장음표시 사용
681쪽
BΚ aci 1 , ic lut EP aci Eb, ita ex constructione fiunt FH ad FH. igitur ut FK ad FK, ita F H ad FH; similia igitur si in t triangula KFH: ac proinde anguli FHK sunt aequales. Igitur puncta B, H.D in plano eodem existunt cum recta BKD,hoc est BED. Quod oportuit demonstrare. LPROPOSITIO XCIV. .
Dico parabolae segmentum B F D ductum in se per lineas E F prod cere ungulam parabolicam quae reducta est ad rectilineum ei aequale. Demonstratio.
T laeae FK ductae in seipsas producunt ungulam parabolitam quae reducta est ad uet.. cor urinil ineunti sed lineae FH ad FH, sum, ut FK ad FKrigit FKarΚ- tineae ductae in F H producunt etiam ungulam parabolicam, re quidem quae ad vn-Mlam ortam ex ductu FK in seipsam,s rationem habeat quam FH ad F ac pio. inde reducta sit adrectilineum. Sed EF EF, lineae ductae in se producunt idem eorpus quod FK lineae ductae in FH, cum lineae EH d ostensae sint esse in eodem plano cum HK lineis; igitur & EF lineae ductae iii FH, siue suprificies EF D ducta in se secundum lineas EF, producit ungulam parabolicam,quq reducta sit adrecti. . : lineam ei aequale. Quod erat demonstrandum.
P R o P O S I T Ι o. XC V. . Sit parabolae ABC axis A D, & contingens in vertice A denique axi aequi distans E B. Oporteat solido ex ductu plani A E B A in seipsum, aequale solidum
682쪽
iiso QUADRAt VRA CIRCvLl. PROPOSITIO XCVI. PArabolae axem A B secent orthogonaliter duae rectae C B, D Et & sis
DC axi parallela. Oporteat denuo figurae FΚC D in seductae, aequale londum exhila re quod praeter basim certam habeat notam altitudinem. conss umo-demmKrauio.
Ponatur iterum,seciuulam praxim praecedentis propositionis. C G contingens sectionem in C occurrens DE in puncto G. Dreo corpus ortum ex ductu plani F D C in se , aequari solido quod habet basim F G C, de altitudinem duplam C M. Demonstratio eadem est cum pret cedenti ex Iε'. dua.
PΑrabolae axem AB, secet orthogonaliter recta CF, parabolamque tangat in Α linea A D, ex C vero ducta sit C D parallela axi. Oporteat figurae D A F C in se ductae, .lidum aequale proferre, quod
praeter basim notam, constet determinata altitudine. confractis c demonstraria. 1 F. C E Gualis rectae B C, & dueatur E D. Denique sit B G dupla rectae BF, Mde selibatur parabola A LG, habens axem AB M ordinatim ad illum positam rectam BG. Dico corpus genitum ductu superficiei DCFA . in seipsam Dult Lina by CO le
683쪽
esse si ae magnitudiniquae eonstat basi ED AGE. M altitudine D A.Est enim platium DCF , in se ductum aequaIe corpori ex AB F in se ductos quod aeqtiatur solido super basi triangulari DEC, & altitudine DA, ut denaonstratum aest libro IV MMdeductibus plani in planum) simul cum rςctangulo DABC ducto in se quod tuatur solido habenti basim D AB C,& altitudinem D A, una insuper cum solido quos generatur ex D A B C ducto in A B F bis, hoc est solido habenti basim A B G, qu dupla est ipsius B AF , ut patet ex libro de parabola , altitudinem DA. Igitur cum figura ED AGE aequalis sit basibus omnium figurarum quae cum altitu- arab.dine DA aequatii r solido quod oritur ex ductu plani D C F Aiu seipsum,expedivi. mus solutionem problematis propositi quoad partem hanc. Quod si vero postuletur solui problema in calli HI FC, quo requirit ut solidum exhiberi ut prius quod aequetur figurae H IF C in seipsam ductae, ponatur AD quae aequidistet HI, 3t producta CH in D , repetatur praecedens constructio εc habe- bitur ut prius solida magnitudo aequalis figurae HI FC in seipsam ductae. nam solidum habens basim E KLG, de altitudinem DA aequatur H IF C ducto in sese-Cundiim tenorem propositionis uniuersalis G quam libro deductu plani in planum
ΡROPOSITIO XCVIII. SIt Λ G B IC parabola cuius axis B D & contingens B si, axi parallela E A; & figura A E M subalterne posita eum figura B E A G.
Oporteat igitur figurae A E Μ ductae in figuram B EAG,aequale soli
dum exhibere, quod determinata constet basi & nota altitudine. cons Ductis in Emonstatio.
stensum est 4 quod eorpus ortum ex ductu MAE In BE AG, siue ductu figu-d p o. ii Utae B EAG. in se subalternε dimidium sit corporis orti ex ductu BGAH in se. -- Sed corpus ortu m ex ductu superficiet B G Α H ductet in se , si diuidatur per Iineam ΑΒ bifariam, aequale est superficiei BGAN ductae in se, BNAH ductae in se hoc est superficiei BGΑN bis in seductae una eum superficie B G Α N bis ducta in planum B NAH. igitur cum corpus eκ duetu superficiei BE AG in se subalternἡ d cta dimidium sit corporis ex ductu superficiei BG ΑΗ in se, etiam aeqiuale est coopori quod oritur ex superficie BGAN in se, sinul cum plano BGAN dueto in B NAH. igitur cum eorpus quod oritur ex ductu BGΑN in se, ureductum sitiae σμ.
corpus habens certam basim dc notam altitudinem, restatur corpus ortum ex ductu
superficiei BGAN in B NAH teducamus ad eorpus quod basim determinatam habeat de altitudinem. Sit igitur.
684쪽
selidum aequale exhibere, quod praeter basim determinatam, habeat alib
ctae proferam solidam magnitudinem aequalem illi quam exhibet cylindrus eκ basi semielliptica ΚΗ & altitudine G, quod posse fieri patet per conuersam aro.det parab.&per s.deduci. item ex propositione 7s. huius. quoniam igitur ΒΚ ductum in Κ E , aequatur moli corporeae ex basi Κ Η, ω altitudine G: dc quoniam trianguIuiri ΚM ductum in parabolam ΚΒ. ad parallelepipedum est reductum, siaut enim propos.27. de duci. ostensum est ex tali ductu segmenti circularis in triangulum ho modo dispositum produci ungulam circularem, ita quoque manifestum est per hurim ductum pro sucivngulam parabolicam quam prop.9'. de cylindr. ad corpus rectili-neum rediimus. Et quoniam ΚΜ ductum in ΚΒ, siue LX in ΚΕ, aequaIe est L. Cducto Di ili mi by
685쪽
ducto in ΚΜ, Ac LK in ME: Ecriirsus quoniam cubatum est corpus ex ductu LK in ΚMpers.deduci. etiam corpus ex ductu LK in ΜR reductum est ad corpus rectiliit eum. ponantur itaque illa duci corpora scilicet ex MK in ΚΒ, & ex ME in
KL, aequalia solido habenti basim parabolicam ΚΙ & altitudinem G. MK in ΚΒ. una cum EM in ΚΒ, shoc est una cum EM in KL, & EM in LB, aequatur ΕΚ in KB, hoc est HK in altitudinem G. sed ΜΚ in ΚΒ, cum EM iii KL aequatur I K in altitudinem G. Ergo reliquum EM in LB, aequatur reliquo IH in altitudinem. G. Quod oportuit praestare. ' . .
ΡROPOSITIO C. , Ie parabolaraxis AB , ad
oporteat autem Dcorpori ex ductu
parabolicam ECF producto proferre solidam magnitudinem aequalem quae determinatam quidem habeat basim, & notam aliquam altitudinem.
ConstructioHdemon uis. ΡErficiatur parabola EP,eiusque
vertex sit punctum Is recta vero IK illius axis, 3cIP contingens in I: quemadmodum A K parabolam AG Ccontingit in A. erit itaque parabola AOP parabolae LIR subalterno posita et & qu niam FEC aequalis ac similis es figurae GEC , patet B A esse aequalem NI & Α inaequalem IM hoc est BP. Fiat itaque parabolae AOP aequalis RST , cuius axiR V constituatur parallela XT:& R Y, Z V inrer se quidem aequales sint, sed Maequales Q Avel ΒΡ. positis deinde Yμ, Z e ordinatim ad axem,
collocetur parabola X- altcrne cum R S Τ, dc ducantur ωκ, σβquae aequidi stent X T. erunt igitur κ ω, σε aequales Z Y, hoc est in alio scemate re C E. est auatem pro p.98.3c 's. huius ostensiam , cui solidae magnitudini habenti basim determinatam de notam altitudinem , Qquale sit corpus quod oritur ex ductu plani ,Sω, ino γ. ergo etiam scitur cui solido determinatae basis& altitudinis aequale sit κS ., in σνηγ, una cum ν κω η in σνηγ, cum haec simul sumpta aequentur νSω,1 in σνη γ. sed κSώ in σννγ aequatur κSω in σγβ, 8c κSω in σν a. Ergo lamma corporum quet fit ex nSω in σγβ , ω ex κS ω in σνηβ, & ex ναωη in σMγ, reducta est ad solidum determinatae basis de altitudinis.sunt autem ex semma horum trium eo
686쪽
potum , duo redima nimirum ae Sao in eum quadrata . sit figura κSia μν ω,1 in θνην, cum quadrata similiter sit figura σν Ergo &reliquum quod fieex kSω in σωβ, reductutia est ad solidum determinatam bens basimac altitudinem. Quod erat propositam.
It denuo AB axis parabolae ad quem sint ordinatim positet E F, CD, O &CG axi aequi distans. Deinde constituatur aequalis & similis figura G C HI subalterne cum figura G F D C. Oporteat quoque superficiei GFD C in G IH C ductae exhibere ae
qualem magnitudinem habentem praeter basim determinatam, etiam. notam altitudinem.
Stensium est . eui proportioni cylindri sit aequalis magnitudo Iida qnae fit ex ductu plani OF DB in se Ribalterne, hoc est in planum LM HI , ponatur itaque portio illa cylindri aequalis corpori quod habet basim circularem P, & altitudinem Q. hoc facto addatur huic basi P tectangulum R , quod ductum in altitudinem Q producat parallelepipedum aequale solido quod fit ex ductu plani OF DB in num GC ML. God fieri potetit, cum ii figura OF DB quadrata st. Quia autem corpus ex ductu OBCG in planum LM HI, aequale est eidem corpori orto ex OF DB in GCM L, adiungatur rectangulum S aequale Rrectangulo, quod ductum in altitudinem Q aequetur R ducto in Q. Tandem adiungatur rectangulum Τ, quod etiam ductum in eandem altitudinem in aequetur parallelepipedo quod gignitur ex ductu plani GOBC in seipsum seu in planum GCM L. erit itaque tota superficies P RSΤ ducta in altitudinem Q producens solidam magnitudinem desideratam, aequalem illi scilicet corpori quod oritur ex ductu GF DC , ducto in subalterne. nam GF DC ductum in GCHI, aequatur
FOB D in I HM L, illoc est Pin Q ὶ simul cum FODB in GCM L, shoc est Rin in simul eum OG CB in I LΜΗ, hoc est S in in una denique cum rectan. gulo OG CB in L GCM ducto, scilicet T in altitudinem Q. quare persecimus
PROPOSITIO CII. OMnibus itaque his suppositis propositum sit proportionem circuli
ad figuram rectilineam notam facere. constructio Diuii tred by Socrate
687쪽
mest fundamentum cui speculationis huius cardo inni litur exhibita itaque est ratio corporis ex AEαζ plano in se ducto ad corpus ex plano C Fηα in se ducto resultans; cum utraque ad corpus quod altitudinem certam habet & bases notas reducta sint: . praeterea exhibita est proportio inter corpora producta ex superficie CFOP in seducta .& solidum ex ductu superficiei A E P ζ in seipsam, cum haec etiam ad corpora reducta sint, quq prςtet altitudinem bases habent notas. Igitur exhibita est propo tio inter has duas rationes, hoc est inter rationem corporis quod fit ex ductu plani in se. ad corpus quod oritur ex ductu plani CFκα in se , ω inter rationem
quam habet solidum ex ductum'i CFur in se, ad selidum ex ductu plani AEP
in seipsum. Verum etiam ς de stratum est eandem esse proportionem inter ratio- c-νω.
nes corporum quae gignuntur ductu subalterno earundem figurarum, hoc est inter rationem corporis ex ductu plan i Α Εα ζ in planum AE θ , ad corpus ex plano para-holico CF ηα in planum parabolicum CF , & rationem corporis quod oritur ex ductu plani C F υ r in planum C F ω, ad corpus quod fit ex ductu superficiei A Esa A E θ π cum proportione quae est inter rationes corporum quae fiunt ex iisdem figuris ductis in se. quare cum proportio quae est inter rationes corporum genitorum ex figuris illis in seductis, nota quoque erit proportio quam inter se habent rationes corporum quae fiunt ex subalterno earundem figurarum ductu. Igitur c d m d haec vitima corpora reducta quoque sint ad solidas magnitudines, quarum bases habent cir- --.cul res figuras, & unam eandemque communem omnibus altitudinem, eadem reeerietur ratio inter haec corpora quae inter bases eorum existet, atque ita ratio circuli ad rectilineum reducta erit, prout plenius ex quadratura quarta adhuc intelligetur.
688쪽
i It AB axis parabolae C AD, cui atqui distet recta MN diuisa' per parabolam in C, sumptisq;κqualibus CG, C R item Co, CS, ponantur per puncta G, F, ita O, S ordinatim ad axem re- ctiGI, ED, O Q, R T. Dico rectangula HGI, EF D fore aequalia; item rectangula ΡOQ, RST.
DIat enim GK media inter GH, GI: & O X media4nter o P, OQ. item FL,S Umediae inter EF, FD, &RS, ST. ostensum, est C ΚX, item CLV esse parabolas, & quidem CLV aequalem piand bparabolet C A D. conincurrat itaque parabola CL V cuaxe AB in Z. manifestum est, Z ordinatim ducatur ZN Lxem CN, aequalem eam sor ordinatim ductae ex C ad axem A B, scilicet aequalem C B i quare cum C LZ, C A D parabolae eaedem sint , manifestum est axes AB, CN aequales esse. Manifestum est etiam ex constructim. parabolam CΚX transire per A nam ex A durat ut A M parallela GK, tanget φsa parabolam C AD, itaque Αἰ nam ex Α, ducatur o* P AM .e linea CG ad C M, etiam qua-
dratum G Κ ad M A quadratum erit ut C G ad C Μ. pator que C Κ X parabi lam transire per A,& quidem ΑΜ uti & G Κ ordinatim erit posita ad axem parabo PC RA e snt ad angulos rectos ductae ad axem AB, ac propterea Α M aequalis erit BC MC aequalis AB, hoe est CN. aequales itaque rursus sunt parabolae CKECLZ, quare &quadratum GK quadrato F L, N quadratum O X quadrato SV, aequale erit. manifestum igitur est etiam rectangula HGI, EFD, itemPΟQ,SRΤ esse aequalia. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CIV. ΡΑrabolet C AD axis sit A B, qu piis autem diameter G CF parabolam
secet in C: factis deinde CG, CF inter se aequalibus, uti&GO, FS, item Ο S L & sic deinceps, per puncta G, O, F, S, &c. ponantur Ordinatim ad axem Ο G I, E D, R M, &c. secantes parabolam in
689쪽
QI AD RAΤvRA CIRCULI. iiDitem in Q,l, T,&c. ex quibus punctis educantur parallelae ad axem,perficiantur rectan 'la Κ R, O FI, E S, R L, item Κmoi, F M, S N. Dico rectangulum o H ad rectangulum hSesse virectangulum Finad reetangulum o I: & rectangulum Κ P esse ad R L, ut rectangulum S Nad KQ ectangulum. Demonstratio.
Quoniam cF, CG, item Co, CS aequales sent , igitur a rectangulum ΗGΙ,ae- apis ibi. quale est rectangulo EFD, ac propterea GH est ad EF, MFD ad GI, sed ,- rectangulum o H est ad rectangulum ES, ut GH ad EF, &tectangulum P Μad rectangulum OI ut FD ad GI, cum altitudines eaedem sint ex constr. igitur manifestum est rectangulum OH ad ES, rectangulum esse ut rectangulum FM ad OI. Eodem prorsus modo ostendetur rectangulum K P ad R L, esse ut rectans tum SN ad KQ rectangulum. Quet fueram demonstranda.
Dico parallelepipedum quod oritur ex ductu rectanguli O H in se,ad id quod oritur ex ductu ES in se, eandem habere rationem quam parallelepipedum ex ductu rectanguli FM in se ad parallelepipedum ex ductu OI inses Demonstratio.
DArat IeIepipedum ortum ex ductu rectaguli Ο Η in se ad parallelepipedum ortum ex ductu rectanguli ES in se, est ut rectangulum OH ad rectangulum ES, cum altitudines aequales sint. Sed h eadem quoque reperitur proportio inter bases parallesepipedorum quet fiuite ex ductu F M rectanguli in se,& ex ductu rectanguli GI in seipsum. Igitur patet veritas proposivionis. coraliam m. Nodem modo demonstrabitur parallelepipedum ex ductu rectanguli K P in se arallelepipedum ortum ex ductu RL in se esse ut corpus ortum ex ductu SN se ad
690쪽
se ad corpus ortum ex ductu rectanguIi K Qua se, imo N de omnibus parallelepi. pedis quorum bases aequaliter a puncto C dii tant, id eodem modo ostendetuL
Dico proportionem quae est inter rationem corporis Ex ductu OH in se ad corpus ex ductu ES in se,& rationem corporis ex ductu F Min se ad corpus ex ductu OI in se, eandem esse cum proportione quae est inter rationem corporis ex ductu plani Κ P in se, ad corpus ex ductu RLin se,& rationem corporis orti ex ductu plani S N in se, ad corpus orium ex
ductu plani KQ in se. Demonstratis.
DEmonsisatum est quod ratio quae est inter corpora orta ex ductu ΟΗ in se, ME S in se, eadem sit cum ratione quae est inter corpora ex ductu FΜ in se, M plani o I in seipsum. Similiter ostensum est quod ratio quae est inter corpora nata ex duetv K P in se, dc ex ductu RLin se, eadem sit cum ratione quς est inter Corpora orta ex ductu SN in se, Ac ex ductu Κ in sedgitur cum utrobique sit ratio aequalitatis, manifestum est quod in propositione fuerat assertum.
PROPOSITIO CVII. Iisdem positis:
Dico proportionem quae est inter rationem corporis orti ex ducta O H in se, ad eorpus ortum ex ductu Κ P in se, & rationem corporis orti eae ductu plani E S in se ad R L in se ductum, eandem esse cum propo tione quae est inter rationem corporis orti ex ductu FM in se, ad corpus ortum ex ductu S N in se, & rationem corporis orti ex ductu o I in se, ad corpus ortum ex ductu plani Κ mn se. .