Guidi Vbaldi e Marchionibus Montis De colchea

181쪽

i r Guidi Vbaldi e Marchionibus M.

Sint basiis quartae AD DC, quibus sit aequale cylindri latus DB, sitque ellipsis AEC,

cuius vertex E sit extrae DB. Ducaturq; helix A E, cui ad angulos re istos altera ducatur

helix EF. Dico EF ellipsini secare inter

Ducantur helices AB BC ε C. . . ... Qxi oniam enim heliceS A B v.CEx .e. inuicem tanquam ad rectos angulas eruiu helices A E EC ad augulum acutum . Intelligantur enim Ab C .iAEC duo tri uigula helicibus ADC contenta Omnia enim ad rectas lineas in plano reduci possunt in triangulis hoc modo constitutis interior angulus A B C maior est angulo AEC, vnta angulum AEC recto ΑΕ F minor existit. Deinde non potest helix EF ellipsim contingere in F, propterea quod, id quod ellipsim i in E contingit, est circulus ut EG . basi aequidistans,qui e1t ad angulos rectos lateri ED, quὁdcumstangulus A EF helicibus contentus aequapsangu DEG s veraq; enim pro recto sumiturὶ maior vero est AEF angulo AEC, erit heliae EF inter helicem EC, & circulum EG. Quare se circulidiametet ΕΗ; ergo duci potest ellipsis, ut ΕΚ Hi quae helici EF. mplitis non Ocnis. currat,quam in E, & quoniam ellipsis ΕΚΗ ellipsim AEC seeat; huim. multo magis helix EF ellipsim AE FC secabit, quodcuhasm EF interhelicem EC & ΕΚ, ellipsim secabit inter E C, ut in F, quod

182쪽

De Cochlea Lib. IV.

ΡROPOSITIO VII.

Si linea quadrans DBE, cuius Centrum

A, ellipsim AF C extra contingat in B, sint vero ellipsis quartae A F F C. Dico punctum B esse in quarta FC.

Non pertingat punctum E ad basim, &sit E extra spatium ellipsi ABC contentum scum enim DBE ellipsim comtingat; fieri quidem potest.ὶ minde ducantur helices AB AGE; erit sane A Bmaior alijsquibuscunque helicibus ex Avsque ad ellipsim ABG pertinentibus.

Nam cum sint AB A E aequales, erit AB maior AG; similiter ad iteram partem,ducta ubicunq; helice AH, quςoccurriat ellipsi inter i AB in Κs cum sit AB aequalis AH, erit AB maior Α Κ; ergo alijs maior est ,AB. Itaq; ducatur

bella AF, cui ad angulos retios altera ducatur helix FL; sit vero AM quarta circuli, sitque MN aequalis A M. Quoniam igitur linea quadrans DBE ellipsim contingit, erit MF maior MN; si enim ellipsis vertex non excederet punctum N, linea quadrans ellipsim secaret.Itaq; quoiuam MF maior est MN j iis. helix FL ethhsim inter FC dispescet; ducta igitur helice Aia erit haec maior, quis helix AF. In triangulo enim AF cum sit angulus AF L tanquam reistus i erit helix AL maior AF; veluti in rectit,neis triangulis contingit Isimiliter ubicunque intex FL ducatur helix AO, quae usq; ad helicem FL pertingat;erit sane Ao proptereandem caulam maior helice A F, quare si Aia pertingeret usque ad ellipsm,haec multo maior esset,quam AF. Ex quibus perspicuum est,ex Α longiorem helicem in ellipsi ABG, inter FC reperiri; ergo linea quadrans DBE ellipsm continget inter FC, ut in B; eritq; 'AB aliis quibuscunq; inter ABG existentibus longior. Puni tum igitur Bin quarta FC reperitur,quod demonstrare Otortcbat.

183쪽

i 4 Guidi Vbaldi e Marchionibus M.

ΡROPOSITIO VIII.

Quomodo autem linea quadrans ellipsim in duobus tantum punctis secare potest istendere.

In cylindro sit similiter ellipsis ABC quam

contingat linea in cylindro quadrans FB si que A C Q maior semicirculo A C. Deinde inter C uinatur ubicunq; punctum R, fiatq; 'A E aequalis ACD, quae quidem A E minor erit AF, & lecundunt longitudinem A E lianea in cylindro quadransdclaribatur EGD. Diaco E GD ellipsim secare in duobus punctis,pu

ta GH, ut ex constructione patet, etenim Cum

sit ellipsis ABC intra terminos AF CK, &FBL, linea vero EG D incipit a puti Ε, quod est in latere AF, & secat latus CK, siquidem peruenit in D; necessarib linea EHGD ellipsim in duobusrunctis diuidet; cum sielinea EG D tanquam aequidistans ipsi FB se, ut manifestum appareret , si describerentur in plano duo quadrantes circa idem centriam, qui responderent ipsis FBQ EG D. similiter facta Α E semicirculo A C aequa li, lineaque in cylindro quadrans describatur EHGC, ut in secunda figura linea E GC ellipsim in duobus punctis secabit HG; nam quamuis haec non secat latus CK, est tamen ipsius lineae EG C portio G DC inter ellipsim G & latus CK, quia inter GDC latusque C Κnon potest duci planum ; quod tamen inter elli-psm GC, de idem latus CK fieri potest, aliae quidem duci possisnt ellipses, secat igitur EG Cob eandem causam ellipsim Α Β C in duobus

184쪽

Ex hoc patet facta ΑΡ ellipsis quarta pumstum G esse in quarta ΡC est enim in ter BC, & B est in quarta pC.

ΡROPOSITIO IX.

Quomodo autem linea quadrans ellipsim in tribus secare potest punctis,ostendere.

185쪽

i is Cuidi Vbaldi e Marchionibus M.

COROLLARIUM

Ex hoc manifestum est puncta Ms stacta AP ellipsis quarta) in quarta PC existere. Quoniam punishum G est in quarta ΡC. & M S sunt inter CC, ergo pun*aM S in quartat PC reperiuntur.

Si linea in cylindro quadrans ellipsim intus

contigerit, eam in quarta,ubi non est centrum

continget.

Secet ut in praecedenti linea quadrans LNMSO ellipsim APC in tribus punctis NMS, helicesq; d cautur AM AS, &inter has Α , quae secet ellipsimin Quoniam enim AM AI AS sum aequales, erit A Q minor quam A M, & AS, atq; ita ostendstur omnςs helices inter ΑM Α existentes esse minores A M & AS. quod si inter has omnium minor sierit; AQ, linea ' quadrans per invi R QT ellipsim Continget,contingeri; in quarta PC, cum sntpuncta MS in eadem quarta,inter quae punctum Q reperia

186쪽

De Cochlea Lib. t V.

ΡROPOSITIO XI.

QEσmodo autem linea quadrans ellipsimco tingere,& secare potest, ostendere.

Duobus modis hoc contingere potest. Primumq; intelligatur,vtin praγcedenti lineam quadrantem L MIoin tribus secare punctis ellipsim ABC Deinde ducatur linea quadrans per punctam C, sitque D EC, quae νquidem , cum sit A C maior A O, Ivel ellipsim quoque secabit, vel con- Itioset, vel ipsi amplius iton occurret. Icreodsi DEC ellitis non occurrit, sit utera luaea in cylindro quadrans N 'F B G H, quae ellipsin concingat in B. caesonia enim F B H minor est D E

maior vero LMO, erit AH minor AC, sed niam lineae in cylindro quadrantes scum circa ideipsis Occurrere non possun tilinea quadrans F B Gin H ellipsim secabit, ut in K. Q lia si DEC cllipsim secuerit in BE, ut in altera figura sumatur in cylindro punctum G, quod sit qui- Ldem in spacto , ellipsis portionibus ' FN B EM, quadrantibusq; lineis BE 'NM comerehensis,&per G pun- IIcha A C planum ducatur, quod δε- νciat ellipsim A G C nimirum linea in cylindro quadrans LMO ellipsim 'ν AG C in tribus punctis dispescet, ut perspicuu est,quare cum DBC per- tingat in C, ellipsisque A GC non μ

occurrat,eadem prorsus modo osten- ' .

detui,fineam in cylindro quadrantem FGH ellipsime se in G, eamque secare in K. Parique ratione idem quiur,si DBC ellipsim ABC conting. ret; ex quibus padrantem ellipsim extra contingere posse,& adhuc secare.

187쪽

148 Guidi Vbaldi e Marchionibus M.

Praeterea quando linea quadrans ellipsini intus contingit, tunc ipsam quoq; semper secabit; etenim contingat linea in cylindro quadrans ellipsim ABC intus in M, quod quidem punctum cst in quarta PC, quoniam linea O ML pertingitvsque adi tus cylindri AL, necesse est,tineam LMΟellipsim secare inter M L, ut in G , linea igitu r in cylindro quadrans L M Q ellipsim contingit in M, seςat vero in G, quod ostenderς oportebat.

Si in cochlea inclinata duae sint helices idem initium habentes, contingere potest, ut sursum attolli possit aqua belice basi proximiori,

altera vero minime. .

In cochlea inclinata AB, duae sine helices ADE, AC B; Dico comtingere posse , ut aqua sursum attollatur helice ADE bas proximiori existente . helice vero A C B nequaquam. Sint AD A C helicium qua tae,&per DC cylindrus duobus secetur planis orizonti aequi distatibus,quq

sint ellipses FGD HKC, secet vero ellipsis FGDhelicem AD E in L M, ellipsis vero HKC helicem ACB amplius non dispestat nisi in C. perspicuum est helice A D G sursum attolli posse aquam i vero helice ACB non posse,quod demonstrare oportebat.

188쪽

: De Cochlea Ub. IV. . I

COROLLARIUM.

Ex hoc pluribus alijs helicibus liqc eadem colitipgere posse manifestum est.

ΡROPOSITIO XIII.

Si cochlea duas habens helices, ita sit ad ori

zontem inclinata, ut ellipses per quartas heli- Cium transeuntes, &orizonti quidistates, helices secent in primis, ic secundis quartis; ma. ior aquq copia attolletur helice, 'quq minorem efficit angulum cum basi,quam altera helice

sit: B cochle, inclinata, quae duas' habeatselicis AC s A D E. quam qua tae sint AC AD, mi- cnoremque eum basi esciat angulum he lix ADE, quam he 'lix ACB, ellipses vero per C D trati 'seutes helices secet, ut dierum est. Dico maidrem aquae copiam attolli helice A D E, quam helice ACB. Describatur

per C helix FCG aequi distans ipsi ADE. Ducaturq; per C elli-pss H CK orcionii aequidistans, quae secet helices in punctis I L inhelicium secundis quartis CB CG existentibus, rursus per C basi aequi villans ducatur circulus C M, lateraque cylindri ducantur L NIO. Primum quidem constat angulum M CG squalem esse angulo, que facit licita ADE cum basi,siquidem circuli,&Lelices sunt aequidi- v stan-

189쪽

I SO

stantes; similiter pa- te tanguluε, M CB .aec ualem esse' angulo , quem constituit. in elix ACB cunab

S: ellipsis CL G se

picturaqua,ut sursum attolli possit helice ACB; ergo i ochleat pcmodo inclinata maior aquae copia attolletur helice A DEHuahelige ACB. Idem quoque eodem modo contingere ostendetur, ellipsit. HC Κpertingeret in FG, quod demonstrare oportebat i, si , quocirca maioς est angulus M CB, quami IC G, uoniam ei pculus C M,

Ex ioc patet helicis postionem Cimqualem esse dimidiae hel cis portionK quasum

sum ittolli potest aqu-VI

aequales unde CG V V sunt aequales.

190쪽

ΡROPOSITIO XIV.

Si cochlea plures habens helices ita fuerit inclinata, ut ellipses orizonti aequi distates per quartas helicium traseuntes ipsas quidem helices secvorint,ellipsium vero vertices a Circulis per dictas quartas traseuntibus non distent

magis, quam circulorum quartae, maior aquae Copia attolletur helice quae minorem cum basi angulum iliaiet,quam eam, quq maiorem

Conueniant , Ut antea, helicium quartae in

Α, sintque helices AEL AFB ACK. quae, adimidia ellipsi ABCorizonti aequiditates Centur, sitq; vertex ellis

psis punctum P, sic tur, δeinde cylindrus

AC G, aistantia vero tG D non sit maior 'AG . l ZIxis iquar Acit 'li i minprovero cum A GC angulum essiciat helix AEL, AI OD T. qum ΑFB, & AFB minorem, quam ACK. Dico primum m iorem aquae copiam attolli posse helice AEL, quam AFB, &mai rem AFB, quam ΑCK. Secetur AEL bifariam in I. Fiatque A inaequali. AI. Quoniam igitur planum per I ductum ipsi ADC,&orizontiaequidistans helicem contingeret in I erit sane punishum Iinfimum; unde punebim L sipremum existit; &quoniam QA AIIL sunt aequales,erit AIL aequalis QS, quae aequalis est dimidiae helicis portioni,quae impletur aqua, ut rursum attolli possit. Quocirca se dem enimmodo ostendetur) AFB ACK sint quoq; dimidiae portionum,quibus attolli potest aqua At vero quoniam helix AEL maior est AFB; ΑΦ B inaior ACK; maior aquae copia attollenar hel V a ce