장음표시 사용
51쪽
inventae scilicet Iad contineatur in so8, quotus erit q, iterumque ex numero superiori aufer productum LX Iagd in q, nempe qO 6, residuum est IIa . Quare radix proxime vera numeri propositi est fag ; numerus autem ille foret perfecte quadratus sit numero IIJ minueretur . Quamvis autem radix quadrata non sit accurate vera , ad eam tamen frac ionum decimalium ope pro arbitrio licet accedere. Residuo iis addantur cyph rae duae , ut hic factum vides; & hau beatur numerus Garum tanquam prima pars radicis cujus duplum sumatur nempe Iagd , dividaturque IIJooper Ia 8 , quotus est o ; quare scribeo, in radice ,& multiplica Iag8o pero, productumque , auserexIU , remanet,IIJoo. Huic residuo iterum addantur cyphrae duae ; sumaturque duplum radicis nempe Iaq8O per quod dividatur IIJOOO , scribaturque quotus O, in radice per quem multiplicetur numerus Iad8Oy, productumque IIa Sa XI auferatur ex IIS Oo, residuum sit 5 IO. Operatio rursus continuari posset, sed satis patet methodus cujus operadicem proxime veram obtinere licet & ad eam magis ac magis accedere. Tota operationis ratio manifesta est ex factionum decimalium natura . In hujus operationis s erie idem notare oportet quod
in divisione observatum est; nempe si post adsectas alicui residuo notas duas classis proxime sequentis,
duplum radicis inuentae non contineatur in Dum ero ,
qui per illud duplum dividendus est; postrema hujus
diuidendi nota neglecta , cyphra scribenda est in radice , & classis proximae notis duabus demissis, operatio continuanda . Evidens autem est hanc operationem esse divisioni simillimam in qua radix sit quoius, divisor vero sit duplum radicis postremo inventae auctum nota quae deinceps investigatur . Hoc unum interest quod in divisione divisor semper est idem , hic autem semper augetur ; in divisione totus divisor cognoscitur, hic autem ignota est novi divisoris nota ,
52쪽
ET ALGEBRAE CAPUT T Mouae inquiritur ; atque id in causia est cur in hac diu sone instituenda postrema dividendae quantitatis nota praetereatur. Si contingeret divisorem esse majorem . V. G. in praetenti exemplo si productum eae a, in iaci subtrahi non posset ex as , iam in radice seribendus esset numerus proxime minor & tota operatio esset reformanda . Seci in casu nostro id minime cono tingit 3 quare nulla correctione opus est. Unum tamdem superest notandum cur nempe post duplum radicis inventae seribatur radix nova & deinde numerus totus per radicem novam multiplicetur. Ita in prata senti exemplo post duplum primae radicis ia, scribitur a , totusque numerus Iaa, multiplicatur per novam radicem a s operationis ratio manifesta est ; cum enim numerus a, in radice duas exprimat decadas, hujus numeri quadratum versus sinistram promoveri debet, ut patet ex notarum arithmeticarum significatione.
Ad radicis cubicae extractionem jam veniendum est. Pro radice cubica methodus est admodum similis & ii dem innititur principiis. ER- trahenda sit radix cubica, ut in praesenti exemplo. Diviso numero in classes per ternas notas incipiendo a postremis notis, prima classis,
quae poterat continere vel tres notas, vel duas, in hoc casu unicam continet. Quaeratur radix cubica numeri S, Exemplum.
proxime minor quae est I. Hujus cubus I, subtrahatura prima classe s , residuum est si, cui adnectatur classis sequens, ut hic iactum vi-q 68oogido
53쪽
ELEMENTA ARITE METICAE des. Deinde ita dicendum , prima pars radicis I, pro decade haberi debet si conferatur cum secunda parte . Sumatur itaque numeri Io, quadratum Im& per illius triplum goo , dividatur ggos, invenietur quotus p; quilibet enim alius foret justo major, si et
excederet , ut patet operationem experiendo. Jam multiplicetur goo per p, habetur productum a I .
auferatur ex numero q3Os, residuum est gya. Demittatur classis tertia gya & duae primae partes radicis velut pars unica considerentur . Haec autem pars quae est i , aequivalet i o si conferatur cum tertia parte quaesita . Sumatur hujus numeri r o triplum quadratum 86 oo, per quod dividatur pars cubi reliqua Syag a, prodit quotus q, quem scribe in radice ;multiplicetur divisor 86 per A, productum sits 68m quod infra scribitur. Dicas deinde κg mici; ad A ipo X 3m 816o, quod productum scribe infra 3 68 , atque insta scribi debet cubus ipsius qnempe 6g. Adduntur tres illae quantitates quarum summa 3s Soag ex reliqua cubi parte subtrahatur , re. siduum sit 3 8 . Quare numerus propositus non est cubus perfectus ; sed ad radicem proxime veram lucebit accedere sit residuo addantur tres cyphrae, ut in praesenti exemplo factum est i & eadem operatio deis iude pro alio quolibet fractionum decimalium numero iteretur, magis ac magis accurata fiet radix inventa. Illud autem observandum est diligenter invenistas radicis partes velut partem unicam tractandas eme, si pars alia investigari debeat. In extractione radicis quadratae & cubicae, diximus tot esse radicis partes quot sunt diversae numeri propositi partes . Id vero demonstratione indiget. Quantitas quaelibet ex duobus constans numeris unicam
54쪽
. R T ALOE ARAE CAPUT T. scam duntaxat in radice partem habere potest ; consideretur numerus OO , omnium qui duobus constent notis maximus . Deinde radicem ex duabus notis compositam omnium minimam IO, consideremus; quadratum erit IOO quod numero os majus est , ae proinde radix duas noras continere non potest . Similiter quantitas omnium minima quae tres habeat no
tas est Ioo , cujus radix quadrata est Io quae proinde
duas continet notas; at quantitas omnium maxima quae tres habeat notas est yyy, cujus radix tres notas habere non potest; nam numeruS omnium minimus
tribus constans notis est Ioo , cujus quadratum sitI quod quidem numerum Do longe excedit. Eadem ratione ad aliam quamlibet numerorum seriem progrediendo facile intelligitur praescripta numerorum divisio in extrahenda radice quadrata &huic numerorum divisioni partium numerum in radice respondere evidens est . idem simili ratiocinatione constat pro radice cubica . Manifestum est extractionem radicum simili ratione perfici in numeris fractis, extrahendo scilicet radicem propositam ex numerat re & ex denominatore. in qualibet autem radicum extractione, operationis rite peractae facile habetur
argumentum . Si radix sit quadrata , haec in se ipsam ducatur productoque addatur residuum , si albquod fuerit, facta operatione restitui debet ipse numerus propositus. Similiter radix cubica ad cubum evehatur ; id vero statim patet ex ipsa earumdem
IV. Saepe ab extrahenda radice supersedemus ubi veram invenire non licet , & quantitati propolitae
praefigitur signum e quod raditate appellant. Sic
significat radicem quadratam numeri 33 M IO , deuintat radicem cubicam denarii; & hi sunt numeri quos
arithmetici vocant Omero ardor , sive irrationalei , aut etiam ineommensura, P. Quantitatibus litteratibus
55쪽
6 ELEMENTA ARI Tu METICAEbus idem signum praefigitur: ita Me ab , - abe, signisicant radicem quadratam ipsius ab , & radicem cubicam quantitatis abc. Sed commoditatis ergo radix secunda vel quadrara exprimi latet per - radix
cubica per mi- , ita a , a i , a m , significat radicem quadratam, cubicam, & radicem quamlibet indeterminatam m. Ut autem clara talium expressionum notio habeatur, meminisse Oportet quae antea de exponentibus breviter dicta sunt. Ponamus amb/,
erit a in D 3. Praeterea in quantitate (bbbi exponens 3, indieat quantitatem bb, ter scribendam esse, ac proinde (bbbi in bri . Igitur eadem ratione in quantitate (bb)m, exponens designat litteram b, dimidio minus sumendam esse quam tu bb, ac proin-
de semel tantum, quare (bb) - b Tet a *- a. Idem patet de aliis quibuscumque exponentibus. Res autem tota magis ac magis illustrabitur, explicatis quatuor arithmeticae operationibus in quantitatibus surdis. Quantitates lardae adduntur vel subtrahuntur facillime , si ejusdem sint exponentis Sc eandem habeant iub signo radicati quantitatem. Si autem res non ita se habeat, saepissime contingit quantitates lardas ejusdem ordinis ad eandem suantitatem sub signo radicali posse revocati . Ita se addi uel iubtrahi debeant quantitates radicales in q8abb, & b in sa, prima per reductionem mutatur in g, ga, altera autem in Sb ga. Quare in i ' cassi habebitur 'b ga, in altero autem b ega. Totum reductionis artificium in Eo consistit ut numeri iub signo radicali positi quaerantur diviseres, inter quos ille eligatur, si quis fuerit, ex quo liceat radicem extrahere ejusdem ordinis,cujus est surda quantitas. Si aliquem ejusimodi divisorem invenias, ejus radicem praefige signo radicali quo in
56쪽
ET ALGEBRAE CAPUT V. ducludatur tantummodo alter dati numeri coeffetens Si autem nullus talis divisor iuveniri possit, iam quantitates radicales in additione signo, connectendae in subtractione autem signo - separandae . Demum multiplicantur & dividuntur quantitates irrationales non secus ac rationales, & producto uel
quoto idem quod prius erat Agnum radicate praeho i tur, quod quidem in utraque quantitate sit ejusdem ora dinis . Ita si multiplicari debeant ab ac, productum erit m a UT Ita si dividi debeat ac beper a b erit Patet autem in multiplicatione delendum esse signum radicate,si aequares fuerint quantitates signo inclusiae ; sic , a te aie m aic
Quoniam saepe contingit quantitates radicales ad eun- ci 2 VXpouen em reducendas esse, observandum est id facile praestari posse ex hactenus demonstratis ; ita quantitates duae radicales mutantur in
e, quod patet; nam quantitates illae ad Potestates n, m, respective evehuntur & simul deprimuntur . Probe autem notaudum est discrimena'ter quantitatum multiplicationem illarumque potestatem . Ita si multiplicari debeat at per a ' productum fit at . Si autem quantitas a i ad secundam potestatem evehi debeat, habetur a A m a L& generatim quantitas a ad potestatem n evectant a '. Quare multiplicatio fit per iudicis additionem, Poteuas autem per multiplicationem. Contraria ratione divisio fit per exponentis subtractionem, & radicis extractio per exponentis divisionem. Ita in ah m a ' At si ex at extrahenda sit radix quadrata, grat in sti, & generatim pro divisione a ' i
57쪽
at pro radicis n extractione habetur a ' . Si quan titates sint simplices, brevius per exponentes, quam per signum radicate exprimuntur. V. Quantitates irrationales sive incommensurabiles sepe in hoc capite nominavimus 3 revera autem tales duri quantitates evidens est ex capite praecedenti in quo demonstravimus fractionem sive puram sive mixtam in fractionem semper abire, etiam si ad potestarem quamlibet evehatur . Ergo numerus integer cuius radix quadrata, cubica &c. non est numerus integer , nullam fractionem nequidem mixtam pro radice habere potest , ac proinde hujus numeri radix est incommensurabilis. Itaque numeri incommensurabiles non fiunt numeri proprie dicti. Et requidem ipsa , cum per numerum nihil aliud intelligamus quam rationem quantitatis cuiusvis ad aliam eiusdem generis quantitatem, in omni ratione vel numero existere necessum est partem aliquotam quae sit utrique quantitati communis ; at quantitates inter se incommensurabiles tali carent mensurae ita non est numerus proprie dictus ; talis quantitas proprie non existit ea-iue inveniri non potest. Imo fractiones proprie nonicuntur numeri nisi quatenus ad numeros integros revocantur . Et quidem fractio quae exprimit quartam partem totius alicujus ter sumptam , ipsa adnumeros integros refertur haec enim quarta pars velut alia unitas consideratur, ut antea observavimus .
Totam incommensurabilium doctrinam utilissimam quidem , alio arithmetico exemplo illustrabimus . Si TR numero Z extrahenda proponatur radix quadrata , haec invenitur minor quam 3; cum S 3 m se& major quam a , cum sit a re a m q. Igitur radix quadrata numeri y continetur intra limites a& 3 , ae proinde si posset determinari, ea foret aequalis numero et, & alicui numero hacto , sed fieri non potest ut fractio mixta per seipinu multiplicata produ-
58쪽
ET ALGEBRAE CAPUT orat numerum integrum, ut autea demonstravimus. Ergo numerus y pro radice habere non potest neque numerum integrum neque fractum. Idem patet de alio quolibet numero integro cujus radix non est
Sehol. Secundae duntaxat & tertiae potestatis comis positionem ac resolutionem in praesenti capite expli cavimus ; at rem generati in & breviter, quavium licet, pro alia qualibet dignitate consi berabimus. Ex, hactenus explicatis manifestum est eodem modo formari altiores cujuslibet gradus potestates. Ita ad Dr- mandam quarti gradus potestatem multiplicari debet cubus per suam radicem & sic deinceps. Jam in singulis terminis exponentes & coefficientes diligentet observemus . In potestatis cujuslibet compositione, primus terminus a, binomii cujuslibet, a j- b, evehitur ad potestarem quaesitam T. G. a 3, si potestas se. cunda fuerit: in aliis sequentibus terminis exponens quantitatis a , per unitatem decrescit & in ultimo termino evanescit. Ita in secunda potestate habetur aab Contra autem potestas termini b, in primo termino non reperitur, sed in a.' termino illius exponens est unitas, in s.' termino est et, & ita crescit per gradus , donec in ultimo termino exponenti potestatis quaesitae aequalis fiat. Quare iisdem gradibus, quibus decrescunt exponentes ipsius a, crescunt exponentes quantitatis b, atque in utraque quantitate exponentium summa semper eadem est , & potestatis quaesitae exponenti aequalis: quod quidem in potest te qualibet experiri licet. Ita potestas si' binomii aq- b , invenitur ah - - b ubi sa 'b',aoa bi t. Isapb' PGab bri, in qua observare est exponentes quantitatis a, decrescere secundum serieni numerorum 6, S, , S, I, I, O; contrario autem ordine crescere exponentes quantitatis b , nempe hoe modo , I, 2, 3, ,s,6; siummaque exponentium
59쪽
so ELEMENTA ARITΗMETICAEgillorum terminorum coefficientes observemus. Dividatur coefficiens praecedentis termini per exponentem ipsius b in termino dato , & quotum multiplicaper exponentem ipsius a, in eodem termino, auctum unitate . Ita in praecedenti exemplo ubi termini sunt , as b, a 'b- , a bi, a 'b- , ab , bi , coefficiens primi termini est unitas, coefficiens secundi est M s Di m 6 , tertii termini coefficiens q- i- I
m 3 κ s m I S. Coeificiens termini quarti est Mi in s M m ao. Et simili modo invenientur
coefficientes alii is , 6 , I . Ex hac constanti exponentium & coefficientium serie , generatim exhiberi potest binomium ai. bad potestatem quamlibet m, evectum . Ita termino. rum series se habebit, non consideratis coefficienti bus, am, am ib, am' b , a 'ibi, a ' b, quae series continuari debet, donec eXponens quantitatis b, evadat m. Coefficientes autem ex praecedenti regula
hoc ordine progredientur 1, m , m n , m re
Quare haec habetur generalis formula X - - a m aem
xm 3 ai &c. Simili modo invenitur formula pro bivo-mio a - , hoc solum discrimine quod terminus debeat esse negativus, si exponens quantitatis b, sit numerus impar . Ita in cubo a ga b - . 3ab b , secundus quartus termini sunt negativi ; ratio autem est evidens, cum negativa existente quantitate , multiplicationum numerus impar productum efficere debeat negativum. Formula eadem omnino ratione componi posset pro trinomio a ri- b -- c, ponendo a b m a, & ita deinceps pro Polynomio quolibet.
60쪽
ET ALGEBRAE 'CAPUT UI. frPraecedens formula quae potestatum compositionem exhibet , earum quoque resolutionem repraesentare potest . Ita radi T quadrata binomii a q- b , nihil est aliud quam potestas binomii a b b, cujus exponens NQuare ponatur in sermula praecedenti m m eis, Simili modo si extrahenda sit radix quinta ex a b habebitur a - - b i m a i
--Itaque ad rasa asaae dicem proxime veram accedere possumus per series inunitas, dummodo series illae sint conviergentes, hoe est , si termini perpetuo decrescant.
De proportionibus. I. T N memoriam revocanda est explicata cap. I.' ra- tionis & proportionis definitio . Ratio dicitur ea duarum quantitatum habitudo,obari ad se invicem rem feruntur g geometrica dicitur si in ea relatione consideremus quomodo quantitas una alteram contineat sarithmetica vocatur , si excessum tantummodo unius supra aliam spectemus. In omni ratione quantitas quae ad aliam refertur , auteredens dicitur, ea vero ad quam refertur, coisequeus appellatur. Ratio geometrica dieitur dupla , troci , decupla &c., si antecedens bis , ter , decies M. consequentem continet; contra vero
Iubdupla , subtripla , subdecupla &c., si bis , ter , decies &e. antecedens in consequenti continetur . Eu neus rationis geometricae dicitur quotus ex antecedenti per consequentem diviso ; exponens vero rationis arithmeticae est differentia consequentis ab antecedenti . Hinc ratio geometrica ad instar fractionis scribi-D a iurs