장음표시 사용
101쪽
COR. I. Si in triangulis ABC , DEF, sit angulus D m B & praeterea DE : DF es BA: BC, erit trian. gulum DEF triangulo ABC aequiangulum Nam su per AB capiatur Be-DE , ducaturque es parallela rectae AC , triangula AhC , eBf sunt aequiangula ;cum ob parallelam es, angulus teB ra A, ef B m C, & ob angulum B, communem . Ergo Be : Es m BA rhC . Sed ( ex hypoth. b DE: DF m BR : BC , ergo Be : Blm DE : DF ; at Be ra DE, ergo B- DF; ac proinde duo triangula Bes, DEF, sunt aequalia 3 similia; sed Bes est triangulo ABC aequiangulum et .
ergo triangulum DEF est aequiangulum triangulo ABC, ae proinde generatim triangula duo, quae duo latera homologa circa aequalem angulum habent proportionalia , sunt aequiangula.
COR. II. Si recta AD ( Fig. 1 f. b angulum BAC,
bitariam & aequaliter dividat in triangulo BAC , eadem recta latus oppositum BC dividit Euoque in duas partes BD , DC lateribus AB , AC proportionales . Etenim producta recta CA , per punctum Bagatur BE rectar AD parallela , triangula BCE , DAC erunt similia ( prop. I.); ac proinde BD: DUeta AE : AC ; sed ob parallelas, ansulus BEA mi DAC m DAB ra ABE ; ergo triangulum BAE est isoscete si cor. a. prop. a. cap. praec.) ; quare AE mAB, ideoque BD et DC ea AB: AC . COR. III. Si ponatur triangulum BAC rectangulum , & ex angulo recto A demittatur perpendicularis AD in basim EC, quae angulo recto imminet &b potenus dicitur, haec dividet triangulum in duo alia triangula BAD , DAC inter se, & triangulo BAC similia . Et quidem triangula BAD, DAC ,
praeter angulum rectum, habeni quoque cum triangulo BAC angulum communem , ac proinde simi ha sunt inter se & toti triangulo . Hinc BD: DA ra
102쪽
potenuse in triangulo rectangulo aequale est quadra
COR v. Diagonalis quadrati est lateri incommet sura sis. Cum enim diagonalis sit hvpotenusa trianguli rectanguli, cujus latera sunt aequalia, quadratum diagonalis aequale est diiplo quadrato lateris. Sed numeris exprimi non potest radix quadrati dupli ( ex demonstratis in Arithmetica b. Ergo si latus quadrati
numeris eg primatur, exprimi non poterit diagonalis , Ac contra
COR. VI. Perpendicularis Eo e Fig 16.) ex circumserentiae circuli puncto quolibet in diametrum demissa, est media proportionalis inter duo segmenta CO , OL ; nam si eae puncto E ad diametri extremitates agamur rectae EC, EL, triangulum CELest rectangulum in C, ae proinde Co : EO m Eo eolus & EOA at CO OL i recta perpendicularis: Eo dici iolet ordinata, a visu autem vocatur pars CO diametri inter perpendicularem & circumseremtiam comprehens . . IPROP. III. OI DUCANT 'IN CIRCULO CRORDAE
CEORD3RUM SEGMENTA ERUNT RECIPROCE PROPIR
TIONALIA . Si enim, ducantur DA , CB, triangula BEC, UAE sunt similia ob angulos in E aequales, atque ob augulos C, A , de B, D utilem arcubus subi tentos. Quare AE : DE mEC : BE . . M. . LCOR. I. bi duae liveae EB , EU Fig. i8. ex eo dem puncto extra circulum tactae, ad supernciem concavam Terminemur, partes eviemae EAr, E rectis integris EB, EG sunt reciproce proportiou
103쪽
's ELEMENTA Ies. Ductis enim chordis AC, DB, triangula EBD , EAC similia sunt, ob angulum E communem de angulos B, C eodem arcu AD subtensos . Ergo EA : ED et: EC: EB . COR. II. Si recta EB sit secans , altera autem Ed tangens, erit EB: Ed ra Ed : EA . Nam ductis dB, dA , similia erunt triangula EcB , EdA, ob angulum E communem, & angulos hBd, AdE aequales quorum communis mentura est dimidius arcus
Adceor. S. prop. q. cap. a. b. Ergo angulus dAEm EdB, ac proinde EB: Ea m Ed: EA, hoc est, tangens est media proportionalis inter rectam totam EB & partem externam EA . COR. III. Hinc facile dividitur recta data bifariam , ea conditione ut major pars sit media proportionalis tuter totam rectam & ejusdem rectae partem alteram. Nam ( Fig. Io.) super datae rectae AB extremitatem erigatur perpendiculatis AE , dimidiae AB aequalis , dc centio E , radio AB describatur circulus DA F. Deinde per B & E agatur recta BF ,& centro B., radio BD describatur arcus DC, hic occurret rectae, AB in puncto quaesito . Etenim ob tangentem BA, erit BF: BA-BA : BD, ac proinde BF BA: BA m BA BD. BD. Sed BF-BA in BD m BC; cum sit FDmBA utpote dupla ipsius EA quae est dimidia rectae AB . Simili modo BA BD m AC i ergo substitutione facta
In hoc corollario continetur problema quod his ver- bis proponere Stent Geometrae: Rectam dividere in i
e Alia etiam problemata proponi solent qualia sunt:
Tribus datis rectis quartam proportionalem imenire et Inter duas rectas invenire mediam proportionalem . Sed haec manifesta laut ex praecedentibus, bx: PROPIT. SI DUJE FIGURAE SIMILES IN TRIANGULA UTCUMQUE DIVIDANTUR PER DIAGONALEs EX AN GULIs
104쪽
GEOMETRIAE C A P. IU. os GULIS HOMOLOGIS DUCTAS , TRIANGULA HOMO LOGA
ERUNT SIMILIA . Etenim sint duo polygona ABCDE,
Nam cum anguli B , G aequales sint & lateribus proportionalibus comprehensi , similia erunt triangula
ta CADm GFΚ - GFH IF Κ m ΗFl. Igitur angulus CAD m angulo HFI. Simili modo ostenditur angulos A CD, FHI, & ADC , FIn aequales essit , Quare triangula ACD, I HI sunt aequiangula.
Uiceversia duae figurae quaelibet silmiles sunt, si iatriangula sequiangula resolvi possint. Nam ob angulos aequales in triangulis aequiangulis, aequales sunt anguli homologi in unaquaque rigura. Quare cum Iatera figurarum sitat triangulorum aequianguloruni latera proportionalia , figurae similes sunt.
COR. Si diuidatur BC in L , latusque homolonum GH in M in eadem ratione , ita ut sit BC tGH m LC : ME . Deinde si ducantur rectae duae ad arbitrium LN , MO, quae angulos CLN, EMO aequales efficiant, vel quae dividant latera homologa ED, ΚI in eadem ratione , ita ut sit ED: ΚI et: DN:
IO, erit LN : MO m CD: Hi m BC: GH Bee. Nam ductis NC , OΗ , triangula NCD , OHI similia sunt ob angulos D , I aequales lateribus proportionalibus ND , DC, & OI, IH comprehensos. Quare CD et HI m CN : Ilo, Se angulus DCN mIΗO . Si ergo
anguli illi auferantur ex angulis aequalibus DCL, IHM, remanebunt aequales anguli NUL , OEM, ae Froinde triangula NUL, OH A similia liuit, ideo
105쪽
p6 RLEMENTA Iibus dueantur lineae,quae dividant latera homologa vel
angulos homologos in eadem ratione, lineae illae erunt proportionales inter se , arque eriam eorundem polygonorum lateribus quibuscumque homologis. SCHOL. Linearum rationem jam consideravimus in quantitatibus finitis , superest ut pauca , quantum nobis necesse est, explicemus de ratione quantitatum quas infinite magnas & insirite pamas appellant. Et in primis quidem observandum est nullam quantitatem in se spectatam , & sine nostro cogitandi modo, aut infinite parvam esse aut in sinite magnam ; sed magnitudo quaelibet in se determinata est. Et quidem da.ra quavis magnitudine , utcumque parva, vel utcumque magna , alia semper minor in primo casu & alias aper major in casu altero haberi potest; nobis enimiicet quantitatem exiguam vel ingentem considerare , Primamque minuere, alteram augere, abstrahendo animum a quovis limite determinato; priorem quanti. ratem dicimus insuite imam vel infinite parvam S quantitatem alteram appellamus insitatam , vel infinite magnam i rationem quam duae quantitates finitae habent ad se invicem , rationem snitam vocamus. Patet autem diuersos esse infinitorum & infinitesimorum ordines; licet enim magnitudo aliqua concipiatur infinita vel infinites ima , semper tamen quantitas manet , ac
proinde ultra quoscumque limites augeri potest &minui . Si quaentitatem aliquam finitam ultra quoscumque limites minui concipiamus, hanc dicimus infinitesimam ordinis primi. hi autem quantitas alia ad hanc infinitesimam habeat rationem quam ipsa infinitesima habet ad quantitatem finitam, quantita-etem hanc dicimus in sinitesimam secandi ordinis, &ita deinceps. Uice versa si qmedam quantitas sit adfinitam quantitatem , ut quantitas finita ad infinitesimam ordinis primi, eam dicimus infinitam ordinis
primi, & ita deinceps superiores infinitorum ordines intelligere licet. Exemplum sit in circulo cujus diameter
106쪽
GEOMETRIAE CAP. IU. OTmeter est ad chordam, ut est chorda ipsa ad abscissam, ac proinde si fingatur chorda in si alte parva primi ordinis , erit abscilsa infinitesima ordinis secundi. Ex his patet calculo sublici posse quantitates infinitas & infinite limas. Infinitum hae nota exprimi solet m. Quare numerorum series infinita hoc modo repraesen rari potest, O, I , a, Ssq, S eo. Pari modo quantitas quaelibet finita concipi potest divisi in partes perpetuo decrescentes, donec perveniatur ad quantitatem infinitesimam . Talis est series, se , - ,
tem infinitam finitae quantitatis additione, vel suta tractione majorem , vel minorem non fieri ; cum finita quantitas ad quantitatem infinitam , rationem habeat qualibet data minorem l simili ratione , quantitas infinite parva quantitatem finitam augere , vel minuere non potest . Itaque oo m: oo - - I , & I ret TU . Eodem modo si diversi infinitorum ordines
per diversos exponentes desiignantUr, erit m amm & --- ε - . verum si quantitates ejusdem generis considerentur , sive infinitae, sive infinite simae , ex notione quantitatum illarum manifestu in est eas non secus ac quantitates finitas tractari debere; probe enim recordandum est quantitates illas non absolute sed relative duntaxat, & secundum nostrum concipiendi modum , esse infinitas , vel
multa colligere est. Quantitates infinitae vel infinite fimae ejusdem ordinis adduntur vel subtrahuntur non secus ac vulgares quantitates. Quantitas infinita primi ordinis multiplicata per quantitatem infinitam itidem ordinis pri-
107쪽
pS ELEMENTA GEOMETRIAE CAP. IV. mi producit quantitatem infinitam ordinis secundi . At quantitas infinita ordinis cujuscumque per quantitatem finitam multiplicata producit quantitatem infinitam eiusdem ordinis . Et generatim quantitas infinita cujusvis ordinis per aliam quantitatem ordinis cujuscumque multiplicata evehitur ad illum infiniti gradum , cujus exponens est ipsa exponentium summa. Contraria autem ratione , si quantitas infinita ordinis cujuscumque per quantitatem infinitam ordinis cujuslibet dividatur , habetur quantitas cujus gradus designatur per ipsam exponentium differentiam . At si quantitas infinitesima cujuslibet gradus per quantitatem infinitesimam ordinis cujuscumque multiplicetur aut dividatur , in primo casu quantitas infinitesi- .ma ad eum deprimetur gradum qui per eX ponentium summam exhibetur ; in casu autem altero quantitas infinitesima ad eum gradum evehitur, qui per ipsam exponentium differentiam repraesentatur, ita ut quantitas infinitesima per divisionem fieri possit finitae atque etiam infinita. Ilaec pauca dicta sint de pri- martim es ultimartim rationum methodo, quam quidem ad methodum exbatistionum revocari poste intelligitur. l
108쪽
De proportionum usi in Triangulorum resolutione, sis de Trigonometria..I. V X linearum proportione tota pendet 'st
Ita nometria, qua est ars resolvendi triangula ; in triangulo autem sex partes considerari possunt, nempe tres anguli & tria latera . Ηuc autem refertur trigonometriae praxis, ut datis tribus ex sex partibus trianguli, quae tamen tres anguli esse non debent , Partes reliquae iuveniantur ; ac proinde tres partes datae constituere debent tres primos proportionis terminos, & terminus quartus erit pars quaesita. verum quia latera trianguli simplicem rationem non habent cum angulis, quorum mensura sunt arcus circuli, angulis vel arcubus circuli substituuntur lineae rectae, quae arcubus illis respondeant & trianguli lateribus Proportionales sint. Harum linearum definitiones aia seremus , & proprietates demouitiabimus.
Sit angulus quilibet ACB. (Fig. ai. ex cujus
vertice C, tanquam centro , & radio ad arbitrium sumpto describatur circulus AlcaG . Producatur AC in a , erigaturque in C perpendicularis CH ; evidens est angulum BCΗ vel arcum HB esse compi mentum anguli ACB, vel arcus AB, angulus BCavel arcus Ba dicitur supplementum anguli ACB , vel arcus AB, & viceversa BA est complementum ipsius HB , viis plemenitim ipsius aB . Recta BD ex radii extremitate B ad radium CA perpendiculariter ducta, dicitur sinus arcus AB, vel anguli ACB . Recta A E ex radii extremitate A perpendiculariter du- , in & radio alteri oecurrens in B, vocatur tangcusareus AE; recta autem CE, ejusdem accus secani ppellatur Pars AD radii tutet arcum & sinum G a com
109쪽
r ELEMENTA comprehense dicitur sinus versi s arcus AB. Perpendicularis Et dicitur simis complementi arcus AB ; perpendicularis ΗΚ tangens complementi , CΚsecans com-φlementi, &HI sutis verses complementi arcus AB. Compendii ergo sinus complementi, tangens Complementi &c. dicuntur C tuus , Stangens, Coscans , C intis vermis . Brevitatis causa scribuntur R pro radio ; sin . pro sinu ; taug. pro tangente , sin. v. Pr .
II. Ex his desinitionibus multa colliguntur ..... a Sinus, cosinus, tangens, colangens &c. anguli obtusi BCa , sunt etiam unus, cosinus &c. anguli acuti ACB, qui est anguli obtusi supplemenium . Nain ex radii alterutrius extremitatibus B, vela, demitti non potest perpendicularis , quae non cadat tu i adiuna alterum productum ; tales sunt perpendiculares BD, d ; similiter tangens alia et se non potest quam ae , sed ob triangula sicili, ECD,&Cae, CAE aequalia, habetur ad ra BD, aemAE. Cum autem litarcus BΗ complementum arcus aB, atque etiam arcus AB, evidens est BI este cosinum arcus aB & ri Nillius colangentem a.' Sinus BD arcus. AB est dimidium chordae BG, arcum duplum B subtendentis. ( Prop.a. cap. a. b. .. 3' Sinus creicunt crescentibus angulis a in uique ad bo', & eodem modo decrescunt a so' usque ad I 8o' q.' binus arcus go' dimidio radio aequalis est ; est emin radius aequalis chordae arcus 6O' ( cor. q. prop. S. cap. S, I oceiusdem arcus sinus est dimidia chorda arcus dupli. Itaque tu triangulo rectangulo latus oppositum angulo go' est dimidia hypotenusia husus trianguli. Naim
SPTanoentes crescunt, crescentibus angulis a ov ulquq ad OO' ita ut tangens arcus grad. Oo, sit infinita , nam radius CΗ , in angulo recto EUA, non est concurrere cum tangente . . C.' Tangens arcus Asu aequalis est radio . nam sic angulus ACB sit gs' , triau-
110쪽
GEO M ET O . Torgulum rectangulum CAE erit isosceles, & AEra AC.... T.' Sinus versus AD arcus qui minor est bo', aequalis est differentiae inter radium C A & eosinum CD die BI. Praeterea cosinus versus III est difflarentia inter radium CFl & sinum CI m BD; at sinus uersus supplenienti nempe Da, aequalis est siunimae radii &cosinUS .... 8.' Ob trian quia rectangula similia CDB,
BD, nempe radius est ad cosinum ut tangens ad sinum . Deinde haec alia habetur analogia CH : CIvel BD et E R : l B, hoc est, radius ad sinum ut co- tangens ad cosinum . Tandem AE: CA die CH vel CA : ΗΚ ; hoc est, tangens ad radium utvadius ad
colangentem . . . si ' EX praecedentibus analogiis derivantur sermulae quarum ope sinus substituuntur tan
Tang. A et i die Cot. B R Tang. B. . . . IO.' In omni triangulo sinus angulorum sunt ut latera angulis opposita . Etenim triangulum circulo inscribatur, singula latera sunt chordae arcus dupli, qui est mensura anguli oppositi. uare dimidium latus est sinus anguli oppositi; sed semisses sunt inter se ut tota , ergo latera iunt ut sinus angulorum oppositorum . Hinc cum sinus anguli recti sit radius & latus oppositu in sit hysothenusa, erit in triangulo rectangulo radius ad hypothenusam ut sinus anguli unius acuti ad latus eidem anstulo oppositum . . . . O.' In triangulo rectangulo cosnus anguli unius aeuti est sinus anguli alterius ergo sinus anguli unius acuti est ad suum cosinum ut latus huic angulo oppositum est ad latus alterum ; sed sinus est ad cosinum ut tangens ad radium ; ergo iuiriangulo rectangulo, tangens anguli unius acuti Vit