장음표시 사용
61쪽
Cum enim duo latera AB, AC sint mi alia per hypoth sim , & latus AD sit utrique triangulo BAD , DAC commune, si ponatur angulus BAD aequalis angulo DAC, duo triangula BAD , DAC habebunt duo latera duobus lateribus aequalia , Oalterum alteri, & angulum angulo , qui ae- qualibus lateribus continentur, aequalem. Ergo etiam basis BD aequabit basim DC γγ . Igitur in triangulo M. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM. In triarguto aquilatero recta ducta ab uno anguilo ad latus oppositum, si ipsum angulum bifariam dividat , latus quoque ipsum diυidet bifariam. 7 omne enim triangulum aequi laterum est isosceles ; cumque duo quaelibet ipsius latera sint aequalia cc , quilisbet angulus pro vertice sumi potest.
In triangula i scele recta ducta as angula verticali ad basim , eique ad perpendiculum incumbens, basim ipsum bifariam dividit. 8 Ab angulo verticali BAC trianguli isoscetis BAC ad basim BC ducatur recta AD , quae ipsi basi BC perpendiculariter incumbat. Dico, rectam ADbistriam dividere ipsin basim BC.
Cum enim ob hypothesim duo anguli ADB , ADC sine recti
62쪽
recti a , aequales erunt inter se b . Sunt autem etiam duo ABC, ACB inter se aequales cc . Ergo reliquus quin et tu.que ΒΑD reliquo DAC aequalis erit d atque adeo recta ΑD verticalem angulum BAC bifariam dividet. Isitur bisariam quoque dividit basim BC e) . In triangulo itaque is
scele recta &c. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM LIn triangulo i siele recta ducta is angulo verticali ad basim, eique ad perpendiculum incumbens, disidis bifariam
sum angulum, aitque adeo etiam totum triangulum.
79 Demonstravimus enim , uales esse inter se angulos BAD , DAC , in quos verticalis BAC a recta AD basi BC ad perpendiculum insistente dividitur . Quamobrem , cum Helatus ΑΒ sit aequale lateri AC s), & latus ΑD sit commu-- ne utrique triangulo ADB, ADC, triangulum quoque Λ erit triangulo ADC aequale g .c OROLLARIUM A. triauulo aquilatero recta ducta ab um suorum angulorum ad latus Oppositum, eique perpendiculariter incumores, disidit bifariam tum ipsum angulum , tum ipsum latus, nectim totum ipsum triangulum. 8o Etenim, cum omne triangulum aequilaterum sit isosts
63쪽
c OROLLARIUM IRILElasa, qua metitur altitudinem trianguli i stelis ;σaquilateri, eadit intra ipsius latera. 81 Altitudo namque utriusque trians'li sumitur penes rectam , quae ab angulo verticali cadit in basim, eique ad perpendiculum incumbit ca .
Si duo triangula δεο latera duobus lateribus aequalia biluerint, a terum alteri, habuerint autem etiam basim basi aquailem , -- gutum quoque angulo , qui aqualibus respectise lateribus continentur , aqualem habebunt , eritque ratum triangulum toti triangulo aequale.
Fig. r. Sint duo triangula plana rectilinea ABD, abd, quorum latera AB, ab aequalia sint inter se , ncuti etiam duo ΛD , ad. Bases quoque BD, b d sint inter se aequales.
8x Dico primo, angulos BAD, qui aequalibus r.ective lateribus continentur, esse inter se aequales.
Posita namque aequalitate laterum AB, ab ' AD , ad pnMueunt bases BD , bd esse aequales inter se, quin distra'ctio laterum M , AD adamet distractionem laterum ab , ad; ac proinde quin anguli BAD , bad sint inter se a quales b . Bases autem BD, bd positae sunt a quales . Ergo anguli quoque BAD, bad inter se a quales erunt; ade que M.
64쪽
II. 83 Dico secundo , totum triangulum B AD aequale esse toti triangulo bad.
Cum enim latera sint respectime inter se aequalia, sit nimbrum AB ra ab , Bumbd, DA congruent sibimu- tuo tam duo AB, ab , quam duo BD, bd, sicuti etiam duom, da a) . Ergo totum triangulum ABD congruet toti triangulo ab d bb; eruntque proinde ipsa triangula inter se adilualia est. Si ergo duo triangula &ci quod erat ostemdendum c OROLLARIUM LOmnia triangula inter se mutuo aquilatera, sunt aqualia. ostensum est enim, ea sibi mutuo congruere , si unum alteri superponatur. c OROLLARIUM RDuo triangula inter se mutuo aquilatera , funt etiam intra se mutuo quiangula , aquales nimirum babent angulos , qui aequalibus lateribus opponuntur. 8s Non enim potest perimeter trianguli BAD GFruere perimetro trianguli b ad , sieuti alter alteri congruit, si triangula sint aequi latera inter se mutuo, quin eorum anguli itidem sibi mutuo congruant, alter alteri, qui aequalibus late' .ribus opponuntur, videlicet MD, abdη BDA, bda' BAD, bad . Ergo eorum anguli erunt aequales, alter alteri d iro ac proinde M. cOROD
65쪽
coROLLARIUM m. In triangulo i stela recta dacta ab angula verticali ad basi ἀeamque bifariam dimidens , ipsum quoque angulum dioidis bifariam.
86 Si nimirum in triangulo isescete BAC reetii AD ducta ab angulo verticali BAC ad basim BC, ipsam talariam divia dat, bifariam quoque dividet angulum BAC. Enimvero cum' duo latera AB, AC sint aequalia sa), & latus AD sit eom,
mune utrique triangulo BAD, DAC, posita aequalitate duorum BD, DC, duo triangula BAD, DAC erunt inter se m tuo aequilatera b . Ergo erunt etiam inter se mutuo aequiangula, habebuntque angulos BAD , DAC aequalibus ut ribus oppositos , inter se aequales cc .c OROLLARIUM M. In triangulo aquilatero recta ducta ab uno angulorum ad latus oppositum, ipsumque latus bifariam disidens, angulum euoque issum dividis bifariam. 3 ne siquidam triangulum maestaterum est isesce
c OROLLARIUM R Recta , qua duas rectas aquales , oe parallelas ad easdem partes conjungunt, sunt inter se paracteis.
88 Ut si duae rectae AB, CD aequales inter se, & paralle- ζ jungantur duabus rectis AC, BD, ipsae quoque AC, DBF. ,, erunt parallelae . Cum enim duae AC , BD sint hoc ipso aequales e , si ab extremo A ad oppositum D ducatur rena AD, duo triangula MD, ADC erunt inter se mutuo
66쪽
aequilatera a) adeoque etiam aequiangula, eritque anguia lus Am angulo DAC aequalis H. Sunt autem alterni, ut patet. Ergo duae rectae AC, BD erunt parallelae e .
D triangulo Mostela recta ducta ab angula verticali ad basion ea trique bifariam dividem , est ipse basi perpendicularis. 89 Ab angulo verticali BAC trianguli isoscetis BAC duacatur ad basim BC recta AD, quae basim ipsam bisulam dividat. Dico, rectam ΛD esse basi BC perpendicularem.
Etenim ob hypothesim duo triangula BAD , DAC erunt inter se mutuo uilatera d . Igitur angulus ΑDB aequa-νbit angulum ADC , qui sunt aequalibus lateribus ΑΒ , TaAC oppositi D . Duo autem anguli ADB . ADC valent duos rectos g . Ergo uterque erit rectus ac proinde recta AD ad serpendiculum rectae BC incumbit M. In triau, gulo itaque ilascete &c. quod erat ostendendum. c OROLLARIUM.u triangulo aquilatera recta ducta ab uno trium angularam ad latur insitum , Gumque bifariam dividens , es eidem perpendicataris. 9o Diangulum quippe aequilaterum est isosceles i , in quo perinde omnino est, quodcumque latus pro base s matur . THEO
67쪽
In triangulo inserie recta ducta ab angulo vertieali ad basimi sumque angulum boriam dividens , est basi perpendicularis. si In triangulo is cele ABC ducatur ab angulo vertica-ii BAC ad basim BC recta AD, dividens angulum ipsum hilariam . Dico . rectam AD perpendiculariter basi BC imsistere.
Cum enim duo anguli ABC , ACB sint aequales sa)sicuti etiam duo BAD , DAC per hypothesim , etiam re'. liquus BDA reliquo ADC aequalis erit b . Duo autem .u. Α- , ADC aequales sunt duobus rectis c . Ergo uter que erit rectus; ac propterea recta AD ad perpendiculum basi BC incumbet d J . Itaque in triangulo isoscete M. quod erat ostendendum.
C. O R. u M. In triangulo aquilatero recta ducta ab uno trium angulorum
, ad latus oppositum , ipsumque angulam bifariam dividens , est eidem tueri perpendicularis. 91 omne siquidem triangulum aequilaterum est isost
68쪽
δὴ duo truingula duos angulos duobus angulis aquales habueriat ;' alterum Hieri, O unam lagus uni lateri aquale, qua aqua libus angulis ad acent, vel qua uni aqualium angularum subtenduntur , σ reliqua latera reliquis lateribus aquaeia habebunt, alterum alteri, eritque th
Duo anguli ABD i ab d triangulorum BAD ; bad
aequales sint inter se, sieuti etiam duo Am , adb . Unum quoque latus unius trianguli unum latus alterius adaequet, Prinius casus. Et quidem primo aequalia sint latera, quae aequalibus am lis adjacent, nimirum BD, bd. Dico, latus quoque Maequale esse lateri ab , & latus AD lateri ad .
Cum enim latera BD, Od sint aequalia ἀ convuent sibi mutuo, si eorum unum alteri superponatur ast . Eandem quoque ob causam congruet angulus MD angulo abd, de angulus Am angulo adb b . Ergo latus ΑΒ congruet latera ab , & latus AD lateri ad , necnon apex Λ apici a. linippe si secus, anguli illi sibi mutuo haudquaquam congrum rent . AEqualia autem sunt inter se , quae sibi mutuo congruunt se . Ergo duo latera AB, ab sunt inter se aequalia silauti etiam duo AD, ad.
69쪽
AEqualia modo sint duo latera AB, ab , quae aequalibus angulis Am , adjacent. Dico, etiam reliqua latera esse reliquis lateribus aequalia, videlicet latus BD lateri bd,& latus in laterida.
Enimvero, cum ex hypothesi duo anguli ABD, ADB a quales sint duobus abd, a b , etiam reliquus BAD reliquo bad aequalis erit ca . AEqualia igitur latera AB, ab ariualibus angulis adjacent. Ergo per demonstrationem praecedentem reliqua latera BD, DA reliquis lateribus bd, da aequalia erunt, alterum alteri; adeoque &α IL p. Hisce positis dico, totum triangulum ABD toti triam gulo aseesse aequale.
Duo enim triangula ABD , ab d sunt inter se mutuo . quilatera, ut modo demonstraVimus . Ergo sunt inter se inaualia b . Itaque si duo triangula M. quod erat ostemdendum.
70쪽
, duo reuingula duo latera duobus lateribus aequalia baluerint, alterum Hieri, sed angulum angulo majorem, qui aqua, libus respebrae lateribus emtinentur, basis quoque unias base alterius major erit.
sint duo triangula plana rectilinea ABD, abd, quin Fig. s. rum duo latera ΑΒ , ab aequalia sint inter se , sicuti etiam' duo AD, ad. Angulus autem BAD major sit angulo bad. Dico, basim quoque BD majorem esse lide bd.
Cum enim angulus MD major sit angulo bad . distra a. ita. cta a se mutuo magis erunt duo latera AB , AD , quam duo ab , ad sa). Sunt autem illa latera respective inter se aequalia. Ergo majorem rectam intercipient duo AB, AD, quam duo ab , ad , eritque propterea recta BD major,
quam recta bd. Iinque siduo triangula M. quod erat Ostentdendum. h
Si duo triangula duo latera duobus lateribus aqualia bauerint i alterum aeteri , ct basim bast majorem, auulus qaoque unias angulo alterius , qui aquatibus lateribus tantinentur , major erit.
96 Sint duo triangula plana rectilinea ABD, ab d , quo- νJD . rum duo latera ΑΒ , a b aequalia sint inter se , sicuti etiam τ ..v. duo AD, ad . Basis vero BD major sit base bd. Dico, angulum BAB angulo bad majorem esse.