρGIE, quorum singula maiora quoque sunt dimidiis Iliorum a quibus ausinuntur . se rentum DIE d aequale est segmento GLE .QM4. erat demonstrandum. as.